2020九年级数学上册 第二十四章 圆 24 5页

1 24.4 第 1 课时 弧长和扇形面积 01 教学目标) 1．了解扇形的概念，复习圆的周长、圆的面积公式． 2．探索 n°的圆心角所对的弧长 l＝nπR 180 、扇形面积 S＝nπR2 360 和 S＝1 2 lR 的计算公式， 并应用这些公式解决相关问题． 02 预习反馈 阅读教材 P111～113，完成下列知识探究． 1．在半径为 R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是πR 180 ，n°的圆心角所对的弧长是nπR 180 ． 2．在半径为 R 的圆中，1°的圆心角所对的扇形面积是πR2 360 ，n°的圆心角所对的扇形 面积是nπR2 360 ． 3．半径为 R，弧长为 l 的扇形面积 S＝1 2 lR． 03 新课讲授 例 1 (教材 P111 例 1)制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料， 试计算如图所示的管道的展直长度 L(结果取整数)． 【思路点拨】 先根据弧长公式求出 100°所对的弧长，再加上两边的长度． 【解答】 由弧长公式，得AB︵的长 l＝100×900×π 180 ＝500π≈1 570(mm)． 因此所要求的展直长度 L＝2×700＋1 570＝2 970(mm)． 【跟踪训练 1】 (24.4 第 1 课时习题)如图，用一个半径为 5 cm 的定滑轮带动重物上 升，滑轮上一点 P 旋转了 108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 (C) 2 A．π cm B．2π cm C．3π cm D．5π cm 【点拨】 重物上升的高度就是 108°所对的弧长． 【跟踪训练 2】 如图，点 A，B，C 在半径为 9 的⊙O 上，AB︵的长为 2π，则∠ACB 的大 小是 20°． 【点拨】 先根据弧长公式求出AB︵所对的圆心角，再根据圆周角定理求出∠ACB 即可． 例 2 (教材 P112 例 2)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水 面高 0.3 m．求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位)． 【思路点拨】 有水的部分实际上是一个弓形，弓形的面积可以通过扇形的面积与相应 三角形面积的和或差求得． 【解答】 如图，连接 OA，OB，作弦 AB 的垂直平分线，垂足为 D，交AB︵于点 C，连接 AC. ∵OC＝0.6 m，DC＝0.3 m， ∴OD＝OC－DC＝0.3 m．∴OD＝DC. 又∵AD⊥DC， ∴AD 是线段 OC 的垂直平分线． ∴AC＝AO＝OC. 从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°. 有水部分的面积 S＝S 扇 形 OAB －S△OAB ＝120π 360 ×0.62 －1 2 AB·OD＝0.12π－1 2 ×0.6 3× 0.3≈0.22(m2)． 3 【跟踪训练 3】 (24.4 第 1 课时习题)已知：如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，且 BC＝6 cm，AC＝8 cm，∠ABD＝45°. (1)求 BD 的长； (2)求图中阴影部分的面积． 解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C＝90°，∠BDA＝90°. ∵BC＝6 cm，AC＝8 cm， ∴AB＝10 cm. ∵∠ABD＝45°， ∴△ABD 是等腰直角三角形． ∴BD＝AD＝ 2 2 AB＝5 2 cm. (2)连接 DO， ∵∠ABD＝45°，∠BDA＝90°， ∴∠BAD＝45°. ∴∠BOD＝90°. ∵AB＝10 cm， ∴OB＝OD＝5 cm. ∴S 阴影＝S 扇形 OBD－S△OBD＝90π×52 360 －1 2 ×52＝(25π 4 －25 2 )cm2. 04 巩固训练 1．已知扇形的圆心角为 120°，半径为 2，则这个扇形的面积 S 扇＝4 3 π；已知扇形面积 为4 3 π，圆心角为 120°，则这个扇形的半径 R＝2． 2．已知扇形的半径为 5 cm，面积为 20 cm2，则扇形弧长为 8cm. 3．如图，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径 OA＝2，∠COD 4 ＝120°，则图中阴影部分的面积等于2 3 π． 4．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 cm，其中水面高 0.9 cm，则截 面上有水部分的面积为 0.91__cm2．(结果保留小数点后两位) 5．如图，已知 P，Q 分别是半径为 1 的半圆圆周上的两个三等分点，AB 是直径，则阴 影部分的面积为π 6 ． 【点拨】 连接 OP，OQ，利用同底等高将△BPQ 的面积转化成△OPQ 的面积． 6．如图，圆心角都是 90°的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起，连接 AC，BD. (1)求证：AC＝BD； (2)若图中阴影部分的面积是3 4 π cm2，OA＝2 cm，求 OC 的长． 解：(1)证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠BOD. 又∵AO＝BO，CO＝DO， ∴△AOC≌△BOD(SAS)． ∴AC＝BD. (2)根据题意，得 S 阴影＝90π×22 360 －90π·OC2 360 ＝3 4 π， 解得 OC＝1. ∴OC 的长为 1 cm. 5 05 课堂小结 1．n°的圆心角所对的弧长公式 l＝nπR 180 . 2．n°的圆心角所对的扇形面积公式 S＝nπR2 360 . 3．阴影部分面积的求法．