2013年四川省宜宾市中考数学试卷（解析版） 14页

‎2013年四川省宜宾市中考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确选项填在括号内。）‎ ‎1．（2013宜宾）下列各数中，最小的数是（　　）‎ ‎　 A．2 B．﹣3 C．﹣ D．0‎ 考点：有理数大小比较．‎ 分析：根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，进行比较即可．‎ 解答：解：∵﹣3＜﹣＜0＜2，‎ ‎∴最小的数是﹣3；‎ 故选B．‎ 点评：此题考查了有理数的大小比较，要熟练掌握任意两个有理数比较大小的方法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小．　‎ ‎2．（2013宜宾）据宜宾市旅游局公布的数据，今年“五一”小长假期间，全市实现旅游总收入330000000元．将330000000用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　 A．3.3×108 B．3.3×109 C．3.3×107 D．0.33×1010‎ 考点：科学记数法—表示较大的数．‎ 专题：计算题．‎ 分析：找出所求数字的位数，减去1得到10的指数，表示成科学记数法即可．‎ 解答：解：330000000用科学记数法表示为3.3×108．‎ 故选A．‎ 点评：此题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　‎ ‎3．（2013宜宾）下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D．‎ 考点：简单几何体的三视图．‎ 分析：分别找到四个几何体从正面看所得到的图形比较即可．‎ 解答：解：A．主视图为长方形；‎ B．主视图为长方形；‎ C．主视图为长方形；‎ D．主视图为三角形．‎ 则主视图与其它三个不相同的是D．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．　‎ ‎4．（2013宜宾）要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的（　　）‎ ‎　 A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数 考点：方差；统计量的选择．‎ 分析：根据方差的意义作出判断即可．‎ 解答：解：要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．　‎ ‎5．（2013宜宾）若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）‎ ‎　 A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥0‎ 考点：根的判别式．‎ 分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．‎ 解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，a=1，b=2，c=k，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×k＞0，‎ ‎∴k＜1，‎ 故选：A．‎ 点评：此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．　‎ ‎6．（2013宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）‎ ‎　 A．两组对边分别平行 B．对角线相等 ‎　 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 考点：矩形的性质；菱形的性质．‎ 分析：根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：解：A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；‎ B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；‎ C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；‎ D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．　‎ ‎7．（2013宜宾）某棵果树前x年的总产量y与x之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前x年的年平均产量最高，则x的值为（　　）‎ ‎　 A．3 B．5 C．7 D．9‎ 考点：算术平均数．‎ 分析：由已知中图象表示某棵果树前x年的总产量y与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．‎ 解答：解：若果树前x年的总产量y与n在图中对应P（x，y）点则前x年的年平均产量即为直线OP的斜率，‎ 由图易得当x=7时，直线OP的斜率最大，‎ 即前7年的年平均产量最高，x=7．‎ 故选C．‎ 点评：本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键．　‎ ‎8．（2013宜宾）对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；‎ ‎②方程x⊗1=0的根为：x1=﹣2，x2=1；‎ ‎③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；‎ ‎④点（，）在函数y=x⊗（﹣1）的图象上．‎ 其中正确的是（　　）‎ ‎　 A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④‎ 考点：二次函数图象上点的坐标特征；有理数的混合运算；解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组；命题与定理．‎ 专题：新定义．‎ 分析：根据新定义得到1⊗3=12+1×3﹣2=2，则可对①进行判断；根据新定义由x⊗1=0得到x2+x﹣2=0，然后解方程可对②进行判断；根据新定义得，解得﹣1＜x＜4，可对③进行判断；‎ 根据新定义得y=x⊗（﹣1）=x2﹣x﹣2，然后把x=代入计算得到对应的函数值，则可对④进行判断．‎ 解答：解：1⊗3=12+1×3﹣2=2，所以①正确；‎ ‎∵x⊗1=0，‎ ‎∴x2+x﹣2=0，‎ ‎∴x1=﹣2，x2=1，所以②正确；‎ ‎∵（﹣2）⊗x﹣4=4﹣2x﹣2﹣4=﹣2x﹣2，1⊗x﹣3=1+x﹣2﹣3=x﹣4，‎ ‎∴，解得﹣1＜x＜4，所以③正确；‎ ‎∵y=x⊗（﹣1）=x2﹣x﹣2，‎ ‎∴当x=时，y=﹣﹣2=﹣，所以④错误．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式．也考查了阅读理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式组．　‎ 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。请把答案直接填在题中横线上。）‎ ‎9．（2013宜宾）分式方程的解为　x=1　．‎ 考点：解分式方程．‎ 专题：计算题．‎ 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解答：解：去分母得：2x+1=3x，‎ 解得：x=1，‎ 经检验x=1是分式方程的解．‎ 故答案为：x=1‎ 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．　‎ ‎10．（2013宜宾）分解因式：am2﹣4an2=　a（m+2n）（m﹣2n）　．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．‎ 解答：解：am2﹣4an2=a（m2﹣4n2）=a（m+2n）（m﹣2n），‎ 故答案为：a（m+2n）（m﹣2n）．‎ 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．　‎ ‎11．（2013宜宾）如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2=　115°　．‎ 考点：平行线的性质．‎ 分析：将各顶点标上字母，根据平行线的性质可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG，从而可得出答案．‎ 解答：解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．‎ 故答案为：115°．‎ 点评：本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等．　‎ ‎12．（2013宜宾）某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是　25（1+x）2=36　．‎ 考点：由实际问题抽象出一元二次方程．‎ 专题：增长率问题．‎ 分析：本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元”，即可得出方程．‎ 解答：解：设这个增长率为x，‎ 根据题意可得：25（1+x）2=36，‎ 故答案为：25（1+x）2=36．‎ 点评：本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．　‎ ‎13．（2013宜宾）如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为　15　．‎ 考点：平移的性质．‎ 分析：设点A到BC的距离为h，根据平移的性质用BC表示出AD、CE，然后根据三角形的面积公式与梯形的面积公式列式进行计算即可得解．‎ 解答：解：设点A到BC的距离为h，则S△ABC=BC•h=5，‎ ‎∵平移的距离是BC的长的2倍，‎ ‎∴AD=2BC，CE=BC，‎ ‎∴四边形ACED的面积=（AD+CE）•h=（2BC+BC）•h=3×BC•h=3×5=15．‎ 故答案为：15．‎ 点评：本题考查了平移的性质，三角形的面积，主要用了对应点间的距离等于平移的距离的性质．　‎ ‎14．（2013宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是　4π　．‎ 考点：弧长的计算；等边三角形的性质．‎ 分析：弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．‎ 解答：解：弧CD的长是=，‎ 弧DE的长是：=，‎ 弧EF的长是：=2π，‎ 则曲线CDEF的长是：++2π=4π．‎ 故答案是：4π．‎ 点评：本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．　‎ ‎15．（2013宜宾）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为　20　．‎ 考点：菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．‎ 分析：首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．‎ 解答：解：∵AG∥BD，BD=FG，‎ ‎∴四边形BGFD是平行四边形，‎ ‎∵CF⊥BD，‎ ‎∴CF⊥AG，‎ 又∵点D是AC中点，‎ ‎∴BD=DF=AC，‎ ‎∴四边形BGFD是菱形，‎ 设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，‎ 在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，‎ 解得：x=5，‎ 故四边形BDFG的周长=4GF=20．‎ 故答案为：20．‎ 点评：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．　‎ ‎16．（2013宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．‎ 其中正确的是　①②④　（写出所有正确结论的序号）．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．‎ 分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；‎ ‎②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；‎ ‎③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；‎ ‎④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．‎ 解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，‎ ‎∴=，DG=CG，‎ ‎∴∠ADF=∠AED，‎ ‎∵∠FAD=∠DAE（公共角），‎ ‎∴△ADF∽△AED；‎ 故①正确；‎ ‎②∵=，CF=2，‎ ‎∴FD=6，‎ ‎∴CD=DF+CF=8，‎ ‎∴CG=DG=4，‎ ‎∴FG=CG﹣CF=2；‎ 故②正确；‎ ‎③∵AF=3，FG=2，‎ ‎∴AG==，‎ ‎∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，‎ ‎∴tan∠E=；‎ 故③错误；‎ ‎④∵DF=DG+FG=6，AD==，‎ ‎∴S△ADF=DF•AG=×6×=3，‎ ‎∵△ADF∽△AED，‎ ‎∴=（）2，‎ ‎∴=，‎ ‎∴S△AED=7，‎ ‎∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4；‎ 故④正确．‎ 故答案为：①②④．‎ 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．　‎ 三．解答题（本大题共8小题，满分72分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．（2013宜宾）（1）计算：|﹣2|+﹣4sin45°﹣1﹣2‎ ‎（2）化简：．‎ 考点：分式的混合运算；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ 专题：计算题．‎ 分析：（1）本题涉及绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，直接根据定义或性质解答即可；‎ ‎（2）将括号内的部分通分，将分子、分母因式分解，然后将除法转化为乘法解答即可．‎ 解答：解：（1）原式=2+2﹣4×﹣1‎ ‎=2+2﹣2﹣1‎ ‎=1；‎ ‎（2）原式=÷（﹣）‎ ‎=÷‎ ‎=•‎ ‎=．‎ 点评：（1）本题考查了实数的运算，熟悉绝对值、二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识是解题的关键；‎ ‎（2）本题考查了分式的混合运算，熟悉通分、约分和因式分解是解题的关键．　‎ ‎18．（2013宜宾）如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．‎ 考点：全等三角形的判定与性质．‎ 专题：证明题．‎ 分析：要证明BE=CD，把BE与CD分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用AAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．‎ 解答：证明：在△ABE和△ACD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ACD（AAS），‎ ‎∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）．‎ 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法为：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角等隐含条件的运用．　‎ ‎19．（2013宜宾）为响应我市“中国梦”•“宜宾梦”主题教育活动，某中学在全校学生中开展了以“中国梦•我的梦”为主题的征文比赛，评选出一、二、三等奖和优秀奖．小明同学根据获奖结果，绘制成如图所示的统计表和数学统计图．‎ 请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）a=　5　，b=　20　，n=　144　．‎ ‎（2）学校决定在获得一等奖的作者中，随机推荐两名作者代表学校参加市级比赛，其中王梦、李刚都获得一等奖，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中这二人的概率．‎ 考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．‎ 专题：图表型．‎ 分析：（1）首先利用频数、频率之间的关系求得参赛人数，然后乘以一等奖的频率即可求得a值，乘以三等奖的频率即可求得b值，用三等奖的频率乘以360°即可求得n值；‎ ‎（2）列表后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；‎ 解答：解：（1）观察统计表知，二等奖的有10人，频率为0.2，‎ 故参赛的总人数为10÷0.2=50人，‎ a=50×0.1=5人，b=50×0.4=20．‎ n=0.4×360°=144°，‎ 故答案为：5，20，144；‎ ‎（2）列表得：‎ ‎∵共有20种等可能的情况，恰好是王梦、李刚的有2种情况，‎ ‎∴恰好选中王梦和李刚两位同学的概率P==．‎ 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　‎ ‎20．（2013宜宾）2013年4月20日，我省芦山县发生7.0级强烈地震，造成大量的房屋损毁，急需大量帐篷．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批帐篷．如果按原来的生产速度，每天生产120顶帐篷，那么在规定时间内只能完成任务的90%．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产160顶帐篷，刚好提前一天完成任务．问规定时间是多少天？生产任务是多少顶帐篷？‎ 考点：二元一次方程组的应用．‎ 专题：应用题．‎ 分析：设规定时间为x天，生产任务是y顶帐篷，根据不提速在规定时间内只能完成任务的90%，即提速后刚好提前一天完成任务，可得出方程组，解出即可．‎ 解答：解：设规定时间为x天，生产任务是y顶帐篷，‎ 由题意得，，‎ 解得：．‎ 答：规定时间是6天，生产任务是800顶帐篷．‎ 点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，设出未知数，利用等量关系得出方程组，难度一般．　‎ ‎21．（2013宜宾）宜宾是国家级历史文化名城，大观楼是标志性建筑之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：大观楼始建于明代（一说是唐代韦皋所建），后毁于兵火，乾隆乙酉年（1765年）重建，它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一．小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度．如图②，他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45°，又前进了12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°．请你帮助小伟算算大观楼的高度．（测角仪高度忽略不计，≈1.7，结果保留整数）．‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 专题：应用题．‎ 分析：设大观楼的高OP=x，在Rt△POB中表示出OB，在Rt△POA中表示出OA，再由AB=12米，可得出方程，解出即可得出答案．‎ 解答：解：设大观楼的高OP=x，‎ 在Rt△POB中，∠OBP=45°，‎ 则OB=OP=x，‎ 在Rt△POA中，∠OAP=60°，‎ 则OA=OPcot∠OAP=x，‎ 由题意得，AB=OB﹣OA=12m，即x﹣x=12，‎ 解得：x=18+6，‎ 故大观楼的高度OP=18+6≈28米．‎ 答：大观楼的高度约为28米．‎ 点评：本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．　‎ ‎22．（2013宜宾）如图，直线y=x﹣1与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣1，m）．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）若点P（n，1）是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△CEF的面积．‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．‎ 分析：（1）将点A的坐标代入直线解析式求出m的值，再将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，继而得出反比例函数关系式；‎ ‎（2）将点P的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点P的横坐标，将点P的横坐标和点F的横坐标相等，将点F的横坐标代入直线解析式可求出点F的纵坐标，将点的坐标转换为线段的长度后，即可计算△CEF的面积．‎ 解答：解：（1）将点A的坐标代入y=x﹣1，可得：m=﹣1﹣1=﹣2，‎ 将点A（﹣1，﹣2）代入反比例函数y=，可得：k=﹣1×（﹣2）=2，‎ 故反比例函数解析式为：y=．‎ ‎（2）将点P的纵坐标y=﹣1，代入反比例函数关系式可得：x=﹣2，‎ 将点F的横坐标x=﹣2代入直线解析式可得：y=﹣3，‎ 故可得EF=3，CE=OE+OC=2+1=3，‎ 故可得S△CEF=CE×EF=．‎ 点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答本题的关键是确定点A的坐标，要求同学们能结合图象及直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长度．　‎ ‎23．（2013宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．‎ 考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．‎ 分析：（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．‎ ‎（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．‎ 解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°，‎ ‎∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，‎ ‎∴△ADC∽△BAC，‎ ‎∴∠BAC=∠ADC=90°，‎ ‎∴BA⊥AC，‎ ‎∴AC是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵△ADC∽△BAC（已证），‎ ‎∴=，即AC2=BC×CD=36，‎ 解得：AC=6，‎ 在Rt△ACD中，AD==2，‎ ‎∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，‎ ‎∴CA=CF=6，‎ ‎∴DF=CA﹣CD=2，‎ 在Rt△AFD中，AF==2．‎ 点评：本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．　‎ ‎24．（2013宜宾）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．‎ ‎（1）请直接写出抛物线y2的解析式；‎ ‎（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；‎ ‎（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题．‎ 专题：代数几何综合题．‎ 分析：（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可；‎ ‎（2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出∠OBA=45°，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解；‎ ‎（3）先求出直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值．‎ 解答：解：（1）抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），‎ 所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1；‎ ‎（2）x=0时，y=﹣1，‎ y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，‎ 所以，点A（1，0），B（0，﹣1），‎ ‎∴∠OBA=45°，‎ 联立，‎ 解得，‎ ‎∴点C的坐标为（2，3），‎ ‎∵∠CPA=∠OBA，‎ ‎∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0），‎ 在点A的右边时，坐标为（5，0），‎ 所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；‎ ‎（3）存在．‎ ‎∵点C（2，3），‎ ‎∴直线OC的解析式为y=x，‎ 设与OC平行的直线y=x+b，‎ 联立，‎ 消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，‎ 当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，‎ 此时x1=x2=×（﹣）=，‎ 此时y=（﹣4）2﹣1=﹣，‎ ‎∴存在第四象限的点Q（，﹣），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，‎ 此时△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0，‎ 解得b=﹣，‎ ‎∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣，‎ 令y=0，则x﹣=0，解得x=，‎ 设直线与x轴的交点为E，则E（，0），‎ 过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC==，‎ 则sin∠COD==，‎ 解得h最大=×=．‎ 点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，等腰三角形的判定与性质，（3）判断出与OC平行的直线与抛物线只有一个交点时OC边上的高h最大是解题的关键，也是本题的难点．　‎