2016年江苏省苏州市中考数学试卷 25页

‎2016年江苏省苏州市中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．的倒数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】倒数．‎ ‎【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵×=1，‎ ‎∴的倒数是．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.7×10﹣3B．7×10﹣3C．7×10﹣4D．7×10﹣5‎ ‎【考点】科学记数法—表示较小的数．‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【解答】解：0.0007=7×10﹣4，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．下列运算结果正确的是（　　）‎ A．a+2b=3ab B．3a2﹣2a2=1‎ C．a2•a4=a8D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b ‎【考点】整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．‎ ‎【解答】解：A、a+2b，无法计算，故此选项错误；‎ B、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；‎ C、a2•a4=a6，故此选项错误；‎ D、（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b，故此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（　　）‎ A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4‎ ‎【考点】频数与频率．‎ ‎【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．‎ ‎【解答】解：根据题意得：40﹣（12+10+6+8）=40﹣36=4，‎ 则第5组的频率为4÷40=0.1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=58°，则∠2的度数为（　　）‎ A．58° B．42° C．32° D．28°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠2，根据三角形内角和定理求出即可．‎ ‎【解答】解：∵直线a∥b，‎ ‎∴∠ACB=∠2，‎ ‎∵AC⊥BA，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∴∠2=ACB=180°﹣∠1﹣∠BAC=180°﹣90°﹣58°=32°，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）‎ A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定 ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．‎ ‎【解答】解：∵点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，‎ ‎∴每个象限内，y随x的增大而增大，‎ ‎∴y1＜y2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：‎ 用水量（吨）‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎35‎ 户数 ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ 则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（　　）‎ A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25‎ ‎【考点】众数；中位数．‎ ‎【分析】根据众数、中位数的定义即可解决问题．‎ ‎【解答】解：因为30出现了9次，‎ 所以30是这组数据的众数，‎ 将这30个数据从小到大排列，第15、16个数据的平均数就是中位数，所以中位数是25，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（　　）‎ A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，‎ ‎∴AD=4sin60°=2（m），‎ 在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，‎ ‎∴AC==2（m）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　）‎ A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）‎ ‎【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．‎ ‎【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．‎ ‎∵D（，0），A（3，0），‎ ‎∴H（，0），‎ ‎∴直线CH解析式为y=﹣x+4，‎ ‎∴x=3时，y=，‎ ‎∴点E坐标（3，）‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【考点】三角形的面积．‎ ‎【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．‎ ‎【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，‎ ‎∵∠ABC=90°，AB=BC=2，‎ ‎∴AC===4，‎ ‎∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，‎ ‎∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，‎ ‎∴AG=BG=2‎ ‎∵S△ABC=•AB•AC=×2×2=4，‎ ‎∴S△ADC=2，‎ ‎∵=2，‎ ‎∴GH=BG=，‎ ‎∴BH=，‎ 又∵EF=AC=2，‎ ‎∴S△BEF=•EF•BH=×2×=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎11．分解因式：x2﹣1=　（x+1）（x﹣1）　．‎ ‎【考点】因式分解-运用公式法．‎ ‎【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．‎ 故答案为：（x+1）（x﹣1）．‎ ‎　‎ ‎12．当x=　2　时，分式的值为0．‎ ‎【考点】分式的值为零的条件．‎ ‎【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．‎ ‎【解答】解：∵分式的值为0，‎ ‎∴x﹣2=0，‎ 解得：x=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎13．要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10‎ 次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是　乙　运动员．（填“甲”或“乙”）‎ ‎【考点】方差．‎ ‎【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．‎ ‎【解答】解：因为S甲2=0.024＞S乙2=0.008，方差小的为乙，‎ 所以本题中成绩比较稳定的是乙．‎ 故答案为乙．‎ ‎　‎ ‎14．某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是　72　度．‎ ‎【考点】条形统计图；扇形统计图．‎ ‎【分析】根据文学类人数和所占百分比，求出总人数，然后用总人数乘以艺术类读物所占的百分比即可得出答案．‎ ‎【解答】解：根据条形图得出文学类人数为90，利用扇形图得出文学类所占百分比为：30%，‎ 则本次调查中，一共调查了：90÷30%=300（人），‎ 则艺术类读物所在扇形的圆心角是的圆心角是360°×=72°；‎ 故答案为：72．‎ ‎　‎ ‎15．不等式组的最大整数解是　3　．‎ ‎【考点】一元一次不等式组的整数解．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可．‎ ‎【解答】解：解不等式x+2＞1，得：x＞﹣1，‎ 解不等式2x﹣1≤8﹣x，得：x≤3，‎ 则不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，‎ 则不等式组的最大整数解为3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为　　．‎ ‎【考点】切线的性质；圆周角定理；扇形面积的计算．‎ ‎【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：连接OC，‎ ‎∵过点C的切线交AB的延长线于点D，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴∠OCD=90°，‎ 即∠D+∠COD=90°，‎ ‎∵AO=CO，‎ ‎∴∠A=∠ACO，‎ ‎∴∠COD=2∠A，‎ ‎∵∠A=∠D，‎ ‎∴∠COD=2∠D，‎ ‎∴3∠D=90°，‎ ‎∴∠D=30°，‎ ‎∴∠COD=60°‎ ‎∵CD=3，‎ ‎∴OC=3×=，‎ ‎∴阴影部分的面积=×3×﹣=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎17．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为　2　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形，从而GD=B′F=2，然后根据勾股定理得到B′G=2，然后再次利用勾股定理求得答案即可．‎ ‎【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，‎ ‎∵∠B=60°，BE=BD=4，‎ ‎∴△BDE是边长为4的等边三角形，‎ ‎∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE，‎ ‎∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，‎ ‎∴GD=B′F=2，‎ ‎∵B′D=4，‎ ‎∴B′G===2，‎ ‎∵AB=10，‎ ‎∴AG=10﹣6=4，‎ ‎∴AB′===2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为　（1，）　．‎ ‎【考点】坐标与图形性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标．‎ ‎【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（8，0），（0，2）‎ ‎∴BO=，AO=8‎ 由CD⊥BO，C是AB的中点，可得BD=DO=BO==PE，CD=AO=4‎ 设DP=a，则CP=4﹣a 当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP 又∵EP⊥CP，PD⊥BD ‎∴∠EPC=∠PDB=90°‎ ‎∴△EPC∽△PDB ‎∴，即 解得a1=1，a2=3（舍去）‎ ‎∴DP=1‎ 又∵PE=‎ ‎∴P（1，）‎ 故答案为：（1，）‎ ‎　‎ 三、解答题（共10小题，满分76分）‎ ‎19．计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂．‎ ‎【分析】直接利用二次根式的性质以及结合绝对值、零指数幂的性质分析得出答案．‎ ‎【解答】解：原式=5+3﹣1‎ ‎=7．‎ ‎　‎ ‎20．解不等式2x﹣1＞，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】根据分式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．‎ ‎【解答】解：去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，‎ 移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，‎ 合并同类项，得：x＞1，‎ 将不等式解集表示在数轴上如图：‎ ‎　‎ ‎21．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=．‎ ‎【考点】分式的化简求值．‎ ‎【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后代入化简即可．‎ ‎【解答】解：原式=÷‎ ‎=•‎ ‎=，‎ 当x=时，原式==．‎ ‎　‎ ‎22．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？‎ ‎【考点】二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】先设中型车有x辆，小型车有y辆，再根据题中两个等量关系，列出二元一次方程组进行求解．‎ ‎【解答】解：设中型车有x辆，小型车有y辆，根据题意，得 解得 答：中型车有20辆，小型车有30辆．‎ ‎　‎ ‎23．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．‎ ‎（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为　　；‎ ‎（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；坐标与图形性质；概率公式．‎ ‎【分析】（1）直接利用概率公式求解；‎ ‎（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率=；‎ 故答案为；‎ ‎（2）画树状图为：‎ 共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6，‎ 所以点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率==．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．‎ ‎（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；‎ ‎（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．‎ ‎【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；‎ ‎（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，AC⊥BD，‎ ‎∴AE∥CD，∠AOB=90°，‎ ‎∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，‎ ‎∴∠AOB=∠EDB，‎ ‎∴DE∥AC，‎ ‎∴四边形ACDE是平行四边形；‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，‎ ‎∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，‎ ‎∵四边形ACDE是平行四边形，‎ ‎∴AE=CD=5，DE=AC=8，‎ ‎∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．‎ ‎　‎ ‎25．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】将点B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．接下来证明△BDP≌△BDP′‎ ‎，从而得到点P′的坐标，最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式．‎ ‎【解答】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，‎ ‎∴．‎ 解得：m=8，n=4．‎ ‎∴反比例函数的表达式为y=．‎ ‎∵m=8，n=4，‎ ‎∴点B（2，4），（8，1）．‎ 过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．‎ 在△BDP和△BDP′中，‎ ‎∴△BDP≌△BDP′．‎ ‎∴DP′=DP=6．‎ ‎∴点P′（﹣4，1）．‎ 将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：，‎ 解得：．‎ ‎∴一次函数的表达式为y=x+3．‎ ‎　‎ ‎26．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．‎ ‎（1）证明：∠E=∠C；‎ ‎（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；‎ ‎（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；‎ ‎（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；‎ ‎（3）根据cosB=，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，‎ ‎∵CD=BD，‎ ‎∴AD垂直平分BC，‎ ‎∴AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ 又∵∠B=∠E，‎ ‎∴∠E=∠C；‎ ‎（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠AFD=180°﹣∠E，‎ 又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，‎ ‎∴∠CFD=∠E=55°，‎ 又∵∠E=∠C=55°，‎ ‎∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；‎ ‎（3）解：连接OE，‎ ‎∵∠CFD=∠E=∠C，‎ ‎∴FD=CD=BD=4，‎ 在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，‎ ‎∴AB=6，‎ ‎∵E是的中点，AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AOE=90°，‎ ‎∵AO=OE=3，‎ ‎∴AE=3，‎ ‎∵E是的中点，‎ ‎∴∠ADE=∠EAB，‎ ‎∴△AEG∽△DEA，‎ ‎∴=，‎ 即EG•ED=AE2=18．‎ ‎　‎ ‎27．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．‎ ‎（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为　　；‎ ‎（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；‎ ‎（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：‎ ‎①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；‎ ‎②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．‎ ‎（2）由△QTM∽△BCD，得=列出方程即可解决．‎ ‎（3）①如图2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题．‎ ‎②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，得=，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切．‎ ‎【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，‎ ‎∴BD===10，‎ ‎∵PQ⊥BD，‎ ‎∴∠BPQ=90°=∠C，‎ ‎∵∠PBQ=∠DBC，‎ ‎∴△PBQ∽△CBD，‎ ‎∴==，‎ ‎∴==，‎ ‎∴PQ=3t，BQ=5t，‎ ‎∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，‎ ‎∴QP=QC，‎ ‎∴3t=6﹣5t，‎ ‎∴t=，‎ 故答案为．‎ ‎（2）解：如图2中，作MT⊥BC于T．‎ ‎∵MC=MQ，MT⊥CQ，‎ ‎∴TC=TQ，‎ 由（1）可知TQ=（8﹣5t），QM=3t，‎ ‎∵MQ∥BD，‎ ‎∴∠MQT=∠DBC，‎ ‎∵∠MTQ=∠BCD=90°，‎ ‎∴△QTM∽△BCD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴t=（s），‎ ‎∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形．‎ ‎（3）①证明：如图2中，由此QM交CD于E，‎ ‎∵EQ∥BD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣（8﹣5t）=t，‎ ‎∵DO=3t，‎ ‎∴DE﹣DO=t﹣3t=t＞0，‎ ‎∴点O在直线QM左侧．‎ ‎②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．‎ ‎∵EC=（8﹣5t），DO=3t，‎ ‎∴OE=6﹣3t﹣（8﹣5t）=t，‎ ‎∵OH⊥MQ，‎ ‎∴∠OHE=90°，‎ ‎∵∠HEO=∠CEQ，‎ ‎∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，‎ ‎∵∠OHE=∠C=90°，‎ ‎∴△OHE∽△BCD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴t=．‎ ‎∴t=s时，⊙O与直线QM相切．‎ 连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH=PMQ=22.5°，‎ 在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，‎ ‎∴∠OFH=∠FOH=45°，‎ ‎∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8，‎ ‎∴MH=0.8（+1），‎ 由=得到HE=，‎ 由=得到EQ=，‎ ‎∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣﹣=，‎ ‎∴0.8（+1）≠，矛盾，‎ ‎∴假设不成立．‎ ‎∴直线MQ与⊙O不相切．‎ ‎　‎ ‎28．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．‎ ‎（1）求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．‎ ‎①写出点M′的坐标；‎ ‎②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；‎ ‎（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为DM•OB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；‎ ‎（3）①由（2）可知m=，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；‎ ‎②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由题意可知，点F在以BM′为直径的圆上，所以当点F与M′重合时，BF可取得最大值．‎ ‎【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，‎ ‎∴y=3，‎ ‎∴B（0，3），‎ 把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，‎ ‎∴3=a+4，‎ ‎∴a=﹣1，‎ ‎∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，‎ ‎∴0=﹣x2+2x+3，‎ ‎∴x=﹣1或3，‎ ‎∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，‎ ‎∵M在抛物线上，且在第一象限内，‎ ‎∴0＜m＜3，‎ 过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，‎ 由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），‎ ‎∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，‎ ‎∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴D的坐标为（，﹣m2+2m+3），‎ ‎∴DM=m﹣=，‎ ‎∴S=DM•BE+DM•OE ‎=DM（BE+OE）‎ ‎=DM•OB ‎=××3‎ ‎=‎ ‎=（m﹣）2+‎ ‎∵0＜m＜3，‎ ‎∴当m=时，‎ S有最大值，最大值为；‎ ‎（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；‎ ‎②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，‎ 根据题意知：d1+d2=BF，‎ 此时只要求出BF的最大值即可，‎ ‎∵∠BFM′=90°，‎ ‎∴点F在以BM′为直径的圆上，‎ 设直线AM′与该圆相交于点H，‎ ‎∵点C在线段BM′上，‎ ‎∴F在优弧上，‎ ‎∴当F与M′重合时，‎ BF可取得最大值，‎ 此时BM′⊥l1，‎ ‎∵A（1，0），B（0，3），M′（，），‎ ‎∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，‎ 过点M′作M′G⊥AB于点G，‎ 设BG=x，‎ ‎∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，‎ ‎∴﹣（﹣x）2=﹣x2，‎ ‎∴x=，‎ cos∠M′BG==，‎ ‎∵l1∥l′，‎ ‎∴∠BCA=90°，‎ ‎∠BAC=45°‎ ‎　‎