2020九年级数学上册第2章对称图形—圆2 6页

第2章 对称图形——圆 ‎2.4　第3课时　 圆的内接四边形 知识点　圆内接四边形的性质 ‎1．如图2－4－30所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BCD＝110°，则∠BAD的度数为(　　)‎ A．140° B．110° C．90° D．70°‎ 图2－4－30‎ ‎　　　‎ 图2－4－31‎ ‎2．如图2－4－31，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(　　)‎ A．115° B．105° C．100° D．95°‎ ‎3．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D的度数是(　　)‎ A．60° B．90° C．120° D．30°‎ ‎4．如图2－4－32，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(　　)‎ A．45° B．50° C．60° D．75°‎ 图2－4－32‎ ‎　　　‎ 图2－4－33‎ ‎.如图2－4－33，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且∠D＝130°，则∠BAC＝________°.‎ 6‎ ‎6．如图2－4－34，四边形ABCD内接于⊙O.若∠BOD＝130°，则∠DCE＝________°.‎ 图2－4－34‎ ‎7．如图2－4－35，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C＝________°.‎ 图2－4－35‎ ‎　　　‎ 图2－4－36‎ ‎8．如图2－4－36，△ABC为⊙O的内接等边三角形，D为⊙O上一点，则∠ADB＝________°.‎ ‎9．如图2－4－37，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．‎ 图2－4－37‎ ‎10．已知：如图2－4－38，四边形ABCD是圆的内接四边形，延长AD，BC相交于点E，F是BD延长线上的点，且DE平分∠CDF.求证：AB＝AC.‎ 6‎ 图2－4－38‎ ‎ ‎ ‎11．[2016·淮安清河区二模] 如图2－4－39，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，∠AED＝115°，则∠B的度数是(　　)‎ A．50° B．75° C．80° D．100°‎ 图2－4－39‎ ‎　　　‎ 图2－4－40‎ ‎12．如图2－4－40，⊙O是钝角三角形ABC的外接圆，连接OC.已知∠BAC＝y°，∠BCO＝x°，则y与x之间的函数表达式为______________(不必写出自变量的取值范围)．‎ ‎13．教材练习第3题变式如图2－4－41，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝________．‎ ‎14. [2016·南京高淳区一模] 四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为________．‎ 图2－4－41‎ ‎　　　‎ 图2－4－42‎ ‎15．[2016·南京溧水区一模] 如图2－4－42，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠‎ 6‎ C＝110°.点E在上，则∠E＝________°.‎ ‎16．如图2－4－43，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，F为BC上的点．‎ ‎(1)求证：DB＝DC；‎ ‎(2)请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由．‎ 图2－4－43‎ ‎17．如图2－4－44，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F.‎ ‎(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；‎ ‎(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；‎ ‎(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．‎ 图2－4－44‎ 6‎ 详解详析 ‎1．D　[解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠BCD＋∠BAD＝180°(圆内接四边形的对角互补)．‎ 又∵∠BCD＝110°，‎ ‎∴∠BAD＝70°.故选D.‎ ‎2．B　[解析] ∵四边形ABCD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠BAD＋∠BCD＝180°，‎ 而∠BCD＋∠DCE＝180°，‎ ‎∴∠DCE＝∠BAD.‎ 而∠BAD＝105°，‎ ‎∴∠DCE＝105°.‎ 故选B.‎ ‎3．B　[解析] ∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，‎ ‎∴设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝4x.‎ ‎∵四边形ABCD为圆内接四边形，‎ ‎∴∠A＋∠C＝180°，‎ 即2x＋4x＝180°，解得x＝30°，‎ ‎∴∠B＝3x＝90°，‎ ‎∴∠D＝180°－∠B＝180°－90°＝90°.故选B.‎ ‎4． C ‎5．40　[解析] ∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°.‎ ‎∵∠B＝180°－∠D＝50°，‎ ‎∴∠BAC＝90°－∠B＝40°.‎ ‎6．65　[解析] ∵∠BOD＝130°，‎ ‎∴∠A＝∠BOD＝65°.‎ ‎∵∠A＋∠BCD＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，‎ ‎∴∠DCE＝∠A＝65°.‎ ‎7．70　[解析] ∵∠ABC＝100°，∠P＝30°，‎ ‎∴∠PAB＝∠ABC－∠P＝70°.‎ ‎∵四边形ABCD为圆的内接四边形，‎ ‎∴∠C＋∠BAD＝180°.‎ ‎∵∠BAD＋∠PAB＝180°，‎ ‎∴∠C＝∠PAB＝70°.‎ ‎8．120.‎ ‎9．证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，‎ ‎∴四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠A＋∠DCB＝180°.‎ 又∵∠BCE＋∠DCB＝180°，‎ ‎∴∠A＝∠BCE.‎ ‎∵BC＝BE，‎ ‎∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E，‎ ‎∴AD＝DE，即△ADE是等腰三角形．‎ 6‎ ‎10．证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠ABC＋∠ADC＝180°.‎ ‎∵∠ADC＋∠CDE＝180°，‎ ‎∴∠ABC＝∠CDE.‎ ‎∵∠FDE＝∠ADB＝∠ACB，∠CDE＝∠FDE，∴∠ABC＝∠ACB，‎ ‎∴AB＝AC.‎ ‎11．D　[解析] ∵四边形ACDE是圆内接四边形，‎ ‎∴∠AED＋∠ACD＝180°.‎ ‎∵∠AED＝115°，‎ ‎∴∠ACD＝65°.‎ ‎∵∠CAD＝35°，‎ ‎∴∠ADC＝80°.‎ ‎∵四边形ABCD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠B＋∠ADC＝180°，‎ ‎∴∠B＝100°，故选D.‎ ‎12．y＝x＋90‎ ‎13．140°‎ ‎14． 130°或50°‎ ‎15．125‎ ‎16． (1)证明：∵∠DCB＋∠BAD＝180°，∠BAD＋∠DAE＝180°，‎ ‎∴∠DCB＝∠DAE.‎ ‎∵∠DBC＝∠CAD，∠CAD＝∠DAE，‎ ‎∴∠DBC＝∠CAD＝∠DAE＝∠DCB，‎ ‎∴DB＝DC.‎ ‎(2)答案不唯一，如：‎ 若F为BC的中点，则DF经过圆心．‎ 理由：∵△DBC是等腰三角形，F是BC的中点，‎ ‎∴DF是底边BC的垂直平分线．‎ ‎∵圆内接三角形的圆心是三边垂直平分线的交点，‎ ‎∴DF必过圆心．‎ ‎17． (1)证明：∵∠E＝∠F，∠ECD＝∠FCB，‎ ‎∴∠E＋∠ECD＝∠F＋∠FCB，‎ 即∠ADC＝∠ABC.‎ ‎(2)∵∠A＋∠BCD＝180°，∠ECD＋∠BCD＝180°，‎ ‎∴∠A＝∠ECD.‎ ‎∵∠EDC＝∠A＋∠F，‎ ‎∠EDC＋∠E＋∠ECD＝180°，‎ ‎∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°.‎ 又∵∠E＝∠F＝42°，∴∠A＝48°.‎ ‎(3)由(2)中的结论可知2∠A＋∠E＋∠F＝180°，‎ ‎∴2∠A＋α＋β＝180°，解得∠A＝90°－(α＋β)． ‎ 6‎