2020年上海市中考数学试卷【含答案】 10页

1 / 10 2020 年上海市中考数学试卷 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个 选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上】 1.下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是（） A.√6 B.√9 C.√12 D.√18 2.用换元法解方程푥+1 푥2 + 푥2 푥+1 = 2时，若设푥+1 푥2 = 푦，则原方程可化为关于푦 的方程是（） A.푦2 − 2푦 + 1 = 0 B.푦2 + 2푦 + 1 = 0 C.푦2 + 푦 + 2 = 0 D.푦2 + 푦 − 2 = 0 3.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列 统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（） A.条形图 B.扇形图 C.折线图 D.频数分布直方图 4.已知反比例函数的图象经过点(2, −4)，那么这个反比例函数的解析式 是（） A.푦 = 2 푥 B.푦 = − 2 푥 C.푦 = 8 푥 D.푦 = − 8 푥 5.下列命题中，真命题是（） A.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形 6.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方 向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图 形．下列图形中，平移重合图形是（） A.平行四边形 B.等腰梯形 C.正六边形 D.圆 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将结果直接 填入答题纸的相应位置上】 7.计算：2푎 ⋅ 3푎푏 =________． 8.已知푓(푥) = 2 푥−1 ，那么푓(3)的值是________． 9.已知正比例函数푦 = 푘푥(푘是常数，푘 ≠ 0)的图象经过第二、四象限，那 么푦的值随着푥的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 10.如果关于푥的方程푥2 − 4푥 + 푚 = 0有两个相等的实数根，那么푚的值 是________． 2 / 10 11.如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数， 那么取到的数恰好是5的倍数的概率是________． 12.如果将抛物线푦 = 푥2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ________． 13.为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中 400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学 生人数约为________． 14.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口퐵处 立一根垂直于井口的木杆퐵퐷，从木杆的顶端퐷观察井水水岸퐶，视线퐷퐶 与井口的直径퐴퐵交于点퐸，如果测得퐴퐵 = 1.6米，퐵퐷 = 1米，퐵퐸 = 0.2 米，那么井深퐴퐶为________米． 15.如图，퐴퐶，퐵퐷是平行四边形퐴퐵퐶퐷的对角线，设퐵퐶 → = 푎→，퐶퐴 → = 푏 → ， 那么向量퐵퐷 → 用向量푎→，푏 → 表示为________． 16.小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线푂퐴퐵反映了小 明从家步行到学校所走的路程푠（米）与时间푡（分钟）的函数关系，根据 图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步 行________米． 17.如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵 = 4，퐵퐶 = 7，∠퐵 = 60∘，点퐷在边퐵퐶上， 퐶퐷 = 3，联结퐴퐷．如果将△ 퐴퐶퐷沿直线퐴퐷翻折后，点퐶的对应点为点퐸， 那么点퐸到直线퐵퐷的距离为________． 18.在矩形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐵 = 6，퐵퐶 = 8，点푂在对角线퐴퐶上，圆푂的半径 为2，如果圆푂与矩形퐴퐵퐶퐷的各边都没有公共点，那么线段퐴푂长的取值 范围是________． 3 / 10 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19.计算：27 1 3 + 1 √5+2 − (1 2)−2 + |3 − √5|． 20.解不等式组：{ 10푥 > 7푥 + 6, 푥 − 1 < 푥+7 3 . 21.如图，在直角梯形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐵 // 퐷퐶，∠퐷퐴퐵 = 90∘，퐴퐵 = 8，퐶퐷 = 5，퐵퐶 = 3√5． (1)求梯形퐴퐵퐶퐷的面积； (2)联结퐵퐷，求∠퐷퐵퐶的正切值． 4 / 10 22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． (1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； (2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率 相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商 店去年8、9月份营业额的月增长率． 23.已知：如图，在菱形퐴퐵퐶퐷中，点퐸，퐹分别在边퐴퐵，퐴퐷上，퐵퐸 = 퐷퐹，퐶퐸的延长线交퐷퐴的延长线于点퐺，퐶퐹的延长线交퐵퐴的延长线于点퐻． (1)求证：△ 퐵퐸퐶 ∼△ 퐵퐶퐻； (2)如果퐵퐸2 = 퐴퐵 ⋅ 퐴퐸，求证：퐴퐺 = 퐷퐹． 5 / 10 24.在平面直角坐标系푥푂푦中，直线푦 = − 1 2 푥 + 5与푥轴、푦轴分别交于点퐴， 퐵（如图）．抛物线푦 = 푎푥2 + 푏푥(푎 ≠ 0)经过点퐴． (1)求线段퐴퐵的长； (2)如果抛物线푦 = 푎푥2 + 푏푥经过线段퐴퐵上的另一点퐶，且퐵퐶 = √5，求这 条抛物线的表达式； (3)如果抛物线푦 = 푎푥2 + 푏푥的顶点퐷位于△ 퐴푂퐵内，求푎的取值范围． 25.如图，△ 퐴퐵퐶中，퐴퐵 = 퐴퐶，⊙ 푂是△ 퐴퐵퐶的外接圆，퐵푂的延长交边 퐴퐶于点퐷． (1)求证：∠퐵퐴퐶 = 2∠퐴퐵퐷； (2)当△ 퐵퐶퐷是等腰三角形时，求∠퐵퐶퐷的大小； (3)当퐴퐷 = 2，퐶퐷 = 3时，求边퐵퐶的长． 6 / 10 参考答案与试题解析 2020 年上海市中考数学试卷 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个 选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上】 1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.A 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将结果直接 填入答题纸的相应位置上】 7.6푎2푏 8.1 9.减小 10.4 11.1 5 12.푦 = 푥2 + 3 13.3150名 14.7 15.2푎→ + 푏 → 16.350 17.3√3 2 18.10 3 < 퐴푂 < 20 3 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19.解：原式= (33) 1 3 + √5 − 2 − 4 + 3 − √5 = 3 + √5 − 2 − 4 + 3 − √5 = 0． 20.解：{ 10푥 > 7푥 + 6①, 푥 − 1 < 푥+7 3 ②, 解不等式①得푥 > 2， 解不等式②得푥 < 5， 故原不等式组的解集是2 < 푥 < 5． 21.解：(1)过퐶作퐶퐸 ⊥ 퐴퐵于퐸，如图， ∵퐴퐵 // 퐷퐶，∠퐷퐴퐵 = 90∘， ∴∠퐷 = 90∘， ∴∠퐴 = ∠퐷 = ∠퐴퐸퐶 = 90∘， ∴四边形퐴퐷퐶퐸是矩形， ∴퐴퐷 = 퐶퐸，퐴퐸 = 퐶퐷 = 5， ∴퐵퐸 = 퐴퐵 − 퐴퐸 = 3. ∵퐵퐶 = 3√5， ∴퐶퐸 = √퐵퐶2 − 퐵퐸2 = 6， ∴梯形퐴퐵퐶퐷的面积= 1 2 × (5 + 8) × 6 = 39. (2)过퐶作퐶퐻 ⊥ 퐵퐷于퐻，如图， ∵퐶퐷 // 퐴퐵， 7 / 10 ∴∠퐶퐷퐵 = ∠퐴퐵퐷， ∵∠퐶퐻퐷 = ∠퐴 = 90∘. ∴△ 퐶퐷퐻 ∼△ 퐷퐵퐴， ∴퐶퐻 퐴퐷 = 퐶퐷 퐵퐷 . ∵퐵퐷 = √퐴퐵2 + 퐴퐷2 = √82 + 62 = 10， ∴퐶퐻 6 = 5 10 ， ∴퐶퐻 = 3， ∴퐵퐻 = √퐵퐶2 − 퐶퐻2 = √(3√5)2 − 32 = 6， ∴∠퐷퐵퐶的正切值= 퐶퐻 퐵퐻 = 3 6 = 1 2 ． 22.解：(1)450 + 450 × 12% = 504（万元）． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为푥， 依题意，得：350(1 + 푥)2 = 504， 解得：푥1 = 0.2 = 20%，푥2 = −2.2（不合题意，舍去）． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 23.证明：(1)∵四边形퐴퐵퐶퐷是菱形， ∴퐶퐷 = 퐶퐵，∠퐷 = ∠퐵，퐶퐷 // 퐴퐵. ∵퐷퐹 = 퐵퐸， ∴△ 퐶퐷퐹 ≅ 퐶퐵퐸(푆퐴푆)， ∴∠퐷퐶퐹 = ∠퐵퐶퐸. ∵퐶퐷 // 퐵퐻， ∴∠퐻 = ∠퐷퐶퐹， ∴∠퐵퐶퐸 = ∠퐻. ∵∠퐵 = ∠퐵， ∴△ 퐵퐸퐶 ∼△ 퐵퐶퐻． (2)∵퐵퐸2 = 퐴퐵 ⋅ 퐴퐸， ∴퐵퐸 퐴퐵 = 퐴퐸 퐸퐵 . ∵퐴퐺 // 퐵퐶， ∴퐴퐸 퐵퐸 = 퐴퐺 퐵퐶 ， ∴퐵퐸 퐴퐵 = 퐴퐺 퐵퐶 . ∵퐷퐹 = 퐵퐸，퐵퐶 = 퐴퐵， ∴퐵퐸 = 퐴퐺 = 퐷퐹， 即퐴퐺 = 퐷퐹． 24.解：(1)对于直线푦 = − 1 2 푥 + 5， 8 / 10 令푥 = 0，则푦 = 5， ∴퐵(0,  5)， 令푦 = 0，则− 1 2 푥 + 5 = 0， ∴푥 = 10， ∴퐴(10,  0)， ∴퐴퐵 = √52 + 102 = 5√5. (2)设点퐶(푚, − 1 2 푚 + 5)， ∵퐵(0,  5)， ∴퐵퐶 = √푚2 + (− 1 2 푚 + 5 − 5)2 = √5 2 |푚|. ∵퐵퐶 = √5， ∴√5 2 |푚| = √5， ∴푚 = ±2. ∵点퐶在线段퐴퐵上， ∴푚 = 2， ∴퐶(2,  4). 将点퐴(10,  0)，퐶(2,  4)代入抛物线푦 = 푎푥2 + 푏푥(푎 ≠ 0)中， 得{100푎 + 10푏 = 0, 4푎 + 2푏 = 4, ∴{ 푎 = − 1 4 , 푏 = 5 2 , ∴抛物线푦 = − 1 4 푥2 + 5 2 푥. (3)∵点퐴(10,  0)在抛物线푦 = 푎푥2 + 푏푥上，得100푎 + 10푏 = 0， ∴푏 = −10푎， ∴抛物线的解析式为푦 = 푎푥2 − 10푎푥 = 푎(푥 − 5)2 − 25푎， ∴抛物线的顶点퐷坐标为(5, −25푎)， 将푥 = 5代入푦 = − 1 2 푥 + 5中，得푦 = − 1 2 × 5 + 5 = 5 2 ， ∵顶点퐷位于△ 퐴푂퐵内， ∴0 < −25푎 < 5 2 ， ∴− 1 10 < 푎 < 0. 25.(1)证明：连接푂퐴． ∵퐴퐵 = 퐴퐶， 9 / 10 ∴퐴퐵̂ = 퐴퐶̂ ， ∴푂퐴 ⊥ 퐵퐶， ∴∠퐵퐴푂 = ∠퐶퐴푂. ∵푂퐴 = 푂퐵， ∴∠퐴퐵퐷 = ∠퐵퐴푂， ∴∠퐵퐴퐶 = 2∠퐵퐴퐷． (2)解：如图2中，延长퐴푂交퐵퐶于퐻． ①若퐵퐷 = 퐶퐵，则∠퐶 = ∠퐵퐷퐶 = ∠퐴퐵퐷 + ∠퐵퐴퐶 = 3∠퐴퐵퐷. ∵퐴퐵 = 퐴퐶， ∴∠퐴퐵퐶 = ∠퐶， ∴∠퐷퐵퐶 = 2∠퐴퐵퐷. ∵∠퐷퐵퐶 + ∠퐶 + ∠퐵퐷퐶 = 180∘， ∴8∠퐴퐵퐷 = 180∘， ∴∠퐴퐵퐷 = 22.5∘， ∴∠퐶 = 3∠퐴퐵퐷 = 67.5∘． ②若퐶퐷 = 퐶퐵，则∠퐶퐵퐷 = ∠퐶퐷퐵 = 3∠퐴퐵퐷， ∴∠퐶 = 4∠퐴퐵퐷. ∵∠퐷퐵퐶 + ∠퐶 + ∠퐶퐷퐵 = 180∘， ∴10∠퐴퐵퐷 = 180∘， ∴∠퐴퐵퐷 = 18∘， ∴∠퐵퐶퐷 = 4∠퐴퐵퐷 = 72∘． ③若퐷퐵 = 퐷퐶，则퐷与퐴重合，这种情形不存在． 综上所述，∠퐶的值为67.5∘或72∘． (3)解：如图3中，作퐴퐸 // 퐵퐶交퐵퐷的延长线于퐸． 则퐴퐸 퐵퐶 = 퐴퐷 퐷퐶 = 2 3 ， ∴퐴푂 푂퐻 = 퐴퐸 퐵퐻 = 4 3 ， 设푂퐵 = 푂퐴 = 4푎，푂퐻 = 3푎， 10 / 10 ∵퐵퐻2 = 퐴퐵2 − 퐴퐻2 = 푂퐵2 − 푂퐻2， ∴25 − 49푎2 = 16푎2 − 9푎2， ∴푎2 = 25 56 ， ∴퐵퐻 = 5√2 4 ， ∴퐵퐶 = 2퐵퐻 = 5√2 2 ．