人教版九年级数学上册第二十二章二次函数二次函数y=ax2+k的图象和性质课件 23页

第二十二章 二次函数 人教版 九年级数学上册 二次函数y=ax2+k的图象和性质 这个函数的图象 是如何画出来的？ 情境引入 x y 21 840y x   导入新课 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)一 做一做：画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图 象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶 点高低、函数最值、函数增减性. x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2-1 … …3.5 1 -0.5 1-0.5-1 3.5 5.5 1.53 1.51 3 5.5 讲授新课 －2 2 2 4 6 4－4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 观察上述图象，说说它有哪些特征. 探究归纳 解：先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 21 2y x 21 12y x  21 2y x 21 12y x  9 2 11 2 2 1 2 0 1 2 2 9 2 3 3 2 1 3 2 3 11 2 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 21 2y x 21 12y x  描点、连线，画出这两个函数的图象 观察与思考 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和 顶点各是什么？ 21 2y x 21 12y x  21 2y x 21 12y x  二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （0,0） （0,1） y轴 y轴 想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0) 的性质是什么？ y -2 -2 4 2 2 -42 3 1xy  23 1 2 1  xy 23 1 2 2  xy x0 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)二 做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________ (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________ 抛物线 向下 直线x=0 ( 0,0)( 0，2) ( 0,-2) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下 最大值分别为_______、_______﹑________ (6) 函数的增减性都相同： __________________________ _____________________________ 高 大 y=0 y= -2y=2 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的 增大而减小；x＞0 时，y随x的增大而 增大. 当x＞0时，y随x的增 大而减小；x＜0时， y随x的增大而增大. 知识要点 例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时， 函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1， x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表 达式求出纵坐标为c. c 【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴 对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相 等的两点的对应横坐标互为相反数． 解析式 y=2x2 y=2x2+1y=2x2-1 +1-1 点的坐标 函数对应值表 x … … y=2x2-1 … … y=2x2 … … y=2x2+1 … … 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2x2 2x2-1 (x, ) (x, ) (x, )2x2-1 2x2 2x2+1 从数的角度探究 二次函数y=ax2+k的图象及平移三 2x2+1 4－2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 y = 2x2＋1 y = 2x2－1 可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长 度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平 移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1. 下y=2x2+1 上 从形的角度探究 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平 移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系 u上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 知识要点 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线 y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D. 练一练 D 想一想 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图 象，再向上（或向下）平移︱k ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标. 例3：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点 P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2， 即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)， ∴AB＝4. ∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b， ∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2. 当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)； 当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)． 1 2 6 6 6 2 2 2 当堂练习 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物 线 ．　　 2.填表： y = 2x2－４ 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 （0,0） (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图 象上. 4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点 位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则 k . 在 =2 >2 <2 5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线 y=-x2. （2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大 而减小；当x 时，函数y有最大值，最大 值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 . （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐 标. 向下平移1个单位. >0 =0 1 (0,1) (-1,0),(1,0) 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次 函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　) 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下 所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开 口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 能力提升 7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而 增大，则m=____. 8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2） 则a=____. 9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴 交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 2 -2 8