人教版九年级数学上册 第21章 一元二次方程 单元检测试题（有答案） 16页

第21章一元二次方程单元检测试题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.若关于x的一元二次方程(k+2)x2+3x+k2-k-6=0必有一根为0，则k的值是(    )A.3或-2B.-3或2C.3D.-22.关于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(   )A.m>1B.m<1C.m>-1D.m<-13.一元二次方程x2-2x-3=0的两个根分别为( )A.x1=1，x2=3B.x1=1，x2=-3C.x1=-1，x2=3D.x1=-1，x2=-34.某超市十月份销售额比九月份下降20%，十一月份起加强管理，销售额呈现良好上升势头，十二月份比九月份增长15%，设十一、十二月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是(   )A.(1-20%)(1+x)2=1+15%B.(1+15%)(1+x)2=1-20%C.2(1-20%)(1+x)=1+15%D.2(1+15)(1+x)=1-20%5.方程(x+1)2=9的解是(  )A.x=2B.x=-4C.x1=2,x2=-4D.x1=-2,x2=46.一元二次方程x2-6x-5=0配方可变形为(    )A.(x-3)2=14B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=47.已知a、b为实数，且满足(a2+b2)2-9=0，则a2+b2的值为(    )A.±3B.3C.±9D.9第16页，共16页 1.在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有(    )人．A.9B.10C.12D.152.已知一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，则a的取值范围是(    )A.a≤13B.a<13C.a≤-13D.a≥133.若一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是(    )A.a≤1B.a≤4C.a<1D.a≥1二、填空题（本大题共8小题，共24分）4.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=-1，则m的值是___5.已知方程2x2-2x-3=0的两根为x1和x2，则x1+x2=______．6.关于x的方程2x2+kx-1=0的一个根是-1，另一个根为______．7.将长为5，宽为4的矩形，沿四个边剪去宽为x的4个小正方形，剩余部分的面积为12，则剪去小正方形的边长x为_________．8.方程2x2-1=3x的二次项系数是_____，一次项系数是____，常数项是___．9.已知关于x的一元二次方程x2-2ax+3a=0的一个根是2，则a=          ．10.某商品原价169元，经连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为____．11.在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共66分）第16页，共16页 1.用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2-5x=6;     (2)2x(x-3)=3x-9．2.求证：不论m为任何实数，关于x的方程x2-2mx+6m-10=0总有两个不相等的实数根．3.如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，(互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？4.某花圃用花盆培育花苗，每植入3株花苗时，平均每株盈利3元，每增加1株花苗，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利到达10元，每盆应植入多少株花苗？第16页，共16页 1.如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长．2.如图，要利用一面墙(墙长为15米)建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为xm，总面积为ym2．(1)求y与x的函数关系式．(2)如果要围成总面积为63m2的羊圈，AB的长是多少？第16页，共16页 1.2020年武汉市爆发新冠肺炎疫情，新冠肺炎是一种传染性病毒，在病毒传播中，若1个人患病，则经过两轮传染就共有144人患病．(1)毎轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)若病毒得不到有效控制，按照这样的传染速度，三轮传染后，患病的人数共有多少人？答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.把x=0代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x=0代入方程得：k2-k-6=0，(k-3)(k+2)=0，解得：k=3或k=-2，当k=-2时，方程为3x=0，不是一元二次方程，舍去，则k的值是3，故选C．2.【答案】B【解析】[分析]根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．第16页，共16页 [详解]解：因为关于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0有两个不相等的实数根．所以△=4(m-2)2-4m2>0解之得m<1．故选B．[点睛]本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键，将方程左边分解因式，使方程转化为两个一元一次方程，再解方程即可求解．【解答】解：x2-2x-3=0，(x+1)(x-3)=0，x1=-1，x2=3．故选C．4.【答案】A【解析】【分析】第16页，共16页 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是掌握增长率问题的关系式：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.解题时，把九月份的销售额看作单位“1”，设十一，十二月份的月平均增长率为x，则十月份的销售额为(1-20%)，十二月份的销售额为(1+15%)，即可列出方程．【解答】解：设十一，十二月份的月平均增长率为x，根据题意可列方程为：(1-20％)(1+x)2=1+15％，故选A．5.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解. 两边直接开平方得：x+1=±3，再解一元一次方程即可．【解答】解：(x+1)2=9，两边直接开平方得：x+1=±3，则x+1=3，x+1=-3，解得：x1=2,x2=-4故选C．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)：先把二次系数变为1第16页，共16页 ，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半的平方.先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上9，这样方程左边就为完全平方式．【解答】解：原方程变形为：x2-6x=5，方程两边都加上9，得x2-6x+9=14，∴(x-3)2=14．故选A．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．设t=a2+b2(t≥0).由原方程得到t2-9=0求得t的值即可．【解答】解：设t=a2+b2(t≥0).由原方程得到t2-9=0．所以t2=9．所以t=3或t=-3(舍去)即a2+b2的值为3．故选B．8.【答案】B【解析】解：设参加此次活动的人数有x人，由题意得：x(x-1)=90，解得：x1=10，x2=-9(不合题意，舍去)．即参加此次活动的人数是10人．故选：B．每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×(人数-1)=90，把相关数值代入计算即可．第16页，共16页 本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】解：∵一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，∴△≥0，即22-4×3×a≥0，解得a≤13．故选：A．根据△的意义得到△≥0，即22-4×3×a≥0，解不等式即可得a的取值范围．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．10.【答案】A【解析】【分析】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a，b，c为常数)根的判别式．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．首先得出根的判别式△=b2-4ac=4-4a≥0，进一步求得不等式的解集得出答案即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，∴△≥0，即△=4-4a≥0，∴a≤1．故选：A．11.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查的是韦达定理的有关知识，由题意得Δ=2m+32-4m2>0，求出m第16页，共16页 的范围，然后根据题意得到α+β=-2m-3,αβ=m2，然后将给出的等式左边进行通分变形，然后代入求解即可．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=2m+32-4m2>0，解得：m>-34．由题意得α+β=-2m-3,αβ=m2，∵1α+1β=-1，∴α+βαβ=-1，∴-2m-3m2=-1，解得：m=3或m=-1(舍去)．故答案为3．12.【答案】1【解析】解：a=2，b=-2，c=-3．∵方程2x2-2x-3=0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2=-ba=--22=1．故答案为：1．根据一元二次方程根与系数的关系x2+x2=-ba进行解答即可．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解答该题需要熟记公式：x1+x2=-ba．13.【答案】12【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系内容是解此题的关键．设方程的另一个根为a，由根与系数的关系得出a×(-1)=-12，求出即可．第16页，共16页 【解答】解：设方程的另一个根为a，则由根与系数的关系得：a×(-1)=-12，解得：a=12，即方程的另一个根为12．故答案为12．14.【答案】2【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系准确的列出式子是解题的关键，注意：剩余部分面积用原矩形面积减去4个小正方形面积，用长方形的面积减去四个小正方形的面积即为剩余部分面积，根据已知可列出方程求解．【解答】解：如图，矩形ABCD的长为5，宽为4，沿四个边剪去宽为x的4个小正方形后，剩余部分如图，依题意得5×4-4x2=12，解之得x=2，x=-2(不合题意，舍去)．所以剪去小正方形的宽x为2故答案为2．15.【答案】2， -3 ，-1 ；【解析】解：由已知方程得到：2x2-3x-1=0，所以方程2x2-1=3x的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，-3、-1．故答案为：2；-3；-1．第16页，共16页 先将已知方程转化为一般形式，然后求方程3x2=x+2的二次项系数，一次项系数，常数项．本题考查了一元二次方程的一般形式.要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．16.【答案】4【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可解决问题．根据关于x的一元二次方程x2-2ax+3a=0有一个根为2，将x=2代入方程即可求得a的值．【解答】解：把x=2代入x2-2ax+3a=0，得22-2a×2+3a=0，解这个方程得a=4．17.【答案】169(1-x)2=121【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握增长率模型是解题的关键，即a(1±x)2=b.利用增长率模型即可求得答案．【解答】解：∵原价169元，经连续两次降价后售价为121元，∴设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为169(1-x)2=121，故答案为169(1-x)2=121．18.【答案】x2+40x-75=0【解析】解：设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为(50+2x)和(30+2x)，根据题意可得出方程为：(50+2x)(30+2x)=1800，∴x2+40x-75=0．第16页，共16页 如果设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为(50+2x)和(30+2x)，根据总面积即可列出方程．一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．19.【答案】解：(1)x2-5x=6，x2-5x-6=0，(x-6)(x+1)=0，∴x-6=0或x+1=0，∴x1=6，x2=-1；(2)2x(x-3)=3x-9，2x(x-3)=3(x-3)，2x(x-3)-3(x-3)=0，(2x-3)(x-3)=0，∴2x-3=0或x-3=0，∴x1=32，x2=3．【解析】本题考查了一元二次方程的解法，难度不大．(1)用因式分解法求解即可；(2)用因式分解法，进行求解即可．20.【答案】证明：△=(-2m)2-4×1×(6m-10)=4m2-24m+40=4(m-3)2+4．∵(m-3)2≥0，∴4(m-3)2+4>0，即△>0，∴不论m为任何实数，关于x的方程x2-2mx+6m-10=0总有两个不相等的实数根．【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4(m-3)2+4>0，由此可证出不论m为任何实数，关于x的方程x2-2mx+6m-10=0总有两个不相等的实数根．本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．21.【答案】解：设道路为x米宽，由题意得，20×32-20x×2-32x+2x2=570，整理得，x2-36x+35=0，解得：x=1，x=35，第16页，共16页 经检验是原方程的解，但是x=35>20，因此不合题意舍去．答：道路为1m宽．【解析】本题考查了一元二次方程的应用，其中找出相等关系“试验地的面积=矩形耕地的面积-三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积”是解决问题的关键．设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．此题还有第二种解法：设道路的宽为x m， 由题意，得(32-2x)(20-x)=570， 整理得2x2-72x+70=0， 即x2-36x+35=0，解得x1=1，x2=35. ∵x=35>20，舍去，∴x=1. ∴道路宽为1m．22.【答案】解：设每盆植入的花苗在原来基础上增加x株，即每盆植入花苗为(x+3)株，此时，平均每株盈利为(3-0.5x)元．由题意得：(x+3)(3-0.5x)=10化简，整理得：x2-3x+2=0解这个方程，得：x1=1，x2=2∴x+3=4或5．答：要使每盆培育花苗的盈利达到10元，每盆应该植入花苗4株或5株．【解析】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(3-0.5x)元，由题意得(x+3)(3-0.5x)=10求出即可．第16页，共16页 23.【答案】解：设剪去的正方形边长为xcm，依题意得(8-2x)⋅(5-2x)=18，解得：x=1或x=112>5(舍去)．答：减去的正方形的边长为1cm．【解析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(8-2x)，宽为(5-2x)，然后根据底面积是18cm2即可列出方程．本题考查了一元二次方程的应用，明白纸盒的结构是解题的关键．24.【答案】解：(1)由题意，每个羊圈与墙垂直的边长为xm，则每个羊圈另一边长为12×30-3xm，∴羊圈总面积为：y=2×1230-3xx=-3x2+30x(m2)，∵30-3x≤15，∴x≥5，即y与x的函数关系式为y=-3x2+30x(x≥5)；(2)由(1)值，y=-3x2+30x(x≥5)，如果要围成总面积为63m2的羊圈，即-3x2+30x=63，解得；x=3舍去或x=7，即AB的长为7m．【解析】本题考查二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数及一元二次方程的定义及性质是解题的关键．(1)由题意可得每个羊圈与墙垂直的边长为xm，另一边长为12×30-3xm，于是可得y与x的函数关系式为y=-3x2+30x(x≥5)；(2)由题意得-3x2+30x=63，解之即可求解．25.【答案】解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人，由题意，得1+x+x(x+1)=144，解得x=11或x=-13(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了11个人；(2)144+144×11=1728(人)．第16页，共16页 答：三轮传染后，患病的人数共有1728人．【解析】(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患病，可求出x；(2)根据(1)中求出的x，进而求出第三轮过后，又被感染的人数．本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．第16页，共16页