初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第一章 数与式第一章第2讲整式及其运算 42页

第 2 讲　整式及其运算 要点梳理 1 ． 单项式： 由 或 相乘组成的代数式叫做单项式 ， 所有字母指数的和叫做 __ ， 数字因数叫做 ．单独的数、字母也是单项式． 数与字母 字母与字母 单项式的次数 单项式的系数 要点梳理 2 ． 多项式：由几个 组成的代数式叫做多项式 ， 多项式里次数最高的项的次数叫做这个 ， 其中不含字母的项叫做 ． 3 ． 整式： 统称为整式． 4 ． 同类项： 多项式中所含 相同并且 也相同的项 ， 叫做同类项． 单项式相加 多项式的次数 常数项 单项式和多项式 字母 相同字母的指数 要点梳理 5 ． 幂的运算法则 (1) 同底数幂相乘： ； (2) 幂的乘方： ； (3) 积的乘方： ； (4) 同底数幂相除： ． a m · a n ＝ a m ＋ n ( m ， n 都是整数 ， a ≠ 0 ) ( a m ) n ＝ a mn ( m ， n 都是整数 ， a ≠ 0 ) ( ab ) n ＝ a n · b n ( n 是整数 ， a ≠ 0 ， b ≠ 0 ) a m ÷ a n ＝ a m － n ( m ， n 都是整数 ， a ≠ 0 ) 要点梳理 6 ． 整式乘法 单项式与单项式相乘 ， 把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式 ， 只在一个单项式里含有的字母 ， 连同它的指数一起作为积的一个因式． 单项式乘多项式： m ( a ＋ b ) ＝ ； 多项式乘多项式： ( a ＋ b )( c ＋ d ) ＝ . ma ＋ mb ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd 要点梳理 7 ． 乘法公式 (1) 平方差公式 ： ； (2) 完全平方公式： ． ( a ＋ b )( a － b ) ＝ a 2 － b 2 ( a±b ) 2 ＝ a 2 ± 2ab ＋ b 2 要点梳理 8 ． 整式除法 单项式与单项式相除 ， 把系数、同底数幂分别相除 ， 作为商的因式 ， 对于只在被除式里含有的字母 ， 连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式 ， 将这个多项式的每一项分别除以这个单项式 ， 然后把所得的商相加． 一座 “ 桥梁 ” 用字母表示数是从算术过渡到代数的桥梁 ， 是后续学习的基础 ， 用字母表示数能够简明地表示出事物的规律及本质特征．只有借助字母 ， 才能把一些数量规律及数量更简洁、准确地表示出来．用字母表示数： (1) 注意字母的确定性； (2) 注意字母的任意性； (3) 注意字母的限制性． 二种思维方法 法则公式既可正向运用 ， 也可逆向运用．逆向运用和灵活变式运用既可简化计算 ， 又能进行较复杂的代数式的大小比较．当直接计算有较大困难时 ， 考虑逆向运用 ， 可起到化难为易的功效． 三种数学思想 (1) 观察、比较、归纳、猜想的数学思想 观察才能获取大量信息 ， 成为智慧的源泉 ， 比较才能发现信息的异同；通过归纳使共同点浮出水面 ， 总结归纳的结果获得猜想、有所发现 ， 这就是归纳的思想 ， 也是数学发现的重要方法． (2) 整体思想 在进行整式运算或求代数式值时 ， 若将注意力和着眼点放在问题的整体结构上 ， 把一些紧密联系的代数式作为一个整体来处理．借助 “ 整体思想 ” ， 可以拓宽解题思路 ， 收到事半功倍之效．整体思想最典型的是应用于乘法公式中 ， 公式中的字母 a 和 b 不仅可以表示单项式 ， 也可以表示多项式 ， 如 ( x － 2 y ＋ z )( x ＋ 2 y － z ) ＝ [ x － (2 y － z )][ x ＋ (2 y － z )] ＝ x 2 － (2 y － z ) 2 ＝ x 2 － 4 y 2 ＋ 4 yz － z 2 . (3) 数形结合思想 在列代数式时 ， 常常能遇到另外一种类型的题：给你提供一定的图形 ， 通过对图形的观察探索 ， 搜集图形透露的信息 ， 并根据相关的知识去列出相应的代数式 ， 也能用图形验证整式的乘法和乘法公式． 1 ． ( 2014 · 河南 ) 下列各式计算正确的是 ( ) A ． a ＋ 2 a ＝ 3 a 2 　　 B ． ( － a 3 ) 2 ＝ a 6 C ． a 3 · a 2 ＝ a 6 D ． ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 B 2 ． ( 2014 · 江西 ) 下列运算正确的是 ( ) A ． a 2 ＋ a 3 ＝ a 5 B ． ( － 2 a 2 ) 3 ＝－ 6 a 5 C ． (2 a ＋ 1)(2 a － 1) ＝ 2 a 2 － 1 D ． (2 a 3 － a 2 )÷ a 2 ＝ 2 a － 1 D 3 ． ( 2014 · 襄阳 ) 下列计算正确的是 ( ) A ． a 2 ＋ a 2 ＝ 2 a 4 B ． 4 x － 9 x ＋ 6 x ＝ 1 C ． ( － 2 x 2 y ) 3 ＝－ 8 x 6 y 3 D ． a 6 ÷ a 3 ＝ a 2 C 4 ． ( 2014 · 湖州 ) 计算 2x(3x 2 ＋ 1) 的结果是 ( ) A ． 5 x 3 ＋ 2 x B ． 6 x 3 ＋ 1 C ． 6 x 3 ＋ 2 x D ． 6 x 2 ＋ 2 x C 5 ． ( 2014 · 枣庄 ) 如图 ， 在边长为 2a 的正方形中央剪去一边长为 (a ＋ 2) 的小正方形 (a ＞ 2) ， 将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形 ， 则该平行四边形的面积为 ( ) A ． a 2 ＋ 4 B ． 2 a 2 ＋ 4 a C ． 3 a 2 － 4 a － 4 D ． 4 a 2 － a － 2 C 整式的加减运算 【 例 1】 　 (1)( 2014 · 邵阳 ) 下列计算正确的是 ( ) A ． 2 x － x ＝ x 　　　　　 B ． a 3 · a 2 ＝ a 6 C ． ( a － b ) 2 ＝ a 2 － b 2 D ． ( a ＋ b )( a － b ) ＝ a 2 ＋ b 2 (2) ( 2014 · 威海 ) 已知 x 2 － 2 ＝ y ， 则 x(x － 3y) ＋ y(3x － 1) － 2 的值是 ( ) A ． － 2 　　　 B ． 0 　　　 C ． 2 　　　 D ． 4 (3) 计算： 3(2 xy － y ) － 2 xy ＝ ． A B 4xy － 3y 【 点评 】 　整式的加减 ， 实质上就是合并同类项 ， 有括号的 ， 先去括号 ， 只要算式中没有同类项 ， 就是最后的结果． 1 ． (1) ( 2014· 威海 ) 下列运算正确的是 ( ) A ． 2 x 2 ÷ x 2 ＝ 2 x B ． ( － 1 2 a 2 b ) 3 ＝－ 1 6 a 6 b 3 C ． 3 x 2 ＋ 2 x 2 ＝ 5 x 2 D ． ( x － 3) 3 ＝ x 3 － 9 C ( 2 ) 化简 1 4 ( － 4 x ＋ 8 ) － 3 ( 4 － 5 x ) ， 可得下列哪一个结果 ( ) A ． － 16 x － 10 B ． － 16 x － 4 C ． 56 x － 40 D ． 14 x － 10 ( 3 ) ( 2014· 厦门 ) 先化简下式 ， 再求值： ( － x 2 ＋ 3 － 7x ) ＋ ( 5x － 7 ＋ 2x 2 ) ， 其中 x ＝ 2 ＋ 1. D 同类项的概念及合并同类项 【 例 2】 　若－ 4 x a y ＋ x 2 y b ＝－ 3 x 2 y ， 则 a ＋ b ＝ __ __ ． 【 点评 】 　 (1) 判断同类项时 ， 看字母和相应字母的指数 ， 与系数无关 ， 也与字母的相关位置无关 ， 两个只含数字的单项式也是同类项； (2) 只有同类项才可以合并． 3 2 ． ( 1 ) ( 2012· 毕节 ) 已知 1 2 x n － 2m y 4 与－ x 3 y 2n 是同类项 ， 则 ( mn ) 2010 的值为 ( ) A ． 2010 B ． － 2010 C ． 1 D ． － 1 ( 2 ) ( 2014· 济宁 ) 化简－ 5ab ＋ 4ab 的结果是 ( ) A ． － 1 B ． a C ． b D ． － ab C D 【 例 3】 　 (1)( 2014 · 济南 ) 下列运算中 ， 结果是 a 5 的是 ( ) A ． a 3 · a 2 B ． a 10 ÷ a 2 C ． ( a 2 ) 3 D ． ( － a ) 5 (2) ( 2012 · 南京 ) 计算 (a 2 ) 3 ÷(a 2 ) 2 的结果是 ( ) A ． a B ． a 2 C ． a 3 D ． a 4 A B 【 点评 】 　 (1) 幂的运算法则是进行整式乘除法的基础 ， 要熟练掌握 ， 解题时要明确运算的类型 ， 正确运用法则； (2) 在运算的过程中 ， 一定要注意指数、系数和符号的 处理． 3 ． (1) ( 2014 · 新疆 ) 下列各式计算正确的是 ( ) A ． a 2 ＋ 2 a 3 ＝ 3 a 5 B ． ( a 2 ) 3 ＝ a 5 C ． a 6 ÷ a 2 ＝ a 3 D ． a · a 2 ＝ a 3 D ( 2 ) ( 2014· 随州 ) 计算 ( － 1 2 xy 2 ) 3 ， 结果正确的是 ( ) A. 1 4 x 2 y 4 B ． － 1 8 x 3 y 6 C. 1 8 x 3 y 6 D ． － 1 8 x 3 y 5 B 整式的混合运算及求值 【 例 4 】 ( 2014· 绍兴 ) 先化简 ， 再求值： a ( a － 3b ) ＋ ( a ＋ b ) 2 － a ( a － b ) ， 其中 a ＝ 1 ， b ＝－ 1 2 . 【 点评 】 　注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏 ， 应用乘法公式进行简便计算 ， 另外去括号时 ， 要注意符号的变化 ， 最后把所得式子化简 ， 即合并同类项 ， 再代值计算． 4 ． ( 2012 · 杭州 ) 化简 2[(m － 1)m ＋ m(m ＋ 1)][(m － 1)m － m(m ＋ 1)] ， 若 m 是任意整数 ， 请观察化简后的结果 ， 你发现原式表示一个什么数？ 解： 2 [( m － 1 ) m ＋ m ( m ＋ 1 )][( m － 1 ) m － m ( m ＋ 1 )] ＝ 2 ( m 2 － m ＋ m 2 ＋ m )( m 2 － m － m 2 － m ) ＝－ 8m 3 . 原式＝ ( － 2m ) 3 ， 表示 3 个－ 2m 相乘 ， 或者说是一个立方数 ， 8 的倍数等 乘法公式 【 例 5】 　 ( 2013 · 义乌 ) 如图 ① ，从边长为 a 的正方形纸片中剪去一个边长为 b 的小正方形，再沿着线段 AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图 ② 的等腰梯形． (1) 设图 ① 中阴影部分面积为 S 1 ， 图 ② 中阴影部分面积为 S 2 ， 请直接用含 a ， b 的代数式表示 S 1 和 S 2 ； (2) 请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【 点评 】 　 (1) 在利用完全平方公式求值时 ， 通常用到以下几种变形： ① a 2 ＋ b 2 ＝ ( a ＋ b ) 2 － 2 ab ； ② a 2 ＋ b 2 ＝ ( a － b ) 2 ＋ 2 ab ； ③ ( a ＋ b ) 2 ＝ ( a － b ) 2 ＋ 4 ab ； ④ ( a － b ) 2 ＝ ( a ＋ b ) 2 － 4 ab . 注意公式的变式及整体代入的思想． (2) 算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算 ， 任何时候都要遵循先化简 ， 再求值的原则． 5 ． (1) 整式 A 与 m 2 － 2 mn ＋ n 2 的和是 ( m ＋ n ) 2 ， 则 A ＝ . 4mn (2) ( 2014 · 广州 ) 已知多项式 A ＝ (x ＋ 2) 2 ＋ (1 － x)(2 ＋ x) － 3. ① 化简多项式 A ； ② 若 (x ＋ 1) 2 ＝ 6 ， 求 A 的值． 试题　一个两位数 ， 将它的十位数字与个位数字对调 ， 证明所得的数与原来的两位数之差是 9 的倍数． 审题视角 　通过举例子的办法来理解题意，例如 28 ，将它的十位数字与个位数字对调，得 82 ，它与原来的两位数之差为 54 ，是 9 的倍数．但是，两位数很多，要一个一个去验证，显然很麻烦．为此想到利用字母去表示这个两位数的十位数字和个位数字，用式子表示这个两位数和对调数字后所得的新两位数，通过计算来证明一般的结论． 规范答题 证明：设两位数的十位数字是 a ， 个位数字是 b ， 那么这个两位数就等于 10 a ＋ b . 将十位数字与个位数字对调 ， 所得的新数的十位数字是 b ， 个位数字是 a ， 它等于 10 b ＋ a . 于是 ， 所得的新数与原来的两位数之差为： (10 b ＋ a ) － (10 a ＋ b ) ＝ 10 b ＋ a － 10 a － b ＝ 9 b － 9 a ＝ 9( b － a ) ． 因为 b － a 是一个整数 ， 所以 9( b － a ) 是 9 的倍数 ， 即所得的新数与原来的两位数之差是 9 的倍数 ． 答题思路 第一步：先考虑特殊的情形 ， 写出任意一个两位 数 ， 以此为立足点探索一般规律； 第二步：利用字母去表示两位数的十位数字和个位数字 ， 用代数式表示原两位数与新两位数； 第三步：通过计算新两位数与原两位数的差 ， 来证明一般的结论； 第四步：明确结论； 第五步：反思回顾 ， 查看关键点、易错点 ， 完善解题步骤． 试题　计算 ① x 3 · x 5 ； ② x 4 · x 4 ； ③ ( a m ＋ 1 ) 2 ； ④ ( － 2 a 2 · b ) 2 ； ⑤ ( m － n ) 6 ÷( n － m ) 3 . 错解　 ① x 3 · x 5 ＝ x 3 × 5 ＝ x 15 ； ② x 4 · x 4 ＝ 2 x 4 ； ③ ( a m ＋ 1 ) 2 ＝ a 2 m ＋ 1 ； ④ ( － 2 a 2 · b ) 2 ＝－ 2 2 a 4 b 2 ； ⑤ ( m － n ) 6 ÷( n － m ) 3 ＝ ( m － n ) 6 － 3 ＝ ( m － n ) 3 . 剖析 　幂的四种运算 ( 同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除 ) 是学习整式乘除的基础 ， 对幂运算的性质理解不深刻 ， 记忆不牢固 ， 往往会出现这样或那样的错误．针对具体问题要分清问题所对应的基本形式 ， 以便合理运用法则 ， 对符号的处理 ， 应特别引起重视． 正解　 ① x 3 · x 5 ＝ x 3 ＋ 5 ＝ x 8 ； ② x 4 · x 4 ＝ x 4 ＋ 4 ＝ x 8 ； ③ ( a m ＋ 1 ) 2 ＝ a ( m ＋ 1) × 2 ＝ a 2 m ＋ 2 ； ④ ( － 2 a 2 · b ) 2 ＝ ( － 2) 2 a 4 b 2 ＝ 4 a 4 b 2 ； ⑤ ( m － n ) 6 ÷( n － m ) 3 ＝ ( n － m ) 6 ÷( n － m ) 3 ＝ ( n － m ) 3 .