人教版九年级数学上册教案：25_3 利用频率估计概率 5页

1 25．3 利用频率估计概率 疑难分析： 1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的 方法来估计概率． 2．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件 A 出现的频率， 稳定地在某个数值 P 附近摆动．这个稳定值 P，叫做随机事件 A 的概率，并记为 P(A)=P． 3．利用频率估计出的概率是近似值. 例题选讲 例 1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数 n 8 10 12 9 16 10 进球次数 m 6 8 9 7 12 7 进球频率 m n (1)计算表中各次比赛进球的频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？ 解答：（1）0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7； （2）0.75． 评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率 只是近似值． 例 2 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物 10 元以上能获得 一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活 动进行中的一组统计数据： (1) 计算并完成表格： 转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 m n (2) 请估计，当 n 很大时，频率将会接近多少？ (3) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？ (4) 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？ (精确到 1°) 解答：（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701； （2）0.69； （3）0.69； （4）0.69×360°≈248°． 评注：（ 1）试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小； （2）频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们 可以利用它们所提供的信息估计概率． 基础训练 2 一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内） 1．盒子中有白色乒乓球 8 个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学 进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复 360 次，摸出白色乒乓球 90 次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( ) A．90 个 B．24 个 C．70 个 D．32 个 2．从生产的一批螺钉中抽取 1000 个进行质量检查，结果发现有 5 个是次品，那么从中任取 1 个是次品概率约为（ ）． A． 1 1000 B． 1 200 C． 1 2 D． 1 5 3．下列说法正确的是( )． A．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大； B．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行； C．彩票中奖的机会是 1％，买 100 张一定会中奖； D．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占 100％， 于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为 100％的结论． 4．小亮把全班 50 名同学的期中数学测试成绩，绘成如 图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长 方形高的比是 1∶3∶5∶1．从中同时抽一份最低分数 段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（ ）． A． 1 10 、 B． 、 C． 、 D． 、 5．某人把 50 粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出 100 黄豆，数出其中有 10 粒黄 豆被染色，则这袋黄豆原来有（ ）． A．10 粒 B．160 粒 C．450 粒 D．500 粒 6．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的 同学的概率是 5 3 ，这个 的含义是（ ）． A．只发出 5 份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷； B．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为 3∶8； C．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的 ； D．在答卷中，每抽出 100 份问卷，恰有 60 份答卷是不喜欢足球． 7．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为 5 1 ，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）． A．口袋中装入 10 个小球，其中只有两个红球； B．装入 1 个红球，1 个白球，1 个黄球，1 个蓝球，1 个黑球； C．装入红球 5 个，白球 13 个，黑球 2 个； D．装入红球 7 个，白球 13 个，黑球 2 个，黄球 13 个． 8．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来（单位：元）： 2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5， 2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0. 分数(分)99.589.579.569.559.5 人数 3 假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是（ ）． A． 2 元 B．5 元 C．6 元 D．0 元 二、填一填 9． 同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2 个正面”、“1 个正面”和“没 有正面”这 3 种可能的结果，小红与小明两人共做了 6 组实验，每组实验都为同时抛掷两枚 硬币 10 次，下表为实验记录的统计表： 结果 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 两个正面 3 3 5 1 4 2 一个正面 6 5 5 5 5 7 没有正面 1 2 0 4 1 1 由上表结果，计算得出现“2 个正面”、“1 个正面”和“没有正面”这 3 种结果的频 率分别是___________________．当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性 的大小作出预测：______________． 10．红星养猪场 400 头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下，其中数据不在分点上 组别 频数 频率 46 ~ 50 40 51 ~ 55 80 56 ~ 60 160 61 ~ 65 80 66 ~ 70 30 71~ 75 10 从中任选一头猪，质量在 65kg 以上的概率是_____________． 11．为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有 1 万名学生参加了这 次竞赛（满分 100 分，得分全为整数）。为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取了部分学 生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表： 组别 分 组 频 数 频率 1 49.5～59.5 60 0.12 2 59.5～69.5 120 0.24 3 69.5～79.5 180 0.36 4 79.5～89.5 130 c 5 89.5～99.5 b 0.02 合 计 a 1.00 表中 a=________,b=________, c＝_______；若成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生获 一等奖，估计全市获一等奖的人数为___________． 三、做一做 12．小颖有 20 张大小相同的卡片，上面写有 1~20 这 20 个数字，她把卡片放在一个盒子中 搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下： 实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 3 的倍数的频数 5 13 17 26 32 36 39 49 55 61 3 的倍数的频率 （1）完成上表； （2）频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？ （3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是 3 的倍数的概率估计是多少？ 4 （4）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是 3 的倍数的概率应该是多少？ 13．甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：① 比赛分 6 局进行，每局在指定区 域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；② 若一次未进可再投第二次，以此类推， 但每局最多只能投 8 次，若 8 次投球都未进，该局也结束；③ 计分规则如下：a. 得分为正 数或 0；b. 若 8 次都未投进，该局得分为 0；c. 投球次数越多，得分越低；d.6 局比赛的 总得分高者获胜 . (1) 设某局比赛第 n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或 语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把 n 换算为得分 M 的计分方案； (2) 若两人 6 局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×” 表示该局比赛 8 次投球都未进)： 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局 甲 5 × 4 8 1 3 乙 8 2 4 2 6 × 根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜. 四、试一试 16．理论上讲，两个随机正整数互质的概率为 P= 2 6  ．请你和你班上的同学合作，每人随 机写出若干对正整数（或自己利用计算器产生），共得到 n 对正整数，找出其中互质的对数 m，计算两个随机正整数互质的概率，利用上面的等式估算 的近似值． 5 解答 一、 1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．B 二、 9． 3 11 3,,10 20 20 ； 111,,424 10. 0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025；0.1 11．50,10,0.26；200 三、 12．（ 1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31； （2）0.31； （3）0.31； （4）0.3 13．解：(1)计分方案如下表： n(次) 1 2 3 4 5 6 7 8 M(分) 8 7 6 5 4 3 2 1 (用公式或语言表述正确，同样给分.) (2) 根据以上方案计算得 6 局比赛，甲共得 24 分，乙共得分 23 分，所以甲在这次比赛中获 胜． 四、 14. 略