2017年湖南省邵阳市中考数学试卷 28页

2017 年湖南省邵阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选 项中只有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）25 的算术平方根是（ ） A．5 B．±5 C．﹣5 D．25 2．（3 分）如图所示，已知 AB∥CD，下列结论正确的是（ ） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4 3．（3 分）3﹣π的绝对值是（ ） A．3﹣π B．π﹣3 C．3 D．π 4．（3 分）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A． B． C． D． 5．（3 分）函数 y= 中，自变量 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（3 分）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度 为 120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为（ ） A．120°B．100°C．80° D．60° 7．（3 分）如图所示，边长为 a 的正方形中阴影部分的面积为（ ） A．a2﹣π（ ）2 B．a2﹣πa2 C．a2﹣πa D．a2﹣2πa 8．（3 分）“救死扶伤”是我国的传统美德，某媒体就“老人摔倒该不该扶”进行了调 查，将得到的数据经统计分析后绘制成如图所示的扇形统计图，根据统计图判断 下列说法，其中错误的一项是（ ） A．认为依情况而定的占 27% B．认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是 234° C．认为不该扶的占 8% D．认为该扶的占 92% 9．（3 分）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米 地除草，然后回家，其中 x 表示时间，y 表示小徐离他家的距离．读图可知菜地 离小徐家的距离为（ ） A．1.1 千米 B．2 千米 C．15 千米 D．37 千米 10．（3 分）如图所示，三架飞机 P，Q，R 保持编队飞行，某时刻在坐标系中的 坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1），30 秒后，飞机 P 飞到 P′（4，3） 位置，则飞机 Q，R 的位置 Q′，R′分别为（ ） A．Q′（2，3），R′（4，1） B．Q′（2，3），R′（2，1） C．Q′（2，2），R′（4， 1） D．Q′（3，3），R′（3，1） 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）将多项式 mn2+2mn+m 因式分解的结果是 ． 12．（3 分）2016 年，我国又有 1240 万人告别贫困，为世界脱贫工作作出了卓越 贡献，将 1240 万用科学记数法表示为 a×10n 的形式，则 a 的值为 ． 13．（3 分）若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下，则 a 的值可能是 ．（写一 个即可） 14．（3 分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出 了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 a， b，c，则该三角形的面积为 S= ，现已知△ABC 的三 边长分别为 1，2， ，则△ABC 的面积为 ． 15．（3 分）如图所示的正六边形 ABCDEF，连结 FD，则∠FDC 的大小为 ． 16．（3 分）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图： ①在 OA，OB 上分别截取线段 OD，OE，使 OD=OE； ②分别以 D，E 为圆心，以大于 DE 的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点 C； ③作射线 OC． 则∠AOC 的大小为 ． 17．（3 分）掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以利用如图所示 的树状图来分析所有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，至少有一次出现正 面的概率是 ． 18．（3 分）如图所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达 A 点时， 从位于地面 R 处的雷达测得 AR 的距离是 40km，仰角是 30°，n 秒后，火箭到达 B 点，此时仰角是 45°，则火箭在这 n 秒中上升的高度是 km． 三、解答题（本大题共 8 小题，第 19-25 题每小题 8 分，第 26 题 10 分，共 66 分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19．（8 分）计算：4sin60°﹣（ ）﹣1﹣ ． 20．（8 分）如图所示，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O，∠ OBC=∠OCB． （1）求证：平行四边形 ABCD 是矩形； （2）请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形． 21．（8 分）先化简，再在﹣3，﹣1，0， ，2 中选择一个合适的 x 值代入求值．[来 源:Z_xx_k.Com] • ． 22．（8 分）为提高节水意识，小申随机统计了自己家 7 天的用水量，并分析了 第 3 天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图．（单 位：升） （1）求这 7 天内小申家每天用水量的平均数和中位数； （2）求第 3 天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比； （3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估 算采用你的建议后小申家一个月（按 30 天计算）的节约用水量． 23．（8 分）某校计划组织师生共 300 人参加一次大型公益活动，如果租用 6 辆 大客车和 5 辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多 17 个． （1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数； （2）由于最后参加活动的人数增加了 30 人，学校决定调整租车方案，在保持租 用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数 量的最大值． 24．（8 分）如图所示，直线 DP 和圆 O 相切于点 C，交直径 AE 的延长线于点 P， 过点 C 作 AE 的垂线，交 AE 于点 F，交圆 O 于点 B，作平行四边形 ABCD，连接 BE，DO，CO． （1）求证：DA=DC； （2）求∠P 及∠AEB 的大小． [来源:学。科。网 Z。X。X。K] 25．（8 分）如图 1 所示，在△ABC 中，点 O 是 AC 上一点，过点 O 的直线与 AB， BC 的延长线分别相交于点 M，N． 【问题引入】 （1）若点 O 是 AC 的中点， = ，求 的值； 温馨提示：过点 A 作 MN 的平行线交 BN 的延长线于点 G． 【探索研究】 （2）若点 O 是 AC 上任意一点（不与 A，C 重合），求证： • • =1； 【拓展应用】 （3）如图 2 所示，点 P 是△ABC内任意一点，射线 AP，BP，CP 分别交 BC，AC， AB 于点 D，E，F，若 = ， = ，求 的值． 26．（10 分）如图所示，顶点为（ ，﹣ ）的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 M（2，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点 A 是抛物线与 x 轴的交点（不与点 M 重合），点 B 是抛物线与 y 轴的交 点，点 C 是直线 y=x+1 上一点（处于 x 轴下方），点 D 是反比例函数 y= （k＞0） 图象上一点，若以点 A，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，求 k 的值． 2017 年湖南省邵阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选 项中只有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）（2017•邵阳）25 的算术平方根是（ ） A．5 B．±5 C．﹣5 D．25 【分析】依据算术平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵52=25， ∴25 的算术平方根是 5． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解 题的关键． 2．（3 分）（2017•邵阳）如图所示，已知 AB∥CD，下列结论正确的是（ ） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4 【分析】根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠4， 故选 C． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（3 分）（2017•邵阳）3﹣π的绝对值是（ ） A．3﹣π B．π﹣3 C．3 D．π 【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案． 【解答】解：∵3﹣π＜0， ∴|3﹣π|=π﹣3． 故选 B． 【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握定义是解题关键． 4．（3 分）（2017•邵阳）下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：A、的主视图是圆，故 A 符合题意； B、的主视图是矩形，故 B 不符合题意； C、的主视图是三角形，故 C 不符合题意； D、的主视图是正方形，故 D 不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键． 5．（3 分）（2017•邵阳）函数 y= 中，自变量 x 的取值范围在数轴上表示正 确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解，然后在数轴上表示即可． 【解答】解：由题意得，x﹣5≥0， 解得 x≥5． 在数轴上表示如下： 故选 B． 【点评】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关 键是从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式 时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 6．（3 分）（2017•邵阳）如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一 侧铺设的角度为 120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为（ ） A．120°B．100°C．80° D．60° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补解答． 【解答】解：∵铺设的是平行管道， ∴另一侧的角度为 180°﹣120°=60°（两直线平行，同旁内角互补）． 故选 D． 【点评】本题考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键． 7．（3 分）（2017•邵阳）如图所示，边长为 a 的正方形中阴影部分的面积为（ ） A．a2﹣π（ ）2 B．a2﹣πa2 C．a2﹣πa D．a2﹣2πa 【分析】根据图形可知阴影部分的面积是正方形的面积减去直径为 a 的圆的面 积，本题得以解决． 【解答】解：由图可得， 阴影部分的面积为：a2﹣ ， 故选 A． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 8．（3 分）（2017•邵阳）“救死扶伤”是我国的传统美德，某媒体就“老人摔倒该不 该扶”进行了调查，将得到的数据经统计分析后绘制成如图所示的扇形统计图， 根据统计图判断下列说法，其中错误的一项是（ ） A．认为依情况而定的占 27% B．认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是 234° C．认为不该扶的占 8% D．认为该扶的占 92% 【分析】根据百分比和圆心角的计算方法计算即可． 【解答】解：认为依情况而定的占 27%，故 A 正确； 认为该扶的在统计图中所对应的圆心角是 65%×360°=234°，故 B 正确； 认为不该扶的占 1﹣27%﹣65%=8%，故 C 正确； 认为该扶的占 65%，故 D 错误； 故选 D． 【点评】本题考查了扇形统计图，掌握百分比和圆心角的计算方法是解题的关键． 9．（3 分）（2017•邵阳）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇 水，又去玉米地除草，然后回家，其中 x 表示时间，y 表示小徐离他家的距离．读 图可知菜地离小徐家的距离为（ ） A．1.1 千米 B．2 千米 C．15 千米 D．37 千米 【分析】小徐第一个到达的地方应是菜地，也应是第一次路程不再增加的开始， 所对应的时间为 15 分，路程为 1.1 千米． 【解答】解：由图象可以看出菜地离小徐家 1.1 千米， 故选：A． 【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表 示的意义是解题关键． 10．（3 分）（2017•邵阳）如图所示，三架飞机 P，Q，R 保持编队飞行，某时刻 在坐标系中的坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1），30 秒后，飞机 P 飞到 P′（4，3）位置，则飞机 Q，R 的位置 Q′，R′分别为（ ） A．Q′（2，3），R′（4，1） B．Q′（2，3），R′（2，1） C．Q′（2，2），R′（4， 1） D．Q′（3，3），R′（3，1） 【分析】由点 P（﹣1，1）到 P′（4，3）知，编队需向右平移 5 个单位、向上平 移 2 个单位，据此可得． 【解答】解：由点 P（﹣1，1）到 P′（4，3）知，编队需向右平移 5 个单位、向 上平移 2 个单位， ∴点 Q（﹣3，1）的对应点 Q′坐标为（2，3），点 R（﹣1，﹣1）的对应点 R′（4， 1）， 故选：A． 【点评】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握在平面直角坐标系确定点的坐标是 解题的关键． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）（2017•邵阳）将多项式 mn2+2mn+m 因式分解的结果是 m（n+1）2 ． 【分析】根据提公因式法、公式法，可得答案． 【解答】解：原式=m（n2+2n+1）=m（n+1）2， 故答案为：m（n+1）2． 【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式、完全平方公式是解题关键． 12．（3 分）（2017•邵阳）2016 年，我国又有 1240 万人告别贫困，为世界脱贫工 作作出了卓越贡献，将 1240 万用科学记数法表示为 a×10n 的形式，则 a 的值为 1.24 ． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值是易错点，由于 1240 万有 8 位，所以可以确定 n=8﹣1=7． 【解答】解：1240 万=1.24×107， 故 a=1.24． 故答案为：1.24． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 13．（3 分）（2017•邵阳）若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下，则 a 的值可能是 ﹣ 1 ．（写一个即可） 【分析】根据二次项系数小于 0，二次函数图象开口向下解答． 【解答】解：∵抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下， ∴a＜0， ∴a 的值可能是﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，是基础题，需熟记． 14．（3 分）（2017•邵阳）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》 一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三 边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S= ，现已 知△ABC 的三边长分别为 1，2， ，则△ABC 的面积为 1 ． 【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC 的三边长分别为 1，2， 的面 积，从而可以解答本题． 【解答】解：∵S= ， ∴△ABC 的三边长分别为 1，2， ，则△ABC 的面积为： S= =1， 故答案为：1． 【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的 面积公式解答． 15．（3 分）（2017•邵阳）如图所示的正六边形 ABCDEF，连结 FD，则∠FDC 的大 小为 90° ． 【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵在正六边形 ABCDEF 中，∠E=∠EDC=120°， ∵EF=DE， ∴∠EDF=∠EFD=30°， ∴∠FDC=90°， 故答案为：90° 【点评】此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数 形结合思想的应用． 16．（3 分）（2017•邵阳）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图： ①在 OA，OB 上分别截取线段 OD，OE，使 OD=OE； ②分别以 D，E 为圆心，以大于 DE 的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点 C； ③作射线 OC． 则∠AOC 的大小为 20° ． 【分析】直接根据角平分线的作法即可得出结论． 【解答】解：∵由作法可知，OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOC= ∠AOB=20°． 故答案为：20°． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 17．（3 分）（2017•邵阳）掷一枚硬币两次，可能出现的结果有四种，我们可以 利用如图所示的树状图来分析所有可能出现的结果，那么掷一枚硬币两次，至少 有一次出现正面的概率是 ． 【分析】画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出掷一枚硬币两次，至少 有一次出现正面的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有 4 种等可能的结果数，其中掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的结果数 为 3， 所以掷一枚硬币两次，至少有一次出现正面的概率= ． 故答案为 ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能 的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事 件 A 或事件 B 的概率． 18．（3 分）（2017•邵阳）如图所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火 箭到达 A 点时，从位于地面 R 处的雷达测得 AR 的距离是 40km，仰角是 30°，n 秒后，火箭到达 B 点，此时仰角是 45°，则火箭在这 n 秒中上升的高度是 （20 ﹣20） km． 【分析】分别在 Rt△ALR，Rt△BLR 中，求出 AL、BL 即可解决问题． 【解答】解：在 Rt△ARL 中， ∵LR=AR•cos30°=40× =20 （km），AL=AR•sin30°=20（km）， 在 Rt△BLR 中，∵∠BRL=45°， ∴RL=LB=20 ， ∴AB=LB﹣AL=（20 ﹣20）km， 故答案为（20 ﹣20）km． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，锐角三角函数等知 识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念解决问题． 三、解答题（本大题共 8 小题，第 19-25 题每小题 8 分，第 26 题 10 分，共 66 分，解答应写 出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19．（8 分）（2017•邵阳）计算：4sin60°﹣（ ）﹣1﹣ ． 【分析】依据特殊锐角三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质进行 解答即可． 【解答】解：原式=4× ﹣2﹣2 =2 ﹣2﹣2 =﹣2． 【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握特殊锐角三角函数值、负整数 指数幂的性质、二次根式的性质是解题的关键． 20．（8 分）（2017•邵阳）如图所示，已知平行四边形 ABCD，对角线 AC，BD 相 交于点 O，∠OBC=∠OCB． （1）求证：平行四边形 ABCD 是矩形； （2）请添加一个条件使矩形 ABCD 为正方形． 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得 OA=OC，OB=OD，根据等角 对等边可得 OB=OC，然后求出 AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形 证明； （2）根据正方形的判定方法添加即可． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵∠OBC=∠OCB， ∴OB=OC， ∴AC=BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形； （2）解：AB=AD（或 AC⊥BD 答案不唯一）． 理由：∵四边形 ABCD 是矩形， 又∵AB=AD， ∴四边形 ABCD 是正方形． 或：∵四边形 ABCD 是矩形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形 ABCD 是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握 特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键． 21．（8 分）（2017•邵阳）先化简，再在﹣3，﹣1，0， ，2 中选择一个合适的 x 值代入求值． • ． 【分析】根据分式的乘法和加法可以化简题目中的式子，然后在﹣3，﹣1，0， ， 2 中选择一个使得原分式有意义的 x 的值代入即可解答本题． 【解答】解： • = = = = =x， 当 x=﹣1 时，原式=﹣1． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的方 法． 22．（8 分）（2017•邵阳）为提高节水意识，小申随机统计了自己家 7 天的用水 量，并分析了第 3 天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示 的统计图．（单位：升） （1）求这 7 天内小申家每天用水量的平均数和中位数； （2）求第 3 天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比； （3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估 算采用你的建议后小申家一个月（按 30 天计算）的节约用水量． 【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解可得； （2）用洗衣服的水量除以第 3 天的用水总量即可得； （3）根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所． 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 这 7 天 内 小 申 家 每 天 用 水 量 的 平 均 数 为 =800（升）， 将这 7 天的用水量从小到大重新排列为：780、785、790、800、805、815、825， ∴用水量的中位数为 800 升； （2） ×100%=12.5%， 答：第 3 天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为 12.5%； （3）小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所， 采用以上建议，每天可节约用水 100 升，一个月估计可以节约用水 100×30=3000 升． 【点评】此题主要考查了统计图、平均数、中位数，关键是看懂统计表，从统计 表中获取必要的信息，熟练掌握平均数，中位数与众数的计算方法． 23．（8 分）（2017•邵阳）某校计划组织师生共 300 人参加一次大型公益活动， 如果租用 6 辆大客车和 5 辆小客车恰好全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数 比小客车多 17 个． （1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数； （2）由于最后参加活动的人数增加了 30 人，学校决定调整租车方案，在保持租 用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数 量的最大值． 【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多 17 个以及师生 共 300 人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案； （2）根据（1）中所求，进而利用总人数为 300+30，进而得出不等式求出答案． 【解答】解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是 x 个，大客车的乘客座位数是 y 个， 根据题意可得： ， 解得： ， 答：每辆小客车的乘客座位数是 18 个，大客车的乘客座位数是 35 个； （2）设租用 a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则 18a+35（11﹣a）≥300+30， 解得：a≤3 ， 符合条件的 a 最大整数为 3， 答：租用小客车数量的最大值为 3． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正 确得出不等关系是解题关键． 24．（8 分）（2017•邵阳）如图所示，直线 DP 和圆 O 相切于点 C，交直径 AE 的 延长线于点 P，过点 C 作 AE 的垂线，交 AE 于点 F，交圆 O 于点 B，作平行四边 形 ABCD，连接 BE，DO，CO． （1）求证：DA=DC； （2）求∠P 及∠AEB 的大小． 【分析】（1）欲证明 DA=DC，只要证明 Rt△DAO≌△Rt△DCO 即可； （2）想办法证明∠P=30°即可解决问题； 【解答】（1）证明：在平行四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∵CB⊥AE， ∴AD⊥AE， ∴∠DAO=90°， ∵DP 与⊙O 相切于点 C， ∴DC⊥OC， ∴∠DCO=90°， 在 Rt△DAO 和 Rt△DCO 中， ， ∴Rt△DAO≌△Rt△DCO， ∴DA=DC． （2）∵CB⊥AE，AE 是直径， ∴CF=FB= BC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，[来源:学科网] ∴AD=BC， ∴CF= AD， ∵CF∥DA， ∴△PCF∽△PDA， ∴ = = ， ∴PC= PD，DC= PD， ∵DA=DC， ∴DA= PD， 在 Rt△DAP 中，∠P=30°， ∵DP∥AB， ∴∠FAB=∠P=30°，[来源:学科网 ZXXK] ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE=90°， ∴∠AEB=60°． 【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、 直角三角形中 30 度角的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．（8 分）（2017•邵阳）如图 1 所示，在△ABC 中，点 O 是 AC 上一点，过点 O 的直线与 AB，BC 的延长线分别相交于点 M，N． 【问题引入】 （1）若点 O 是 AC 的中点， = ，求 的值； 温馨提示：过点 A 作 MN 的平行线交 BN 的延长线于点 G． 【探索研究】 （2）若点 O 是 AC 上任意一点（不与 A，C 重合），求证： • • =1； 【拓展应用】 （3）如图 2 所示，点 P 是△ABC 内任意一点，射线 AP，BP，CP 分别交 BC，AC， AB 于点 D，E，F，若 = ， = ，求 的值． 【分析】（1）作 AG∥MN 交 BN 延长线于点 G，证△ABG∽△MBN 得 = ，即 = ，同理由△ACG∽△OCN 得 = ，结合 AO=CO 得 NG=CN，从而由 = = 可得答案； （2）由 = 、 = 知 • • = • • =1； （3）由（2）知，在△ABD 中有 • • =1、在△ACD 中有 • • =1，从 而 • • = • • ，据此知 = • • = • = ． 【解答】解：（1）过点 A 作 AG∥MN 交 BN 延长线于点 G， ∴∠G=∠BNM， 又∠B=∠B， ∴△ABG∽△MBN， ∴ = ， ∴ ﹣1= ﹣1， ∴ = ，即 = ， 同理，在△ACG 和△OCN 中， = ， ∴ = ， ∵O 为 AC 中点， ∴AO=CO， ∴NG=CN， ∴ = = = ； （2）由（1）知， = 、 = ， ∴ • • = • • =1； （3）在△ABD 中，点 P 是 AD 上的一点，过点 P 的直线与 AC、BD 的延长线相交 于点 C， 由（2）得 • • =1， 在△ACD 中，点 P 是 AD 上一点，过点 P 是 A D 上一点，过点 P 的直线与 AC、AD 的延长线分别相交于点 E、B， 由（2）得 • • =1， ∴ • • = • • ， ∴ = • • = • = × = ． 【点评】本题主要考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定与性 质及比例式的基本性质是解题的关键． 26．（10 分）（2017•邵阳）如图所示，顶点为（ ，﹣ ）的抛物线 y=ax2+bx+c 过点 M（2，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点 A 是抛物线与 x 轴的交点（不与点 M 重合），点 B 是抛物线与 y 轴的交 点，点 C 是直线 y=x+1 上一点（处于 x 轴下方），点 D 是反比例函数 y= （k＞0） 图象上一点，若以点 A，B，C，D 为顶点的四边形是菱形，求 k 的值． 【分析】（1）设抛物线方程为顶点式 y=a（x﹣ ）2﹣ ，将点 M 的坐标代入求 a 的值即可； （2）设直线 y=x+1 与 y 轴交于点 G，易求 G（0，1）．则直角△AOG 是等腰直角 三角形∠AGO=45°．点 C 是直线 y=x+1 上一点（处于 x 轴下方），而 k＞0，所以 反比例函数 y= （k＞0）图象位于点一、三象限．故点 D 只能在第一、三象限， 因此符合条件的菱形只能有如下 2 种情况： ①此菱形以 AB 为边且 AC 也为边，②此菱形以 AB 为对角线，利用点的坐标与图 形的性质，勾股定理，菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得 k 的值 即可． 【解答】解：（1）依题意可设抛物线方程为顶点式 y=a（x﹣ ）2﹣ （a≠0）， 将点 M（2，0）代入可得：a（2﹣ ）2﹣ =0， 解得 a=1． 故抛物线的解析式为：y=（x﹣ ）2﹣ ； （2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x﹣ ）2﹣ ． 则对称轴为 x= ， ∴点 A 与点 M（2，0）关于直线 x= 对称， ∴A（1，0）． 令 x=0，则 y=﹣2， ∴B（0，﹣2）． 在直角△OAB 中，OA=1，OB=2，则 AB= ． 设直线 y=x+1 与 y 轴交于点 G，易求 G（0，1）． ∴直角△AOG 是等腰直角三角形，[来源:学科网] ∴∠AGO=45°． ∵点 C 是直线 y=x+1 上一点（处于 x 轴下方），而 k＞0，所以反比例函数 y= （k ＞0）图象位于点一、三象限． 故点 D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下 2 种情况： ①此菱形以 AB 为边且 AC 也为边，如图 1 所示， 过点 D 作 DN⊥y 轴于点 N， 在直角△BDN 中，∵∠DBN=∠AGO=45°， ∴DN=BN= = ， ∴D（﹣ ，﹣ ﹣2）， ∵点 D 在反比例函数 y= （k＞0）图象上， ∴k=﹣ ×（﹣ ﹣2）= + ； ②此菱形以 AB 为对角线，如图 2， 作 AB 的垂直平分线 CD 交直线 y=x+1 于点 C，交反比例函数 y= （k＞0）的图象 于点 D． 再分别过点 D、B 作 DE⊥x 轴于点 F，BE⊥y 轴，DE 与 BE 相较于点 E． 在直角△BDE 中，同①可证∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°， ∴BE=DE． 可设点 D 的坐标为（x，x﹣2）． ∵BE2+DE2=BD2， ∴BD= BE= x． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD=BD= x． ∴在直角△ADF 中，AD2=AF2+DF2，即（ x）=（x+1）2+（x﹣2）2， 解得 x= ， ∴点 D 的坐标是（ ， ）． ∵点 D 在反比例函数 y= （k＞0）图象上， ∴k= × = ， 综上所述，k 的值是 + 或 ． 【点评】本题考查了二次函数综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式， 勾股定理，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．解答（2） 题时要分类讨论，以防漏解．