【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试-27尺规作图（基础）（教师版） 16页

- 1 - 专题 27 尺规作图及证明（专题测试-基础） 一、作图题（共 14 题；共 133 分） 1.如图，AD 是△ABC 的角平分线 （1）作线段 AD 的垂直平分线 EF，分别交 AB、AC 于点 E、F； （用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法.） （2）连接 DE、DF，四边形 AEDF 是________形.（直接写出答案） 2.如图， 中， ， ， ． （1）用直尺和圆规作 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交 于点 ，求 的长． 3.如图，已知等腰△ABC 顶角∠A＝36°. （1）在 AC 上作一点 D，使 AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色 墨水笔加墨）； （2）求证：△BCD 是等腰三角形. 4.如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上. - 2 - （1）尺规作图：作∠BAC 的平分线，与⊙O 交于点 D；连接 OD，交 BC 于点 E（不写作法，只保留作图痕 迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）； （2）探究 OE 与 AC 的位置及数量关系，并证明你的结论. 5.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，D,E,F 分别是 AC,AB,BC 的中点，连接 ED,EF. （1）求证：四边形 DEFC 是矩形； （2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）. 6.如图，在 中， ， ， ，D、E 分别是斜边 AB、直角边 BC 上的点， 把 沿着直线 DE 折叠． （1）如图 1，当折叠后点 B 和点 A 重合时，用直尺和圆规作出直线 DE； 不写作法和证明，保留作图痕 迹 （2）如图 2，当折叠后点 B 落在 AC 边上点 P 处，且四边形 PEBD 是菱形时，求折痕 DE 的长． 7.如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，∠CBD=75°， （1）请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD 于 F；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接 BF，求∠DBF 的度数． - 3 - 8.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°． （1）作∠ACB 的平分线交 AB 边于点 O，再以点 O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保 留作图痕迹） （2）判断（1）中 AC 与⊙O 的位置关系，直接写出结果． 9.如图，在 中， . （1）作 的平分线交 边于点 ，再以点 为圆心， 的长为半径作 ；（要求：不写 作法，保留作图痕迹） （2）判断（1）中 与 的位置关系，直接写出结果. 10.如图，在 中． ①利用尺规作图，在 BC 边上求作一点 P，使得点 P 到 AB 的距离 的长 等于 PC 的长； ②利用尺规作图，作出（1）中的线段 PD． 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑 11.如图，在△ABC 中 （1）作图，作 BC 边的垂直平分线分别交于 AC，BC 于点 D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写 作法） （2）在（1）条件下，连接 BD，若 BD＝9，BC＝12，求∠C 的余弦值． 12.如图，点 D 在△ABC 的 AB 边上，且∠ACD=∠A。 - 4 - （1）作∠BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)； （2）在(1)的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系，并说明理由。 13.在△ABC 中，∠C＝90° （1）尺规作图：作 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D，交 AB 于点 E；（不写作法图，保留作图痕迹） （2）若 AC＝2，∠B＝15°，求 BD 的长． 14.如图，在△ABC 中，AB＞AC，AD 平分∠BAC （1）尺规作图：在 AD 上标出一点 P，使得点 P 到点 B 和点 C 的距离相等（不写作法，但必须保留作图痕 迹）； （2）过点 P 作 PE⊥AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，求证：BE=CF； （3）若 AB=a，AC=b，则 BE=________，AE=________． 二、综合题（共 3 题；共 30 分） 15.如图， 是菱形 的对角线， ， （1）请用尺规作图法，作 的垂直平分线 ，垂足为 ，交 于 ；（不要求写作法，保留作 图痕迹） （2）在（1）条件下，连接 ，求 的度数． 16.如图，在 中，点 是边 上的一点. - 5 - （1）请用尺规作图法，在 内，求作 ，使 ， 交 于 ；（不要求 写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 ，求 的值. 17.如图，在 中， ． （1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹． ①作 的平分线，交斜边 AB 于点 D；②过点 D 作 BC 的垂线，垂足为点 E． （2）在（1）作出的图形中，求 DE 的长． - 6 - 答案解析部分 一、作图题 1.【答案】 （1）解：如图,直线 EF 即为所求作的垂直平分线 （2）菱形 【考点】线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，作图—尺规作图的定义 【解析】【解答】（2）∵EF 为 AD 的垂直平分线，则 EA=ED，∠EAD=∠FAD，FA=FD，又∵AD 是∠BAC 的 平分线，得∠DAF=∠EAD，∴∠FAD=∠EDA，则 AF∥ED， 同理 AE∥FD，∴四边形 AEDF 为平行四边形， 又∵EF⊥AD，故四边形 AEDF 为菱形. 【分析】先利用垂直平分线的性质定理，和角平分线推导两组对边分别平行，得四边形 EDBF 为平行四边 形，由对角线互相垂直，进而推导四边形 EDFA 为菱形。 2.【答案】 （1）解：如图直线 即为所求． - 7 - （2）解：∵ 垂直平分线段 ，∴ ， 设 ，在 中， ∵ ，∴ ， 解得 ，∴ 【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图 【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出 AB 的垂直平分线 MN。 （2）利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得 DA=DB；设 DA=DB=x，在 Rt△ACD 中， 利用勾股定理建立关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，可得到 BD 的长。 3.【答案】 （1）解：如图，点 D 为所作； （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣36°）＝72°， ∵DA＝DB， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴△BCD 是等腰三角形. 【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，作图—基本作图 【解析】【分析】（1）分别以点 A,B 为圆心，大于 AB 长度的一半为半径画弧，两弧分别在 AB 的两侧相 交，过这两交点作直线，该直线交 AC 于点 D，点 D 就是所求的点； （2）根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠ABC＝∠C＝72°， ∠ABD＝∠A＝36°， 根据三角形的外 角定理由∠BDC＝∠A+∠ABD 得出∠BDC 的度数，根据等量代换得出 ∠BDC＝∠C， 故 △BCD 是等腰三角 形。 4.【答案】 （1）解；如图所示； - 8 - （2）解；OE∥AC，OE= AC. 理由如下： ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD= ∠BAC， ∵∠BAD= ∠BOD， ∴∠BOD=∠BAC， ∴OE∥AC， ∵OA=OB， ∴OE 为△ABC 的中位线， ∴OE∥AC，OE= AC 【考点】三角形中位线定理，作图—基本作图 【解析】【分析】（1）以点 A 为圆心，任意长度为半径画弧，交∠CAB 的两边各一点，再分别以这两点 为圆心，大于这两点间距离的一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC 内部相交于一点，过这一点及点 A 画 线交圆于点 D，AD 就是 ∠BAC 的平分线 ； （2） OE∥AC，OE= AC ，理由如下：根据角平分线的定义得出 ∠BAD= ∠BAC， 根据同弧所对的 圆心角等于圆周角的一半得出 ∠BAD= ∠BOD， 故 ∠BOD=∠BAC， 根据同位角相等，二直线平行得 出 OE∥AC， 根据过一边中点且平行于另一边的直线一定平分第三边得出 OE 为△ABC 的中位线， 从而 得出结论 OE∥AC，OE= AC 。 5.【答案】 （1）证明：∵点 D，E，F 分别是 AC,，AB，BC 的中点 ， ∴DE、EF 是△ABC 的中位线 ∴DE∥CF，EF∥DC ∴四边形 DEFC 是平行四边形 ∵∠C=90° ∴四边形 DEFC 是矩形 （2）解：如图所示 【考点】三角形中位线定理，矩形的判定，作图—基本作图 - 9 - 【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的定义及定理，易证 DE∥CF，EF∥DC，利用平行四边形的判定 定理，可证得四边形 DEFC 是平行四边形，然后由∠C=90°，利用矩形的判定定理可证得结论。 （2）连接 EC、DF 交于一点，然后过这一点和 B 作射线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 可知 BE=CE，再由∠A=30°，可得∠ABC=60°，易证△BCE 是等边三角形，利用等边三角形三线合一的性质， 因此过点 B 和矩形 CFED 对角线的交点作射线即可。 6.【答案】 （1）解：依题可得：作直线 AB 的垂直平分线 DE，如图 1 所示： （2）解：连结 BP， ∵四边形 PEBD 是菱形， ∴PE=BE,PE∥BD， 设 CE=x， ∵BC=4， 则 BE=PE=4-x， 又∵PE∥AB， ∴△PCE∽△ACB， ∴ ， ∵BC=4，AC=3, ∴AB=5， 即 ， ∴x= , 即 CE= , ∴BE=PE= ， 在 Rt△PCE 中， - 10 - ∴PC= = , 在 Rt△PCB 中， ∴PB= = , 又∵S 菱形 PEBD=BE·PC= ·PB·DE， ∴ ， ∴DE= . 【考点】菱形的性质，作图—基本作图，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据题意作直线 AB 的垂直平分线 DE，由垂直平分线的做法作图即可. （2）连结 BP，设 CE=x，根据菱形性质和相似三角形的判定可得△PCE∽△ACB，由相似三角形的性质得 ，代入数值可得 CE= ；在 Rt△PCE 和 Rt△PCB 中，根据勾股定理得 PC、PB 长，由菱形的等 面积即可得 DE 值. 7.【答案】 （1）解：如图所示，直线 EF 即为所求； （2）解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C． ∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠C=∠A=30°， ∵EF 垂直平分线线段 AB， ∴AF=FB， ∴∠A=∠FBA=30°， ∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45° 【考点】线段垂直平分线的性质，菱形的性质，作图—复杂作图 【解析】【分析】（1）分别以 A,B 两点为圆心，大于 AB 长度一半的长度为半径画弧，两弧在 AB 的两侧 分别相交，过这两个交点作直线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，，直线 EF 即为所求； - 11 - （2）根据菱形的性质得出∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．故∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°， ∠C=∠A=30°，根据垂直平分线的性质得出 AF=FB，根据等边对等角及角的和差即可得出答案。 8.【答案】 （1）解：如图所示： （2）解：相切；过 O 点作 OD⊥AC 于 D 点， ∵CO 平分∠ACB， ∴OB=OD，即 d=r， ∴⊙O 与直线 AC 相切 【考点】直线与圆的位置关系，切线的判定与性质，作图—基本作图 【解析】【分析】（1）利用基本作图中作角平分线的方法做出角平分线， 再以点 O 为圆心，OB 的长为 半径作⊙O 即可。（2） 过 O 点作 OD⊥AC 于 D 点，由角平分线性质定理可得 OB=OD，即 d=r，即可得 出 ⊙O 与直线 AC 相切。 9.【答案】 （1）解：如图,作出角平分线 CO; 作出⊙O. （2）解：AC 与⊙O 相切． 【考点】角平分线的性质，切线的判定，作图—基本作图 【解析】【分析】（1）根据题意先作出∠ACB 的角平分线，再以 O 为圆心，OB 为半径画圆即可。 （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等及切线的判定定理，即可得出 AC 与⊙O 相切。 - 12 - 10.【答案】解：如图，点 P、线段 PD 即为所求； 【考点】作图—复杂作图 【解析】【分析】根据题意可知到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此先利用尺规作图作出∠CAB 的角平分线，交 BC 于点 P，再过点 P 作 AB 的垂线，交 AB 于点 D。即可解答。 11.【答案】 （1）解：如图所示，直线 DE 即为所求； （2）解：∵DE 是 BC 的垂直平分线， ∴EC＝ BC＝6，BD＝CD＝9， ∴cos∠C＝ ＝ ＝ ． 【考点】线段垂直平分线的性质，作图—尺规作图的定义，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】（1）分别以点 B、点 C 为圆心，以大于 BC 一半的长度为半径画弧，分别交于线段 BC 的上方与下方，过这两个交点画一条直线，与 AC 交于点 D，BC 交于点 E，直线 DE 即为所求； （2）由线段垂直平分线的性质可知 BD=CD=9，BE=EC= ， 即可求得 cos∠C= 。 12.【答案】 （1）解：如图所示 - 13 - （2）解：DE∥AC（理由略） 【考点】平行线的判定与性质，三角形的外角性质，作图—尺规作图的定义 【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可得到答案。 （2）根据∠BDC 为三角形 ADC 的外角，即可得到∠BDC=∠A+∠DCA，由 DE 为∠BDC 的平分线，∠A=∠DCA， 即可证明∠EDC=∠DCA，根据直线平行的判定定理得到 DE∥AC。 13.【答案】 （1）解：如图，点 D、E 为所作； （2）解：连接 AD，如图， ∵DE 垂直平分 AB， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝15°， ∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝15°+15°＝30°， 在 Rt△ADC 中，DA＝2AC＝4， ∴DB＝4． 【考点】线段垂直平分线的性质，作图—尺规作图的定义 【解析】【分析】（1）分别以点 A、点 B 为圆心，以大于 AB 长的一半为半径在线段 AB 两侧画弧，分别 相交于两点，过这两个交点做直线，与 AB 交于点 E，BC 交于点 D，直线 DE 即为所求直线； （2）DE 为 AB 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知 BD=AD，根据等边对等角可知∠B=∠BAD；根 据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可知∠ADC=30°，根据直角三角形中 30 度所对的直角 边等于斜边的一半即可求得 AD 的长，也就可知 BD 的长。 14.【答案】 （1）解：①作线段 BC 的垂直平分线交 AD 于 P． 点 P 就是所求的点． - 14 - （2）解：连接 P B、PC． ∵∠PAB=∠PAF，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PE=PF， 在 Rt△PEB 和 Rt△PFC 中， ， ∴△PEB≌△PFC， ∴BE=CF． （3） ； . 【考点】直角三角形全等的判定，角平分线的性质，作图—尺规作图的定义 【解析】【解答】解：（3）设 BE=CF=x， 在 Rt∴△PAE 和 Rt△PAF 中， ， ∴△PAE≌△PAF， ∴AE=AF， ∴AB-BE=AC+CF， ∴a-x=b+x， ∴x= ， ∴BE= ，AE=AB-BE=a- = ， 故答案为 ， ． 【分析】（1）、直接利用尺规作图法则作图 （2）、依题做出图形，根据角平分线性质可知 PE=PF，再根据直角三角形全等判定△PEB≌△PFC，从而 得到结论 （3）、结合角平分线的性质和直角三角形的判定可知△PAE≌△PAF，从而得到 AE=AF，再根据线段的对 等转换可得到答案 二、综合题 15.【答案】 （1）解：如图所示，直线 EF 即为所求； - 15 - （2）解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC ∠ABC＝75°，DC∥AB ， ∠A＝∠C ， ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝∠A＝30°． ∵EF 垂直平分线段 AB ， ∴AF＝FB ， ∴∠A＝∠FBA＝30°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45° 【考点】平行线的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的性质，作图—尺规作图的定义 【解析】【分析】（1）、根据尺规作图法结合题意作出图形 （2）、首先根据菱形的性质可求出∠ABD＝∠DBC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，再根据平行线的性质可得 到∠C＝∠A＝30°，最后根据垂直平分线的性质可得到 AF＝FB，从而可计算得出答案 16.【答案】 （1）解：如图所示； （2）解：∵ ， ∴ . ∴ . 【考点】作图—尺规作图的定义，平行线分线段成比例 【解析】【分析】（1）利用尺规，依次找到角的对应点，画出角即可。 （2）根据两线平行、两角相等，可得到对应的边成比例，得到比值。 17.【答案】 （1）解：如图，DE 为所作； - 16 - （2）解：∵CD 平分 ， ， 为等腰直角三角形， ， ，即 ， 【考点】角平分线的性质，作图—尺规作图的定义，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）尺规作图的要求，角平分线的画法以及垂线的画法。注意保留作图痕迹，做法清 晰。 （2）根据角平分线的性质以互余两角的关系，判定△CDE 为等腰直角三角形 。据其性质，以及平行线 的性质判断△BDE∽△BAC，对应边成比例，即可求出 DE。