2013年广西自治区贵港市中考数学试卷（含答案） 13页

广西贵港市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）每小题都给出标号为（A）、（B）、 （C）、（D）的四个选项，其中只有一个是正确的。请考生用 2B 铅笔在答题卡上将选定的 答案标号涂黑。 1．（3 分）﹣3 的绝对值是（ ） A．﹣ B． C．﹣3 D．3 2．（3 分）纳米是非常小的长度单位，1 纳米=10﹣9 米．某种病菌的长度约为 50 纳米，用科 学记数法表示该病菌的长度，结果正确的是（ ） A．5×10﹣10 米 B．5×10﹣9 米 C．5×10﹣8 米 D．5×10﹣7 米 3．（3 分）下列四种调查： ①调查某班学生的身高情况； ②调查某城市的空气质量； ③调查某风景区全年的游客流量； ④调查某批汽车的抗撞击能力． 其中适合用全面调查方式的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（3 分）下列四个式子中，x 的取值范围为 x≥2 的是（ ） A． B．[来 源:Zxxk.Com] C． D． 5．（3 分）下列计算结果正确的是（ ） A．3a﹣（﹣a）=2a B．a3×（﹣a）2=a5 C．a5÷a=a5 D．（﹣a2）3=a6 6．（3 分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“共”字一面的相 对面上的字是（ ） A．美 B．丽 C．家 D．园 7．（3 分）下列四个命题中，属于真命题的是（ ） A．若 ，则 a=m B．若 a＞b，则 am＞bm C．两个等腰三角形必定相似 D．位似图形一定是相似图形 8．（3 分）关于 x 的分式方程 的解是负数，则 m 的取值范围是（ ） A．m＞﹣1 B．m＞﹣1 且 m≠0 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1 且 m≠0 9．（3 分）如图，直线 a∥b，直线 c 与 a、b 都相交，从所标识的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是（ ） A． B． C． D． 10．（3 分）如图，已知圆锥的母线长为 6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且 sinθ= ，则该 圆锥的侧面积是（ ） A．24 B．24π C．16π D．12π 11．（3 分）如图，点 A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线 y=﹣ 上，点 P、Q 分 别是 x 轴、y 轴上的动点，当四边形 PABQ 的周长取最小值时，PQ 所在直线的解析式是 （ ） A．y=x B．y=x+1 C．y=x+2 D．y=x+3[来源:学。科。网] 12．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，∠EBC 的平分线交 CD 于点 F， 将△DEF 沿 EF 折叠，点 D 恰好落在 BE 上 M 点处，延长 BC、EF 交于点 N．有下列四个 结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN 是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正 确结论的序号全部选对的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）若超出标准质量 0.05 克记作+0.05 克，则低于标准质量 0.03 克记作 ﹣0.03 克． 14．（3 分）分解因式：3x2﹣18x+27= 3（x﹣3）2 ． 15．（3 分）若一组数据 1，7，8，a，4 的平均数是 5、中位数是 m、极差是 n，则 m+n= 12 ． 16．（3 分）如图，AB 是⊙O 的弦，OH⊥AB 于点 H，点 P 是优弧上一点，若 AB=2 ， OH=1，则∠APB 的度数是 60° ． 17．（3 分）如图，△ABC 和△FPQ 均是等边三角形，点 D、E、F 分别是△ABC 三边的中 点，点 P 在 AB 边上，连接 EF、QE．若 AB=6，PB=1，则 QE= 2 ． 18．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若动点 P 在抛物线 y=ax2 上，⊙P 恒过点 F （0，n），且与直线 y=﹣n 始终保持相切，则 n= （用含 a 的代数式表示）． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 66 分。解答应写出额文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（10 分）（1）计算： ﹣2cos60°； （2）先化简：（ ） ，再选择一个恰当的 x 值代入求值． 20．（5 分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣4，3）、 B（﹣3，1）、C（﹣1，3）． （1）请按下列要求画图： ①将△ABC 先向右平移 4 个单位长度、再向上平移 2 个单位长度，得到△A1B1C1，画出 △A1B1C1； ②△A2B2C2 与△ABC 关于原点 O 成中心对称，画出△A2B2C2． （2）在（1）中所得的△A1B1C1 和△A2B2C2 关于点 M 成中心对称，请直接写出对称中心 M 点的坐标． 21．（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的边 AC 在 x 轴上，边 BC⊥x 轴，双 曲线 y= 与边 BC 交于点 D（4，m），与边 AB 交于点 E（2，n）． （1）求 n 关于 m 的函数关系式； （2）若 BD=2，tan∠BAC= ，求 k 的值和点 B 的坐标． 22．（8 分）在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解 本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A﹣结伴 步行、B﹣自行乘车、C﹣家人接送、D﹣其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅 不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是多少人？ （2）请补全条形统计图； （3）请补全扇形统计图，并在图中标出“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数； （4）如果该校学生有 2080 人，请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人？ 23．（7 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD 交 BC 于点 G，点 E、F 分别为 AG、CD 的中点，连接 DE、FG． （1）求证：四边形 DEGF 是平行四边形； （2）当点 G 是 BC 的中点时，求证：四边形 DEGF 是菱形． 24．（8 分）在校园文化建设中，某学校原计划按每班 5 幅订购了“名人字画”共 90 幅．由于 新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分 4 幅，则剩下 17 幅；如果每班分 5 幅，则最后一班不足 3 幅，但不少于 1 幅． （1）该校原有的班数是多少个？ （2）新学期所增加的班数是多少个？ 25．（10 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，以点 D 为圆心、DC 为半径作 ，点 E 在 AB 上，且与 A、B 两点均不重合，点 M 在 AD 上，且 ME=MD，过点 E 作 EF⊥ME， 交 BC 于点 F，连接 DE、MF． （1）求证：EF 是 所在⊙D 的切线； （2）当 MA= 时，求 MF 的长； （3）试探究：△MFE 能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出 MF 的长度；若不是，请 说明理由． 26．（11 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，4）， 对称轴 x=2 与 x 轴交于点 D，顶点为 M，且 DM=OC+OD． （1）求该抛物线的解析式； （2）设点 P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若经过点 P 的直线 PE 与y 轴交于点 E，是否存在以 O、P、E 为顶 点的三角形与△OPD 全等？若存在，请求出直线 PE 的解析式；若不存在，请说明理由． 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）每小题都给出标号为（A）、（B）、 （C）、（D）的四个选项，其中只有一个是正确的。请考生用 2B 铅笔在答题卡上将选定的 答案标号涂黑。 1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．D 11．C 12．B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13． ﹣0.03 ． 14． 3（x﹣3）2 ． 15． 12 ． 16． 60° ． 17． 2 ． 18． ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 66 分。解答应写出额文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．解：（1） ﹣（ ）﹣1+（2﹣ ）0﹣2cos60° =3﹣2+1﹣2× =3﹣2+1﹣1 =1； （2）（ ﹣1）÷ = ÷ = • =1﹣x， 要使分式有意义，则（x+1）（x﹣1）≠0，x≠0， 解得 x≠±1，x≠0， 所以，x=2 时，原式=1﹣2=﹣1． 20．解：（1）①△A1B1C1 如图所示； ②△A2B2C2 如图所示； （2）连接 B1B2，C1C2，得到对称中心 M 的坐标为（2，1）． 21．解：（1）∵点 D（4，m），点 E（2，n）在双曲线 y= ， ∴4m=2n，解得 n=2m； （2）过点 E 作 EF⊥BC 于点 F，[来源:学科网 ZXXK] ∵由（1）可知 n=2m， ∴DF=m， ∵BD=2， ∴BF=2﹣m， ∵点 D（4，m），点 E（2，n）， ∴EF=4﹣2=2， ∵EF∥x 轴， ∴tan∠BAC=tan∠BEF= = = ，解得 m=1， ∴D（4，1）， ∴k=4×1=4，B（4，3）． 22．解：（1）根据题意得：30÷25%=120（人）， 则本次抽查的学生人数是 120 人； （2）“结伴步行”的人数为 120﹣（42+30+18）=30（人）， 补全统计图，如图所示： （3）“结伴步行”所占的百分比为 ×100%=25%；“自行乘车”所占的百分比为 ×100%=35%， “自行乘车”在扇形统计 图中占的度数为 360°×35%=126°，补全扇形统计图，如图所示； （4）估计该校“家人接送”上学的学生约有 2080×25%=520（人）． 23．证明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC， ∴四边形 AGCD 是平行四边形， ∴AG=DC， ∵E、F 分别为 AG、DC 的中点， ∴GE= AG，DF= DC， 即 GE=DF，GE∥DF， ∴四边形 DEGF 是平行四边形； （2）连接 DG， ∵四边形 AGCD 是平行四边形， ∴AD=CG， ∵G 为 BC 中点， ∴BG=CG=AD， ∵AD∥BG， ∴四边形 ABGD 是平行四边形， ∴AB∥DG， ∵∠B=90°， ∴∠DGC=∠B=90°， ∵F 为 CD 中点， ∴GF=DF=CF， 即 GF=DF， ∵四边形 DEGF 是平行四边形， ∴四边形 DEGF 是菱形． 24．解：（1）原有的班数为： =18 个； （2）设增加后的班数为 x，则“名人字画”有 4x+17， 由题意得， ， 解得：19＜x≤21， ∵x 为正整数， ∴x 可取 20，21， 故新学期所增加的班数为 2 个或 3 个． 25． （1）证明：过点 D 作 DG⊥EF 于 G， ∵ME=MD， ∴∠MDE=∠MED， ∵EF⊥ME， ∴∠DME+∠GED=90°， ∵∠DAB=90°， ∴∠MDE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠GED， ∵在△ADE 和△GDE 中， ， ∴△ADE≌△GDE（AAS）， ∴AD=GD， ∵ 的半径为 DC，即 AD 的长度， ∴EF 是 所在⊙D 的切线； （2）MA= 时，ME=MD=2﹣ = ，[来源:学科网] 在 Rt△AME 中，AE= = =1， ∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1， ∵EF⊥ME， ∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°， ∵∠B=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 又∵∠DAB=∠B=90°， ∴△AME∽△BEF， ∴ = ， 即 = ， 解得 EF= ， 在 Rt△MEF 中，MF= = = ； （3）假设△MFE 能是等腰直角三角形， 则 ME=EF， ∵在△AME 和△BEF 中， ， ∴△AME≌△BEF（AAS）， ∴MA=BE， 设 AM=BE=x， 则 MD=AD﹣MA=2﹣x，AE=AB﹣BE=2﹣x， ∵ME=MD， ∴ME=2﹣x， ∴ME=AE， ∵ME、AE 分别是 Rt△AME 的斜边与直角边， ∴ME≠AE， ∴假设不成立， 故△MFE 不能是等腰直角三角形．[来源:学科网] 26．解：（1）由题意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6，∴顶点 M 坐标为（2，6）． 设抛物线解析式为：y=a（x﹣2）2+6， ∵点 C（0，4）在抛物线上， ∴4=4a+6， 解得 a= ． ∴抛物线的解析式为：y= （x﹣2）2+6= x2+2x+4． （2）如答图 1，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E． ∵P（x，y），且点 P 在第一象限， ∴PE =y，OE=x， ∴DE=OE﹣OD=x﹣2． S=S 梯形 PEOC﹣S△COD﹣S△PDE = （4+y）•x﹣ ×2×4﹣ （x﹣2）•y =y+2x﹣4． 将 y= x2+2x+4 代入上式得：S= x2+2x+4+2x﹣4= x2+4x． 在抛物线解析式 y= x2+2x+4 中，令 y=0，即 x2+2x+4=0，解得 x=2± ． 设抛物线与 x 轴交于点 A、B，则 B（2+ ，0）， ∴0＜x＜2+ ． ∴S 关于 x 的函数关系式为：S= x2+4x（0＜x＜2+ ）． （3）存在． 若以 O、P、E 为顶点的三角形与△OPD 全等，可能有以下情形： （I）OD=OP． 由图象可知，OP 最小值为 4，即 OP≠OD，故此种情形不存在． （II）OD=OE． 若点 E 在 y 轴正半轴上，如答图 2 所示： 此时△OPD≌△OPE， ∴∠OPD=∠OPE，即点 P 在第一象限的角平分线上， ∴直线 PE 的解析式为：y=x； 若点 E 在 y 轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在． （III）OD=PE． ∵OD=2， ∴第一象限内对称轴右侧的点到 y 轴的距离均大于 2， 则点 P 只能位于对称轴左侧或与顶点 M 重合． 若点 P 位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知△OPE 为钝角三角形，而△OPD 为锐角 三角形，则不可能全等； 若点 P 与点 M 重合，如答图 3 所示，此时△OPD≌OPE，四边形 PDOE 为矩形， ∴直线 PE 的解析式为：y=6． 综上所述，存在以 O、P、E 为顶点的三角形与△OPD 全等，直线 PE 的解析式为 y=x 或 y=6．