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  • 2021-11-06 发布

2018年广东省广州市荔湾区中考模拟卷

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‎2018年广东省广州市荔湾区中考数学模拟试卷(3月份)‎ 一.选择题(共10小题,满分27分)‎ ‎1.有一个数值转换器,原来如下:当输入的x为64时,输出的y是(  )‎ A.8 B.2 C.2 D.3‎ ‎2.(3分)同时使分式有意义,又使分式无意义的x的取值范围是(  )‎ A.x≠﹣4,且x≠﹣2 B.x=﹣4,或x=2 C.x=﹣4 D.x=2‎ ‎3.(3分)下列计算正确的是(  )‎ A.(m﹣n)2=m2﹣n2 B.(2ab3)2=2a2b6 C.2xy+3xy=5xy D. =2a ‎4.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(0<2a<b)的顶点为P(x0,y0),点A(1,yA),B(0,yB),C(﹣1,yC)在该抛物线上,当y0≥0恒成立时,的最小值为(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.3‎ ‎5.(3分)七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后,积极践行“节约用水,从我做起”,现在从七年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况如下表:‎ 节水量(m3)‎ ‎0.2‎ ‎0.25‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ 家庭数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ 那么这组数据的众数和平均数分别是(  )‎ A.0.4m3和0.34m3 B.0.4m3和0.3m3‎ C.0.25m3和0.34m3 D.0.25m3和0.3m3‎ ‎6.(3分)在平面直角坐标系中,以原点为旋转中心,把点A(3,4)逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为(  )‎ A.(4,﹣3) B.(﹣4,3) C.(﹣3,4) D.(﹣3,﹣4)‎ ‎7.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,AE平分∠BAC交BC于点E,点D为AB的中点,连接DE,则△BDE的周长是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎8.(3分)如图,一枚棋子放在七角棋盘的第0号角,现依逆时针方向移动这枚棋子,其各步依次移动1,2, 3,…,n个角,如第一步从0号角移动到第1号角,第二步从第1号角移动到第3号角,第三步从第3号角移动到第6号角,….若这枚棋子不停地移动下去,则这枚棋子永远不能到达的角的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎9.(3分)16的算术平方根和25的平方根的和是(  )‎ A.9 B.﹣1 C.9或﹣1 D.﹣9或1‎ ‎10.(3分)如图,在平面直角坐标系中,正三角形OAB的顶点B的坐标为(0,2),点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置,此时点A′的横坐标为3,则点B′的坐标为(  )‎ A.(2,4) B.(2,3) C.(3,4) D.(3,3)‎ ‎ ‎ 二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)‎ ‎11.(3分)将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,若∠DBC=56°,则∠1=   °.‎ ‎12.(3分)分解因式: a2﹣a+2=   .‎ ‎13.(3分)如果一个圆锥的主视图是等边三角形,俯视图是面积为4π的圆,那么这个圆锥的左视图的面积是   .‎ ‎14.(3分)⊙O的半径为1cm,弦AB=cm,AC=cm,则∠BAC的度数为   .‎ ‎15.(3分)如图,已知动点A在函数y=(x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA至点D,使AD=AB,延长BA至点E,使AE=AC,直线DE分别交x轴,y轴于点P,Q,当QE:DP=9:25时,图中的阴影部分的面积等于   .‎ ‎16.(3分)如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的⊙O与AD,AC分别交于点E,F,且∠ACB=∠DCE,tan∠ACB=,BC=2cm.以下结论:‎ ‎①CD=cm; ②AE=DE; ③CE是⊙O的切线; ④⊙O的面积等于.其中正确的结论有   .(填序号)‎ ‎ ‎ 三.解答题(共9小题)‎ ‎17.(1)解方程:x﹣2(5﹣x)=3(2x﹣1);‎ ‎(2)解方程:﹣1=.‎ ‎18.如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.‎ ‎(1)求证:AB=CF;‎ ‎(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.‎ ‎19.计算 ‎(1)‎ ‎(2).‎ ‎20.如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高.‎ ‎(1)尺规作图:作∠C的平分线,交AB于点E,交AD于点F(不写作法,必须保留作图痕迹,标上应有的字母);‎ ‎(2)在(1)的条件下,过F画BC的平行线交AC于点H,线段FH与线段CH的数量关系如何?请予以证明;‎ ‎(3)在(2)的条件下,连结DE、DH.求证:ED⊥HD.[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎21.某学校为了提高学生学科能力,决定开设以下校本课程:A.文学院,B.小小数学家,C.小小外交家,D.未来科学家,为了解学生最喜欢哪一项校本课程,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:‎ ‎(1)这次被调查的学生共有   人;‎ ‎(2)请你将条形统计图(2)补充完整;‎ ‎(3)在平时的小小外交家的课堂学习中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛,求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答).‎ ‎22.如图,一次函数y=x+k图象过点A(1,0),交y轴于点B,C为y轴负半轴上一点,且OB=BC,过A,C两点的抛物线交直线AB于点D,且CD∥x轴.‎ ‎(1)求这条抛物线的解析式;‎ ‎(2)直接写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围.‎ ‎23.某商店欲购进一批跳绳,若同时购进A种跳绳10根和B种跳绳7根,则共需395元,若同时购进A种跳绳5根和B种跳绳3根,共需185元.‎ ‎(1)求A、B两种跳绳的单价各是多少?‎ ‎(2)若该商店准备同时购进这两种跳绳共100根,且A种跳绳的数量不少于跳绳总数量的.若每根A种跳绳的售价为26元,每根B种跳绳的价为30元,问:该商店应如何进货才可获取最大利润,并求出最大利润.‎ ‎24.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).‎ ‎(1)求n的值和抛物线的解析式;‎ ‎(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<4).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;‎ ‎(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.‎ ‎25.已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.‎ ‎(1)如图1,求证:KE=GE;‎ ‎(2)如图2,连接CABG,若∠FGB=∠ACH,求证:CA∥FE;‎ ‎(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG交AB于点N,若sinE=,AK=,求CN的长.‎ ‎ ‎ ‎2018年广东省广州市荔湾区中考数学模拟试卷(3月份)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共10小题,满分27分)‎ ‎1.‎ ‎【解答】解:将64输入,由于其平方根是8,‎ 为有理数,需要再次输入,‎ 得到,为2.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.[来源:学科网]‎ ‎【解答】解:由题意得:x2+6x+8≠0,且(x+1)2﹣9=0,‎ ‎(x+2)(x+4)≠0,x+1=3或﹣3,‎ x≠﹣2且x≠﹣4,x=2或x=﹣4,‎ ‎∴x=2,故选D.‎ ‎ ‎ ‎3.‎ ‎【解答】解:A、(m﹣n)2=m2﹣2mn+n2,故本选项错误;‎ B、(2ab3)2=4a2b6,故本选项错误;‎ C、2xy+3xy=5xy,故本选项正确;‎ D、=,故本选项错误;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.‎ ‎【解答】解:由0<2a<b,得x0=﹣<﹣1,‎ 由题意,如图,过点A作AA1⊥x轴于点A1,则AA1=yA,OA1=1,‎ 连接BC,过点C作CD⊥y轴于点D,则BD=yB﹣yC,CD=1,‎ 过点A作AF∥BC,交抛物线于点E(x1,yE),交x轴于点F(x2,0),‎ 则∠FAA1=∠CBD.‎ 于是Rt△AFA1∽Rt△BCD,‎ 所以=,即=,‎ 过点E作EG⊥AA1于点G,‎ 易得△AEG∽△BCD.‎ 有=,即=,‎ ‎∵点A(1,yA)、B(0,yB)、C(﹣1,yC)、E(x1,yE)在抛物线y=ax2+bx+c上,‎ 得yA=a+b+c,yB=c,yC=a﹣b+c,yE=ax12+bx1+c,‎ ‎∴==1﹣x1,‎ 化简,得x12+x1﹣2=0,解得x1=﹣2(x1=1舍去),‎ ‎∵y0≥0恒成立,根据题意,有x2≤x1<﹣1,‎ 则1﹣x2≥1﹣x1,即1﹣x2≥3.‎ ‎∴≥3,‎ ‎∴的最小值为3.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.‎ ‎【解答】解:将数据按从大到小的顺序排列为:0.2,0.25,0.25,0.3,0.3,0.4,0.4,0.4,0.4,0.5,‎ 则众数为:0.4m3;‎ 平均数为:(0.2+0.25+0.25+0.3+0.3+0.4+0.4+0.4+0.4+0.5)=0.34m3.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.‎ ‎【解答】解:如图所示,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(﹣4,3).‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC=3,AE平分∠BAC,‎ ‎∴BE=CE=BC=2,‎ 又∵D是AB中点,‎ ‎∴BD=AB=,‎ ‎∴DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴DE=AC=,‎ ‎∴△BDE的周长为BD+DE+BE=++2=5.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.‎ ‎【解答】解:因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=k(k+1),应停在第k(k+1)﹣7p格,‎ 这时P是整数,且使0≤k(k+1)﹣7p≤6,分别取k=1,2,3,4,5,6,7时,‎ k(k+1)﹣7p=1,3,6,3,1,0,0,发现第2,4,5格没有停棋,‎ 若7<k≤10,设k=7+t(t=1,2,3)代入可得, k(k+1)﹣7p=7m+t(t+1),‎ 由此可知,停棋的情形与k=t时相同,‎ 故第2,4,5格没有停棋,‎ 即:这枚棋子永远不能到达的角的个数是3.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.‎ ‎【解答】解:根据题意得:16的算术平方根为4;25的平方根为5或﹣5,‎ 则16的算术平方根和25的平方根的和是9或﹣1,‎ 故选:C.‎ ‎ [来源:Zxxk.Com]‎ ‎10.‎ ‎【解答】解:如图,过A作AD⊥x轴,过A'作A'C⊥x轴,‎ ‎∵△AOB是等边三角形,点B的坐标为(0,2),‎ ‎∴AO=BO=2,∠AOB=60°,‎ ‎∴∠AOD=30°,‎ ‎∴AD=AO=1,OD=,‎ 即A(,1),‎ 又∵OC=3,‎ ‎∴A'C=tan30°×OC=3,‎ ‎∴A'(3,3),‎ ‎∴CD=2,A'C﹣AD=3﹣1=2,‎ ‎∴点A向右平移2个单位,向上平移2个单位可得点A',‎ 又∵B的坐标为(0,2),‎ ‎∴点B′的坐标为(2,4),‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)‎ ‎11.‎ ‎【解答】解:如图所示:‎ 由折叠可得:∠2=∠ABD,‎ ‎∵∠DBC=56°,‎ ‎∴∠2+∠ABD+56°=180°,‎ 解得:∠2=62°,‎ ‎∴∠1=62°,‎ 故答案为:62‎ ‎ ‎ ‎12.‎ ‎【解答】解: a2﹣a+2‎ ‎=(a2﹣6a+9)‎ ‎=(a﹣3)2.‎ 故答案为:(a﹣3)2.‎ ‎ ‎ ‎13.‎ ‎【解答】解:设圆锥的底面圆的半径为r,则πr2=4π,解得r=2,‎ 因为圆锥的主视图是等边三角形,‎ 所以圆锥的母线长为4,‎ 所以它的左视图的高==2,‎ 所以左视图的面积为×4×2=4.‎ 故答案为4.‎ ‎ ‎ ‎14.‎ ‎【解答】解:当圆心O在弦AC与AB之间时,如图(1)所示,‎ 过O作OD⊥AB,OE⊥AC,连接OA,‎ 由垂径定理得到:D为AB中点,E为AC中点,‎ ‎∴AE=AC=cm,AD=AB=cm,‎ ‎∴cos∠CAO==,cos∠BAO==,‎ ‎∴∠CAO=30°,∠BAO=45°,‎ 此时∠BAC=30°+45°=75°;‎ 当圆心在弦AC与AB一侧时,如图(2)所示,同理得:∠BAC=45°﹣30°=15°,‎ 综上,∠BAC=15°或75°.‎ 故答案为:15°或75°.‎ ‎ ‎ ‎15.‎ ‎【解答】解:作DF⊥x轴于点F,EG⊥y轴于G,‎ ‎∴△QEG∽△DPF,‎ ‎∴,‎ 设EG=9t,则PF=25t,‎ ‎∴A(9t,),‎ 由AC=AE AD=AB,‎ ‎∴AE=9t,AD=,DF=,PF=25t,‎ ‎∵△ADE∽△FPD,‎ ‎∴AE:DF=AD:PF,‎ ‎9t: =:25t,即t2=,‎ 图中阴影部分的面积=×9t×9t+××=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.‎ ‎【解答】解:tan∠ACB=,‎ ‎∴=,又BC=2cm,‎ 解得AB=cm,即CD=cm,①正确;‎ ‎∵∠ACB=∠DCE,tan∠ACB=,‎ ‎∴tan∠DCE=,即=,‎ 解得,DE=1,‎ ‎∵BC=2,[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴AE=1,‎ ‎∴AE=DE,②正确;‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴BC∥AD,∠ACB=∠DAC;‎ 又∵∠ACB=∠DCE,‎ ‎∴∠DAC=∠DCE;‎ 连接OE,则∠DAC=∠AEO=∠DCE;‎ ‎∵∠DCE+∠DEC=90°‎ ‎∴∠AE0+∠DEC=90°‎ ‎∴∠OEC=90°,即OE⊥CE.‎ 又OE是⊙O的半径,‎ ‎∴直线CE与⊙O相切,③正确;‎ 在Rt△ADC中,AC==,‎ 在Rt△CEO中,CE2+OE2=OC2,即()2+12+OE2=(﹣OE)2,‎ 解得,OE=,‎ ‎④⊙O的面积=π×()2=π,④错误,‎ 故答案为:①②③.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共9小题)‎ ‎17.‎ ‎【解答】解:(1)x﹣2(5﹣x)=3(2x﹣1)‎ 去括号,得 x﹣10+2x=6x﹣3‎ 移项及合并同类项,得 ‎﹣3x=7‎ 系数化为1,得 x=﹣;‎ ‎(2)﹣1=‎ 去分母,得 ‎3(2x+1)﹣15=5(x﹣2)‎ 去括号,得 ‎6x+3﹣15=5x﹣10‎ 移项及合并同类项,得 x=2.‎ ‎ ‎ ‎18.‎ ‎【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥DF,‎ ‎∴∠ABE=∠FCE,‎ ‎∵E为BC中点,‎ ‎∴BE=CE,‎ 在△ABE与△FCE中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△FCE(ASA),‎ ‎∴AB=CF;[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎(2)∵AD=2AB,AB=FC=CD,‎ ‎∴AD=DF,‎ ‎∵△ABE≌△FCE,‎ ‎∴AE=EF,‎ ‎∴DE⊥AF.‎ ‎ ‎ ‎19.‎ ‎【解答】解:(1)原式=﹣×=﹣=;‎ ‎(2)原式=×=.‎ ‎ ‎ ‎20.‎ ‎【解答】解:(1)如图所示:‎ ‎(2)结论:FH=HC.‎ 理由:∵FH∥BC,‎ ‎∴∠HFC=∠FCB,‎ ‎∵∠FCB=∠FCH,‎ ‎∴∠FCH=∠HFC,‎ ‎∴FH=HC.‎ ‎(3)∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高,‎ ‎∴∠ADC=∠BAC=90°,‎ ‎∴∠B+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAD=90°,‎ ‎∴∠B=∠CAD,‎ ‎∵∠AEF=∠B+∠ECB,∠AFE=∠CAD+∠ACF,∠ACF=∠ECB,‎ ‎∴∠AEF=∠AFE,‎ ‎∴AE=AF,‎ ‎∵FH∥CD,‎ ‎∴=,∵AF=AE,CH=FH,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,∵∠BAD=∠DCH,‎ ‎∴△EAD∽△HCD,‎ ‎∴∠ADE=∠CDH,‎ ‎∴∠EDH=∠ADC=90°,‎ ‎∴ED⊥DH.‎ ‎ ‎ ‎21.‎ ‎【解答】解:(1)∵A是36°,‎ ‎∴A占36°÷360=10%,‎ ‎∵A的人数为20人,‎ ‎∴这次被调查的学生共有:20÷10%=200(人),‎ 故答案为:200;‎ ‎(2)如图,C有:200﹣20﹣80﹣40=60(人),[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(3)画树状图得:‎ ‎∵共有12种等可能的结果,恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况,‎ ‎∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为: =.‎ ‎ ‎ ‎22.‎ ‎【解答】解:(1)把A(1,0)代入y=x+k中,得k=﹣1,‎ ‎∴一次函数解析式为y=x﹣1,‎ 令x=0,得点B坐标为(0,﹣1),‎ ‎∵OB=BC,OB=1,‎ ‎∴BC=2,‎ ‎∴OC=3,‎ ‎∴C点坐标为(0,﹣3),‎ 又∵CD∥x轴,‎ ‎∴点D的纵坐标为﹣3,‎ 当y=﹣3时,x﹣1=﹣3,解得x=﹣2,‎ ‎∴点D的坐标为(﹣2,﹣3),‎ 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,‎ 将A(1,0),C(0,﹣3),D(﹣2,﹣3)代入,得,解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为:y=x2+2x﹣3;‎ ‎(2)∵直线与抛物线交于D(﹣2,﹣3),A(1,0)两点,抛物线开口向上,‎ ‎∴当x<﹣2或x>1时,一次函数值小于二次函数值.‎ ‎ ‎ ‎23.‎ ‎【解答】解:(1)设A种跳绳的单价为x元,B种跳绳的单价为y元.‎ 根据题意,得        ‎ 解之,得 ‎ 答:A种跳绳的单价为22元,B种跳绳的单价为25元.‎ ‎[来源:学|科|网]‎ ‎(2)设购进A种跳绳a根,则B种跳绳(100﹣a)根,该商店的利润为w元 则w=(26﹣22)a+(30﹣25)(100﹣a)=﹣a+500,‎ ‎∵﹣1<0,∴a取最小值时,w取最大值,‎ 又∵a≥40,且a为整数,‎ ‎∴当a=40时,w最大=﹣40+500=460(元),‎ 此时,100﹣40=60,‎ 所以该商店购进A种跳绳40根,B种跳绳60根时,‎ 可获得最大利润,最大利润为460元.‎ ‎ ‎ ‎24.‎ ‎【解答】解:(1)∵直线l:y=x+m经过点B(0,﹣1),‎ ‎∴m=﹣1,‎ ‎∴直线l的解析式为y=x﹣1,‎ ‎∵直线l:y=x﹣1经过点C(4,n),‎ ‎∴n=×4﹣1=2,‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,﹣1),‎ ‎∴,‎ 解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1;‎ ‎(2)令y=0,则x﹣1=0,‎ 解得x=,‎ ‎∴点A的坐标为(,0),‎ ‎∴OA=,‎ 在Rt△OAB中,OB=1,‎ ‎∴AB===,‎ ‎∵DE∥y轴,‎ ‎∴∠ABO=∠DEF,‎ 在矩形DFEG中,EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE,‎ DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE,‎ ‎∴p=2(DF+EF)=2(+)DE=DE,‎ ‎∵点D的横坐标为t(0<t<4),‎ ‎∴D(t, t2﹣t﹣1),E(t, t﹣1),‎ ‎∴DE=(t﹣1)﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+2t,‎ ‎∴p=×(﹣t2+2t)=﹣t2+t,‎ ‎∵p=﹣(t﹣2)2+,且﹣<0,‎ ‎∴当t=2时,p有最大值;‎ ‎(3)∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°,‎ ‎∴A1O1∥y轴时,B1O1∥x轴,设点A1的横坐标为x,[来源:学.科.网]‎ ‎①如图1,点O1、B1在抛物线上时,点O1的横坐标为x,点B1的横坐标为x+1,‎ ‎∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1,‎ 解得x=,‎ ‎②如图2,点A1、B1在抛物线上时,点B1的横坐标为x+1,点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大,‎ ‎∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1+,‎ 解得x=﹣,‎ 综上所述,点A1的横坐标为或﹣.‎ ‎ ‎ ‎25.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OG.‎ ‎∵EF切⊙O于G,‎ ‎∴OG⊥EF,‎ ‎∴∠AGO+∠AGE=90°,‎ ‎∵CD⊥AB于H,‎ ‎∴∠AHD=90°,‎ ‎∴∠OAG=∠AKH=90°,‎ ‎∵OA=OG,‎ ‎∴∠AGO=∠OAG,‎ ‎∴∠AGE=∠AKH,‎ ‎∵∠EKG=∠AKH,‎ ‎∴∠EKG=∠AGE,‎ ‎∴KE=GE.‎ ‎(2)设∠FGB=α,‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠AGB=90°,‎ ‎∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α,‎ ‎∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α,‎ ‎∵∠FGB=∠ACH,‎ ‎∴∠ACH=2α,‎ ‎∴∠ACH=∠E,‎ ‎∴CA∥FE.‎ ‎(3)作NP⊥AC于P.‎ ‎∵∠ACH=∠E,‎ ‎∴sin∠E=sin∠ACH==,设AH=3a,AC=5a,‎ 则CH==4a,tan∠CAH==,‎ ‎∵CA∥FE,‎ ‎∴∠CAK=∠AGE,‎ ‎∵∠AGE=∠AKH,‎ ‎∴∠CAK=∠AKH,‎ ‎∴AC=CK=5a,HK=CK﹣CH=4a,tan∠AKH==3,AK==a,‎ ‎∵AK=,‎ ‎∴a=,‎ ‎∴a=1.AC=5,‎ ‎∵∠BHD=∠AGB=90°,‎ ‎∴∠BHD+∠AGB=180°,‎ 在四边形BGKH中,∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°,‎ ‎∴∠ABG+∠HKG=180°,∵∠AKH+∠HKG=180°,‎ ‎∴∠AKH=∠ABG,‎ ‎∵∠ACN=∠ABG,‎ ‎∴∠AKH=∠ACN,‎ ‎∴tan∠AKH=tan∠ACN=3,‎ ‎∵NP⊥AC于P,‎ ‎∴∠APN=∠CPN=90°,‎ 在Rt△APN中,tan∠CAH==,设PN=12b,则AP=9b,‎ 在Rt△CPN中,tan∠ACN==3,‎ ‎∴CP=4b,‎ ‎∴AC=AP+CP=13b,‎ ‎∵AC=5,‎ ‎∴13b=5,[来源:学。科。网]‎ ‎∴b=,‎ ‎∴CN==4b=.‎