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  • 2021-11-06 发布

人教版九年级数学上册期末检测卷【含答案】

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期末检测卷 时间: 120 分钟 总分: 120 分 一、选择题 ( 共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分 ) 1 .将下列一元二次方程化成一般形式后,其中二次项系数是 3 ,一次项系数是- 6 ,常数项是 1 的方程是 ( A ) A . 3 x 2 + 1 = 6 x B . 3 x 2 - 1 = 6 x C . 3 x 2 + 6 x = 1 D . 3 x 2 - 2 x = 1 - 4 x 2 .将抛物线 y = x 2 先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,就得到抛物线 ( A ) A . y = ( x - 1) 2 + 2 B . y = ( x - 1) 2 - 2 C . y = ( x + 1) 2 + 2 D . y = ( x + 1) 2 - 2 3 .平面内, ⊙ O 的半径为 1 ,点 P 到 O 的距离为 2 ,过点 P 可作 ⊙ O 的切线条数为 ( C ) A . 0 条 B . 1 条 C . 2 条 D .无数条 4 .投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,则下列事件为随机事件的是 ( D ) A .两枚骰子向上一面的点数之和大于 1 B .两枚骰子向上一面的点数之和等于 1 C .两枚骰子向上一面的点数之和大于 12 D .两枚骰子向上一面的点数之和等于 12 5 .如图,在 △ ABC 中, AB = 4 , AC = 3 , ∠ BAC = 30° ,将 △ ABC 绕点 A 按逆时针旋转 60° 得到 △ AB 1 C 1 连接 BC 1 ,则 BC 1 的长为 ( C ) A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 6 .如图,弓形 ADB 中, AB = 24 ,弓形所在圆的半径是 13 ,则弓高 CD 的长是 ( D ) A . 5 B . 14 C . 11 D . 18 7 .假定鸟卵孵化后,雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果 3 枚鸟卵全部成功孵化,那么 3 只雏鸟中恰有 2 只雄鸟的概率是 ( B ) A . B . C . D . 8 .如图,将半径为 1 ,圆心角为 120° 的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转一个角度,使点 O 的对应点 D 落在 上,点 B 的对应点为点 C ,连接 BC ,则图中 CD 、 BC 和 围成的封闭图形的面积是 ( B ) A . B . C . D . 9 .据古希腊数学家欧几里得的《几何原本》记载,形如 x 2 + ax = b 2 的方程的图解法是:如图,画 Rt△ ABC , ∠ ACB = 90° , BC = , AC = b ,再在 斜边 AB 上截取 BD = ,则该方程的一个正根是 ( C ) A . AC 的长 B . BC 的长 C . AD 的长 D . CD 的长 10 .已知抛物线 y = ax 2 + bx + c ( a < 0) 的对称轴为直线 x =- 1 ,与 x 轴的一个交点为 (2 , 0) .若关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + c = p ( p > 0) 有整数根,则 p 的值有 ( B ) A . 2 个 B . 3 个 C . 4 个 D . 5 个 二、填空题 ( 本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分 ) 11 .若 x = 3 是一元二次方程 x 2 = p 的一个根,则另一根是 . 12 .在平面直角坐标系中,点 P 的坐标是 ( - 1 ,- 2) ,则点 P 关于原点对称的点的坐标是 . x =- 3 (1 , 2) 13 .一个口袋中有 3 个黑球和若干个白球 ( 所有球除颜色外均相同 ) ,在不允许将球倒出来数的前提下,童威为估计其中的白球数,采用了如下的方法:从口袋中随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色 …… 不断重复上述过程,童威共摸了 100 次,其中 20 次摸到黑球.根据上述数据,可估计口袋中的白球大约有 个. 14 .已知 x 1 , x 2 是一元二次方程 x 2 - x - 4 = 0 的两实根,则 ( x 1 + 4)( x 2 + 4) 的值是 . 12 16 15 .某游乐园要建一个圆形喷水池,在喷水池的 中心安装一个大的喷水头,高度为 m ,喷出的 水柱沿抛物线轨迹运动 ( 如图 ) ,在离中心水平距离 4 m 处达到最高,高度为 6 m ,之后落在水池边缘,那么这个喷水池 的直径 AB 为 m. 20 16 .如图,在正方形 ABCD 和 Rt△ AEF 中,已知 AB = 5 , AE = AF = 4 ,连接 BF , DE . 若 △ AEF 绕点 A 旋转,当 ∠ ABF 最大时, S △ ADE = . 6 解析:如图,作 EM ⊥ DA , FN ⊥ AB ,垂足分别为 M , N ,则 ∠ AME = ∠ ANF = 90°.∵∠ EAF = ∠ MAN = 90° , ∴∠ EAM = ∠ FAN . 又 ∵ AE = AF , ∴△ AME ≌ △ ANF .∴ EM = FN . 又 AD = AB ,可得 S △ ADE = S △ ABF . 在 △ ABF 中, AB = 5 , AF = 4 ,当 AF ⊥ BF 时 ( 点 F 在半径为 4 的 ⊙ A 上, 此时 BF 为切线 ) , ∠ ABF 最大,则 BF = = 3.∴ S △ ADE = S △ ABF = AF · BF = 6. 故答案为 6. 三、解答题 ( 共 8 题,共 72 分 ) 17 . (8 分 ) 解方程: x 2 - 3 x - 1 = 0. 解: ∵ a = 1 , b =- 3 , c =- 1 , ∴ Δ = b 2 - 4 ac = 13. ∴ x = = . ∴ x 1 = , x 2 = .(8 分 ) 18 . (8 分 ) 如图,在 ⊙ O 中,相等的弦 AB , AC 互相垂直, E 是 AC 的中点, OD ⊥ AB 于点 D . 求证:四边形 AEOD 是正方形. 证明: ∵ OD ⊥ AB 于 D , ∴ AD = AB . ∵ AE 是 AC 的中点, ∴ OE ⊥ AC . ∴∠ ADO = ∠ AEO = 90°.(4 分 ) ∵ AB ⊥ AC , ∴∠ DAE = 90°. ∴ 四边形 ADOE 是矩形. ∵ AB = AC , ∴ AD = AE . ∴ 四边形 ADOE 是正方形. (8 分 ) 19 . (8 分 ) 对垃圾进行分类投放,能提高垃圾处理和再利用的效率,减少污染,保护环境.为了检查垃圾分类的落实情况,某居委会成立了甲、乙两个检查组,采取随机抽查的方式分别对辖区内的 A , B , C , D 四个小区进行检查,并且每个小区不重复检查. (1) 甲组抽到 A 小区的概率是 ; (3 分 ) (2) 请用列表或画树状图的方法求甲组抽到 A 小区,同时乙组抽到 C 小区的概率. 解:画树状图为: 共有 12 种等可能的结果数,其中甲组抽到 A 小区,同时乙组抽到 C 小区的结果数为 1 , ∴ 甲组抽到 A 小区,同时乙组抽到 C 小区的概率为 . (8 分 ) 20 . (8 分 ) 如图, △ ABC 的顶点坐标分别为 A ( - 2 ,- 4) , B (0 ,- 4) , C (1 ,- 1) . (1) 画出 △ ABC 关于点 O 的中心对称图形 △ A 1 B 1 C 1 ; (2) 画出 △ ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90° 的 △ A 2 B 2 C 2 ,直接写出点 C 2 的坐标为 ; (5 分 ) 解: (1) 如图, △ A 1 B 1 C 1 为所作. (2 分 ) (2) 如图, △ A 2 B 2 C 2 为所作. (4 分 ) (1 , 1) (3) 若 △ ABC 内一点 P ( m , n ) 绕原点 O 逆时针旋转 90° 的对应点为 Q ,则 Q 的坐标为 ( 用含 m , n 的式子表示 ) . (8 分 ) ( - n , m ) 21 . (8 分 ) 如图,在四边形 ABCD 中, AD ∥ BC , AD ⊥ CD , AC = AB , ⊙ O 为 △ ABC 的外接圆. (1) 如图 a ,求证: AD 是 ⊙ O 的切线; (1) 证明:如图,连接 OA , OB , OC . ∵ AC = AB , OC = OB , ∴ AO 垂直平分 BC . ∴ AO ⊥ BC . ∵ AD ∥ BC , ∴ AD ⊥ AO . ∴ AD 是 ⊙ O 的切线. (3 分 ) (2) 如图 b , CD 交 ⊙ O 于点 E ,过点 A 作 AG ⊥ BE ,垂足为 F ,交 BC 于点 G . ① 求证: AG = BG ; (2)① 证明: ∵ AD ⊥ CD , BF ⊥ AG , ∴∠ ADC = ∠ AFB = 90°. 又 ∵ AC = AB , ∠ ACD = ∠ ABF , ∴△ ADC ≌ △ AFB . ∴∠ DAC = ∠ FAB . ∵ AD ∥ BC , AB = AC , ∴∠ DAC = ∠ ACB = ∠ ABC . ∴∠ FAB = ∠ ABC . ∴ AG = BG .(5 分 ) ② 若 AD = 2 , CD = 3 ,求 FG 的长. ② 解:由 ① 知 △ ADC ≌ △ AFB , ∴ AF = AD = 2 , BF = CD = 3.(6 分 ) 设 FG = x ,则 BG = AG = x + 2. 在 Rt△ BFG 中, FG 2 + BF 2 = BG 2 , ∴ x 2 + 3 2 = ( x + 2) 2 . 解得 x = ,即 FG = .(8 分 ) 22 . (10 分 ) 某商家销售一种成本为 20 元的商品,销售一段时间后发现,每天的销量 y ( 件 ) 与当天的销售单价 x ( 元 / 件 ) 满足一次函数关系,并且当 x = 25 时, y = 550 ;当 x = 30 时, y = 500. 物价部门规定,该商品的销售单价不能超过 48 元 / 件. (1) 求出 y 与 x 的函数关系式; 解: (1) 设 y 与 x 的函数关系式为 y = kx + b , 由题意得 解得 ∴ y =- 10 x + 800(20< x ≤48) . (3 分 ) (2) 当销售单价定为多少时,商家销售该商品每天获得的利润是 8000 元? (2) 由题意得 ( x - 20)( - 10 x + 800) = 8000 , (5 分 ) 解得 x 1 = 40 , x 2 = 60.(7 分 ) ∵20< x ≤48 , ∴ x 2 = 60 不合题意,舍去. ∴ 当销售单价定为 40 元 / 件时,商家销售该商品每天获得的利润是 8000 元. (8 分 ) (3) 直接写出商家销售该商品每天可获得的最大利润. (3) 商家每天可获得的最大利润为 8960 元. (10 分 ) 23 . (10 分 ) 如图,等边 △ ABC 与等腰 △ EDC 有公共顶点 C ,其中 ∠ EDC = 120° , AB = CE = 2 ,连接 BE , P 为 BE 的中点,连接 PD 、 AD . (1) 为了研究线段 AD 与 PD 的数量关系,将图 ① 中的 △ EDC 绕点 C 旋转一个适当的角度,使 CE 与 CA 重合,如图 ② 所 示,请直接写出 AD 与 PD 的数量 关系; 解: (1) AD = 2 PD .(2 分 ) (2) 如图 ① , (1) 中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; (2)(1) 中的结论仍然成立.证明如下: 如图 ① ,延长 ED 至 F ,使 DF = ED ,连接 BF , CF . ∵ BP = EP , ∴ DP 是 △ BEF 的中位线. ∴ BF = 2 PD ,且 BF ∥ PD .(4 分 ) ∵∠ EDC = 120° , ∴∠ FDC = 60°. 又 ∵ FD = DE = DC , ∴△ CDF 是等边三角形. ∴∠ DCF = ∠ ACB = 60° , CF = CD . ∴∠ BCF = ∠ ACD . ∵ BC = AC , ∠ BCF = ∠ ACD , CF = CD , ∴△ BCF ≌ △ ACD . ∴ BF = AD . ∴ AD = 2 PD .(6 分 ) (3) 如图 ③ ,若 ∠ ACD = 45° ,求 △ PAD 的面积. (3) 如图 ① ,延长 BF 交 AD 于点 G , 由 (2) 得 ∠ FBC = ∠ DAC , ∴∠ AGB = ∠ ACB = 60°. ∵ DP ∥ GB , ∴∠ ADP = ∠ AGB = 60°.(8 分 ) 同理可证得图 ③ 中 ∠ ADP = 60°. 如图 ③ ,过点 D 作 DH ⊥ CE . 在等腰 △ CDE 中, ∵ CE = 2 , DE = DC , ∠ CDE = 120° , ∴ CH = CE = , ∠ DCE = ∠ DEC = 30°. ∴ DH = CD . 在 Rt△ CDH 中, DH 2 + CH 2 = CD 2 , ∴( CD ) 2 + ( ) 2 = CD 2 . 解得 CD = 2 . 过点 D 作 DM ⊥ AC 于点 M ,过点 P 作 PN ⊥ AD 于点 N . ∵∠ ADP = 60° , ∴∠ NPD = 30°. ∴ ND = DP . ∴ PN = = = DP = AD . ∵∠ ACD = 45° , ∠ CMD = 90° , ∴ CM = DM . 在 Rt△ CDM 中, CM 2 + DM 2 = CD 2 ,即 DM 2 + DM 2 = (2 ) 2 ,解得 DM = 2 , ∴ CM = DM = 2. ∴ AM = 2 - 2. 在 Rt△ ADM 中, AD 2 = AM 2 + DM 2 = (2 - 2) 2 + 2 2 = 32 - 8 , (9 分 ) 在 △ PAD 中, S △ PAD = AD · PN = AD 2 = 4 - 3 .(10 分 ) 24 . (12 分 ) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = x 2 + (1 - m ) x - m 交 x 轴于 A 、 B 两点 ( 点 A 在点 B 的左边 ) ,交 y 轴负半轴于点 C . (1) 如图 a ,当 m = 3 时. ① 直接写出 A 、 B 、 C 三点的坐标; (1) 解: ① A ( - 1 , 0) , B (3 , 0) , C (0 ,- 3) . (3 分 ) ② 若抛物线上有一点 D , ∠ ACD = 45° ,求点 D 的坐标; ② 如图 a ,过点 A 作 AC 1 ⊥ AC 交 CD 于点 C 1 ,过点 C 1 作 C 1 H ⊥ x 轴于点 H ,则 ∠ C 1 AC = ∠ AHC 1 = 90°. ∴∠ C 1 AH + ∠ CAH = 90°. 又 ∵∠ CAH + ∠ ACO = 90° , ∴∠ C 1 AH = ∠ ACO . ∵∠ ACD = 45° , ∴ AC 1 = AC . ∴△ OAC ≌ △ HC 1 A . ∴ AH = OC = 3 , C 1 H = OA = 1. ∴ OH = AH - OA = 2.∴ C 1 (2 , 1) . (5 分 ) 设直线 CD 的解析式为 y = kx - 3 , ∴2 k - 3 = 1. ∴ k = 2. ∴ y = 2 x - 3. 联立 ∴ x 2 - 2 x - 3 = 2 x - 3. 解得 x 1 = 0 , x 2 = 4. 当 x = 4 时, y = 2×4 - 3 = 5. ∴ D (4 , 5) . (7 分 ) (2) 如图 b ,过点 E ( m , 2) 作一直线交抛物线于 P 、 Q 两点,连接 AP 、 AQ ,分别交 y 轴于 M 、 N 两点,求证: OM · ON 是一个定值. (2) 证明: ∵ y = x 2 + (1 - m ) x - m = ( x + 1)( x - m ) , ∴ A ( - 1 , 0) , B ( m , 0) . 如图 b ,设直线 AP 的解析式为 y = k 1 x + b 1 , ∴ - k 1 + b 1 = 0 ,即 k 1 = b 1 . 设直线 AQ 的解析式为 y = k 2 x + b 2 ,同理 k 2 = b 2 . 联立 ∴ x 2 + (1 - m ) x - m = k 1 x + k 1 . 解得 x 1 =- 1 , x 2 = m + k 1 ,即 x P = m + k 1 . 同理 x Q = m + k 2 .(9 分 ) 设直线 PQ 的解析式为 y = k 3 x + b 3 . ∵ E ( m , 2) , ∴ k 3 m + b 3 = 2 ,即 b 3 = 2 - k 3 m . 联立 ∴ x 2 + (1 - m ) x - m = k 3 x + 2 - k 3 m . ∴ x 2 + (1 - m - k 3 ) x - m - 2 + k 3 m = 0. ∴ x P + x Q = m + k 3 - 1 , x P · x Q =- m - 2 + k 3 m .(10 分 ) ∴ m + k 1 + m + k 2 = m + k 3 - 1 , ( m + k 1 ) · ( m + k 2 ) =- m - 2 + k 3 m . 化简得 k 1 + k 2 =- m + k 3 - 1 , k 1 k 2 =- 2. ∴ OM · ON = | b 1 · b 2 | = | k 1 · k 2 | = 2.(12 分 )