历年上海市初中数学竞赛试卷及答案(试题全与答案分开) 77页

1 2013 上海市初中数学竞赛(新知杯) （2013 年 12 月 8 日 上午 9:00~11:00） 题 号 一 （1~8） 二 总 分9 10 11 12 得 分 评 卷 复 核 一、填空题(每题 10 分) 1.已知 72 1, 72 1     ba ，则 .________33  bbaa 2.已知 43214321 //////,////// mmmmllll ， ._______,20,100  EFGHILKJABCD SSS 则 3.已知 FEACABA 、， ,8,690  在 AB 上且 3,2  BFAE 过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于 D ， FD 的延长线交 AC 的延长线于G ，则 .__________GF 4.已知凸五边形的边长为 )(,,,,, 54321 xfaaaaa 为二次三项式；当 1ax  或者 5432 aaaax  2 时， 5)( xf ， 当 21 aax  时， ,)( pxf  当 543 aaax  时， qxf )( ，则 .________ qp 5.已知一个三位数是 35 的倍数且各个数位上数字之和为 15，则这个三位数为___________. 6.已知关于 x 的一元二次方程 0)2)(1(2  mmaxx 对于任意的实数 a 都有实数根，则 m 的取 值范围是_________________. 7.已知四边形 ABCD 的面积为 2013， E 为 AD 上一点， CDEABEBCE  ,, 的重心分别为 321 ,, GGG ，那么 321 GGG 的面积为________________. 8.直角三角形斜边 AB 上的高 3CD ，延长 DC 到 P 使得 2CP ，过 B 作 APBF  交CD 于 E ， 交 AP 于 F ，则 ._________DE 二、解答题（第 9 题、第 10 题 15 分，第 11 题、第 12 题 20 分） 9.已知  90BAC ，四边形 ADEF 是正方形且边长为 1，求 CABCAB 111  的最大值. 3 10.已知 a 是不为 0 的实数，求解方程组：         ax yxy ay xxy 1 11.已知： ,1n naaaa ,,,, 321  为整数且 2013321321  nn aaaaaaaa  ，求 n 的 最小值. 12.已知正整数 dca 、、、b 满足 ),13(),13( 22  dcbdca 求所有满足条件的 d 的值. 答案： 1. 27 102 2.60 3. 265 4.0 5.735 6. 12  m 7. 3 671 8. 5 9 9. CABCAB 111  4 221 10.经检验原方程组的解为：        1 1 2 2 ay a ax ，        1 1 2 2 ay a ax . 11.【解析】 2013,1,1,5 54321  aaaaan当 满足题设等式，下证当 4n 时，不存在满 足等式要求的整数，不妨设 naaaa  321 ， 4 (1)当 4n 时， 611132013  ，当 4321 ,,, aaaa 中有负整数时，必为      2013 2015,1 43 43 21 aa aaaa ，若 2013,1 43  aa 不满足条件，当 20152671,3 44343  aaaaa 无解.不可能，当 4321 ,,, aaaa 中无负整数时，显然 20134 a ， 6714 a ，容易验证等式不可能成立. (2)当 3n 时，当 321 ,, aaa 中有负整数时，必为 ,121  aa 显然等式不成立，当 321 ,, aaa 中无负 整数时，同上容易验证等式不可能成立. (3)当 2n 时， 21,aa 均为正整数，同上易验证等式不可能成立. 综上所述， n 的最小值为 5. 12. 85d 2013 上海新知杯初中数学竞赛答案 5 6 7 8 9 2012 年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 （2012 年 12 月 9 日 上午 9:00~11:00） 题 号 一 （1~8） 二 总 分9 10 11 12 得 分 评 卷 复 核 解答本试卷可以使用科学计算器 一、 填空题（每题 10 分，共 80 分） 1. 已知 的边 上的高为 ，与边 平行的两条直线 将 的面积三等分，则 直线 与 之间的距离为_____________。 2. 同时投掷两颗骰子， 表示两颗骰子朝上一面的点数之和为 的概率，则 的值为______________。 3. 在平面直角坐标系 中，已知点 （ ， ），点 在直线 上，使得 是等腰 三角形，则点 的坐标是____________________。 4. 在矩形 中， 。点 分别在 上， 使得 。 是矩形内部的一点，若四边形 的面积为 ， 则四边形 的面积等于_______________。 5. 使得 是素数的整数 共有___________个。 6. 平面上一动点 到长为 的线段 所在直线的距离为 ，当 取到最小值时， _____________。 10 7. 已 知 一 个 梯 形 的 上 底 、 高 、 下 底 恰 好 是 三 个 连 续 的 正 整 数 ， 且 这 三 个 数 使 得 多 项 式 （ 是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面 积为________________。 8. 将所有除以 余 和除以 余 的正整数从小到大排成一列，设 表示这数列的前 项的和， 则 ___________。（这里 表示不超过实数 的最大整数。） 二、 解答题（第 9,10 题，每题 15 分，第 11,12 题，每题 20 分，共 70 分） 9. 如图， 是正方形 内一点，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 。已 知 ，求证：或者 ，或者 。 10. 解方程组 。 11 11. 给定正实数 ，对任意一个正整数 ，记 ，这里， 表示不超过实数 的 最大整数。 （1） 若 ，求 的取值范围； （2） 求证： 。 12. 证明：在任意 个互不相同的实数中，一定存在两个数 ，满足 12 2011 年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 （2011 年 12 月 4 日 上午 9:00~11:00） 题号 一 （1~8） 二 总分 9 10 11 12 得分 评卷 复核 解答本试卷可以使用科学计算器 一、 填空题（每题10 分，共 80 分） 1. 已知关于 x 的两个方程： 032  mxx ①， 02  mxx ②，其中 0m 。若 方程①中有一个根是方程②的某个根的 3 倍，则实数 m 的值是___________。 2. 已知梯形 ABCD 中， AB //CD ，  90ABC ， ADBD  ， 5BC ， 13BD ，则梯形 ABCD 的面积为_______________。 3. 从编号分别为1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 的 6 张卡片中任意抽取 3 张，则抽出卡片的编号都大于等 13 于 2 的概率为______________。 4. 将 8 个数 7 ， 5 ， 3 ， 2 ， 2 ， 4 ， 6 ，13 排列为 a ， b ， c ， d ， e ， f ， g ， h ， 使得   22 hgfedcba  的值最小，则这个最小值为____________。 5. 已知正方形 ABCD 的边长为 4 ，E ，F 分别是边 AB ，BC 上的点，使得 3AE ， 2BF ， 线段 AF 与 DE 相交于点G ，则四边形 DGFC 的面积为_____________。 6. 在等腰直角三角形 ABC 中，  90ACB ， P 是 ABC 内一点，使得 11PA ， 7PB ， 6PC ，则边 AC 的长为______________。 7. 有10 名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得 2 分，平局得1 分，负 得 0 分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第 2 名的得分是最后五名选手的得分 和的 5 4 ，则第 2 名选手的得分是_________。 8. 已知 a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许 a ，b ，c ，d 有相同的情况），且 abcd 是 35 个连续正整数的和，则 dcba  的最小值为_________。 二、 解答题（第 9 ，10 题，每题15 分，第11 ，12 题，每题 20 分，共 70 分） 9. 如图，矩形 ABCD 的对角线交点为O ，已知  60DAC ，角 DAC 的平分线与边 DC 交于 点 S ，直线OS 与 AD 相交于点 L ，直线 BL 与 AC 相交于点 M。求证： LCSM // 。 解 14 10. 对 于 正 整 数 n ， 记 nn  21! 。 求 所 有 的 正 整 数 组  fedcba ,,,,, ， 使 得 !!!!!! fedcba  ，且 fedcba  。 解 11. （1）证明：存在整数 x ， y ，满足 20224 22  yxyx ； （2）问：是否存在整数 x ， y ，满足 ?20114 22  yxyx 证明你的结论。 解 15 12. 对每一个大于 1 的整数 n ，设它的所有不同的质因数为 1p ， 2p ， ... ， kp ，对于每个  kipi 1 ，存在正整数 ia ，使得 1 ii a i a i pnp ， 记   ka k aa pppnp  21 21 例如，   8952100 26 p 。 （1）试找出一个正整数 n，使得   nnp  ； （2）证明：存在无穷多个正整数 n，使得   n.np 11 。 解 16 17 18 19 20 21 22 2010 年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题（第 1~5 小题，每题 8 分，第 6~10 小题，每题 10 分，共 90 分） 1. 已知 31  xx ，则  105 510 11 xx xx _________。 2. 满足方程     33 222  yxyx 的所有实数对  yx， 为__________。 3. 已知直角三角形 ABC 中， 3690  CABCC ，， ，CD 为 C 的角平分线，则_________。 4. 若前 2011 个正整数的乘积 201121   能被 k2010 整除，则正整数 k 的最大值为________。 5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形 ABC 的顶点 B，C 的坐标分别为（1， 0），（3，0），过坐标原点 O 的一条直线分别与边 AB，AC 交于点 M，N， 若 OM=MN，则点 M 的坐标为_________。 6. 如图，矩形 ABCD 中，AB=5，BC=8，点 E，F，G，H 分别在边 AB，BC，CD，DA 上，使得 AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点 O 在线段 HF 上，使得四边形 AEOH 的面积为 9，则四边形 OFCG 的面积是_________。 7. 整 数 qp， 满 足 2010 qp ， 且 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 067 2  qpxx 的两个根均为正整数，则 p ________。 8. 已知实数 cba ，， 满足 0 cbacba ， 且 0a 。设 21 xx ， 是方程 02  cbxax 的两个实数根 ，则平面直线坐标系内 两点    1221 xxBxxA ，，， 之间的距离的最大值为_______。 9. 如图，设 ABCDE 是正五边形，五角星 ACEBD（阴影部分）的面积为 1，设 AC 与 BE 的交点为 P，BD 与 CE 的交点为 Q，则四边形 APQD 的 面积等于_______。 10. 设 cba ，， 是整数， 91  cba ，且 1 cabbcaabc 能被 9 整除，则 cba  的最小值是_________，最大值是__________。 二、 解答题（每题 15 分，共 60 分） 11. 已知面积为 4 的 ABC 的边长分别为 bccABbCAaBC  ，，， ，AD 是 A 的角平分 线，点 'C 是点 C 关于直线 AD 的对称点，若 BDC' 与 ABC 相似， 求 ABC 的周长的最小值。 23 12. 将 1，2，…，9 这 9 个数字分别填入图 1 中的 9 个小方格中，使得 7 个 三位数 cfibehghidefabc ，，，， 和 aei 都能被 11 整除，求三位数 ceg 的 最 大值 13. 设实数 zyx ，， 满足 0 zyx ，且       2222  xzzyyx ，求 x 的最大值和最 小值 14. 称具有 22 161ba  形式的数为“好数”，其中 ba， 都是整数 （1）证明：100，2010 都是“好数”。 （2）证明：存在正整数 yx， ，使得 161161 yx  是“好数”，而 yx  不是“好数”。 24 25 26 27 28 29 30 31 2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题 （2009年12月6日） 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b) +b, 已知a∗2.5=28.5，则实数a的值 是 。 2、在三角形ABC中， 2 2b 1, , 2aAB BC a CA    ，其中a,b是大于1的整数， 则b-a= 。 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能 是 。 4、已知关于x的方程 4 3 22 (3 ) (2 ) 2 0x x k x k x k       有实根，并且所有实根 的乘积为−2，则所有实根的平方和为 。 5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边 AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小 值为 。 6、设a，b是方程 2 68 1 0x x   的两个根，c，d是方程 2 86 1 0x x   的两个根， 则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)的值 。 第五题图 F E C B A P 32 7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx−1 的图像与线段 PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。 8方程xyz=2009的所有整数解有 组。 9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC 延长线交于E ，则∠AEB= 。 10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10，点M 在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和 是 。 二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D在CA上，使得CD=1, AD=3， 并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。 三、（本题15分）求所有满足下列 条 第九题图 A B C D E 第十题图 M CD A B 第二大题图 C B A D 33 件的四位数abcd ， 2( )abcd ab cd  其中数字c可以是0。 四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两 两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。 五、（本题15分）若两个实数a,b,使得, 2a b 与 2a b 都是有理数，称数对(a,b) 是和谐的。 ①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的； ②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数； ③证明：若(a，b)是和谐的，且 a b 是有理数，则a,b都是有理数； 2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 34 1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b) +b, 已知a∗2.5=28.5，则实数a的值 是 。 【答案】4， 13 2  2、在三角形ABC中， 2 2b 1, , 2aAB BC a CA    ，其中a,b是大于1的整数，则 b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能 是 。 【答案】50,94 4、已知关于x的方程 4 3 22 (3 ) (2 ) 2 0x x k x k x k       有实根，并且所有实根 的乘积为−2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5 5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜 边 AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最 小值 为 。 【答案】 2 5 5 6、设a，b是方程 2 68 1 0x x   的两个根，c，d是方程 2 86 1 0x x   的两个根，则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)的值 。 【答案】2772 7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx−1 的图像与线段 PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。 第五题图 F E C B A P 35 【答案】 1 3 3 2k  8方程xyz=2009的所有整数解有 组。 【答案】72 9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC 延长线交于E ，则∠AEB= 。 【答案】21° 10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10，点M 在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和 是 。 【答案】300 150 3 二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D在CA上，使得CD=1, AD=3， 并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。 解：设BC=x，则 2 1BD x  ， 2 16AB x  ，如图，作∠ABD平分 线BE，则 BDE ADB  ,因此 2 3BD DE DA DE   。 由角平分线定理可知 3DE BD DE BD BDDEAE AB AE DE AB BD AB BD        。 第九题图 A B C D E 第十题图 M CD A B 第二大题图 C B A D E 36 因此 2 2 2 2 9 11 16 1 xx x x      ，解得 4 11 11BC x  三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd ， 2( )abcd ab cd  其中 数字c可以是0。 解：设 ,x ab y cd  ,，则 2100 ( )x y x y   ，故 2 2(2 100) ( ) 0x y x y y     有整数 解，由于10< x < 100，故y≠0。因此 2 2(2 100) 4( ) 4(2500 99 )x y y y y       是 完全平方数， 可设 2 2500 99t y  ，故99 (50 )(50 )y t t   ，0≤ 50- t<50+ t 之和为100，而且 其中有11的倍数，只能有50−t= 1或50−t=45，相应得到y=1,25，代入解得 98 20 30, ,1 25 25 x x x y y y             因此 9801,2025,3025abcd  。 四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两 两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。 解：由于 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31 ,37 ,41 ,43 这14个合数都小于2009 且两两互质，因此n≥15。 而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数 1 2 15, , ,a a a 的最小素因子 1 2 15, , ,p p p ，则必有一个素数≥47，不失一般性设 15 47p  ，由于 15p 是合数 15a 的最小素因子，因此 2 15 15 47 2009a p   ，矛盾。因此，任意15个大于1且不 超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。 五、（本题15分）若两个实数a,b,使得, 2a b 与 2a b 都是有理数，称数对(a,b) 是和谐的。 ①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的； ②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数； 37 ③证明：若(a，b)是和谐的，且 a b 是有理数，则a,b都是有理数； 解：①不难验证 1 1( , ) ( 2 , 2)2 2a b    是和谐的。 ②由已知 2 2( ) ( ) ( )( 1)t a b a b a b a b        是有理数，a b s  是有理数，因此 1 ta b a b     ，解得 1 2 1 ta s s      是有理数，当然b=s−a也是有理数。 ③若 2 0a b  ，则 ab b   是有理数，因此 2 2( )a a b b   也是有理数。若 2 0a b  ，由已知        2 2 2 1 1 1 aa b b bx aa b b b    是有理数， ay b  也是有理数，因此 21 1 y x b xy   ，故 2 1xyb y x   是有理数，因此 2 2( )a a b b   也是有理数。 2008 年新知杯上海市初中数学竞赛 38 Q P E D C B A F P E D C B A 一、填空题： 1、如图：在正 ABC 中，点 D 、 E 分别在边 BC 、CA 上，使得 AECD  ， AD 与 BE 交于点 P ， ADBQ  于点Q .则  QB QP _____________. 2、不等式 axx  622 对于一切实数 x 都成立.则实数 a 的最大值为_____________. 3、设 na 表示数 4n 的末位数.则  200821 aaa  _____________. 4、在菱形 ABCD 中，  60A ， 1AB ，点 E 在边 AB 上，使得 12 :EB:AE  ， P 为对 角线 AC 上的动点.则 PBPE  的最小值为_____________. 5、关于 x 的方程 121 2 2  aax ax 的解为_____________. 6、如图：设 P 是边长为 12 的正 ABC 内一点，过 P 分别作三条边 BC 、CA 、 AB 的垂线，垂 足 分 别 为 D 、 E 、 F . 已 知 321 ::PF:PE:PD  . 那 么 ， 四 边 形 BDPF 的 面 积 是 _____________. 7、对于正整数 n，规定 n!n  21 .则乘积 !!! 921   的所有约数中，是完全平方数的共 39 C 2 A 2 C 1 B 2 B 1 A 1 F E D C B A E D C B A 有_____________个. 8、已知 k 为不超过 2008 的正整数，使得关于 x 的方程 02  kxx 有两个整数根.则所有这样 的正整数 k 的和为_____________. 9、如图：边长为 1 的正 111 CBA 的中心为 O ，将正 111 CBA 绕中心 O 旋转到 222 CBA ，使得 1122 CBBA  .则两三角形的公共部分（即六边形 ABCDEF ）的面积为_________. 10、如图：已知  9DACBAD ， AEAD  ，且 BEACAB  .则 B _____________. 二、如图：在矩形 ABCD 内部（不包括边界）有一点 P ，它到顶点 A 及边 BC 、CD 的距离都等 P F E D C B A 40 于 1，求矩形 ABCD 面积的取值范围. 三、已知实数 x 、 y 满足如下条件：         422 02 02 yxyx yx yx ，求 yx  的最小值. 四、如图：在凹六边形 ABCDEF 中， A 、 B 、 D 、 E 均为直角，p 是凹六边形 ABCDEF 10 8 7 5 2 2 3 1 41 内一点， PM 、 PN 分别垂直于 AB 、 DE ，垂足分别为 M 、 N ，图中每条线段的长度如图所示 （单位是米），求折线 MPN 的长度（精确到 0.01 米）. 五、求满足不等式 nnnnn              131132 的最大正整数 n，其中 x 表示不超过实数 x 的最 大整数. 2008 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 42 参考答案 提示： 8、答案：48°。 延长 BA 至 F，则△ADE≌△AFE，AE 平分∠FED，且∠BFE＝∠ABE，代换一下即可。 10、1×2＋2×3＋3×4＋…＋44×45＝30360 基本功题：首先是：x2－x－k 的因式分解，其次是求和问题。 二、答案：2＜S≤3/2＋21/2。 本题是考察基本不等式的运用技巧。我估计我的学生可以得一半分。 三、答案：4×31/2/3。换元法技巧而已。只要令 x＝（a+b）/2，y=(a－b)/2， 利用对称性，设 y＞0 即可。 四、答案：15.50。 纯粹的解三角形的死做题。 只要边 CF，则与 NP 的交点即为中点，并取 AB 中点，慢慢解了。 希学生注意：可以使用计算器，一定要掌握。 五、答案：1715。 高斯函数题再加上放大与缩小的应用。 ∵[n/2]＋[n/3]＋[n/11]＋[n/13]＜n，其中[x]表示不超过实数 x 的最大整数。 ∴[n/2]＋[n/3]＋[n/11]＋[n/13]≤n－1 即 n－1≥（n－ 43 44 45 46 47 48 49 50 2006 年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题（第 1~5 小题，每题 8 分，第 6~10 题，每题 10 分，共 90 分） 1、 如图，在△ ABC 中， 70A °， 90B °，点 A 关于 BC 的对称点是 A ，点 B 关于 AC 的对称点是 B ，点C 关于 AB 的对称点是C，若△ ABC 的面积是 1，则 △ CBA  的面积是________________． 2、 已知实数 fedcba 、、、、、 满足如下方程组                .6402 ,3202 ,1602 ,802 ,402 ,202 fedcba fedcba fedcba fedcba fedcba fedcba ， 则 abcdef  的值是_______________． 3、 如图，菱形 ABCD 中，顶点 A 到边 BC ，CD 的距离 AFAE, 都为 5， 6EF ，那么菱形 ABCD 的边长为________________． 4、 已知二次函数 axxy  2 的图像与 x 轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过 5，则 a 的取值范围是__________________． 5、 使得 1n 能整除 20062006 n 的正整数 n 共有_____________个． 6、  x 表示不大于 x 的最大整数，方程    2 7832  xxx 的所有实数解为_________． 7、 如图， ABCD 为直角梯形（ 90 CB °），且 BCAB  ，若在边 BC 上存在一点 M ， 使 得 △ AMD 为 等 边 三 角 形 ， 则 AB CD 的 值 为 _________________． A' C' B' C B A 第 1 题图 F E D C B A 第 3 题图 M D C B A 第 7 题图 51 8、 如图，△ ABC 的面积为 S ，周长为 p ，△ CBA  的三边在△ ABC 外，且与对应边的距离均为 h ，则△ CBA  的周长为______________，面积为_______________． 9、 )1(n 个整数（可以相同） 2007,, 212121  nnn aaaaaaaaa  满足 ，则 n 的最 小值是________________． 10、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：  ,,,, 21 naaa ，例如： ,,813,734,523,312 22 4 22 3 22 2 22 1  aaaa 那 么 ， 1009921 aaaa   的值是___________________． 二、（本题 20 分） 如图，已知半径分别为 1，2 的两个同心圆，有一个正方形 ABCD ，其中点 DA, 在半径为 2 的 圆周上，点 CB, 在半径为 1 的圆周上，求这个正方形的面积． 第 8 题图 O 第二题图 52 三、（本题 20 分） 关于 zyx 、、 的方程组      632 ,23 zxyzxy azyx 有实数解 ),,( zyx ，求正实数 a 的最小值． 四、（本题 20 分） 设 A 是给定的正有理数． （1） 若 A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在 3 个正有理数 zyx 、、 ， 使得 Azyyx  2222 ． （2） 若存在 3 个正有理数 zyx 、、 ，满足 Azyyx  2222 ，证明：存在一个三边长都是 有理数的直角三角形，它的面积等于 A ． 53 54 55 56 57 2005 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷 （2005 年 12 月 11 日 上午 9：00——11：00） 题号 一 二 三 四 总分 得分 评卷 复核 解答本试卷不得使用计算器 一、填空题：（本大题 10 小题，前 5 题每题 8 分，后 5 题每题 10 分，共 90 分） 1．在小于 100 的正整数 n 中，能使分数 1 (3 32)(4 1)n n  化为十进制有限小数的 n 的所 有可能值是 。 2．将数码 1，2，3，4，5，6，7，8，9 按某种次序写成一个九位数： ,abcdefghi A abc bcd cde def efg fgh ghi      令 ，则 A 的最大可能值是 。 3．如果一个两位数 5X 与三位数3YZ 的积是 29400，那么 X+Y+Z= 18 。 #．已知 a，b，x，y 都为实数，且 2 22 1 , 4 3 3y x a x y b        ，则 a b x y   的 值为 。 5．如图：△OAB 的顶点 O（0，0），A（2，1）， B（10，1），直线 CD  X 轴，并且把△OAB 面积二等分，若点 D 的坐标为（x，0），则 x 的值是 。 6．如果两个一元二次方程 2 20 1 0x x m mx x     与 分别有两个不相同的实根，但其 中有一个公共的实根 ，那么实根 的大小范围是 。 7．如图：在梯形 ABCD 中，AB∥DC，DC=2AB=2AD， 若 BD=6，BC=4，则 SABCD= 。 （SABCD 表示四边形 ABCD 的面积，下同） y x C 1 10 B A O D C D A B 58 8．如图， ABCD 中，点 M、N 分别是边 BC、DC 的 中 点 ， AN=1 ，AM=2 ， 且 ∠MAN=60 °， 则 AB 的 长 是 。 #如图：△ABC 中，点 E、F 分别在这 AB、AC 上，EF∥ BC，若 S△ABC=1，S△AEF=2S△EBC，则 S△CEF= 。 10．设 P 为质数，且使关于 x 的方程 x2－px－580p=0 有两个整数根， 则 p 的值为 。 二、（本题 20 分） 已知矩形 ABCD 的相邻两边长为 a、b，是否存在另一个矩形 A’B’C’D’，使它的周长 和面积分别是矩形 ABCD 的周长和面积的 1 3 ？证明你的结认论。 三、（本题 20 分） 已知 a、b、c 都是大于 3 的质数，且 2 5a b c  。 （1）求证：存在正整数 n>1，使所有满足题设的三个质数 a、b、c 的和 a+b+c 都能被 n 整除； （2）求上一小题中 n 的最大值。 M N A B D C F A B C E 59 四、（本题 20 分） 如图：在 Rt△ABC 中，CA>CB，∠C=90°，CDEF、KLMN 是△ABC 的两个内接 正方形，已知 SCDEF=441，SKLMN=440，求△ABC 的三边长。 K L M N D F E C A B 60 2005 年（宇振杯）上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题 1、6，31； 2、4648； 3、18； 4、5； 5、10 2 10 ； 6、 1  7、18； 8、 2 13 3 9、3 3 5 10、29 二、设矩形 A’B’C’D’的相邻两边长为 m、n，则按题意有 m+n= 1 ( )3 a b , 1 3mn ab ，因 此 m、n 是二次方程 2 1 1( ) 03 3x a b x ab    的两正根。 ∵ 1 1( ) 0, 03 3a b ab   ∴上述二次方程有两正根的条件是 2 2 21 4 1 1( ) ( 100 ) [ (5 2 ) ] [ (5 2 ) ] 09 3 9 9a b ab a b b a b b a b b             即 (5 2 ) 0 (5 2 ) 0(5 2 ) (5 2 ) 0 (5 2 ) 0 a b b a b ba b b a b b a b b                    或 或 ∴ 当 (5 2 )a b b  或01(例如 n=3)，使 ( )n a b c  （2）∵a、b、c 都是大于 3 的质数 ∴a、b、c 都不是 3 的倍数 若 1(mod3), 2(mod)3a b  ，例 2 5 2 10 0(mod3)c a b     ，这与 C 不是 3 的倍数矛盾 同理， 2(mod3), 1(mod3)a b  ，也将导致矛盾 因此，只能 1(mod3) 2(mod3)a b a b   或 ， 于是 2 3 0(mod3), 9 ( )a b a a b c    从而 当 7, 13 , 2 7 5 13 79a b c      时 为质数，a+b+c=99=9×11； 当 7, 19 , 2 7 5 19 109a b c      时 为质数，a+b+c=135=9×15； 61 ∴在所有 ( )n a b c n  的 中，最大为 9 四、论正方形 CDEF 的边长为 x，正方形 KLMN 的边长为 y， 则按题设 x=21，y= 2 110 ，设 BC=a，CA=b，AB=c，则 a2+b2=c2 注意到 2( ) 2CEB CEA ABCax by S S S ab       ∴ abx a b   ……① 又由△AKL∽△ABC 得 AL= by a 同理，MB= ay b 故 2 ( 1 )b a c abc AL LM MB x ya b ab         2 abcy c ab   ……② 于是 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )c c y x c ab a b c ab a b a ab b c             1 21 440 42 110 1 1 440 441 c     将它代入②式，可得 2 221 22ycab c y    进而 21 22aba b x     于是 a、b 是二次方程 2 221 22 21 22 0t     的两根 ∵b>a ∴ 231 63 11a   ， 231 63 11b   62 2004 年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(前 5 题每题 6 分，后 5 题每题 8 分，共 7 O 分) 1．若关于 x 的二次方程 x2+(3a-1)x+a+8=0 有两个不相等的实根 x1、x2，且 x1<1，x2>1，则实数 a 的取值范围是 ． 2．方程 xxx  3 3 4 2 5 1 =3 的解是 ． 3．一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的 2 倍；又若这二位数加上 9，则得到的和 恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的 2 倍；原二位数是 4．如图，△ABC 中，CD、CE 分别是 AB 边上高和中线，CE=BE=1，又 CE 的中垂线过点 B， 且交 AC 于点 F，则 CD+BF 的长为 ． 5．如图，分别以 Rt△XYZ 的直角边和斜边为边向形外作正方形 AXZF、BCYX、DEZY， 若直角边 YZ=1，XZ=2，则六边形 ABCDEF 的面积为 ． 6．如图，正方形纸片 ABCD 的面积为 1，点 M、N 分别在 AD、BC 上，且 AM=BN=2/5，将 点 C 折至 MN 上，落在点 P 的位置。折痕为 BQ(Q 在 CD 上)，连 PQ，则以 PQ 为边长的正 方形面积为 ． 7．三个不同的正整数 a、b、c，使 a+b+c=13 3,且任意两个数的和都是完全平方数，则 a、 b、c 是 ． 8．若实数 a、b、c、d 满足 a2+b2+c2+d2=10，则 y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b- c)2+(b-d)2+(c-d)2 的 最大值是 ． 9．已知实系数一元二次方程 ax2+2bx+c=O 有两个实根 x1、x2，若 a>b>c，且 a+b+c=0，则 d=|x1-x2|的取值范围为 ． 1O．如图，△ABC中。AB=AC，点P、Q分别在AC、AB上，且AP=PQ=QB=BC，则∠A的大小是 ． 二、(本题 16 分)如图 PQMN 是平行四边形 ABCD 的内接四边形 (1)若 MP∥BC,NQ∥AB，求证：S 四边形 PQMN= 2 1 S□ABCD； (2)若 S 四边形 PQMN= 2 1 □ABCD，问是否能推出 MP∥Bc 或 NQ∥AB?证明你的结论． 63 三、(本题 l 6 分)设 n 是正整数，d11－ax 解为 ． 3．如图，一张矩形纸片沿 BC 折叠，顶点 A 落在点 A’处，第二次过 A’ 再 折 叠，使折痕 DE∥BC 若 AB=2，AC=3，则梯形 BDEC 的面积为 ． 4．已知关于正整数 n 的二次式 y=n2+an(n 为实常数)．若当且仅当 n=5 时 ， y 有最小值，则实数 n 的取值范围是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形 ABCD，它的 4 个顶点为 A(10， O) 、 B(0，10)、C(－10，O)、D(O，－10)，则该正方形内及边界上共有 个 整 点 (即纵、横坐标都是整数的点)． 6．如图，P 为△ABC 形内一点，点 D、E、F 分别在 BC、CA、AB 上．过 A、B、 C 分 别 作 PD、PE、PF 的平行线，交对边或对边的延长线于点 X、Y、Z．若 3 1,4 1  BY PE AX PD ，则 CZ PF = 7．若△ABC 的三边两两不等，面积为 3 15 ，且中线 AD、BE 的长 分别为 1 和 2，则中线 CF 的长为 8．计算：  5000990099 99...500010050002002 2 50001001 1 2 2 2 2 2 2 2 2 kk k 9．若正数 x、y、z 满足 xyz(x+y+z)=4，则(x+y)(y+z)的最小可能值为 lO．若关于 x 的方程 cxx  3 1 2 1 4 22 恰有两个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是 ． 二、(16 分)已知 p 为质数，使二次方程 x2－2px+p2－5p－1=0 的两根都是整数．求出 p 的所有可能 值． 三、(16 分)已知△XYZ 是直角边长为 l 的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的 3 个顶点分别在等腰 Rt△ABC(∠C=90°)的三边上．求△ABC 直角边长的最大可能值． 四、(18 分)平面上有 7 个点，它们之间可以连一些线段，使 7 点中的任意 3 点必存在 2 点有线段相 连．问至少要连多少条线段?证明你的结论． 71 四、(1)若 7 个点中，有一点孤立(即它不与其他点连线)，则剩下 6 点每 2．点必 须连线，此时至少要连 1 5 条． 72 (2)若 7 点中，有一点只与另一点连线，则剩下 5 点每 2 点必须连线，此时至少要连 11 条． (3)若每一点至少引出 3 条线段，则至少要连 21/2 条线段．由于线段数为整数，故此时至少要 连 1 1 条． (4)若每点至少引出 2 条线段，且确有一点(记为 A)只引出 2 条线段 AB、AC，则不与 A 相连的 4 点每 2 点必须连线，要连 6 条．由 B 引出的线段至少有 2 条，即除 BA 外还至少有一条．因此，此时 至少要连 6+2+1=9 条．图中所给出的是连 9 条线的情况．综合(1)～(4)，至少要连 9 条线段，才能 满足要求． 73 2000 年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题 7 分，共 70 分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点 B 的直线顺次与 AC、AD 及 CD 的延长线相交于点 E、F、 G．若 BE＝5，EF＝2，则 FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器 A、B、C、D，已知 A、B 的底面边长均为 3， C、D 的底面边长均为 a，A、C 的高均为 3，B、D 的高均为 a，在只知道 a≠3，且不考 虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若 n 的十进位制表示为 99……9(20 个 9)，则 n3 的十进位制表示中含有数码 9 的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若 AB＝5，BC＝6，CA＝7，H 为垂心，则 AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为 m，则 m 的取值范围是 ． 6．若关于 x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从 1 000 到 9 999 中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为 2 的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1 x 1 2  的整数解(x，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点 M、N 分别在 AB、AC 上，且 AN＝BM，BN 与 CM 相交于点 O．若 S△ABC＝7，S△OBC=2 则 BA BM = 10.设 x、y 都是正整数，且使 100x116-x  ＝y。则 y 的最大值为 二、(16 分)求所有满足下列条件的四位数：能被 111 整除，且除得的商等于该四位数的各位数 之和． 三、(16 分)(1)在 4×4 的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后画去其中 2 行与 2 列．若无 论怎样画，都至少有一个红色的小方格没有被画去，则至少要涂多少个小方格?证明你的结论． (2)如果把上题中的“4×4 方格纸”改成“n×n 的方格纸(n≥5)”，其他条件不 变，那么，至少要涂多少个小方格?证明你的结论 四、(18 分)如图，ABCD 是一个边长为 l 的正方形，U、V 分别是 AB、CD 上的点， AV 与 DU 相交于点 P，BV 与 CU 相交于点 Q．求四边形 PUQV 面积的最大值． 74 75 76 77