2021年中考数学专题复习 专题25 正方形（学生版） 9页

专题 25 正方形问题 1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2．正方形的性质： (1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质； (2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等； (3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； (4)正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴； (5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小 等腰直角三角形； (6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3．正方形的判定 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 一是先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形。 二是先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。 4．正方形的面积：设正方形边长为 a，对角线长为 b ，S= 2 2 2 ba  【例题 1】(2020•台州)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形 地砖面积为 a，小正方形地砖面积为 b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形 ABCD．则正方形 ABCD 的面积为 ．(用含 a，b 的代数式表示) 【对点练习】(2019·广西贺州)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点，AF 平分∠BAE 交 BC 于 点 F，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ABG，则 CF 的长为 ． 【例题 2】(2020•青岛)如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 在 CD 的延长线上，连接 AE，点 F 是 AE 的中点，连接 OF 交 AD 于点 G．若 DE＝2，OF＝3，则点 A 到 DF 的距离为 ． 【对点练习】(2019 内蒙古包头)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝1，点 E，F分别在边 BC 和 CD 上，AE＝AF， ∠EAF＝60°，则 CF 的长是( ) A． B． C． ﹣1 D． 【例题 3】(2020•湘西州)如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，连接 BE，CE． (1)求证：△BAE≌△CDE； (2)求∠AEB 的度数． 【对点练习】(2019 湖南株洲)如图所示，已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点， 连接 CE、DG． (1)求证：△DOG≌△COE； (2)若 DG⊥BD，正方形 ABCD 的边长为 2，线段 AD 与线段 OG 相交于点 M，AM＝ 1 2 ，求正方形 OEFG 的边长． 一、选择题 1．(2020•河南)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为(﹣2，6)和(7， 0)．将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为( ) A．( ，2) B．(2，2) C．( ，2) D．(4，2) 2．(2020•湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为 2 的正方形可以制作一副 中国七巧板或一副日本七巧板，如图 1 所示．分别用这两副七巧板试拼如图 2 中的平行四边形或矩形，则 这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( ) A．1 和 1 B．1 和 2 C．2 和 1 D．2和 2 3．(2020•温州)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点 C 作 CR⊥FG 于点 R， 再过点 C 作 PQ⊥CR 分别交边 DE，BH 于点 P，Q．若 QH＝2PE，PQ＝15，则 CR 的长为( ) A．14 B．15 C．8 D．6 4．(2020•南京)如图，在平面直角坐标系中，点 P 在第一象限，⊙P 与 x 轴、y轴都相切，且经过矩形 AOBC 的顶点 C，与 BC 相交于点 D．若⊙P 的半径为 5，点 A 的坐标是(0，8)．则点 D的坐标是( ) A．(9，2) B．(9，3) C．(10，2) D．(10，3) 5.(2020•天津)如图，四边形 OBCD 是正方形，O，D 两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点 C 在第一象限， 则点 C 的坐标是( ) A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6) 二、填空题 6．(2020•连云港)如图，将 5 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点 M、N 的坐标分别为(3， 9)、(12，9)，则顶点 A的坐标为 ． 7．(2020•绍兴)如图 1，直角三角形纸片的一条直角边长为 2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图 2放入一个边长为 3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图 2 中阴影部分面积为 ． 8．(2020•天水)如图，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 E 的坐标为(2，3)，则点 F的坐标为 ． 9．(2020•德州)如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，AD ．把 AD 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在 AB 边上 的 D′处，再将△AED′绕点 E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得 EA′恰好经过 BD′的中点 F．A′D″交 AB 于点 G，连接 AA′．有如下结论：①A′F的长度是 2；②弧 D'D″的长度是 π；③△A′AF≌△A′ EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是 ． 10．(2020•攀枝花)如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 的中点，DE、AF 交于点 G， AF 的中点为 H，连接 BG、DH．给出下列结论： ①AF⊥DE；②DG ；③HD∥BG；④△ABG∽△DHF． 其中正确的结论有 ．(请填上所有正确结论的序号) 11．(2020•咸宁)如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 E 是边 BC 上一动点(不与点 B，C 重合)，∠ AEF＝90°，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F，交 CD 于点 G，连接 AF，有下列结论： ①△ABE∽△ECG； ②AE＝EF； ③∠DAF＝∠CFE； ④△CEF 的面积的最大值为 1． 其中正确结论的序号是 ．(把正确结论的序号都填上) 12．(2020•河南)如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，连接 EC，FD， 点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长度为 ． 三、解答题 13．(2020•遵义)如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上一动点(点 E 与点 A、C 不重合)， 连接 DE，作 EF⊥DE 交射线 BA 于点 F，过点 E 作 MN∥BC 分别交 CD、AB 于点 M、N，作射线 DF 交射线 CA 于 点 G． (1)求证：EF＝DE； (2)当 AF＝2 时，求 GE 的长． 14．(2019 湖南湘西州)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 CD，AD 上，且 AF ＝CE． (1)求证：△ABF≌△CBE； (2)若 AB＝4，AF＝1，求四边形 BEDF 的面积． 15.(2020 湖北仙桃模拟)如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点，且 BE＝CF，过点 E 作 EG∥BF，交正方形外角的平分线 CG 于点 G，连接 GF．求证： (1)AE⊥BF； (2)四边形 BEGF 是平行四边形． 16．(2019•山东泰安)如图，四边形 ABCD 是正方形，△EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且∠CEF＝90°， FG⊥AD，垂足为点 C． (1)试判断 AG 与 FG 是否相等？并给出证明； (2)若点 H为 CF 的中点，GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由． 17.(2019•四川省凉山州)如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 OC 上一点，连接 EB．过点 A作 AM⊥BE，垂足为 M，AM 与 BD 相交于点 F．求证：OE＝OF．