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- 2021-11-06 发布
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第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
学习目标:
1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)
2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念,能根据已知条件确定反比例函数的解析式. (重
点、难点)
自主学习
一、知识链接
下列问题中,变量间具有函数关系吗?如果有,请写出它们的解析式.
(1) 京沪线铁路全程为 1463 km,某次列车的平均速度 v (单位:km/h) 随此次列车的全程运
行时间 t (单位:h) 的变化而变化;
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪,草坪的长 y (单位:m) 随宽 x (单
位:m)的变化而变化;
(3) 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ,人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单
位:人) 的变化而变化.
合作探究
第 2 页 共 8 页
一、要点探究
探究点 1:反比例函数的概念
问题:观察以上三个解析式,你觉得它们有什么共同特点?
【要点归纳】一般地,形如
x
ky (k 为常数,k ≠ 0) 的函数,叫做反比例函数,其中 x 是
自变量,y 是函数.
思考 1:反比例函数
x
ky (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么?
思考 2:反比例函数除了可以用
x
ky (k ≠ 0) 的形式表示,还有没有其他表达方式?
【要点归纳】反比例函数有三种表达方式:①
x
ky (k ≠ 0);② 1 kxy (k ≠ 0);③xy=k(k
≠ 0).
【针对训练】下列函数是不是反比例函数?若是,请指出 k 的值.
①y=3x-1;② 13 xy ;③
3
xy ;④
xy 11
1 ;⑤ 2
1
xy .
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【典例精析】
例 1 已知函数 422
1 mmxmy 是反比例函数,求 m 的值.
【方法总结】已知某个函数为反比例函数,只需要根据反比例函数的 x 的次数为-1,且系
数不等于 0.
【针对训练】1. 当 m= 时, 22 mxy 是反比例函数.
2. 已知函数
x
kky 12 是反比例函数,则 k 必须满足 .
探究点 2:确定反比例函数的解析式
例 2 已知 y 是 x 的反比例函数,并且当 x=2 时,y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式;
(2) 当 x=4 时,求 y 的值.
【方法总结】用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤:①设出含有待定系数的反比例
函数解析式,
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于待定系数的方程;③解方程,
求出待定系数; ④写出反比例函数解析式.
【针对训练】已知 y 与 x+1 成反比例,并且当 x = 3 时,y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式;
(2) 当 x = 7 时,求 y 的值.
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探究点 3:建立简单的反比例函数模型
例 3 人的视觉机能受运动速度的影响很大,行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态
的,车速增加,视野变窄. 当车速为 50 km/h 时,视野为 80 度,如果视野 f (度) 是车速 v
(km/h) 的反比例函数,求 f 关于 v 的函数解析式,并计算当车速为 100 km/h 时,视野的
度数.
例 4 如图,已知菱形 ABCD 的面积为 180 平方厘米,设它的两条对角线 AC,BD 的长
分别为 x,y. 写出变量 y 与 x 之间的函数关系式,并指出它是什么函数.
二、课堂小结
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当堂检测
1. 下列函数中,y 是 x 的反比例函数的是 ( )
A.
xy 2
1 B. 2
1
xy C.
xy
2
1 D.
xy 11
2. 下列实例中,x 和 y 成反比例函数关系的有 ( )
① x 人共饮水 10 kg,平均每人饮水 y kg;②底面半径为 x m,高为 y m 的圆柱形水桶的
体积为 10 m³;③用铁丝做一个圆,铁丝的长为 x cm,做成圆的半径为 y cm;④在水龙头
前放满一桶水,出水的速度为 x,放满一桶水的时间 y
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
3. 填空:
(1) 若
x
my 1 是反比例函数,则 m 的取值范围是 .
(2) 若
x
mmy 2 是反比例函数,则 m 的取值范围是 .
(3) 若
12
2
mmx
my 是反比例函数,则 m 的值是 .
4. 已知变量 y 与 x 成反比例,且当 x = 3 时,y =-4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式;
(2) 当 y=6 时,求 x 的值.
5. 小明家离学校 1000 m,每天他往返于两地之间,有时步行,有时骑车.假设小明每天上
学时的平均速度为 v ( m/min ),所用的时间为 t ( min ).
(1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式;
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min,星期三骑自行车上学用了 8 min,那么他星期三上
学时的平均速度比星期二快多少?
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能力提升:
6. 已知 y = y1+y2,y1 与 (x-1) 成正比例,y2 与 (x + 1) 成 反比例,当 x=0 时,y =-3;
当 x =1 时,y = -1,求:
(1) y 关于 x 的关系式;
(2) 当 x =
2
1 时,求 y 的值.
参考答案
自主学习
一、知识链接
解:(1)
tv 1463 (2)
xy 1000 (3)
nS
41068.1
合作探究
一、要点探究
探究点 1:反比例函数的概念
【针对训练】
解:②是,k=3;④是
11
1k .
【典例精析】
例 1 解:因为 422
1 mmxmy 是反比例函数,所以
01
,1422
m
mm 解得 m =-3.
【针对训练】1. ±1 2. k≠2 且 k≠-1 .
探究点 2:确定反比例函数的解析式
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例 2 解:(1)设
x
ky . 因为当 x=2 时,y=6,所以有
26 k ,解得 k =12. 因此
xy 12 .
(2)把 x=4 代入
xy 12 ,得 34
12 y .
【针对训练】解:(1) 设
1
x
ky ,因为当 x = 3 时,y =4 ,
所以有
134 k ,解得 k =16,因此
1
16
xy .
(2) 当 x = 7 时, 217
16 y .
探究点 3:建立简单的反比例函数模型
例 3 解:设
v
kf . 由题意知,当 v =50 时,f =80,所以
5080 k 解得 k =4000.
因此
vf 4000 ,当 v=100 时,f =40.所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度.
例 4 解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半,所以 1802
1 xyS ABCD菱形 .
所以变量 y 与 x 之间的关系式为
xy 360 ,它是反比例函数.
当堂检测
1. A 2.B
3.(1) m≠1 (2) m≠0 且 m≠-2 (3) -1
4. 解:(1) 设
x
ky . 因为当 x = 3 时,y =-4,所以有
34 k ,解得 k =-12.
因此,y 关于 x 的函数解析式为
xy 12
(2) 把 y=6 代入
xy 12 ,得
x
126 ,解得 x =-2.
5. 解:(1)
tv 1000 (t>0).
(2)当 t=25 时, 4025
1000 v ;当 t=8 时, 1258
1000 v ,.
125-40=85 ( m/min ).
答:他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.
能力提升:
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6. 解:(1)设 y1 = k1(x-1) (k1≠0),
1
2
2
x
ky (k2≠0),
则 y = k1(x-1) +
1
2
x
k , .
∵ x = 0 时,y =-3;x =1 时,y = -1,∴
,2
1-=1-
,+-=3-
2
21
k
kk
,
∴k1=1,k2=-2.∴y = x-1
1
2
x
(2)把 x =
2
1 代入 (1) 中函数关系式,得 y =
2
11 .
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