人教版九年级数学上册教案：24_2 直线和圆的位置关系（1） 7页

1 3.5.1 直线和圆的位置关系 教学目标 (一)教学知识点 1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系． 2．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系． (二)能力训练要求 1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力． 2．通过观察得出“圆心到直线的距离 d 和半径 r 的数量关系”与“直线和圆的位置关 系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化． (三)情感与价值观要求 通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的 严谨性以及数学结论的确定性． 在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 经历探索直线与圆位置关系的过程． 理解直线与圆的三种位置关系． 了解切线的概念以及切线的性质． 教学难点 经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系． 探索圆的切线的性质． 教学方法 教师指导学生探索法． 教具准备 投影片三张 第一张：(记作§3．5．1A) 第二张：(记作§3．5．1B) 第三张：(记作§3．5．1C) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？ 2 [生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．即圆上的点到圆心的距 离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径．因此点和 圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外．也可以把点与圆心的距离和半径 作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内． [师]本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系． Ⅱ．新课讲解 1．复习点到直线的距离的定义 [生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条 直线的距离． 如下图，C 为直线 AB 外一点，从 C 向 AB 引垂线，D 为垂足，则线段 CD 即为点 C 到直 线 AB 的距离． 2．探索直线与圆的三种位置关系 [师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的 例子是很多的．如大家请看课本 113 页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎 样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？ [生]把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看 成一条直线，则直线和圆有三种位置关系． [师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？ [生]有三种位置关系： [师]直线和圆有三种位置关系，如下图： 它们分别是相交、相切、相离． 3 当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent line)． 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交． 当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？ [生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切； 当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交； 当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离． [师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离 d 和半径 r 作比较，类似地推导出 如何用点到直线的距离 d 和半径 r 之间的关系来确定三种位置关系呢？ [生]如上图中，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，圆的半径为 r，当直线与圆相交时，d＜r； 当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用 d 与 r 间的大小关系断定 直线与圆的位置关系． [师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的 个数来断定；一种是用 d 与 r 的大小关系来断定． 投影片(§3．5．1A) (1)从公共点的个数来判断： 直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切； 直线与圆没有公共点时，直线与圆相离． (2)从点到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系来判断： d＜r 时，直线与圆相交； d＝r 时，直线与圆相切； d＞r 时，直线与圆相离． 投影片(§3．5．1B) [例 1]已知 Rt△ABC 的斜边 AB＝8cm，AC＝4cm． (1)以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与⊙C 相切？ (2)以点 C 为圆心，分别以 2cm 和 4cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与 AB 分别有怎 样的位置关系？ 分析：根据 d 与 r 间的数量关系可知： 4 d＝r 时，相切；d＜r 时，相交；d＞r 时，相离． 解：(1)如上图，过点 C 作 AB 的垂线段 CD． ∵AC＝4cm，AB＝8cm； ∴cosA＝ 1 2 AC AB  ， ∴∠A＝60°． ∴CD＝ACsinA＝4sin60°＝2 3 (cm)． 因此，当半径长为 2 cm 时，AB 与⊙C 相切． (2)由(1)可知，圆心 C 到 AB 的距离 d＝2 cm，所以，当 r＝2cm 时，d＞r，⊙C 与 AB 相离； 当 r＝4cm 时，d＜r，⊙C 与 AB 相交． 3．议一议(投影片§3．5．1C) (1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？ (2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？ (3)如图(2)，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 有怎样的位置关系？说一 说你的理由． 对于(3)，小颖和小亮都认为直径 AB 垂直于 CD．你同意他们的观点吗？ [师]请大家发表自己的想法． [生](1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交； 自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切； 5 杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离． (2)图(1)中的三个图形是轴对称图形．因为沿着 d 所在的直线折叠，直线两旁的部分 都能完全重合．对称轴是 d 所在的直线，即过圆心 O 且与直线 l 垂直的直线． (3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 垂直，因为图(2)是轴对称图形，AB 是对称轴，所以沿 AB 对折图形时，AC 与 AD 重合，因此∠BAC＝∠BAD＝90°． [师]因为直线 CD 与⊙O 相切于点 A，直径 AB 与直线 CD 垂直，直线 CD 是⊙O 的切线， 因此有圆的切线垂直于过切点的直径． 这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论． 在图(2)中，AB 与 CD 要么垂直，要么不垂直．假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作一条直 径垂直于 CD、垂足为 M，则 OM＜OA，即圆心 O 到直线 CD 的距离小于⊙O 的半径，因此 CD 与⊙O 相交，这与已知条件“直线 CD 与⊙O 相切”相矛盾，所以 AB 与 CD 垂直． 这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不 成立推出和已知条件或定理相矛盾．第三步是肯定假设错误，故结论成立． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 1．直线与圆的三种位置关系． (1)从公共点数来判断． (2)从 d 与 r 间的数量关系来判断． 2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 3．例题讲解． Ⅴ．课后作业 习题 3．7 Ⅵ．活动与探究 如下图，A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 300 千米的 B 处，并以每小时 10 7 千米的速度向北偏东 60°的 BF 方向移动，距台风中心 200 千米的范围是受台风影响的区域． 6 (1)A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？ (2)若 A 城受到这次台风的影响，试计算 A 城遭受这次台风影响的时间有多长？ 分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为 200 千米的圆，A 城能 否受到影响，即比较 A 到直线 BF 的距离 d 与半径 200 千米的大小．若 d＞200，则无影响， 若 d≤200，则有影响． 解：(1)过 A 作 AC⊥BF 于 C． 在 Rt△ABC 中，∵∠CBA＝30°，BA＝300， ∴AC＝ABsin30°＝300× 1 2 ＝150(千米)． ∵AC＜200，∴A 城受到这次台风的影响． (2)设 BF 上 D、E 两点到 A 的距离为 200 千米，则台风中心在线段 DE 上时，对 A 城均 有影响，而在 DE 以外时，对 A 城没有影响． ∵AC＝150，AD＝AE＝200， ∴DC＝ 22200 150 50 7 ． ∴DE＝2DC＝100 7 ． ∴t＝ 100 7 10 7 s v  ＝10(小时)． 答：A 城受影响的时间为 10 小时． 板书设计 §3．5．1 直线和圆的位置关系(一) 一、1．复习点到直线的距离的定义 2．探索直线与圆的三种位置关系 (1)从公共点个数来判断 (2)从点到直线的距离 d 与半径 r 间的数量关系来判断． 3．议一议 7 二、课堂练习 随堂练习 三、课时小结 四、课后作业