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- 2021-11-06 发布
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2019年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟试卷(二)
一、选择题(每小题四个选项中,只有一项最符合题意.本大题共12个小题,每小题3分,共36分)
1.给出四个数,,其中为无理数的是( )
A.﹣1 B.0 C.0.5 D.
2.下列图形中,不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.某校八年级(3)班体训队员的身高(单位:cm)如下:169,165,166,164,169,167,166,169,166,165,获得这组数据方法是( )
A.直接观察 B.查阅文献资料
C.互联网查询 D.测量
4.一次函数y=2x+1的图象不经过第( )象限.
A.一 B.二 C.三 D.四
5.若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k>﹣1 B.k<﹣1 C.k≥﹣1且k≠0 D.k>﹣1且k≠0
6.如图,⊙O的直径AB=4,点C在⊙O上,∠ABC=30°,则AC的长是( )[来源:学科网ZXXK]
A.1 B. C. D.2
7.已知△ABC的两个内角∠A=30°,∠B=70°,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
8.Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=2,AC=3,下列各式中正确的是 ( )
A. B. C. D.
9.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sin∠ECF=( )
A. B. C. D.
10.七年级(1)班与(2)班各选出20名学生进行英文打字比赛,通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计,两班成绩的平均数相同,(1)班成绩的方差为17.5,(2)班成绩的方差为15,由此可知( )
A.(1)班比(2)班的成绩稳定
B.(2)班比(1)班的成绩稳定
C.两个班的成绩一样稳定
D.无法确定哪班的成绩更稳定
11.一个六边形的六个内角都是120°(如图),连续四条边的长依次为 1,3,3,2,则这个六边形的周长是( )
A.13 B.14 C.15 D.16
12.如图,在正方形ABCD和正方形DEFG中,点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°,得到正方形DE′F′G′,此时点G′在AC上,连接CE′,则CE′+CG′=( )
[来源:学科网]
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共8小题;共24分)
13.﹣5的相反数是 ;﹣5的绝对值是 ;﹣5的立方是 ;﹣0.5的倒数是 .
14.写一个有两个相等的实数根的一元二次方程: .
15.一种饮料重约300克,罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”,其中蛋白质的含量为 克.
16.在△ABC中,∠A=60°,∠B=2∠C,则∠B= °.
17.在半径为6cm的圆中,圆心角为120°的扇形的面积是 cm2.
18.如图,第一个图形有1个正方形;第二个图形有5个正方形;第三个图形有14个正方形……;则按此规律,第五个图形有 个正方形.
19.已知▱ABCD的顶点B(1,1),C(5,1),直线BD,CD的解析式分别是y=kx,y=mx﹣14,则BC= ,点A的坐标是 .
20.如图,曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的,过点A(﹣4,4),B(2,2)的直线与曲线l相交于点M、N,则△OMN的面积为 .
三、解答题(本大题共7小题;共60分)
21.(1)计算:﹣|﹣|+(﹣)﹣1﹣2sin60°
(2)解方程﹣=.
22.花鸟市场一家店铺正销售一批兰花,每盆进价100元,售价为140元,平均每天可售出20盆.为扩大销量,增加利润,该店决定适当降价.据调查,每盆兰花每降价1元,每天可多售出2盆.要使得每天利润达到1200元,则每盆兰花售价应定为多少元?
23.如图,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°,已知OA=100米,山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i=1:2,且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P
的铅直高度.(测倾器高度忽略不计,结果保留根号形式)
24.如图,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,点P从A出发,以每秒2厘米的速度向B运动,点Q从C同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是多少?
25.如图,∠ABC=38°,∠ACB=100°,AD平分∠BAC,AE是BC边上的高,求∠DAE的度数.
26.如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形?
(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;
(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.
27.如图,AB是⊙O的直径,=,连结AC,过点C作直线l∥AB,点P是直线l上的一个动点,直线PA与⊙O交于另一点D,连结CD,设直线PB与直线AC交于点E.
(1)求∠BAC的度数;
(2)当点D在AB上方,且CD⊥BP时,求证:PC=AC;
(3)在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时,求出所有满足条件的∠ACD的度数;
②设⊙O的半径为6,点E到直线l的距离为3,连结BD,DE,直接写出△BDE的面积.
2019年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟试卷(二)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题四个选项中,只有一项最符合题意.本大题共12个小题,每小题3分,共36分)
1.给出四个数,,其中为无理数的是( )
A.﹣1 B.0 C.0.5 D.
【分析】根据无理数的三种形式,①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,结合选项即可作出判断.
【解答】解:结合所给的数可得,无理数有:.
故选:D.
【点评】此题考查了无理数的定义,关键要掌握无理数的三种形式,要求我们熟练记忆.
2.下列图形中,不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.[来源:Z.xx.k.Com]
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是中心对称图形,故本选项正确;
C、是中心对称图形,故本选项错误;
D、是中心对称图形,故本选项错误;
故选:B.
【点评】本题考查了中心对称的知识,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
3.某校八年级(3)班体训队员的身高(单位:cm)如下:169,165,166,164,169,167,166,169,166,165,获得这组数据方法是( )
A.直接观察 B.查阅文献资料
C.互联网查询 D.测量
【分析】要得出某校八年级(3)班体训队员的身高,需要测量.
【解答】解:因为要对篮球队员的身高的数据进行收集和整理,获得这组数据方法应该是测量.
故选:D.
【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法,解答此题要明确,调查要进行数据的收集、整理.
4.一次函数y=2x+1的图象不经过第( )象限.
A.一 B.二 C.三 D.四[来源:Zxxk.Com]
【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案.
【解答】解:∵2>0,1>0,
∴一次函数y=2x+1的图象经过一、二、三象限,即不经过第四象限.
故选:D.
【点评】此题考查一次函数的性质,一次函数y=kx+b的图象有四种情况:
①当k>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,y的值随x的值增大而增大;
②当k>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,y的值随x的值增大而增大;
③当k<0,b>0时,函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,y的值随x的值增大而减小;
④当k<0,b<0时,函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,y的值随x的值增大而减小.
5.若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k>﹣1 B.k<﹣1 C.k≥﹣1且k≠0 D.k>﹣1且k≠0
【分析】根据△的意义得到k≠0且△=4﹣4k×(﹣1)>0,然后求出两不等式的公共部分即可.
【解答】解:∵x的方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴k≠0且△=4﹣4k×(﹣1)>0,解得k>﹣1,
∴k的取值范围为k>﹣1且k≠0.
故选:D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.
6.如图,⊙O的直径AB=4,点C在⊙O上,∠ABC=30°,则AC的长是( )
A.1 B. C. D.2
【分析】先根据圆周角定理证得△ABC是直角三角形,然后根据直角三角形的性质求出AC的长.
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°;
Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=4;
∴AC=AB=2.
故选:D.
【点评】本题考查的是圆周角定理的推论和直角三角形的性质.
7.已知△ABC的两个内角∠A=30°,∠B=70°,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【分析】根据题意,可以求得∠C的度数,然后将△ABC各个内角的度数即可判断△ABC的形状.
【解答】解:∵△ABC的两个内角∠A=30°,∠B=70°,
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°,
∵∠A=30°,∠B=70°,∠C=80°,
∴△ABC是锐角三角形,
故选:A.
【点评】本题考查三角形内角和,解答本题的关键是明确题意,利用三角形内角和的知识解答.
8.Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=2,AC=3,下列各式中正确的是 ( )
A. B. C. D.
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解,再进行判断即可.
【解答】解:∵∠C=90°,BC=2,AC=3,
∴AB=,
A.sinA===,故此选项错误;
B.cosA==,故此选项错误;
C.tanA==,故此选项正确;
D.cotA==,故此选项错误.
故选:C.
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理,熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键.
9.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sin∠ECF=( )
A. B. C. D.
【分析】过E作EH⊥CF于H,由折叠的性质得BE=EF,∠BEA=∠FEA,由点E是BC的中点,得到CE=BE,得到△EFC是等腰三角形,根据等腰三角形的性质得到∠FEH=∠CEH,推出△ABE∽△EHC,求得EH=,结果可求sin∠ECF==.
【解答】解:过E作EH⊥CF于H,
由折叠的性质得:BE=EF,∠BEA=∠FEA,
∵点E是BC的中点,
∴CE=BE,[来源:学#科#网]
∴EF=CE,
∴∠FEH=∠CEH,
∴∠AEB+∠CEH=90°,
在矩形ABCD中,
∵∠B=90°,
∴∠BAE+∠BEA=90°,
∴∠BAE=∠CEH,∠B=∠EHC,
∴△ABE∽△EHC,
∴,
∵AE==10,[来源:Zxxk.Com]
∴EH=,
∴sin∠ECF=sin∠ECH==,
(方法二,可以证明∠AEB=∠ECF,求出AE=10,sin∠ECF=sin∠AEB=)
故选:D.
【点评】本题考查了折叠问题:折叠前后两图形全等,即对应线段相等;对应角相等.也考查了矩形的性质以及勾股定理.
10.七年级(1)班与(2)班各选出20名学生进行英文打字比赛,通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计,两班成绩的平均数相同,(1)班成绩的方差为17.5,(2)班成绩的方差为15,由此可知( )
A.(1)班比(2)班的成绩稳定
B.(2)班比(1)班的成绩稳定
C.两个班的成绩一样稳定
D.无法确定哪班的成绩更稳定
【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
【解答】解:∵(1)班成绩的方差为17.5,(2)班成绩的方差为15,
∴(1)班成绩的方差>(2)班成绩的方差,
∴(2)班比(1)班的成绩稳定.
故选:B.
【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
11.一个六边形的六个内角都是120°(如图),连续四条边的长依次为 1,3,3,2,则这个六边形的周长是( )
A.13 B.14 C.15 D.16
【分析】六边形ABCDEF,并不是一规则的六边形,但六个角都是120°,所以通过适当的向外作延长线,可得到等边三角形,进而求解.
【解答】解:如图所示,分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I.
因为六边形ABCDEF的六个角都是120°,
所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.
所以△AFI、△BGC、△DHE、△GHI都是等边三角形.
所以AI=AF=3,BG=BC=1.
所以GI=GH=AI+AB+BG=3+3+1=7,DE=HE=HI﹣EF﹣FI=7﹣2﹣3=2,CD=HG﹣CG﹣HD=7﹣1﹣2=4.
所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15;
故选:C.
【点评】本题考查了等边三角形的性质及判定定理;解题中巧妙地构造了等边三角形,从而求得周长.是非常完美的解题方法,注意学习并掌握.
12.如图,在正方形ABCD和正方形DEFG中,点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕点D
顺时针旋转60°,得到正方形DE′F′G′,此时点G′在AC上,连接CE′,则CE′+CG′=( )
A. B. C. D.
【分析】解法一:作G′R⊥BC于R,则四边形RCIG′是正方形.首先证明点F′在线段BC上,再证明CH=HE′即可解决问题.
解法二:首先证明CG′+CE′=AC,作G′M⊥AD于M.解直角三角形求出DM,AM,AD即可;
【解答】解法一:作G′R⊥BC于R,则四边形RCIG′是正方形.
∵∠DG′F′=∠IG′R=90°,
∴∠DG′I=∠RG′F′,
在△G′ID和△G′RF中
,
∴△G′ID≌△G′RF,
∴∠G′ID=∠G′RF′=90°,
∴点F′在线段BC上,
在Rt△E′F′H中,∵E′F′=2,∠E′F′H=30°,
∴E′H=E′F′=1,F′H=,
易证△RG′F′≌△HF′E′,
∴RF′=E′H,RG′=RC=F′H,
∴CH=RF′=E′H,
∴CE′=,
∵RG′=HF′=,
∴CG′=RG′=,
∴CE′+CG′=+.
故选A.
解法二:作G′M⊥AD于M.
易证△DAG'≌△DCE',
∴AG'=CE',
∴CG′+CE′=AC,
在Rt△DMG′中,∵DG′=2,∠MDG′=30°,
∴MG′=1,DM=,
∵∠MAG′=45°,∠AMG′=90°,
∴∠MAG′=∠MG′A=45°,
∴AM=MG′=1,
∴AD=1+,
∵AC=AD,
∴AC=+.
故选:A.
【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
二、填空题(本大题共8小题;共24分)
13.﹣5的相反数是 5 ;﹣5的绝对值是 5 ;﹣5的立方是 ﹣125 ;﹣0.5的倒数是 ﹣2 .
【分析】根据相反数、绝对值、倒数的意义以及有理数的乘方法则即可求解.
【解答】解:﹣5的相反数是5;﹣5的绝对值是5;﹣5的立方是﹣125;﹣0.5的倒数是﹣2.
故答案为5;5;﹣125;﹣2.
【点评】本题考查了有理数的乘方,相反数、绝对值、倒数的意义,是基础知识,需熟练掌握.
14.写一个有两个相等的实数根的一元二次方程: x2+2x+1=0 .
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根,判别式等于0.答案不唯一.
【解答】解:∵一元二次方程有两个相等的实数根,
∴b2﹣4ac=0,
符合条件的一元二次方程为x2+2x+1=0(答案不唯一),
故答案为:x2+2x+1=0.
【点评】本题是一个开放性的题目,考查了一元二次方程的判别式,是一个基础性的题目.
15.一种饮料重约300克,罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”,其中蛋白质的含量为 不少于1.5 克.
【分析】根据题意求出蛋白质含量的最小值即可.
【解答】解:∵某种饮料重约300g,罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”,
∴蛋白质含量的最小值=300×0.5%=1.5克,
∴白质的含量不少于1.5克.
故答案是:不少于1.5
【点评】本题考查的是不等式的定义,根据题意求出蛋白质含量的最小值是解答此题的关键.
16.在△ABC中,∠A=60°,∠B=2∠C,则∠B= 80 °.
【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求得.
【解答】解:∵∠A=60°,
∴∠B+∠C=120°,
∵∠B=2∠C,
∴∠B=80°.
故答案为:80.
【点评】主要考查了三角形的内角和是180°.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件.
17.在半径为6cm的圆中,圆心角为120°的扇形的面积是 12π cm2.
【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式进行计算即可得出答案.
【解答】解:由题意得,n=120°,R=6cm,
故圆心角为120°的扇形的面积==12π(cm2).
故答案为12π.
【点评】此题考查了扇形面积的计算,属于基础题,解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义,难度一般.
18.如图,第一个图形有1个正方形;第二个图形有5个正方形;第三个图形有14个正方形……;则按此规律,第五个图形有 55 个正方形.
【分析】由已知图形得出第n个图形中小正方形的个数为12+22+…+(n﹣1)2+n2,据此可得.
【解答】解:由题意知,第五个图形中正方形有12+22+32+42+52=55(个),
故答案为:55.
【点评】本题主要考查图形的变化规律,解题的关键是掌握第n个图形中小正方形的个数为12+22+…+(n﹣1)2+n2.
19.已知▱ABCD的顶点B(1,1),C(5,1),直线BD,CD的解析式分别是y=kx,y=mx﹣14,则BC= 4 ,点A的坐标是 (3,7) .
【分析】由顶点B(1,1),C(5,1),即可求得BC的长,又由直线BD,CD的解析式分别是y=kx,y=mx﹣14,利用待定系数法即可求得k与m的值,继而求得D的坐标,再由四边形ABCD是平行四边形,根据平移的性质,即可求得答案.
【解答】解:∵顶点B(1,1),C(5,1),
∴BC=5﹣1=4;
∵直线BD,CD的解析式分别是y=kx,y=mx﹣14,
∴1=k,1=5m﹣14,
解得:k=1,m=3,
∴直线BD,CD的解析式分别是y=x,y=3x﹣14,
∴,
解得:,
∴D的坐标为:(7,7),
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴A的坐标为:(3,7).
故答案为:4,(3,7).
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及一次函数的交点问题.注意掌握平移的性质的应用是解此题的关键.
20.如图,曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的,过点A(﹣4,4),B(2,2)的直线与曲线l相交于点M、N,则△OMN的面积为 8 .
【分析】由题意A(﹣4,4),B(2,2),可知OA⊥OB,建立如图新的坐标系(OB为x′轴,OA为y′轴,利用方程组求出M、N的坐标,根据S△OMN=S△OBM﹣S△OBN计算即可.
【解答】解:∵A(﹣4,4),B(2,2),
∴OA⊥OB,
建立如图新的坐标系,OB为x′轴,OA为y′轴.
在新的坐标系中,A(0,8),B(4,0),
∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8,
由,解得或,[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∴M(1,6),N(3,2),
∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN=•4•6﹣•4•2=8,
故答案为8.
【点评】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识,解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题,属于中考填空题中的压轴题.
三、解答题(本大题共7小题;共60分)
21.(1)计算:﹣|﹣|+(﹣)﹣1﹣2sin60°
(2)解方程﹣=.
【分析】(1)原式利用二次根式性质,绝对值的代数意义,负整数指数幂法则,以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果;
(2)分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:(1)原式=3﹣﹣2﹣=﹣2;
(2)去分母得:3﹣2x=x﹣2,
解得:x=,
经检验x=是分式方程的解.
【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.
22.花鸟市场一家店铺正销售一批兰花,每盆进价100元,售价为140元,平均每天可售出20盆.为扩大销量,增加利润,该店决定适当降价.据调查,每盆兰花每降价1元,每天可多售出2盆.要使得每天利润达到1200元,则每盆兰花售价应定为多少元?
【分析】设每盆兰花售价定为x元,则每天可售出20+2(140﹣x)=300﹣2x盆兰花,根据总利润=单盘利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出x值,取其较小值即可.
【解答】解:设每盆兰花售价定为x元,则每天可售出20+2(140﹣x)=300﹣2x盆兰花,
据题意得:(x﹣100)(300﹣2x)=1200,
整理得:x2﹣250x+15600=0,
解得:x1=120,x2=130,
∴为扩大销量,增加利润,
∴x=120.
答:要使得每天利润达到1200元,则每盆兰花售价应定为120元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,据总利润=单盘利润×销售数量,列出关于x的一元二次方程是解题的关键.
23.如图,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°,已知OA=100米,山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i=1:2,且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.(测倾器高度忽略不计,结果保留根号形式)
【分析】在图中共有三个直角三角形,即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE,利用60°、45°以及坡度比,分别求出CO、CF、PE,然后根据三者之间的关系,列方程求解即可解决.
【解答】解:作PE⊥OB于点E,PF⊥CO于点F,
在Rt△AOC中,AO=100,∠CAO=60°,
∴CO=AO•tan60°=100(米).
设PE=x米,
∵tan∠PAB==,
∴AE=2x.
在Rt△PCF中,∠CPF=45°,CF=100﹣x,PF=OA+AE=100+2x,
∵PF=CF,
∴100+2x=100﹣x,
解得x=(米).
答:电视塔OC高为100米,点P的铅直高度为(米).
【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用,关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.
24.如图,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,点P从A出发,以每秒2厘米的速度向B运动,点Q从C同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是多少?
【分析】首先设运动了ts,根据题意得:AP=2tcm,CQ=3tcm,然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案.
【解答】解:设运动了ts,
根据题意得:AP=2tcm,CQ=3tcm,
则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t(cm),
当△APQ∽△ABC时,,
即,
解得:t=;
当△APQ∽△ACB时,,
即,
解得:t=4;
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是: s或4s.
【点评】此题考查了相似三角形的性质.此题难度适中,注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用.
25.如图,∠ABC=38°,∠ACB=100°,AD平分∠BAC,AE是BC边上的高,求∠DAE的度数.
[来源:Z§xx§k.Com]
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数,由角平分线的定义得出∠BAD的度数,根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数,由两角互补的性质即可得出结论.
【解答】解:∵∠ABC=38°,∠ACB=100°(己知)
∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°(三角形内角和180°).
又∵AD平分∠BAC(己知),
∴∠BAD=21°,
∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°(三角形的外角性质).
又∵AE是BC边上的高,即∠E=90°,
∴∠DAE=90°﹣59°=31°.
【点评】此题考查的是三角形的内角和定理,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.
26.如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形?
(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;
(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.
【分析】(1)根据平移的性质,可得PQ,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可得答案;
(2)根据正方形的性质,平移的性质,可得PQ与AB的关系,根据等腰直角三角形的判定与性质,可得∠PQO,根据全等三角形的判定与性质,可得AO与OP的数量关系,根据余角的性质,可得AO与OP的位置关系;
(3)根据等腰直角三角形的性质,可得OE的长,根据三角形的面积公式,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得到答案.
【解答】(1)四边形APQD为平行四边形;
(2)OA=OP,OA⊥OP,理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°,
∵OQ⊥BD,
∴∠PQO=45°,
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°,
∴OB=OQ,
在△AOB和△OPQ中,
∴△AOB≌△POQ(SAS),
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∴∠AOP=∠BOQ=90°,
∴OA⊥OP;
(3)如图,过O作OE⊥BC于E.
①如图1,当P点在B点右侧时,
则BQ=x+2,OE=,
∴y=וx,即y=(x+1)2﹣,
又∵0≤x≤2,
∴当x=2时,y有最大值为2;
②如图2,当P点在B点左侧时,
则BQ=2﹣x,OE=,
∴y=וx,即y=﹣(x﹣1)2+,
又∵0≤x≤2,
∴当x=1时,y有最大值为;
综上所述,∴当x=2时,y有最大值为2.
【点评】本题考查了二次函数综合题,利用平行四边形的判定是解题关键;利用全等三角形的判定与性质是解题关键;利用等腰直角三角形的性质的出OE的长是解题关键,又利用了二次函数的性质.
27.如图,AB是⊙O的直径,=,连结AC,过点C作直线l∥AB,点P是直线l上的一个动点,直线PA与⊙O交于另一点D,连结CD,设直线PB与直线AC交于点E.
(1)求∠BAC的度数;
(2)当点D在AB上方,且CD⊥BP时,求证:PC=AC;
(3)在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时,求出所有满足条件的∠ACD的度数;
②设⊙O的半径为6,点E到直线l的距离为3,连结BD,DE,直接写出△BDE的面积.
【分析】(1)只要证明△ABC是等腰直角三角形即可;
(2)只要证明CB=CP,CB=CA即可;、
(3)①分四种情形分别画出图形一一求解即可;
②分两种情形如图6中,作EK⊥PC于K.只要证明四边形ADBC是正方形即可解决问题;如图7中,连接OC,作BG⊥CP于G,EK⊥PC于K.由△AOQ∽△ADB,可得S△ABD=,可得S△PBD=S△ABP﹣S△ABD=,再根据S△BDE=•S△PBD计算即可解决问题;
【解答】解:(1)如图1中,连接BC.
∵=,
∴BC=CA,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠CBA=45°.
(2)解:如图1中,设PB交CD于K.
∵=,
∴∠CDB=∠CDP=45°,CB=CA,
∴CD平分∠BDP,又∵CD⊥BP,
∴∠DKB=∠DKP=90°,∵DK=DK,
∴△DKB≌△DKP,
∴BK=KP,
即CD是PB的中垂线,
∴CP=CB=CA.
(3)①(Ⅰ)如图2,当 B在PA的中垂线上,且P在右时,∠ACD=15°;
理由:连接BD、OC.作BG⊥PC于G.则四边形OBGC是正方形,
∵BG=OC=OB=CG,
∵BA=BA,
∴PB=2BG,
∴∠BPG=30°,
∵AB∥PC,
∴∠ABP=30°,
∵BD垂直平分AP,
∴∠ABD=∠ABP=15°,
∴∠ACD=15°
(Ⅱ)如图3,当B在PA的中垂线上,且P在左,∠ACD=105°;
理由:作BG⊥CP于G.
同法可证∠BPG=30°,可得∠APB=∠BAP=∠APC=15°,
∴∠ABD=75°,
∵∠ACD+∠ABD=180°,
∴∠ACD=105°;
(Ⅲ)如图4,A在PB的中垂线上,且P在右时∠ACD=60°;
理由:作AH⊥PC于H,连接BC.
同法可证∠APH=30°,可得∠DAC=75°,∠D=∠ABC=45°,
∴∠ACD=60°;
(Ⅳ)如图5,A在PB的中垂线上,且P在左时∠ACD=120°
理由:作AH⊥PC于H.
同法可证:∠APH=30°,可得∠ADC=45°,∠DAC=60°﹣45°=15°,
∴∠ACD=120°.[来源:学.科.网]
②如图6中,作EK⊥PC于K.[来源:学科网]
∵EK=CK=3,
∴EC=3,
∵AC=6,
∴AE=EC,
∵AB∥PC,
∴∠BAE=∠PCE,∵∠AEB=∠PEC,
∴△ABE≌△CPE,
∴PC=AB=CD,
∴△PCD是等腰直角三角形,可得四边形ADBC是正方形,
∴S△BDE=•S正方形ADBC=36.
如图7中,连接OC,作BG⊥CP于G,EK⊥PC于K.
由题意CK=EK=3,PK=1,PG=2,
由△AOQ∽△PCQ,可得QC=,
PQ2=,
由△AOQ∽△ADB,可得S△ABD=,
∴S△PBD=S△ABP﹣S△ABD=,
∴S△BDE=•S△PBD=
综上所,满足条件的△BDE的面积为36或.
【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、切线的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、直角三角形中30度角的判定等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题,属于中考压轴题.
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