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  • 2021-11-06 发布

2020九年级数学上册利用二次函数模拟数据

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‎21.4 第4课时 利用二次函数模拟数据 知识点 1 用二次函数模型模拟汽车运动 ‎1.小汽车的刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数表达式为s=v2.一辆小汽车的速度为‎100 km/h,发现前方‎80 m处停放着一辆故障车,此时刹车________有危险(填“会”或“不会”).‎ ‎2.行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”.在平整的路面上,汽车刹车后滑行的路程s(m)与刹车前的速度v(km/h)有如下的经验公式:s=v2.某辆汽车在限制最高速度为‎140 km/h的公路上发生了一起交通事故,现场测得刹车距离为‎50 m,则在事故发生时,该汽车是________行驶(填“超速”或“正常”).‎ 知识点 2 建立二次函数模型解决实际问题 ‎3.近几年来,“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合,引入“数据包络分析”(简称DEA)的一种效率评价方法,调查发现,DEA值越大,说明匹配度越好.在某一段时间内,北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),如图21-4-21记录了3个时刻的数据,根据函数模型和所给数据,当“供需匹配”程度最好时,最接近的时刻t是(  )‎ A.4.8 B.‎5 C.5.2 D.5.5‎ 图21-4-21‎ ‎4.[2017·临沂]足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:‎ t ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎…‎ h ‎0‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎18‎ ‎14‎ ‎…‎ 下列结论:①足球距离地面的最大高度为20 m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=;③足球被踢出9 s时落地;④足球被踢出1.5 s时,距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是(  )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎5.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表:‎ 时间t(s)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ 距离s(m)‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎32‎ ‎…‎ 已知小球滚动的距离s是时间t的二次函数,则小球滚动的距离为162 m时,滚动时间t=________.‎ 6‎ ‎6.[教材例4变式]行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还要向前方滑行一段距离才能停止,这段距离称为“刹车距离”.为了测定某型号汽车的刹车性能(车速不超过‎120 km/h),对这种汽车进行测试,测得数据如下表:‎ 刹车时车速/km·h-1‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 刹车距离/m ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎1.0‎ ‎2.1‎ ‎3.6‎ ‎5.5‎ ‎(1)以刹车时的车速为x轴,以刹车距离为y轴,建立平面直角坐标系,根据上表中的对应值作出函数的大致图象;‎ ‎(2)这种型号汽车车速超过‎100 km/h时,刹车距离至少为多少?‎ ‎(3)该型号汽车在国道发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为‎46.5 m,推测刹车时的车速是多少?事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶?‎ ‎7.《实验室的故事》中有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测量出这种植物高度的增长情况(如下表).‎ 温度x/℃‎ ‎…‎ ‎-4‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎…‎ 植物每天高度 增长量y/mm ‎…‎ ‎41‎ ‎49‎ ‎49‎ ‎41‎ ‎25‎ ‎19.75‎ ‎…‎ 由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是一次函数和二次函数中的一种.‎ ‎(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数表达式,并简要说明不选择另一种函数的理由;‎ ‎(2)当温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?‎ ‎(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过‎250 mm,那么实验室的温度x应该控制在什么范围内?直接写出结果.‎ 6‎ ‎8.某汽车在刹车后的行驶距离s(单位:米)与时间t(单位:秒)之间的关系的部分数据如下表:‎ 时间 t(秒)‎ ‎0‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎0.8‎ ‎1.0‎ ‎1.2‎ ‎…‎ 行驶距 离s(米)‎ ‎0‎ ‎2.8‎ ‎5.2‎ ‎7.2‎ ‎8.8‎ ‎10‎ ‎10.8‎ ‎…‎ ‎(1)根据这些数据在给出的平面直角坐标系中画出相应的点;‎ ‎(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系,求出相应的函数表达式;‎ ‎(3)①刹车后该汽车行驶了多长距离才停止?‎ ‎②当t分别为t1,t2(t1<t2)时,对应s的值分别为s1,s2,请比较与的大小,并解释比较结果的实际意义.‎ 图21-4-22‎ 6‎ 教师详解详析 ‎1.不会 ‎2.正常 [解析] 由题意可得,v2=50,则v=100<100=140.‎ ‎3.C [解析] 将(4,0.43),(5,1.1),(6,0.87)代入表达式,得 解得∴y=-0.45x2+4.72x-11.25,当x=-≈5.2时,y取得最大值.‎ ‎4.B [解析] 由题意,设抛物线的表达式为y=at(t-9),把(1,8)代入,可求得a=-1,‎ ‎∴y=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25,‎ ‎∴足球距离地面的最大高度为20.25 m,故①错误.‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线t=4.5,故②正确.‎ ‎∵t=9时,y=0,‎ ‎∴足球被踢出9 s时落地,故③正确.‎ ‎∵t=1.5时,y=11.25,∴④错误.‎ ‎∴正确的有②③,‎ 故选B.‎ ‎5.9 s [解析] 确定s与t的函数表达式为s=2t2,∴当s=162时,即2t2=162,解得t=9(负值已舍去).‎ ‎6.解:(1)如图所示:‎ ‎(2)根据图象可估计为抛物线.‎ ‎∴设y=ax2+bx+c(a≠0).‎ 把表内前三对数代入函数表达式,可得 解得 ‎∴y=0.002x2+0.01x.‎ 经检验,其他各数均满足函数,‎ ‎∴当x=100时,y=0.002×1002+0.01×100=21.‎ 答:这种型号小汽车车速超过100 km/h时,刹车距离至少为21 km.‎ ‎(3)当y=46.5时,46.5=0.002x2+0.01x.解得x1=150,x2=-155(不合题意,‎ 6‎ 舍去).‎ ‎∴可以推测刹车时的车速为150 km/h.‎ ‎∵150>120,∴事故发生时,汽车是超速行驶.‎ ‎7.解:(1)选择二次函数.设y=ax2+bx+c(a≠0).‎ 由(-2,49),(0,49),(2,41),得 解得 即y=-x2-2x+49.‎ 经检验其余各组值均满足该表达式.‎ ‎∴y关于x的函数表达式是y=-x2-2x+49.‎ 不选另一种函数的理由:‎ ‎∵点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,∴y不是x的一次函数.‎ ‎(2)由(1),得y=-x2-2x+49,‎ ‎∴y=-(x+1)2+50.‎ ‎∵a=-1<0,‎ ‎∴当x=-1时,y的最大值为50.‎ 即当温度为-1 ℃时,这种植物每天高度增长量最大.‎ ‎(3)-‎6 ℃‎0,∴>.‎ 其实际意义是该汽车从刹车到t2时间内的平均速度小于从刹车到t1时间内的平均速度.‎ 6‎