人教版九年级数学上册期末检测卷【含答案】 42页

期末检测卷 时间： 120 分钟 总分： 120 分 一、选择题 ( 共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 ) 1 ．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是 3 ，一次项系数是－ 6 ，常数项是 1 的方程是 ( A ) A ． 3 x 2 ＋ 1 ＝ 6 x B ． 3 x 2 － 1 ＝ 6 x C ． 3 x 2 ＋ 6 x ＝ 1 D ． 3 x 2 － 2 x ＝ 1 － 4 x 2 ．将抛物线 y ＝ x 2 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线 ( A ) A ． y ＝ ( x － 1) 2 ＋ 2 B ． y ＝ ( x － 1) 2 － 2 C ． y ＝ ( x ＋ 1) 2 ＋ 2 D ． y ＝ ( x ＋ 1) 2 － 2 3 ．平面内， ⊙ O 的半径为 1 ，点 P 到 O 的距离为 2 ，过点 P 可作 ⊙ O 的切线条数为 ( C ) A ． 0 条 B ． 1 条 C ． 2 条 D ．无数条 4 ．投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则下列事件为随机事件的是 ( D ) A ．两枚骰子向上一面的点数之和大于 1 B ．两枚骰子向上一面的点数之和等于 1 C ．两枚骰子向上一面的点数之和大于 12 D ．两枚骰子向上一面的点数之和等于 12 5 ．如图，在 △ ABC 中， AB ＝ 4 ， AC ＝ 3 ， ∠ BAC ＝ 30° ，将 △ ABC 绕点 A 按逆时针旋转 60° 得到 △ AB 1 C 1 连接 BC 1 ，则 BC 1 的长为 ( C ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 6 ．如图，弓形 ADB 中， AB ＝ 24 ，弓形所在圆的半径是 13 ，则弓高 CD 的长是 ( D ) A ． 5 B ． 14 C ． 11 D ． 18 7 ．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果 3 枚鸟卵全部成功孵化，那么 3 只雏鸟中恰有 2 只雄鸟的概率是 ( B ) A ． B ． C ． D ． 8 ．如图，将半径为 1 ，圆心角为 120° 的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转一个角度，使点 O 的对应点 D 落在 上，点 B 的对应点为点 C ，连接 BC ，则图中 CD 、 BC 和 围成的封闭图形的面积是 ( B ) A ． B ． C ． D ． 9 ．据古希腊数学家欧几里得的《几何原本》记载，形如 x 2 ＋ ax ＝ b 2 的方程的图解法是：如图，画 Rt△ ABC ， ∠ ACB ＝ 90° ， BC ＝ ， AC ＝ b ，再在 斜边 AB 上截取 BD ＝ ，则该方程的一个正根是 ( C ) A ． AC 的长 B ． BC 的长 C ． AD 的长 D ． CD 的长 10 ．已知抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ＜ 0) 的对称轴为直线 x ＝－ 1 ，与 x 轴的一个交点为 (2 ， 0) ．若关于 x 的一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ p ( p ＞ 0) 有整数根，则 p 的值有 ( B ) A ． 2 个 B ． 3 个 C ． 4 个 D ． 5 个 二、填空题 ( 本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分 ) 11 ．若 x ＝ 3 是一元二次方程 x 2 ＝ p 的一个根，则另一根是 . 12 ．在平面直角坐标系中，点 P 的坐标是 ( － 1 ，－ 2) ，则点 P 关于原点对称的点的坐标是 ． x ＝－ 3 (1 ， 2) 13 ．一个口袋中有 3 个黑球和若干个白球 ( 所有球除颜色外均相同 ) ，在不允许将球倒出来数的前提下，童威为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色 …… 不断重复上述过程，童威共摸了 100 次，其中 20 次摸到黑球．根据上述数据，可估计口袋中的白球大约有 个． 14 ．已知 x 1 ， x 2 是一元二次方程 x 2 － x － 4 ＝ 0 的两实根，则 ( x 1 ＋ 4)( x 2 ＋ 4) 的值是 . 12 16 15 ．某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的 中心安装一个大的喷水头，高度为 m ，喷出的 水柱沿抛物线轨迹运动 ( 如图 ) ，在离中心水平距离 4 m 处达到最高，高度为 6 m ，之后落在水池边缘，那么这个喷水池 的直径 AB 为 m. 20 16 ．如图，在正方形 ABCD 和 Rt△ AEF 中，已知 AB ＝ 5 ， AE ＝ AF ＝ 4 ，连接 BF ， DE . 若 △ AEF 绕点 A 旋转，当 ∠ ABF 最大时， S △ ADE ＝ . 6 解析：如图，作 EM ⊥ DA ， FN ⊥ AB ，垂足分别为 M ， N ，则 ∠ AME ＝ ∠ ANF ＝ 90°.∵∠ EAF ＝ ∠ MAN ＝ 90° ， ∴∠ EAM ＝ ∠ FAN . 又 ∵ AE ＝ AF ， ∴△ AME ≌ △ ANF .∴ EM ＝ FN . 又 AD ＝ AB ，可得 S △ ADE ＝ S △ ABF . 在 △ ABF 中， AB ＝ 5 ， AF ＝ 4 ，当 AF ⊥ BF 时 ( 点 F 在半径为 4 的 ⊙ A 上， 此时 BF 为切线 ) ， ∠ ABF 最大，则 BF ＝ ＝ 3.∴ S △ ADE ＝ S △ ABF ＝ AF · BF ＝ 6. 故答案为 6. 三、解答题 ( 共 8 题，共 72 分 ) 17 ． (8 分 ) 解方程： x 2 － 3 x － 1 ＝ 0. 解： ∵ a ＝ 1 ， b ＝－ 3 ， c ＝－ 1 ， ∴ Δ ＝ b 2 － 4 ac ＝ 13. ∴ x ＝ ＝ . ∴ x 1 ＝ ， x 2 ＝ .(8 分 ) 18 ． (8 分 ) 如图，在 ⊙ O 中，相等的弦 AB ， AC 互相垂直， E 是 AC 的中点， OD ⊥ AB 于点 D . 求证：四边形 AEOD 是正方形． 证明： ∵ OD ⊥ AB 于 D ， ∴ AD ＝ AB . ∵ AE 是 AC 的中点， ∴ OE ⊥ AC . ∴∠ ADO ＝ ∠ AEO ＝ 90°.(4 分 ) ∵ AB ⊥ AC ， ∴∠ DAE ＝ 90°. ∴ 四边形 ADOE 是矩形． ∵ AB ＝ AC ， ∴ AD ＝ AE . ∴ 四边形 ADOE 是正方形． (8 分 ) 19 ． (8 分 ) 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的 A ， B ， C ， D 四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． (1) 甲组抽到 A 小区的概率是 ； (3 分 ) (2) 请用列表或画树状图的方法求甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的概率． 解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的结果数为 1 ， ∴ 甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的概率为 . (8 分 ) 20 ． (8 分 ) 如图， △ ABC 的顶点坐标分别为 A ( － 2 ，－ 4) ， B (0 ，－ 4) ， C (1 ，－ 1) ． (1) 画出 △ ABC 关于点 O 的中心对称图形 △ A 1 B 1 C 1 ； (2) 画出 △ ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90° 的 △ A 2 B 2 C 2 ，直接写出点 C 2 的坐标为 ； (5 分 ) 解： (1) 如图， △ A 1 B 1 C 1 为所作． (2 分 ) (2) 如图， △ A 2 B 2 C 2 为所作． (4 分 ) (1 ， 1) (3) 若 △ ABC 内一点 P ( m ， n ) 绕原点 O 逆时针旋转 90° 的对应点为 Q ，则 Q 的坐标为 ( 用含 m ， n 的式子表示 ) ． (8 分 ) ( － n ， m ) 21 ． (8 分 ) 如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD ⊥ CD ， AC ＝ AB ， ⊙ O 为 △ ABC 的外接圆． (1) 如图 a ，求证： AD 是 ⊙ O 的切线； (1) 证明：如图，连接 OA ， OB ， OC . ∵ AC ＝ AB ， OC ＝ OB ， ∴ AO 垂直平分 BC . ∴ AO ⊥ BC . ∵ AD ∥ BC ， ∴ AD ⊥ AO . ∴ AD 是 ⊙ O 的切线． (3 分 ) (2) 如图 b ， CD 交 ⊙ O 于点 E ，过点 A 作 AG ⊥ BE ，垂足为 F ，交 BC 于点 G . ① 求证： AG ＝ BG ； (2)① 证明： ∵ AD ⊥ CD ， BF ⊥ AG ， ∴∠ ADC ＝ ∠ AFB ＝ 90°. 又 ∵ AC ＝ AB ， ∠ ACD ＝ ∠ ABF ， ∴△ ADC ≌ △ AFB . ∴∠ DAC ＝ ∠ FAB . ∵ AD ∥ BC ， AB ＝ AC ， ∴∠ DAC ＝ ∠ ACB ＝ ∠ ABC . ∴∠ FAB ＝ ∠ ABC . ∴ AG ＝ BG .(5 分 ) ② 若 AD ＝ 2 ， CD ＝ 3 ，求 FG 的长． ② 解：由 ① 知 △ ADC ≌ △ AFB ， ∴ AF ＝ AD ＝ 2 ， BF ＝ CD ＝ 3.(6 分 ) 设 FG ＝ x ，则 BG ＝ AG ＝ x ＋ 2. 在 Rt△ BFG 中， FG 2 ＋ BF 2 ＝ BG 2 ， ∴ x 2 ＋ 3 2 ＝ ( x ＋ 2) 2 . 解得 x ＝ ，即 FG ＝ .(8 分 ) 22 ． (10 分 ) 某商家销售一种成本为 20 元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量 y ( 件 ) 与当天的销售单价 x ( 元 / 件 ) 满足一次函数关系，并且当 x ＝ 25 时， y ＝ 550 ；当 x ＝ 30 时， y ＝ 500. 物价部门规定，该商品的销售单价不能超过 48 元 / 件． (1) 求出 y 与 x 的函数关系式； 解： (1) 设 y 与 x 的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b ， 由题意得 解得 ∴ y ＝－ 10 x ＋ 800(20< x ≤48) ． (3 分 ) (2) 当销售单价定为多少时，商家销售该商品每天获得的利润是 8000 元？ (2) 由题意得 ( x － 20)( － 10 x ＋ 800) ＝ 8000 ， (5 分 ) 解得 x 1 ＝ 40 ， x 2 ＝ 60.(7 分 ) ∵20< x ≤48 ， ∴ x 2 ＝ 60 不合题意，舍去． ∴ 当销售单价定为 40 元 / 件时，商家销售该商品每天获得的利润是 8000 元． (8 分 ) (3) 直接写出商家销售该商品每天可获得的最大利润． (3) 商家每天可获得的最大利润为 8960 元． (10 分 ) 23 ． (10 分 ) 如图，等边 △ ABC 与等腰 △ EDC 有公共顶点 C ，其中 ∠ EDC ＝ 120° ， AB ＝ CE ＝ 2 ，连接 BE ， P 为 BE 的中点，连接 PD 、 AD . (1) 为了研究线段 AD 与 PD 的数量关系，将图 ① 中的 △ EDC 绕点 C 旋转一个适当的角度，使 CE 与 CA 重合，如图 ② 所 示，请直接写出 AD 与 PD 的数量 关系； 解： (1) AD ＝ 2 PD .(2 分 ) (2) 如图 ① ， (1) 中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (2)(1) 中的结论仍然成立．证明如下： 如图 ① ，延长 ED 至 F ，使 DF ＝ ED ，连接 BF ， CF . ∵ BP ＝ EP ， ∴ DP 是 △ BEF 的中位线． ∴ BF ＝ 2 PD ，且 BF ∥ PD .(4 分 ) ∵∠ EDC ＝ 120° ， ∴∠ FDC ＝ 60°. 又 ∵ FD ＝ DE ＝ DC ， ∴△ CDF 是等边三角形． ∴∠ DCF ＝ ∠ ACB ＝ 60° ， CF ＝ CD . ∴∠ BCF ＝ ∠ ACD . ∵ BC ＝ AC ， ∠ BCF ＝ ∠ ACD ， CF ＝ CD ， ∴△ BCF ≌ △ ACD . ∴ BF ＝ AD . ∴ AD ＝ 2 PD .(6 分 ) (3) 如图 ③ ，若 ∠ ACD ＝ 45° ，求 △ PAD 的面积． (3) 如图 ① ，延长 BF 交 AD 于点 G ， 由 (2) 得 ∠ FBC ＝ ∠ DAC ， ∴∠ AGB ＝ ∠ ACB ＝ 60°. ∵ DP ∥ GB ， ∴∠ ADP ＝ ∠ AGB ＝ 60°.(8 分 ) 同理可证得图 ③ 中 ∠ ADP ＝ 60°. 如图 ③ ，过点 D 作 DH ⊥ CE . 在等腰 △ CDE 中， ∵ CE ＝ 2 ， DE ＝ DC ， ∠ CDE ＝ 120° ， ∴ CH ＝ CE ＝ ， ∠ DCE ＝ ∠ DEC ＝ 30°. ∴ DH ＝ CD . 在 Rt△ CDH 中， DH 2 ＋ CH 2 ＝ CD 2 ， ∴( CD ) 2 ＋ ( ) 2 ＝ CD 2 . 解得 CD ＝ 2 . 过点 D 作 DM ⊥ AC 于点 M ，过点 P 作 PN ⊥ AD 于点 N . ∵∠ ADP ＝ 60° ， ∴∠ NPD ＝ 30°. ∴ ND ＝ DP . ∴ PN ＝ ＝ ＝ DP ＝ AD . ∵∠ ACD ＝ 45° ， ∠ CMD ＝ 90° ， ∴ CM ＝ DM . 在 Rt△ CDM 中， CM 2 ＋ DM 2 ＝ CD 2 ，即 DM 2 ＋ DM 2 ＝ (2 ) 2 ，解得 DM ＝ 2 ， ∴ CM ＝ DM ＝ 2. ∴ AM ＝ 2 － 2. 在 Rt△ ADM 中， AD 2 ＝ AM 2 ＋ DM 2 ＝ (2 － 2) 2 ＋ 2 2 ＝ 32 － 8 ， (9 分 ) 在 △ PAD 中， S △ PAD ＝ AD · PN ＝ AD 2 ＝ 4 － 3 .(10 分 ) 24 ． (12 分 ) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ x 2 ＋ (1 － m ) x － m 交 x 轴于 A 、 B 两点 ( 点 A 在点 B 的左边 ) ，交 y 轴负半轴于点 C . (1) 如图 a ，当 m ＝ 3 时． ① 直接写出 A 、 B 、 C 三点的坐标； (1) 解： ① A ( － 1 ， 0) ， B (3 ， 0) ， C (0 ，－ 3) ． (3 分 ) ② 若抛物线上有一点 D ， ∠ ACD ＝ 45° ，求点 D 的坐标； ② 如图 a ，过点 A 作 AC 1 ⊥ AC 交 CD 于点 C 1 ，过点 C 1 作 C 1 H ⊥ x 轴于点 H ，则 ∠ C 1 AC ＝ ∠ AHC 1 ＝ 90°. ∴∠ C 1 AH ＋ ∠ CAH ＝ 90°. 又 ∵∠ CAH ＋ ∠ ACO ＝ 90° ， ∴∠ C 1 AH ＝ ∠ ACO . ∵∠ ACD ＝ 45° ， ∴ AC 1 ＝ AC . ∴△ OAC ≌ △ HC 1 A . ∴ AH ＝ OC ＝ 3 ， C 1 H ＝ OA ＝ 1. ∴ OH ＝ AH － OA ＝ 2.∴ C 1 (2 ， 1) ． (5 分 ) 设直线 CD 的解析式为 y ＝ kx － 3 ， ∴2 k － 3 ＝ 1. ∴ k ＝ 2. ∴ y ＝ 2 x － 3. 联立 ∴ x 2 － 2 x － 3 ＝ 2 x － 3. 解得 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 4. 当 x ＝ 4 时， y ＝ 2×4 － 3 ＝ 5. ∴ D (4 ， 5) ． (7 分 ) (2) 如图 b ，过点 E ( m ， 2) 作一直线交抛物线于 P 、 Q 两点，连接 AP 、 AQ ，分别交 y 轴于 M 、 N 两点，求证： OM · ON 是一个定值． (2) 证明： ∵ y ＝ x 2 ＋ (1 － m ) x － m ＝ ( x ＋ 1)( x － m ) ， ∴ A ( － 1 ， 0) ， B ( m ， 0) ． 如图 b ，设直线 AP 的解析式为 y ＝ k 1 x ＋ b 1 ， ∴ － k 1 ＋ b 1 ＝ 0 ，即 k 1 ＝ b 1 . 设直线 AQ 的解析式为 y ＝ k 2 x ＋ b 2 ，同理 k 2 ＝ b 2 . 联立 ∴ x 2 ＋ (1 － m ) x － m ＝ k 1 x ＋ k 1 . 解得 x 1 ＝－ 1 ， x 2 ＝ m ＋ k 1 ，即 x P ＝ m ＋ k 1 . 同理 x Q ＝ m ＋ k 2 .(9 分 ) 设直线 PQ 的解析式为 y ＝ k 3 x ＋ b 3 . ∵ E ( m ， 2) ， ∴ k 3 m ＋ b 3 ＝ 2 ，即 b 3 ＝ 2 － k 3 m . 联立 ∴ x 2 ＋ (1 － m ) x － m ＝ k 3 x ＋ 2 － k 3 m . ∴ x 2 ＋ (1 － m － k 3 ) x － m － 2 ＋ k 3 m ＝ 0. ∴ x P ＋ x Q ＝ m ＋ k 3 － 1 ， x P · x Q ＝－ m － 2 ＋ k 3 m .(10 分 ) ∴ m ＋ k 1 ＋ m ＋ k 2 ＝ m ＋ k 3 － 1 ， ( m ＋ k 1 ) · ( m ＋ k 2 ) ＝－ m － 2 ＋ k 3 m . 化简得 k 1 ＋ k 2 ＝－ m ＋ k 3 － 1 ， k 1 k 2 ＝－ 2. ∴ OM · ON ＝ | b 1 · b 2 | ＝ | k 1 · k 2 | ＝ 2.(12 分 )