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  • 2021-11-06 发布

2013年广西自治区贵港市中考数学试卷(含答案)

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广西贵港市 2013 年中考数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)每小题都给出标号为(A)、(B)、 (C)、(D)的四个选项,其中只有一个是正确的。请考生用 2B 铅笔在答题卡上将选定的 答案标号涂黑。 1.(3 分)﹣3 的绝对值是( ) A.﹣ B. C.﹣3 D.3 2.(3 分)纳米是非常小的长度单位,1 纳米=10﹣9 米.某种病菌的长度约为 50 纳米,用科 学记数法表示该病菌的长度,结果正确的是( ) A.5×10﹣10 米 B.5×10﹣9 米 C.5×10﹣8 米 D.5×10﹣7 米 3.(3 分)下列四种调查: ①调查某班学生的身高情况; ②调查某城市的空气质量; ③调查某风景区全年的游客流量; ④调查某批汽车的抗撞击能力. 其中适合用全面调查方式的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 4.(3 分)下列四个式子中,x 的取值范围为 x≥2 的是( ) A. B.[来 源:Zxxk.Com] C. D. 5.(3 分)下列计算结果正确的是( ) A.3a﹣(﹣a)=2a B.a3×(﹣a)2=a5 C.a5÷a=a5 D.(﹣a2)3=a6 6.(3 分)如图是一个小正方体的展开图,把展开图折叠成小正方体后,有“共”字一面的相 对面上的字是( ) A.美 B.丽 C.家 D.园 7.(3 分)下列四个命题中,属于真命题的是( ) A.若 ,则 a=m B.若 a>b,则 am>bm C.两个等腰三角形必定相似 D.位似图形一定是相似图形 8.(3 分)关于 x 的分式方程 的解是负数,则 m 的取值范围是( ) A.m>﹣1 B.m>﹣1 且 m≠0 C.m≥﹣1 D.m≥﹣1 且 m≠0 9.(3 分)如图,直线 a∥b,直线 c 与 a、b 都相交,从所标识的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 这五个角中任意选取两个角,则所选取的两个角互为补角的概率是( ) A. B. C. D. 10.(3 分)如图,已知圆锥的母线长为 6,圆锥的高与母线所夹的角为θ,且 sinθ= ,则该 圆锥的侧面积是( ) A.24 B.24π C.16π D.12π 11.(3 分)如图,点 A(a,1)、B(﹣1,b)都在双曲线 y=﹣ 上,点 P、Q 分 别是 x 轴、y 轴上的动点,当四边形 PABQ 的周长取最小值时,PQ 所在直线的解析式是 ( ) A.y=x B.y=x+1 C.y=x+2 D.y=x+3[来源:学。科。网] 12.(3 分)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,∠EBC 的平分线交 CD 于点 F, 将△DEF 沿 EF 折叠,点 D 恰好落在 BE 上 M 点处,延长 BC、EF 交于点 N.有下列四个 结论:①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN 是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF.其中,将正 确结论的序号全部选对的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13.(3 分)若超出标准质量 0.05 克记作+0.05 克,则低于标准质量 0.03 克记作 ﹣0.03 克. 14.(3 分)分解因式:3x2﹣18x+27= 3(x﹣3)2 . 15.(3 分)若一组数据 1,7,8,a,4 的平均数是 5、中位数是 m、极差是 n,则 m+n= 12 . 16.(3 分)如图,AB 是⊙O 的弦,OH⊥AB 于点 H,点 P 是优弧上一点,若 AB=2 , OH=1,则∠APB 的度数是 60° . 17.(3 分)如图,△ABC 和△FPQ 均是等边三角形,点 D、E、F 分别是△ABC 三边的中 点,点 P 在 AB 边上,连接 EF、QE.若 AB=6,PB=1,则 QE= 2 . 18.(3 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,若动点 P 在抛物线 y=ax2 上,⊙P 恒过点 F (0,n),且与直线 y=﹣n 始终保持相切,则 n= (用含 a 的代数式表示). 三、解答题(本大题共 8 小题,满分 66 分。解答应写出额文字说明、证明过程或演算步骤。) 19.(10 分)(1)计算: ﹣2cos60°; (2)先化简:( ) ,再选择一个恰当的 x 值代入求值. 20.(5 分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(﹣4,3)、 B(﹣3,1)、C(﹣1,3). (1)请按下列要求画图: ①将△ABC 先向右平移 4 个单位长度、再向上平移 2 个单位长度,得到△A1B1C1,画出 △A1B1C1; ②△A2B2C2 与△ABC 关于原点 O 成中心对称,画出△A2B2C2. (2)在(1)中所得的△A1B1C1 和△A2B2C2 关于点 M 成中心对称,请直接写出对称中心 M 点的坐标. 21.(7 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,△ABC 的边 AC 在 x 轴上,边 BC⊥x 轴,双 曲线 y= 与边 BC 交于点 D(4,m),与边 AB 交于点 E(2,n). (1)求 n 关于 m 的函数关系式; (2)若 BD=2,tan∠BAC= ,求 k 的值和点 B 的坐标. 22.(8 分)在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中,某学校为了了解 本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查部分学生,了解到上学方式主要有:A﹣结伴 步行、B﹣自行乘车、C﹣家人接送、D﹣其他方式,并将收集的数据整理绘制成如下两幅 不完整的统计图.请根据图中信息,解答下列问题: (1)本次抽查的学生人数是多少人? (2)请补全条形统计图; (3)请补全扇形统计图,并在图中标出“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数; (4)如果该校学生有 2080 人,请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人? 23.(7 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AG∥CD 交 BC 于点 G,点 E、F 分别为 AG、CD 的中点,连接 DE、FG. (1)求证:四边形 DEGF 是平行四边形; (2)当点 G 是 BC 的中点时,求证:四边形 DEGF 是菱形. 24.(8 分)在校园文化建设中,某学校原计划按每班 5 幅订购了“名人字画”共 90 幅.由于 新学期班数增加,决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发,如果每班分 4 幅,则剩下 17 幅;如果每班分 5 幅,则最后一班不足 3 幅,但不少于 1 幅. (1)该校原有的班数是多少个? (2)新学期所增加的班数是多少个? 25.(10 分)如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,以点 D 为圆心、DC 为半径作 ,点 E 在 AB 上,且与 A、B 两点均不重合,点 M 在 AD 上,且 ME=MD,过点 E 作 EF⊥ME, 交 BC 于点 F,连接 DE、MF. (1)求证:EF 是 所在⊙D 的切线; (2)当 MA= 时,求 MF 的长; (3)试探究:△MFE 能否是等腰直角三角形?若是,请直接写出 MF 的长度;若不是,请 说明理由. 26.(11 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2+bx+c 交 y 轴于点 C(0,4), 对称轴 x=2 与 x 轴交于点 D,顶点为 M,且 DM=OC+OD. (1)求该抛物线的解析式; (2)设点 P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD 的面积为 S,求 S 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若经过点 P 的直线 PE 与y 轴交于点 E,是否存在以 O、P、E 为顶 点的三角形与△OPD 全等?若存在,请求出直线 PE 的解析式;若不存在,请说明理由. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)每小题都给出标号为(A)、(B)、 (C)、(D)的四个选项,其中只有一个是正确的。请考生用 2B 铅笔在答题卡上将选定的 答案标号涂黑。 1.D 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10.D 11.C 12.B 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13. ﹣0.03 . 14. 3(x﹣3)2 . 15. 12 . 16. 60° . 17. 2 . 18. . 三、解答题(本大题共 8 小题,满分 66 分。解答应写出额文字说明、证明过程或演算步骤。) 19.解:(1) ﹣( )﹣1+(2﹣ )0﹣2cos60° =3﹣2+1﹣2× =3﹣2+1﹣1 =1; (2)( ﹣1)÷ = ÷ = • =1﹣x, 要使分式有意义,则(x+1)(x﹣1)≠0,x≠0, 解得 x≠±1,x≠0, 所以,x=2 时,原式=1﹣2=﹣1. 20.解:(1)①△A1B1C1 如图所示; ②△A2B2C2 如图所示; (2)连接 B1B2,C1C2,得到对称中心 M 的坐标为(2,1). 21.解:(1)∵点 D(4,m),点 E(2,n)在双曲线 y= , ∴4m=2n,解得 n=2m; (2)过点 E 作 EF⊥BC 于点 F,[来源:学科网 ZXXK] ∵由(1)可知 n=2m, ∴DF=m, ∵BD=2, ∴BF=2﹣m, ∵点 D(4,m),点 E(2,n), ∴EF=4﹣2=2, ∵EF∥x 轴, ∴tan∠BAC=tan∠BEF= = = ,解得 m=1, ∴D(4,1), ∴k=4×1=4,B(4,3). 22.解:(1)根据题意得:30÷25%=120(人), 则本次抽查的学生人数是 120 人; (2)“结伴步行”的人数为 120﹣(42+30+18)=30(人), 补全统计图,如图所示: (3)“结伴步行”所占的百分比为 ×100%=25%;“自行乘车”所占的百分比为 ×100%=35%, “自行乘车”在扇形统计 图中占的度数为 360°×35%=126°,补全扇形统计图,如图所示; (4)估计该校“家人接送”上学的学生约有 2080×25%=520(人). 23.证明:(1)∵AG∥DC,AD∥BC, ∴四边形 AGCD 是平行四边形, ∴AG=DC, ∵E、F 分别为 AG、DC 的中点, ∴GE= AG,DF= DC, 即 GE=DF,GE∥DF, ∴四边形 DEGF 是平行四边形; (2)连接 DG, ∵四边形 AGCD 是平行四边形, ∴AD=CG, ∵G 为 BC 中点, ∴BG=CG=AD, ∵AD∥BG, ∴四边形 ABGD 是平行四边形, ∴AB∥DG, ∵∠B=90°, ∴∠DGC=∠B=90°, ∵F 为 CD 中点, ∴GF=DF=CF, 即 GF=DF, ∵四边形 DEGF 是平行四边形, ∴四边形 DEGF 是菱形. 24.解:(1)原有的班数为: =18 个; (2)设增加后的班数为 x,则“名人字画”有 4x+17, 由题意得, , 解得:19<x≤21, ∵x 为正整数, ∴x 可取 20,21, 故新学期所增加的班数为 2 个或 3 个. 25. (1)证明:过点 D 作 DG⊥EF 于 G, ∵ME=MD, ∴∠MDE=∠MED, ∵EF⊥ME, ∴∠DME+∠GED=90°, ∵∠DAB=90°, ∴∠MDE+∠AED=90°, ∴∠AED=∠GED, ∵在△ADE 和△GDE 中, , ∴△ADE≌△GDE(AAS), ∴AD=GD, ∵ 的半径为 DC,即 AD 的长度, ∴EF 是 所在⊙D 的切线; (2)MA= 时,ME=MD=2﹣ = ,[来源:学科网] 在 Rt△AME 中,AE= = =1, ∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1, ∵EF⊥ME, ∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°, ∵∠B=90°, ∴∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3, 又∵∠DAB=∠B=90°, ∴△AME∽△BEF, ∴ = , 即 = , 解得 EF= , 在 Rt△MEF 中,MF= = = ; (3)假设△MFE 能是等腰直角三角形, 则 ME=EF, ∵在△AME 和△BEF 中, , ∴△AME≌△BEF(AAS), ∴MA=BE, 设 AM=BE=x, 则 MD=AD﹣MA=2﹣x,AE=AB﹣BE=2﹣x, ∵ME=MD, ∴ME=2﹣x, ∴ME=AE, ∵ME、AE 分别是 Rt△AME 的斜边与直角边, ∴ME≠AE, ∴假设不成立, 故△MFE 不能是等腰直角三角形.[来源:学科网] 26.解:(1)由题意得:OC=4,OD=2,∴DM=OC+OD=6,∴顶点 M 坐标为(2,6). 设抛物线解析式为:y=a(x﹣2)2+6, ∵点 C(0,4)在抛物线上, ∴4=4a+6, 解得 a= . ∴抛物线的解析式为:y= (x﹣2)2+6= x2+2x+4. (2)如答图 1,过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E. ∵P(x,y),且点 P 在第一象限, ∴PE =y,OE=x, ∴DE=OE﹣OD=x﹣2. S=S 梯形 PEOC﹣S△COD﹣S△PDE = (4+y)•x﹣ ×2×4﹣ (x﹣2)•y =y+2x﹣4. 将 y= x2+2x+4 代入上式得:S= x2+2x+4+2x﹣4= x2+4x. 在抛物线解析式 y= x2+2x+4 中,令 y=0,即 x2+2x+4=0,解得 x=2± . 设抛物线与 x 轴交于点 A、B,则 B(2+ ,0), ∴0<x<2+ . ∴S 关于 x 的函数关系式为:S= x2+4x(0<x<2+ ). (3)存在. 若以 O、P、E 为顶点的三角形与△OPD 全等,可能有以下情形: (I)OD=OP. 由图象可知,OP 最小值为 4,即 OP≠OD,故此种情形不存在. (II)OD=OE. 若点 E 在 y 轴正半轴上,如答图 2 所示: 此时△OPD≌△OPE, ∴∠OPD=∠OPE,即点 P 在第一象限的角平分线上, ∴直线 PE 的解析式为:y=x; 若点 E 在 y 轴负半轴上,易知此种情形下,两个三角形不可能全等,故不存在. (III)OD=PE. ∵OD=2, ∴第一象限内对称轴右侧的点到 y 轴的距离均大于 2, 则点 P 只能位于对称轴左侧或与顶点 M 重合. 若点 P 位于第一象限内抛物线对称轴的左侧,易知△OPE 为钝角三角形,而△OPD 为锐角 三角形,则不可能全等; 若点 P 与点 M 重合,如答图 3 所示,此时△OPD≌OPE,四边形 PDOE 为矩形, ∴直线 PE 的解析式为:y=6. 综上所述,存在以 O、P、E 为顶点的三角形与△OPD 全等,直线 PE 的解析式为 y=x 或 y=6.