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  • 2021-11-06 发布

2019年安徽省合肥市包河区中考数学一模试卷(含答案解析)

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‎2019年安徽省合肥市包河区中考数学一模试卷 一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)‎ ‎1.|﹣2|=(  )‎ A.0 B.﹣2 C.2 D.1‎ ‎2.计算(﹣p)8•(﹣p2)3•[(﹣p)3]2的结果是(  )‎ A.﹣p20 B.p20 C.﹣p18 D.p18‎ ‎3.十九大报告指出,我国目前经济保持了中高速增长,在世界主要国家中名列前茅,国内生产总值从54万亿元增长80万亿元,稳居世界第二,其中80万亿用科学记数法表示为(  )‎ A.8×1012 B.8×1013 C.8×1014 D.0.8×1013‎ ‎4.从图1的正方体上截去一个三棱锥,得到一个几何体,如图2.从正面看图2的几何体,得到的平面图形是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.下列因式分解正确的是(  )‎ A.x2﹣xy+x=x(x﹣y) B.a3+2a2b+ab2=a(a+b)2 ‎ C.x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3 D.ax2﹣9=a(x+3)(x﹣3)‎ ‎6.一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间(  )‎ A.4,3 B.3,2 C.2,1 D.1,0‎ ‎7.如图是某班学生外出乘车、步行、骑车的人数条形统计图和扇形统计图,则该班共有学生人数是(  )‎ A.8 B.10 C.12 D.40‎ ‎8.如图,△ABC中,BC=4,⊙P与△ABC的边或边的延长线相切.若⊙P半径为2,△ABC的面积为5,则△ABC的周长为(  )‎ A.8 B.10 C.13 D.14‎ ‎9.等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°,则这个等腰三角形的顶角为(  )‎ A.60°或120° B.30°或150° C.30°或120° D.60°‎ ‎10.如图,一次函数y1=ax+b图象和反比例函数y2=图象交于A(1,2),B(﹣2,﹣1)两点,若y1<y2,则x的取值范围是(  )‎ A.x<﹣2 B.x<﹣2或0<x<1 ‎ C.x<1 D.﹣2<x<0或x>1‎ 二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)‎ ‎11.已知a为实数,那么等于   .‎ ‎12.化简:=   .‎ ‎13.如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠ABC=120°,OC=3,则弧BC的长为   (结果保留π).‎ ‎14.如图,在△ABC中,若AB=AC,BC=2BD=6,DE⊥AC,则AC•EC的值是   .‎ 三.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)‎ ‎15.计算:(x﹣2)2﹣(x+3)(x﹣3)‎ ‎16.桑植县为践行“绿水青山就是金山银山”的理念,保护生态环境,某村计划在荒山上植树1200棵,实际每天植树的数量是原计划的1.5倍,结果比原计划提前了5天完成任务,求原计划每天植树多少棵?‎ 四.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)‎ ‎17.在4×4的方格中,△ABC的三个顶点都在格点上.‎ ‎(1)在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形(画出一个即可);‎ ‎(2)在图2、图3中各作一格点D,使得△ACD∽△DCB,并请连结AD、CD、BD.‎ ‎18.如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC与地面保持垂直,吊臂AB与水平线的夹角为64°,吊臂底部A距地面1.5m.(计算结果精确到0.1m,参考数据sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05)‎ ‎(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时,吊臂AB的长为   m.‎ ‎(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少?(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)‎ 五.解答题(共2小题,满分20分,每小题10分)‎ ‎19.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D运动;动点Q从点C同时出发,以3cm/s的速度向点B运动.规定当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t,求:‎ ‎(1)当t为何值时,PQ∥CD?‎ ‎(2)当t为何值时,PQ=CD?‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎20.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(6,8),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标.‎ 六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)‎ ‎21.钦州市某中学为了解本校学生阅读教育、科技、体育、艺术四类课外书的喜爱情况,随机抽取了部分学生进行问卷调查,在此次调查中,甲、乙两班分别有2人特别喜爱阅读科技书报,若从这4人中随机抽取2人去参加科普比赛活动,请用列表法或画树状图的方法,求所抽取的2人来自不同班级的概率.‎ 七.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)‎ ‎22.某公司生产的某种产品每件成本为40元,经市场调查整理出如下信息:‎ ‎①该产品90天内日销售量(m件)与时间(第x天)满足一次函数关系,部分数据如下表:‎ 时间(第x天)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ 日销售量(m件)‎ ‎198‎ ‎194‎ ‎188‎ ‎180‎ ‎…‎ ‎②该产品90天内每天的销售价格与时间(第x天)的关系如下表:‎ 时间(第x天)‎ ‎1≤x<50‎ ‎50≤x≤90‎ 销售价格(元/件)‎ x+60‎ ‎100‎ ‎(1)求m关于x的一次函数表达式;‎ ‎(2)设销售该产品每天利润为y元,请写出y关于x的函数表达式,并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大?最大利润是多少?‎ ‎(3)在该产品销售的过程中,共有多少天销售利润不低于5400元,请直接写出结果.‎ 八.解答题(共1小题,满分14分,每小题14分)‎ ‎23.如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.‎ ‎(1)观察猜想:‎ ‎ 图1中,线段PM与PN的数量关系是   ,位置关系是   ; ‎ ‎(2)探究证明:‎ ‎ 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由; ‎ ‎(3)拓展延伸:‎ ‎ 把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.‎ ‎2019年安徽省合肥市包河区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)‎ ‎1.【分析】根据绝对值的定义进行填空即可.‎ ‎【解答】解:|﹣2|=2,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了绝对值,掌握绝对值的定义是解题的关键.‎ ‎2.【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案.‎ ‎【解答】解:(﹣p)8•(﹣p2)3•[(﹣p)3]2‎ ‎=p8•(﹣p6)•p6‎ ‎=﹣p20.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.‎ ‎3.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:80万亿用科学记数法表示为8×1013.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎4.【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:从正面看是,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图.‎ ‎5.【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式,进而分析即可.‎ ‎【解答】解:A、x2﹣xy+x=x(x﹣y+1),故此选项错误;‎ B、a3+2a2b+ab2=a(a+b)2,正确;‎ C、x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3,不是因式分解,故此选项错误;‎ D、ax2﹣9,无法分解因式,故此选项错误;‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.‎ ‎6.【分析】先求出方程的解,再求出的范围,最后即可得出答案.‎ ‎【解答】解:解方程2x2﹣2x﹣1=0得:x=,‎ 设a是方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根,‎ ‎∴a=,‎ ‎∵1<<2,‎ ‎∴2<1+<3,即1<a<.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程,估算无理数的大小的应用,题目是一道比较典型的题目,难度适中.‎ ‎7.【分析】此题首先根据乘车人数和所占总数的比例,求出总人数.[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎【解答】解:该班的学生总人数为20÷50%=40(人),‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查扇形统计图及相关计算.在扇形统计图中,每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比.‎ ‎8.【分析】根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案.[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎【解答】解:连接PE、PF、PG,AP,‎ 由题意可知:∠PEC=∠PFA=PGA=90°,‎ ‎∴S△PBC=BC•PE=×4×2=4,‎ ‎∴由切线长定理可知:S△PFC+S△PBG=S△PBC=4,‎ ‎∴S四边形AFPG=S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC=5+4+4=13,‎ ‎∴由切线长定理可知:S△APG=S四边形AFPG=,‎ ‎∴=×AG•PG,‎ ‎∴AG=,‎ 由切线长定理可知:CE=CF,BE=BG,‎ ‎∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE ‎=AC+AB+CF+BG ‎=AF+AG ‎=2AG ‎=13,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查切线长定理,解题的关键是画出辅助线,熟练运用切线长定理,本题属于中等题型.‎ ‎9.【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系,三角形内部,三角形的外部,三角形的边上.根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了,因而应分两种情况进行讨论.‎ ‎【解答】解:当高在三角形内部时(如图1),顶角是60°;‎ 当高在三角形外部时(如图2),顶角是120°.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题主要考查等腰三角形的性质,熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键,本题易出现的错误是只是求出60°一种情况,把三角形简单的认为是锐角三角形.因此此题属于易错题.‎ ‎10.【分析】当y1<y2时,存在不等式ax+b<,不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时,所对应的自变量x的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵A(1,2),B(﹣2,﹣1),‎ ‎∴由图可得,当y1<y2时,x的取值范围是x<﹣2或0<x<1,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题,从函数的角度看,就是寻求使一次函数值大于(或小于)反比例函数值的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线在双曲线上方(或下方)部分所有的点的横坐标所构成的集合.‎ 二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)‎ ‎11.【分析】根据非负数的性质,只有a=0时,有意义,可求根式的值.‎ ‎【解答】解:根据非负数的性质a2≥0,根据二次根式的意义,﹣a2≥0,‎ 故只有a=0时,有意义,‎ 所以,=0.‎ 故填:0.‎ ‎【点评】本题考查了算术平方根.注意:平方数和算术平方根都是非负数,这是解答此题的关键.‎ ‎12.【分析】先计算括号内的加法、将除法转化为乘法,继而约分即可得.‎ ‎【解答】解:原式=(﹣)•‎ ‎=•‎ ‎=•‎ ‎=x﹣1,‎ 故答案为:x﹣1.‎ ‎【点评】本题主要考查分式的混合运算,解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则.[来源:学*科*网]‎ ‎13.【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°,求出∠OBC,根据三角形内角和定理求出∠BOC ‎=120°,根据弧长公式计算即可.[来源:学科网]‎ ‎【解答】解:连接OB,‎ ‎∵AB与⊙O相切于点B,‎ ‎∴∠OBA=90°,‎ ‎∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=30°,‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴∠C=∠B=30°,‎ ‎∴∠BOC=120°,‎ ‎∴弧BC的长==2π,‎ 故答案为:2π.‎ ‎【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长的计算公式是解题的关键.‎ ‎14.【分析】由等腰三角形的性质得到AD⊥BC,然后根据“两角法”证得△CDE∽△CAD,所以由该相似三角形的对应边成比例求得答案.‎ ‎【解答】解:如图,∵在△ABC中,若AB=AC,BC=2BD=6,‎ ‎∴AD⊥BC,CD=BD=3.‎ 又DE⊥AC,‎ ‎∴∠CED=∠CDA=90°.‎ ‎∵∠C=∠C,‎ ‎∴△CDE∽△CAD.‎ ‎∴=,即AC•EC=CD2=9.‎ 故答案是:9.‎ ‎【点评】考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形性质.本题关键是要懂得找相似三角形,利用相似三角形的性质求解.‎ 三.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)‎ ‎15.【分析】原式利用完全平方公式,以及平方差公式计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:(x﹣2)2﹣(x+3)(x﹣3)‎ ‎=x2﹣4x+4﹣(x2﹣9)‎ ‎=x2﹣4x+4﹣x2+9‎ ‎=﹣4x+13.‎ ‎【点评】此题考查了平方差公式,以及完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.‎ ‎16.【分析】设原计划每天植树x棵,则实际每天植树1.5x棵,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前了5天完成任务,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设原计划每天植树x棵,则实际每天植树1.5x棵,‎ 根据题意得:﹣=5,‎ 解得:x=80,‎ 经检验,x=80是所列分式方程的解,且符合题意.‎ 答:原计划每天植树80棵.‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.‎ 四.解答题(共2小题,满分16分,每小题8分)‎ ‎17.【分析】(1)利用相似三角形的性质得出答案;‎ ‎(2)利用相似三角形的性质得出D点位置.‎ ‎【解答】解:(1)如图所示:‎ ‎(2)如图所示:△ACD∽△DCB.‎ ‎【点评】此题主要考查了相似变换,正确得出对应点位置是解题关键.‎ ‎18.【分析】(1)根据直角三角形的性质和三角函数解答即可;‎ ‎(2)过点D作DH⊥地面于H,利用直角三角形的性质和三角函数解答即可.‎ ‎【解答】解:(1)在Rt△ABC中,‎ ‎∵∠BAC=64°,AC=5m,‎ ‎∴AB=(m);‎ 故答案为:11.4;‎ ‎(2)过点D作DH⊥地面于H,交水平线于点E,‎ 在Rt△ADE中,‎ ‎∵AD=20m,∠DAE=64°,EH=1.5m,‎ ‎∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18(m),‎ 即DH=DE+EH=18+1.5=19.5(m),‎ 答:如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m.‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识,解题的关键是添加辅助线,构造直角三角形,记住锐角三角函数的定义,属于中考常考题型.‎ 五.解答题(共2小题,满分20分,每小题10分)‎ ‎19.【分析】(1)由当PQ∥CD时,四边形PQCD为平行四边形,可得方程24﹣t=3t,解此方程即可求得答案;‎ ‎(2)根据PQ=CD,一种情况是:四边形PQCD为平行四边形,可得方程24﹣t=3t,一种情况是:四边形PQCD为等腰梯形,可求得当QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE,即3t=(24﹣t)+4时,四边形PQCD为等腰梯形,解此方程即可求得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意得:PA=t,CQ=3t,则PD=AD﹣PA=24﹣t,‎ ‎(1)∵AD∥BC,即PD∥CQ,‎ ‎∴当PD=CQ时,四边形PQCD为平行四边形,‎ ‎∴PQ∥CD,‎ 即24﹣t=3t,‎ 解得:t=6,‎ 即当t=6时,PQ∥CD;‎ ‎(2)若要PQ=CD,分为两种情况:‎ ‎①当四边形PQCD为平行四边形时,‎ 即PD=CQ ‎24﹣t=3t,‎ 解得:t=6,‎ ‎②当四边形PQCD为等腰梯形时,‎ 即CQ=PD+2(BC﹣AD)‎ ‎3t=24﹣t+4‎ 解得:t=7,‎ 即当t=6或t=7时,PQ=CD.‎ ‎【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.‎ ‎20.【分析】如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小,先求出直线CH解析式,再求出直线CH与AB的交点即可解决问题.‎ ‎【解答】解:如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.‎ ‎∵D(3,0),A(6,0),‎ ‎∴H(9,0),‎ ‎∴直线CH解析式为y=﹣x+8,‎ ‎∴x=6时,y=,‎ ‎∴点E坐标(6,).‎ ‎【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识,解题的关键是利用轴对称找到点E位置,学会利用一次函数解决交点问题,属于中考常考题型.‎ 六.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)‎ ‎21.【分析】根据题意先画出树状图,得出所有情况数,再根据概率公式即可得出答案.‎ ‎【解答】解:将两班报名的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2,‎ 树状图如图所示:‎ 由树状图知共有12种等可能结果,其中抽取的2人来自不同班级的有8种结果,‎ 所以抽取的2人来自不同班级的概率为=.‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.‎ 七.解答题(共1小题,满分12分,每小题12分)‎ ‎22.【分析】(1)根据待定系数法解出一次函数解析式即可;‎ ‎(2)设利润为y元,则当1≤x<50时,y=﹣2x2+160x+4000;当50≤x≤90时,y=﹣120x+12000,分别求出各段上的最大值,比较即可得到结论;‎ ‎(3)根据1≤x<50和50≤x≤90时,由y≥5400求得x的范围,据此可得销售利润不低于5400元的天数.‎ ‎【解答】解:(1)∵m与x成一次函数,‎ ‎∴设m=kx+b,将x=1,m=198,x=3,m=194代入,得:‎ ‎,‎ 解得:.‎ 所以m关于x的一次函数表达式为m=﹣2x+200;‎ ‎(2)设销售该产品每天利润为y元,y关于x的函数表达式为:‎ y=,‎ 当1≤x<50时,y=﹣2x2+160x+4000=﹣2(x﹣40)2+7200,‎ ‎∵﹣2<0,‎ ‎∴当x=40时,y有最大值,最大值是7200;‎ 当50≤x≤90时,y=﹣120x+12000,‎ ‎∵﹣120<0,‎ ‎∴y随x增大而减小,即当x=50时,y的值最大,最大值是6000;‎ 综上所述,当x=40时,y的值最大,最大值是7200,‎ 即在90天内该产品第40天的销售利润最大,最大利润是7200元;‎ ‎(3)当1≤x<50时,由y≥5400可得﹣2x2+160x+4000≥5400,‎ 解得:10≤x≤70,‎ ‎∵1≤x<50,‎ ‎∴10≤x<50;‎ 当50≤x≤90时,由y≥5400可得﹣120x+12000≥5400,‎ 解得:x≤55,‎ ‎∵50≤x≤90,‎ ‎∴50≤x≤55,‎ 综上,10≤x≤55,‎ 故在该产品销售的过程中,共有46天销售利润不低于5400元.‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是理解题意根据销售问题中总利润的相等关系,结合x的取值范围列出分段函数解析式及二次函数和一次函数的性质.‎ 八.解答题(共1小题,满分14分,每小题14分)‎ ‎23.【分析】(1)利用三角形的中位线得出PM=CE,PN=BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论,再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论;‎ ‎(2)先判断出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同(1)的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同(1)的方法即可得出结论;‎ ‎(3)方法1:先判断出MN最大时,△PMN的面积最大,进而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2:先判断出BD最大时,△PMN的面积最大,而BD最大是AB+AD=14,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵点P,N是BC,CD的中点,‎ ‎∴PN∥BD,PN=BD,‎ ‎∵点P,M是CD,DE的中点,‎ ‎∴PM∥CE,PM=CE,‎ ‎∵AB=AC,AD=AE,‎ ‎∴BD=CE,‎ ‎∴PM=PN,‎ ‎∵PN∥BD,‎ ‎∴∠DPN=∠ADC,‎ ‎∵PM∥CE,‎ ‎∴∠DPM=∠DCA,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠ADC+∠ACD=90°,‎ ‎∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,‎ ‎∴PM⊥PN,‎ 故答案为:PM=PN,PM⊥PN;‎ ‎(2)△PMN是等腰直角三角形.‎ 由旋转知,∠BAD=∠CAE,‎ ‎∵AB=AC,AD=AE,‎ ‎∴△ABD≌△ACE(SAS),‎ ‎∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,‎ 利用三角形的中位线得,PN=BD,PM=CE,‎ ‎∴PM=PN,‎ ‎∴△PMN是等腰三角形,‎ 同(1)的方法得,PM∥CE,‎ ‎∴∠DPM=∠DCE,‎ 同(1)的方法得,PN∥BD,‎ ‎∴∠PNC=∠DBC,‎ ‎∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,‎ ‎∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC ‎=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC ‎=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠ACB+∠ABC=90°,‎ ‎∴∠MPN=90°,‎ ‎∴△PMN是等腰直角三角形;‎ ‎(3)方法1:如图2,同(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,‎ ‎∴MN最大时,△PMN的面积最大,‎ ‎∴DE∥BC且DE在顶点A上面,‎ ‎∴MN最大=AM+AN,‎ 连接AM,AN,‎ 在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,‎ ‎∴AM=2,‎ 在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5,‎ ‎∴MN最大=2+5=7,‎ ‎∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×(7)2=.‎ 方法2:由(2)知,△PMN是等腰直角三角形,PM=PN=BD,‎ ‎∴PM最大时,△PMN面积最大,‎ ‎∴点D在BA的延长线上,‎ ‎∴BD=AB+AD=14,‎ ‎∴PM=7,‎ ‎∴S△PMN最大=PM2=×72=.‎ ‎【点评】此题属于几何变换综合题,主要考查了三角形的中位线定理,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判断和性质,直角三角形的性质的综合运用;解(1)的关键是判断出PM=CE,PN=BD,解(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE,解(3)的关键是判断出MN最大时,△PMN的面积最大.‎