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- 2021-11-06 发布
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
※教学目标※
【知识与技能】
1.理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外：d>r；点P在圆上：d=r；点P在圆内：dr
归纳总结
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点与圆的三种位置关系及其数量关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆内dr.
注：①“”表示可以由左边推出右边的结论，也可由右边推出左边的结论，读作“等价于”.②要明确“d”表示的意义，是点P到圆心的距离.
2.圆的确定
探究（1）如图，作经过已知点A的圆，这样的圆你能作出多少个？
（2）如图，作经过已知点A，B的圆，这样的圆你能作出多少个？它们的圆心分布有什么特点？
结论 （1）过已知点A画圆，可作无数个圆.这些圆的圆心分布与平面的任意一点，半径是任意长的线段（仅过点A，既不能确定圆心，也不能确定半径.)
（2）过已知的两点A，B也可作无数个圆，这些圆的圆心分布在线段AB的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
思考 经过平面上不在同一条直线上的三点A，B，C能作多少个圆？如何确定这个圆的圆心？
分析：三点A，B，C不在同一条直线上，因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要在线段AB的垂直的平分线上，又要在线段BC的垂直的平分线上.
解：1.分别连接AB，BC，AC；
2.分别作出线段AB的垂直平分线l1和l2，设它们的交点为O，则OA=OB=OC；
3.以点O为圆心，OA（或OB，OC）为半径作圆，便可以作出经过A，B，C的圆.
归纳总结
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
讨论 如果A，B，C
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三点在同一条直线上，能画出经过这三点的圆吗？为什么？
解：如下图，如果同一直线l上的三点A，B，C能做一个圆，圆心为P，则点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P是直线l1与直线l2的交点，由此可得：过直线l外一点P作直线l的垂线有两条l1，l2，这与“过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，∴过同一直线上的三点不能作圆.
三、 掌握新知
例1 ⊙O的半径为10cm，根据点P到圆心的距离：判断点P与⊙O的位置关系？并说明理由.
（1）8cm，（2）10cm，（3）13cm.
解：由题意可知，r=10cm: (1)d=8cmr,点P在⊙O外.
例2 如图，在A地往北90m处的B处，有一栋民房，东120m的C处有一变电设施，在BC的中点D出有一古建筑.因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房，变电设施古建筑都不遭破坏.问：爆破影响的半径应控制在什么范围之内？
分析：根据勾股定理可以求出斜边的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD的长，再确定半径的范围.
解：AB=90m，AC=120m，∠BAC=90°,由勾股定理得，BC=150m，又D是BC的中点，∴AD=BC=75m.民房B，变电设施C，古建筑D到爆破中心的距离分别为：AB=90m，AC=120m，AD=75m.∴爆破影响的半径应控制在75m范围之内.
四、 巩固练习
1.如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最
省力地顾及到三个洞口（到A，B，C，三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在
什么位置？
2.如图在Rt△ABC中，∠C=900，BC=3㎝，AC=4㎝，以B为圆心.以BC为半径做⊙B.问：点A，C及AB，AC的中点D，E与⊙B有怎样的位置关系？
答案：1.解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．
2.解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°cmBC=3cm，AC=4cm，∴AB==5(cm)．
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∵点E是线段AB的中点，∴BE=cm＜3cm，∴点E在圆内，点B在圆上，点A在圆外.
（2）∵AB=5cm，∴AE=cm.∵AC=4cm，∴若B，C，E三点中至少有一点在圆内，则
cm＜r＜5cm.
五、归纳小结
本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？
※布置作业※
从教材习题24.2中选取．
※教学反思※
本节课通过学生操作，总结出点与圆的三种位置关系，其中，渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及内接三角形的定义.此外，还学习了用反证法证明命题的方法和步骤，这些定理都是从学生实践中得出的，培养了学生的动手能力.
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