2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题27 锐角三角函数与特殊角 13页

锐角三角函数与特殊角 ‎ 一.选择题 ‎1.（2020·四川省攀枝花市·4分）sin60°＝　　．‎ ‎【分析】根据我们记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．‎ ‎【解答】解：sin60°＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．‎ ‎2. （2020·天津市·3分）2sin45°的值等于（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【分析】根据sin45°＝解答即可．‎ ‎【解答】解：2sin45°＝2×＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．‎ ‎3. (2020•山东省泰安市•4分)如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为(　　)‎ A．lcm B．cm C．(2－3)cm D．(2－)cm ‎【分析】根据直角三角形的三角函数得出BG，HE，进而利用梯形的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：过F作FH⊥BC于H，‎ ‎∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，‎ ‎∴EH＝，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，‎ ‎∵AG⊥BC，FH⊥BC，∴AG∥FH，∵AG＝FH，∴四边形AGHF是矩形，‎ ‎∴AF＝GH，∴BC＝BG+GH+HE+CE＝2+2AF+2＝6，∴AF＝2－(cm)，故选D．‎ ‎【点评】此题考查梯形，关键是根据直角三角形的三角函数得出BG，HE解答．‎ ‎4. (2020•山东省威海市•3分)如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．‎ ‎【解答】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得，GE∥BF，CE＝EF，‎ ‎∴△CEG∽△CFB，∴，∵，∴，∵BC＝3，∴GB＝，‎ ‎∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，‎ ‎∴tan∠BAG＝＝，∴tanα的值为，故选A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎5.（2020•广东省•3分）如题9图，在正方形ABCD中，AB=3，点E.F分别在边AB.CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为 A．1  B． C．   D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】解法一：排除法 过点F作FG∥BC交BE与点G，可得∠EFG=30°，∵FG=3，由三角函数可得EG=，∴BE＞．‎ 解法二：角平分线的性质 延长EF、BC.B’C’交于点O，可知∠EOB=∠EOB’=30°，可得∠BEO=∠B’EO=60°， ∴∠AEB’=60°．设BE=B’E=2x，由三角函数可得AE=x，由AE+BE=3，可得x=1，∴BE=2．‎ ‎【考点】特殊平行四边形的折叠问题、辅助线的作法、三角函数．‎ ‎6.（2020•广西省玉林市•3分）sin45°的值是（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值求解．‎ ‎【解答】解：sin45°＝．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．‎ ‎7. （2020•山东淄博市•4分）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．‎ ‎【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，‎ ‎∴按下的第一个键是2ndF．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．‎ ‎8. （2020•安徽省•4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【分析】在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．‎ ‎【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，‎ ‎∴AB＝，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠DBC＝∠A．‎ ‎∴cos∠DBC＝cos∠A＝，‎ ‎∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．‎ ‎9.（2020•安徽省•4分）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 ‎ B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° ‎ C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB ‎ D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC ‎【分析】根据垂径定理，平行四边形的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：A.如图，‎ 若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题；‎ B.若四边形OABC是平行四边形，‎ 则AB＝OC，OA＝BC，‎ ‎∵OA＝OB＝OC，‎ ‎∴AB＝OA＝OB＝BC＝OC，‎ ‎∴∠ABO＝∠OBC＝60°，‎ ‎∴∠ABC＝120°，是真命题；‎ C.如图，‎ 若∠ABC＝120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题；‎ D.如图，‎ 若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．‎ ‎10.（2020•贵州省黔西南州•4分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）‎ A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米 ‎【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．‎ ‎【解答】解：过点A′作A′C⊥AB于点C，‎ 由题意可知：A′O＝AO＝4，‎ ‎∴sinα＝，‎ ‎∴A′C＝4sinα，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．‎ ‎11. （2020•四川省凉山州•4分）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．2‎ ‎【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD.BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．‎ ‎【解答】解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，‎ AD＝＝2，BD＝＝，‎ ‎∴tanA＝＝＝，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．‎ ‎12. （2020•四川省南充市•4分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB.AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．‎ ‎【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，‎ 由勾股定理得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．‎ 二.填空题 ‎1.‎ 三.解答题 ‎1.（2020•广东省•8分）如题22图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．‎ ‎（1）求证：直线CD与⊙O相切；‎ ‎（2）如题22﹣2图，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值．‎ E ‎【答案】‎ （1） 证明：过点O作OE⊥CD交于点E ‎∵AD∥BC，∠DAB=90°‎ ‎∴∠OBC=90°即OB⊥BC ‎∵OE⊥CD，OB⊥BC，CO平分∠BCD ‎∴OB=OE ‎∵AB是⊙O的直径 ‎∴OE是⊙O的半径 ‎∴直线CD与⊙O相切 ‎（2）连接OD.OE ‎∵由（1）得，直线CD.AD.BC与⊙O相切 ‎∴由切线长定理可得AD=DE=1，BC=CE=3，‎ ‎∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO ‎∴∠AOD=∠EOD，CD=3‎ ‎∵= ‎∴∠APE=∠AOE=∠AOD ‎∵AD∥BC ‎∴∠ADE+∠BCE=180°‎ ‎∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90°‎ ‎∵OE⊥DC，∠ODE=∠CDO ‎∴△ODE∽△CDO ‎∴即 ‎∴OD=‎ ‎∵在Rt△AOD中，AO=‎ ‎∴tan∠AOD==‎ ‎∴tan∠APE=‎ ‎【解析】无切点作垂直证半径，切线长定理，直角三角形的判定，相似三角形的运用、辅助线的作法 ‎【考点】切线的判定、切线长定理、圆周角定理、相似三角形、三角函数 ‎2. （2020•四川省甘孜州•10分）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点D落线段AB上，连接BE．‎ ‎（1）求证：DC平分；‎ ‎（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由：‎ ‎（3）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）BE⊥AB，理由见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据旋转的性质可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性质得到∠A=∠ADC即可证明∠ADC=∠CDE；‎ ‎（2）根据旋转的性质得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，从而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根据∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；‎ ‎（3）设BD=BE=a，根据勾股定理计算出AB=DE=，表达出AD，再证明△ACD∽△BCE，得到即可．‎ ‎【详解】解：（1）由旋转可知：AC=CD，∠A=∠CDE，‎ ‎∴∠A=∠ADC，‎ ‎∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；‎ ‎（2）BE⊥AB，‎ 理由：由旋转可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，‎ ‎∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，‎ 又∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CAD+∠ABC=90°，‎ ‎∴∠CBE+∠ABC=90°，‎ 即∠ABE=90°，‎ ‎∴BE⊥AB；‎ ‎（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，‎ ‎∴设BD=BE=a，则，‎ 又∵AB=DE，‎ ‎∴AB=，则AD=，‎ 由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，‎ ‎∴△ACD∽△BCE，‎ ‎∴，‎ ‎∴tan∠ABC=．‎ ‎【点睛】本题考查了旋转的综合应用以及相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，并熟记锐角三角函数的定义．‎ ‎3. （2020•四川省凉山州•10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A.∠B.∠C所对的边分别是A.B.c．‎ ‎（1）求证：＝＝＝2R；‎ ‎（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．‎ ‎【分析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根据三角函数的定义得到sinA＝sinE＝＝，求得＝2R，同理：＝2R，＝2R，于是得到结论；‎ ‎（2）由（1）得：＝，得到AB＝＝4，2R＝＝8，过B作BH⊥AC于H，解直角三角形得到AC＝AH+CH＝2（），根据三角函数的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：‎ 则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，‎ ‎∴sinA＝sinE＝＝，‎ ‎∴＝2R，‎ 同理：＝2R，＝2R，‎ ‎∴＝＝＝2R；‎ ‎（2）解：由（1）得：＝，‎ 即＝＝2R，‎ ‎∴AB＝＝4，2R＝＝8，‎ 过B作BH⊥AC于H，‎ ‎∵∠AHB＝∠BHC＝90°，‎ ‎∴AH＝AB•cos60°＝4×＝2，CH＝BC＝2，‎ ‎∴AC＝AH+CH＝2（），‎ ‎∴sin∠B＝＝＝．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、三角函数定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和三角函数定义是解题的关键．‎