2017年山东省聊城市中考数学试卷 30页

2017 年山东省聊城市中考数学试卷 　 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．（3 分）64 的立方根是（　　） A．4 B．8 C．±4 D．±8 2．（3 分）在 Rt△ABC 中，cosA= ，那么 sinA 的值是（　　） A． B． C． D． 3．（3 分）下列计算错误的是（　　） A． =4 B．32×3﹣1=3 C．20÷2﹣2= D．（﹣3×102）3=﹣2.7×107 4．（3 分）如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形 DBFE 是菱形，还 需要添加的条件是（　　） A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE 平分∠ABC 5．（3 分）纽约、悉尼与北京时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时 数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 ﹣13 当北京 6 月 15 日 23 时，悉尼、纽约的时间分别是（　　） A．6 月 16 日 1 时；6 月 15 日 10 时B．6 月 16 日 1 时；6 月 14 日 10 时 C．6 月 15 日 21 时；6 月 15 日 10 时 D．6 月 15 日 21 时；6 月 16 日 12 时 6．（3 分）如图是由若干小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表 示该位置小正方体的个数，这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 7．（3 分）如果解关于 x 的分式方程 ﹣ =1 时出现增根，那么 m 的值为 （　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4 8．（3 分）计算（5 ﹣2 ）÷（﹣ ）的结果为（　　） A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7 9．（3 分）如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形，线段 AB 的端点都在小矩 形的顶点上，如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA、PB，那么使△ABP 为等 腰直角三角形的点 P 的个数是（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 10．（3 分）为了满足顾客的需求，某商场将 5kg 奶糖，3kg 酥心糖和 2kg 水果糖 混合成什锦糖出售．已知奶糖的售价为每千克 40 元，酥心糖为每千克 20 元，水 果糖为每千克 15 元，混合后什锦糖的售价应为每千克（　　） A．25 元 B．28.5 元 C．29 元 D．34.5 元 11．（3 分）如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转，使点 B 落在 AB 边上点 B′处，此 时，点 A 的对应点 A′恰好落在 BC 边的延长线上，下列结论错误的（　　 ） A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B[来源:学科网 ZXXK] C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C 平分∠BB′A′ 12．（3 分）端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、 乙两队在 500 米的赛道上，所划行的路程 y（m）与时间 x（min）之间的函数关 系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙队比甲队提前 0.25min 到达终点 B．当乙队划行 110m 时，此时落后甲队 15m C．0.5min 后，乙队比甲队每分钟快 40m D．自 1.5min 开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到 255m/min 　 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 13．（3 分）因式分解：2x2﹣32x4=　 　． 14．（3 分）已知圆锥形工件的底面直径是 40cm，母线长 30cm，其侧面展开图 圆心角的度数为　 　． 15．（3 分）不等式组 的解集是　 　． 16．（3 分）如果任意选择一对有序整数（m，n），其中|m|≤1，|n|≤3，每一 对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于 x 的方程 x2+nx+m=0 有两 个相等实数根的概率是　 　． 17．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 的函数表达式为 y=x，点 O1 的坐 标为（1，0），以 O1 为圆心，O1O 为半径画圆，交直线 l 于点 P1，交 x 轴正半轴 于点 O2，以 O2 为圆心，O2O 为半径画圆，交直线 l 于点 P2，交 x 轴正半轴于点 O3，以 O3 为圆心，O3O 为半径画圆，交直线 l 于点 P3，交 x 轴正半轴于点 O4；… 按此做法进行下去，其中 的长为　 　． 　 三、解答题（本题共 8 个小题，满分 69 分） 18．（7 分）先化简，再求值：2﹣ ÷ ，其中 x=3，y=﹣4． 19．（8 分）如图，已知 AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF． 20．（8 分）为了绿化环境，育英中学八年级三班同学都积极参加植树活动，今 年植树节时，该班同学植树情况的部分数据如图所示，请根据统计图信息，回答 下列问题： （1）八年级三班共有多少名同学？ （2）条形统计图中，m=　 　，n=　 　． （3）扇形统计图中，试计算植树 2 棵的人数所对应的扇形圆心角的度数． 21．（8 分）耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一 （如图 1）．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点 P 处，利用测角仪测得运河 两岸上的 A，B 两点的俯角分别为 17.9°，22°，并测得塔底点 C 到点 B 的距离为 142 米（A、B、C 在同一直线上，如图 2），求运河两岸上的 A、B 两点的距离（精确 到 1 米）． （参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31， cos17.9° ≈ 0.95 ， tan17.9° ≈ 0.32 ） 22．（8 分）在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标 的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑， 其中，A 乡镇中学更新学生用电脑 110 台和教师用笔记本电脑 32 台，共花费 30.5 万元；B 乡镇中学更新学生电脑 55 台和教师用笔记本电脑 24 台，共花费 17.65 万元． （1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？ （2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用 电脑台数的 少 90 台，在两种电脑的总费用不超过预算 438 万元的情况下，至 多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？ 23．（8 分）如图，分别位于反比例函数 y= ，y= 在第一象限图象上的两点 A、 B，与原点 O 在同一直线上，且 = ． （1）求反比例函数 y= 的表达式； （2）过点 A 作 x 轴的平行线交 y= 的图象于点 C，连接 BC，求△ ABC 的面 积． 24．（10 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙ O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）求证：△PBD∽△DCA； （3）当 AB=6，AC=8 时，求线段 PB 的长． 25．（12 分）如图，已知抛物线 y=ax2+2x+c 与 y 轴交于点 A（0，6），与 x 轴交于 点 B（6，0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）当点 P 移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点 P 的坐标； （3）当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，点 P 的横坐标以每秒 1 个单位长度的速度变动，与此同时点 M 以每秒 1 个单位长度 的速度沿 AO 向终点 O 移动，点 P，M 移动到各自终点时停止，当两个动点移动 t 秒时，求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时，S 有最 大值，最大值是多少？ 　 2017 年山东省聊城市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．（3 分）（2017•聊城）64 的立方根是（　　） A．4 B．8 C．±4 D．±8 【分析】如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 是 a 的立方根，根据此定义求解即 可． 【解答】解：∵4 的立方是 64， ∴64 的立方根是 4． 故选 A． 【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是 哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方 根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 　 2．（3 分）（2017•聊城）在 Rt△ABC 中，cosA= ，那么 sinA 的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值即可． 【解答】解：∵Rt△ABC 中，cosA= ， ∴sinA= = ， 故选 B 【点评】此题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握 同角三角函数的关系是解本题的关键． 　 3．（3 分）（2017•聊城）下列计算错误的是（　　） A． =4 B．32×3﹣1=3 C．20÷2﹣2= D．（﹣3×102）3=﹣2.7×107 【分析】根据幂的乘方和积的乘方以及零指数幂和负指数幂进行计算即可． 【解答】解：A、 =4，正确，故 A 不合题意； B、32×3﹣1=3，正确，故 B 不合题意； C、20÷2﹣2=4，不正确，故 C 合题意； D、（﹣3×102）3=﹣2.7×107，正确，故 D 不合题意； 故选 C． 【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，以及零指数幂和负指数幂，掌握运算 法则是解题的关键． 　 4．（3 分）（2017•聊城）如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形 DBFE 是菱形，还需要添加的条件是（　　） A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE 平分∠ABC 【分析】当 BE 平分∠ABC 时，四边形 DBFE 是菱形，可知先证明四边形 BDEF 是 平行四边形，再证明 BD=DE 即可解决问题． 【解答】解：当 BE 平分∠ABC 时，四边形 DBFE 是菱形， 理由：∵DE∥BC， ∴∠DEB=∠EBC， ∵∠EBC=∠EBD， ∴∠EBD=∠DEB， ∴BD=DE， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形 DBEF 是平行四边形， ∵BD=DE， ∴四边形 DBEF 是菱形． 其余选项均无法判断四边形 DBEF 是菱形， 故选 D． 【点评】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等 腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于 中考常考题型． 　 5．（3 分）（2017•聊城）纽约、悉尼与北京时差如下表（正数表示同一时刻比北 京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 ﹣13 当北京 6 月 15 日 23 时，悉尼、纽约的时间分别是（　　） A．6 月 16 日 1 时；6 月 15 日 10 时B．6 月 16 日 1 时；6 月 14 日 10 时 C．6 月 15 日 21 时；6 月 15 日 10 时 D．6 月 15 日 21 时；6 月 16 日 12 时 【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早 2 小时，悉尼比北京的时间要早 2 个小时，也就是 6 月 16 日 1 时．纽约比北京时间要晚 13 个小时，也就是 6 月 15 日 10 时． 【解答】解：悉尼的时间是：6 月 15 日 23 时+2 小时=6 月 16 日 1 时， 纽约时间是：6 月 15 日 23 时﹣13 小时=6 月 15 日 10 时． 故选：A． 【点评】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再 结合题意计算． 　 6．（3 分）（2017•聊城）如图是由若干小正方体组成的几何体的俯视图，小正方 形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视 图中． 【解答】解：从正面看易得第一列有 2 个正 方形，第二列有 3 个正方形，第三 列有 1 个正方形． ． 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 　 7．（3 分）（2017•聊城）如果解关于 x 的分式方程 ﹣ =1 时出现增根，那 么 m 的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根 的可能值，让最简公分母 x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的 方程求解，即可得到正确的答案． 【解答】解： ﹣ =1， 去分母，方程两边同时乘以 x﹣2，得： m+2x=x﹣2，[来源:学科网] 由分母可知，分式方程的增根可能是 2， 当 x=2 时，m+4=2﹣2， m=﹣4， 故选 D． 【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公 分母为 0 确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得 相关字母的值． 　 8．（3 分）（2017•聊城）计算（5 ﹣2 ）÷（﹣ ）的结果为（　　） A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7 【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的 除法运算． 【解答】解：原式=（ ﹣6 ）÷（﹣ ） =（﹣5 ）÷（﹣ ） =5． 故选 A． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然 后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合 题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功 倍． 　 9．（3 分）（2017•聊城）如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形，线段 AB 的 端点都在小矩形的顶点上，如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA、PB，那么 使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论． 【解答】解：如图所示，使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是 3， 故选 B． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点 P 是解题 的关键． 　 10．（3 分）（2017•聊城）为了满足顾客的需求，某商场将 5kg 奶糖，3kg 酥心糖 和 2kg 水果糖混合成什锦糖出售．已知奶糖的售价为每千克 40 元，酥心糖为每 千克 20 元，水果糖为每千克 15 元，混合后什锦糖的售价应为每千克（　　） A．25 元 B．28.5 元 C．29 元 D．34.5 元 【分析】先求出买 5kg 奶糖，3kg 酥心糖和 2kg 水果糖的总钱数，再除以总的千 克数，即可得出混合后什锦糖的售价． 【解答】解：根据题意得： （40×5+20×3+15×2）÷（5+3+2）=29（元）， 答：混合后什锦糖的售价应为每千克 29 元． 故选 C． 【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，是 一道基础题． 　 11．（3 分）（2017•聊城）如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转，使点 B 落在 AB 边 上点 B′处，此时，点 A 的对应点 A′恰好落在 BC 边的延长线上，下列结论错误的 （　　） A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C 平分∠BB′A′ 【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′=∠ACA′，故 A 正确，根据等腰三角形的性 质得到∠B=∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'=2∠B，等量代换得到∠ ACB=2∠B，故 B 正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到 B′C 平分∠BB′A′， 故 D 正确． 【解答】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ ACA′，故 A 正确， ∵CB=CB'， ∴∠B=∠BB'C， 又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C， ∴∠A'CB'=2∠B， 又∵∠ACB=∠A'CB'， ∴∠ACB=2∠B，故 B 正确； ∵∠A′B′C=∠B， ∴∠A′B′C=∠BB′C， ∴B′C 平分∠BB′A′，故 D 正确； 故选 C． 【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的 识别图形是解题的关键． 　 12．（3 分）（2017•聊城）端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙 舟比赛中，甲、乙两队在 500 米的赛道上，所划行的路程 y（m）与时间 x （min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙队比甲队提前 0.25min 到达终点 B．当乙队划行 110m 时，此时落后甲队 15m C．0.5min 后，乙队比甲队每分钟快 40m D．自 1.5min 开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到 255m/min 【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，根据图 象上特殊点的意义即可求出答案． 【解答】解：A、由横坐标看出乙队比甲队提前 0.25min 到达终点，故 A 不符合 题意； B、乙 AB 段的解析式为 y=240x﹣40，当 y=110 时，x= ；甲的解析式为 y=200x， 当 x= 时，y=125，当乙队划行 110m 时，此时落后甲队 15m，故 B 不符合题意； C、乙 AB 段的解析式为 y=240x﹣40 乙的速度是 240m/min；甲的解析式为 y=200x， 甲的速度是 200m/min，0.5min 后，乙队比甲队每分钟快 40m，故 C 不符合题意； D、甲的解析式为 y=200x，当 x=1.5 时，y=300，甲乙同时到达（500﹣300）÷ （2.25﹣1.5）≈267m/min，故 D 符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标 表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大， 知道函数值是增大还是减小． 　 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 13．（3 分）（2017•聊城）因式分解：2x2﹣32x4=　2x2（1+4x）（1﹣4x）　． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察， 有 2 项，可采用平方差公式继续分解． 【解答】解：2x2﹣32x4 =2x2（1﹣16x2） =2x2（1+4x）（1﹣4x）． 故答案为：2x2（1+4x）（1﹣4x）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多 项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考 虑运用公式法分解． 　 14．（3 分）（2017•聊城）已知圆锥形工件的底面直径是 40cm，母线长 30cm， 其侧面展开图圆心角的度数为　240°　． 【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 n°，根据圆锥的侧面展开图为 一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和 弧长公式得到 40π= ，然后解方程即可． 【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 n°， 根据题意得 40π= ， 解得 n=240． 故答案为 240°． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长 等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 　 15．（3 分）（2017•聊城）不等式组 的解集是　4＜x≤5　． 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解： ∵解不等式①得：x≤5， 解不等式②得：x＞4， ∴不等式组的解集为 4＜x≤5， 故答案为：4＜x≤5． 【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的 解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 　 16．（3 分）（2017•聊城）如果任意选择一对有序整数（m，n），其中|m|≤1，|n| ≤3，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于 x 的方程 x2+nx+m=0 有两个相等实数根的概率是　 　． 【 分析】首先确定 m、n 的值，推出有序整数（m，n）共有：3×7=21（种）， 由方程 x2+nx+m=0 有两个相等实数根，则需：△=n2﹣4m=0，有（0，0），（1， 2），（1，﹣2）三种可能，由此即可解决问题、 【解答】解：m=0，±1，n=0，±1，±2，±3 ∴有序整数（m，n）共有：3×7=21（种）， ∵方程 x2+nx+m=0 有两个相等实数根，则需：△=n2﹣4m=0，有（0，0），（1， 2），（1，﹣2）三种可能， ∴关于 x 的方程 x2+nx+m=0 有两个相等实数根的概率是 = ， 故答案为 ． 【点评】此题考查了概率、根的判别式以及根与系数的关系、绝对值不等式等知 识，此题难度适中，注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 　 17．（3 分）（2017•聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 的函数表达式为 y=x， 点 O1 的坐标为（1，0），以 O1 为圆心，O1O 为半径画圆，交直线 l 于点 P1，交 x 轴正半轴于点 O2，以 O2 为圆心，O2O 为半径画圆，交直线 l 于点 P2，交 x 轴正 半轴于点 O3，以 O3 为圆心，O3O 为半径画圆，交直线 l 于点 P3，交 x 轴正半轴 于点 O4；…按此做法进行下去，其中 的长为　22015π．　． 【分析】连接 P1O1，P2O2，P3O3，易求得 PnOn 垂直于 x 轴，可得 为 圆 的周长，再找出圆半径的规律即可解题． 【解答】解：连接 P1O1，P2O2，P3O3… ∵P1 是⊙O2 上的点， ∴P1O1=OO1， ∵直线 l 解析式为 y=x， ∴∠P1OO1= 45°， ∴△P1OO1 为等腰直角三角形，即 P1O1⊥x 轴， 同理，PnOn 垂直于 x 轴， ∴ 为 圆的周长， ∵以 O1 为圆心，O1O 为半径画圆，交 x 轴正半轴于点 O2，以 O2 为圆心，O2O 为 半径画圆，交 x 轴正半轴于点 O3，以此类推， ∴OOn=2n﹣1， ∴ = •2π•OOn= π•2n﹣1=2n﹣2π， 当 n=2017 时， =22015π． 故答案为 22015π． 【点评】本题考查了圆周长的计算，考查了从图中找到圆半径规律的能力，本题 中准确找到圆半径的规律是解题的关键． 　 三、解答题（本题共 8 个小题，满分 69 分） 18．（7 分）（2017•聊城）先化简，再求值：2﹣ ÷ ，其中 x=3， y=﹣4． 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将 x、y 的值代入 即可解答本题． 【解答】解：2﹣ ÷ =2﹣ =2﹣ = = = ， 当 x=3，y=﹣4 时，原式= ． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 　 19．（8 分）（2017•聊城）如图，已知 AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥ DF． 【分析】首先由 BE=CF 可以得到 BC=EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最 后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF， 又∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC， 即：BC=EF， 在△ABC 和△DEF 中 ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB=∠DFE， ∴AC∥DF． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也考查了平行线的判定， 解题的关键是证明△ABC≌△DEF，此题有一点的综合性，难度不大． 　 20．（8 分）（2017•聊城）为了绿化环境，育英中学八年级三班同学都积极参加 植树活动，今年植树节时，该班同学植树情况的部分数据如图所示，请根据统计 图信息，回答下列问题： （1）八年级三班共有多少名同学？ （2）条形统计图中，m=　10　，n=　7　． （3）扇形统计图中，试计算植树 2 棵的人数所对应的扇形圆心角的度数． 【分析】（1）根据植 4 株的有 11 人，所占百分比为 22%，求出总人数； （2）根据植树 5 棵人数所占的比例来求 n 的值；用总人数减去其它植树的人数， 就是 m 的值，从而补全统计图； （3）根据植树 2 棵的人数所占比例，即可得出圆心角的比例相同，即可求出圆 心角的度数． 【解答】解：（1）由两图可知，植树 4 棵的人数是 11 人，占全班人数的 22%， 所以八年级三班共有人数为：11÷22%=50（人）． （2）由扇形统计图可知，植树 5 棵人数占全班人数的 14%， 所以 n=50×14%=7（人）． m=50﹣（4+18+11+7）=10（人）． 故答案是：10；7； （3）所求扇形圆心角的度数为：360× =72°． 【点评】此题主要考查了扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比 大小．[来源:Zxxk.Com] 　 21．（8 分）（2017•聊城）耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四 大名塔”之一（如图 1）．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点 P 处，利用测角 仪测得运河两岸上的 A，B 两点的俯角分别为 17.9°，22°，并测得塔底点 C 到点 B 的距离为 142 米（A、B、C 在同一直线上，如图 2），求运河两岸上的 A、B 两点 的距离（精确到 1 米）． （参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31， cos17.9° ≈ 0.95 ， tan17.9° ≈ 0.32 ） 【分析】在 Rt△PBC 中，求出 BC，在 Rt△PAC 中，求出 AC，根据 AB=AC﹣BC 计 算即可． 【解答】解：根据题意，BC=142 米，∠PBC=22°，∠PAC=17.9°， 在 Rt△PBC 中，tan∠PBC= ， ∴PC=BCtan∠PBC=142•tan22°， 在 Rt△PAC 中，tan∠PAC= ， ∴AC= = ≈ ≈177.5， ∴AB=AC﹣BC=177.5﹣142≈36 米． 答：运河两岸上的 A、B 两点的距离为 36 米． 【点评】解直角三角形的应用﹣仰角 俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的 关键是正确寻找直角三角形，利用三角函数解决问题，属于中考常考题型． 　 22．（8 分）（2017•聊城）在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府 通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师 用笔记本电脑，其中，A 乡镇中学更新学生用电脑 110 台和教师用笔记本电脑 32 台，共花费 30.5 万元；B 乡镇中学更新学生电脑 55 台和教师用笔记本电脑 24 台， 共花费 17.65 万元． （1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？ （2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用 电脑台数的 少 90 台，在两种电脑的总费用不超过预算 438 万元的情况下，至 多能购进的学生用电脑和教师用 笔记本电脑各多少台？ 【分析】（1）设该型号的学生用电脑的单价为 x 万元，教师用笔记本电脑的单价 为 y 万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到 x 与 y 的值，即可得到结 果； （2）设能购进的学生用电脑 m 台，则能购进的教师用笔记本电脑为（ m﹣90） 台，根据“两种电脑的总费用不超过预算 438 万元”列出不等式，求出不等式的解 集． 【解答】解：（1）设该型号的学生用电脑的单价为 x 万元，教师用笔记本电脑 的单价为 y 万元， 依题意得： ， 解得 ， 经检验，方程组的解符合题意． 答：该型号的学生用电脑的单价为 0.19 万元，教师用笔记本电脑的单价为 0.3 万 元； （2）设能购进的学生用电脑 m 台，则能购进的教师用笔记本电脑为（ m﹣90） 台， 依题意得：0.19m+0.3×（ m﹣90）≤438， 解得 m≤1860． 所以 m﹣90= ×1860﹣90=282（台）． 答：能购进的学生用电脑 1860 台，则能购进的教师用笔记本电脑为 282 台． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，以及二元一次方程组的应用，找 出题中的等量关系是解本题的关键． 　 23．（8 分）（2017•聊城）如图，分别位于反比例函数 y= ，y= 在第一象限图象 上的两点 A、B，与原点 O 在同一直线上，且 = ． （1）求反比例函数 y= 的表达式； （2）过点 A 作 x 轴的平行线交 y= 的图象于点 C，连接 BC，求△ABC 的面积． 【分析】（1）作 AE、BF 分别垂直于 x 轴，垂足为 E、F，根据△AOE∽△BOF，则 设 A 的横坐标是 m，则可利用 m 表示出 A 和 B 的坐标，利用待定系数法求得 k 的值； （2）根据 AC∥x 轴，则可利用 m 表示出 C 的坐标，利用三角形的面积公式 求 解． 【解答】解：（1）作 AE、BF 分别垂直于 x 轴，垂足为 E、F． ∵△AOE∽△BOF，又 = ， ∴ = = = ． 由点 A 在函数 y= 的图象上，[来源:学§科§网] 设 A 的坐标是（m， ）， ∴ = = ， = = ， ∴OF=3m，BF= ，即 B 的坐标是（3m， ）． 又点 B 在 y= 的图象上， ∴ = ， 解得 k=9， 则反比例函数 y= 的表达式是 y= ； （2）由（1）可知，A（m， ），B（3m， ），[来源:学科网] 又已知过 A 作 x 轴的平行线交 y= 的图象于点 C． ∴C 的纵坐标是 ， 把 y= 代入 y= 得 x=9m， ∴C 的坐标是（9m， ）， ∴AC=9m﹣m=8m． ∴S△ABC= ×8m× =8． 【点评】本题考查了待定系数法确定函数关系式以及相似三角形的判定与性质， 正确利用 m 表示出个点的坐标是关键． 　 24．（10 分）（2017•聊城）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线 相交于点 P． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）求证：△PBD∽△DCA； （3）当 AB=6，AC=8 时，求线段 PB 的长． 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC 为直角，再由 AD 为角平分 线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍及等量代换确定 出∠DOC 为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到 OD 与 PD 垂直， 即可得证； （2）由 PD 与 BC 平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等 量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等 的三角形相似即可得证； （3）由三角形 ABC 为直角三角形，利用勾股定理求出 BC 的长，再由 OD 垂直平 分 BC，得到 DB=DC，根据（2）的相似，得比例，求出所求即可． 【解答】（1）证明：∵圆心 O 在 BC 上， ∴BC 是圆 O 的直径， ∴∠BAC=90°， 连接 OD， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠DAC， ∵∠DOC=2∠DAC， ∴∠DOC=∠BAC=90°，即 OD⊥BC， ∵PD∥BC， ∴OD⊥PD， ∵OD 为圆 O 的半径， ∴PD 是圆 O 的切线； （2）证明：∵PD∥BC， ∴∠P=∠ABC， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠P=∠ADC， ∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°， ∴∠PBD=∠ACD， ∴△PBD∽△DCA； （3）解：∵△ABC 为直角三角形， ∴BC2=AB2+AC2=62+82=100， ∴BC=10， ∵OD 垂直平分 BC， ∴DB=DC， ∵BC 为圆 O 的直径， ∴∠BDC=90°， 在 Rt△DBC 中，DB2+DC2=BC2，即 2DC2=BC2=100， ∴DC=DB=5 ， ∵△PBD∽△DCA， ∴ = ， 则 PB= = = ． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各 自的判定与性质是解本题的关键． 　 25．（12 分）（2017•聊城）如图，已知抛物线 y=ax2+2x+c 与 y 轴交于点 A（0， 6），与 x 轴交于点 B（6，0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）当点 P 移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点 P 的坐标； （3）当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，点 P 的横坐标以每秒 1 个单位长度的速度变动，与此同时点 M 以每秒 1 个单位长度 的速度沿 AO 向终点 O 移动，点 P，M 移动到各自终点时停止，当两个动点移动 t 秒时，求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时，S 有最 大值，最大值是多少？ 【分析】（1）由 A、B 坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点 式可求得顶点坐标； （2）过 P 作 PC⊥y 轴于点 C，由条件可求得∠PAC=60°，可设 AC=m，在 Rt△PAC 中，可表示出 PC 的长，从而可用 m 表示出 P 点坐标，代入抛物线解析式可求得 m 的值，即可求得 P 点坐标； （3）用 t 可表示出 P、M 的坐标，过 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交 AB 于点 F，则可 表示出 F 的坐标，从而可用 t 表示出 PF 的长，从而可表示出△PAB 的面积，利 用 S 四边形 PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到 S 关于 t 的二次函数，利用二次函数的性质 可求得其最大值． 【解答】解： （1）根据题意，把 A（0，6）， B（6，0）代入抛物线解析式可得 ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为 y=﹣ x2+2x+6， ∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8， ∴抛物线的顶点坐标为（2，8）； （2）如图 1，过 P 作 PC⊥y 轴于点 C， ∵OA=OB=6， ∴∠OAB=45°， ∴当∠PAB=75°时，∠PAC=60°， ∴tan∠PAC= ，即 = ， 设 AC=m，则 PC= m， ∴P（ m，6+m）， 把 P 点坐标代入抛物线表达式可得 6+m=﹣ （ m）2+2 m+6，解得 m=0 或 m= ﹣ ， 经检验，P（0，6）与点 A 重合，不合题意，舍去， ∴所求的 P 点坐标为（4﹣ ， + ）； （3）当两个动点移动 t 秒时，则 P（t，﹣ t2+2t+6），M（0，6﹣t）， 如图 2，作 PE⊥x 轴于点 E，交 AB 于点 F，则 EF=EB=6﹣t， ∴F（t，6﹣t）， ∴FP= t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣ t2+3t， ∵点 A 到 PE 的距离竽 OE，点 B 到 PE 的距离等于 BE， ∴S△PAB= FP•OE+ FP•BE= FP•（OE+BE）= FP•OB= ×（﹣ t2+3t）×6=﹣ t2+9t，且 S△AMB= AM•OB= ×t×6=3t， ∴S=S 四边形 PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣ t2+12t=﹣ （t﹣4）2+24， ∴当 t=4 时，S 有最大值，最大值为 24． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、直角三角形的性质、二 次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的 应用，在（2）中构造 Rt△PAC 是解题的关键，在（3）中用 t 表示出 P、M 的坐 标，表示出 PF 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适 中．