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- 2021-11-06 发布
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2020 年山东省德州市中考数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正
确的选项选出来.每小题选对得 4 分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.
1.(4 分)| 2020 | 的结果是 ( )
A. 1
2020 B.2020 C. 1
2020
D. 2020
2.(4 分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
3.(4 分)下列运算正确的是 ( )
A. 6 5 1a a B. 2 3 5a a a C. 2 2( 2 ) 4a a D. 6 2 3a a a
4.(4 分)如图 1 是用 5 个相同的正方体搭成的立体图形.若由图 1 变化至图 2,则三视图
中没有发生变化的是 ( )
A.主视图 B.主视图和左视图
C.主视图和俯视图 D.左视图和俯视图
5.(4 分)为提升学生的自理和自立能力,李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况,
调查结果如下表:
一周做饭次数 4 5 6 7 8
人数 7 6 12 10 5
那么一周内该班学生的平均做饭次数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.(4 分)如图,小明从 A 点出发,沿直线前进 8 米后向左转 45,再沿直线前进 8 米,又
向左转 45照这样走下去,他第一次回到出发点 A 时,共走路程为 ( )
A.80 米 B.96 米 C.64 米 D.48 米
7.(4 分)函数 ky x
和 2( 0)y kx k 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( )
A. B.
C. D.
8.(4 分)下列命题:
①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;
③一个角为 90 且一组邻边相等的四边形是正方形;
④对角线相等的平行四边形是矩形.
其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(4 分)若关于 x 的不等式组
2 2 4
2 3
3 2
x x
x x a
的解集是 2x ,则 a 的取值范围是 ( )
A. 2a
B. 2a C. 2a D. 2a
10.(4 分)如图,圆内接正六边形的边长为 4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的
面积为 ( )
A. 24 3 4 B.12 3 4 C. 24 3 8 D. 24 3 4
11.(4 分)二次函数 2y ax bx c 的部分图象如图所示,则下列选项错误的是 ( )
A.若 1( 2, )y , 2(5, )y 是图象上的两点,则 1 2y y
B. 3 0a c
C.方程 2 2ax bx c 有两个不相等的实数根
D.当 0x
时, y 随 x 的增大而减小
12.(4 分)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第 10 个这样的图
案需要黑色棋子的个数为 ( )
A.148 B.152 C.174 D.202
二、填空题:本大题共 6 小题,共 24 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 4 分.
13.(4 分) 27 3 .
14.(4 分)若一个圆锥的底面半径是 2cm ,母线长是 6cm ,则该圆锥侧面展开图的圆心角
是 度.
15.(4 分)在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是 ( 2,1) ,以原点 O 为位似中心,把线段 OA
放大为原来的 2 倍,点 A 的对应点为 A .若点 A 恰在某一反比例函数图象上,则该反比例
函数解析式为 .
16.(4 分)菱形的一条对角线长为 8,其边长是方程 2 9 20 0x x 的一个根,则该菱形的
周长为 .
17.(4 分)如图,在 4 4 的正方形网格中,有 4 个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意 1 个
白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同),使新构成的黑色部分图形是轴
对称图形的概率是 .
18.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 3 2AB , 3AD .把 AD 沿 AE 折叠,使点 D 恰
好落在 AB 边上的 D 处,再将 AED 绕点 E 顺时针旋转 ,得到△ A ED ,使得 EA 恰好
经过 BD 的中点 F . A D 交 AB 于点G ,连接 AA .有如下结论:① A F 的长度是 6 2 ;
②弧 D D 的长度是 5 3
12
;③△ A AF △ A EG ;④△ AA F EGF ∽ .上述结论中,所有
正确的序号是 .
三、解答题:本大题共 7 小题,共 78 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.
19.(8 分)先化简: 2
1 2 4( )2 4 4
x x x
x x x x
,然后选择一个合适的 x 值代入求值.
20.(10 分)某校“校园主持人大赛”结束后,将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)
进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下:
(1)本次比赛参赛选手共有 人,扇形统计图中“ 79.5 ~ 89.5”这一范围的人数占总参
赛人数的百分比为 ;
(2)补全图 2 频数直方图;
(3)赛前规定,成绩由高到低前 40% 的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为 88 分,
试判断他能否获奖,并说明理由;
(4)成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生,若从他们中任选 2 人作为该校文艺晚会的主持人,
试求恰好选中 1 男 1 女为主持人的概率.
21.(10 分)如图,无人机在离地面 60 米的 C 处,观测楼房顶部 B 的俯角为 30 ,观测楼
房底部 A 的俯角为 60,求楼房的高度.
22.(12 分)如图,点 C 在以 AB 为直径的 O 上,点 D 是半圆 AB 的中点,连接 AC ,BC ,
AD , BD .过点 D 作 / /DH AB 交 CB 的延长线于点 H .
(1)求证:直线 DH 是 O 的切线;
(2)若 10AB , 6BC ,求 AD , BH 的长.
23.(12 分)小刚去超市购买画笔,第一次花 60 元买了若干支 A 型画笔,第二次超市推荐
了 B 型画笔,但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元,他又花 100 元买了相同支数的 B 型画
笔.
(1)超市 B 型画笔单价多少元?
(2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用 B 型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后,
超市给出以下优惠方案:一次购买不超过 20 支,则每支 B 型画笔打九折;若一次购买超过
20 支,则前 20 支打九折,超过的部分打八折.设小刚购买的 B 型画笔 x 支,购买费用为 y
元,请写出 y 关于 x 的函数关系式.
(3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔,则能购买多少支 B 型画
笔?
24.(12 分)问题探究:
小红遇到这样一个问题:如图 1, ABC 中, 6AB , 4AC , AD 是中线,求 AD 的取值
范围.她的做法是:延长 AD 到 E ,使 DE AD ,连接 BE ,证明 BED CAD ,经过推
理和计算使问题得到解决.
请回答:(1)小红证明 BED CAD 的判定定理是: ;
(2) AD 的取值范围是 ;
方法运用:
(3)如图 2, AD 是 ABC 的中线,在 AD 上取一点 F ,连结 BF 并延长交 AC 于点 E ,使
AE EF ,求证: BF AC .
(4)如图 3,在矩形 ABCD 中, 1
2
AB
BC
,在 BD 上取一点 F ,以 BF 为斜边作 Rt BEF ,
且 1
2
EF
BE
,点 G 是 DF 的中点,连接 EG , CG ,求证: EG CG .
25.(14 分)如图 1,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是 (0, 2) ,在 x 轴上任取一点 M ,
连接 AM ,分别以点 A 和点 M 为圆心,大于 1
2 AM 的长为半径作弧,两弧相交于 G ,H 两
点,作直线 GH ,过点 M 作 x 轴的垂线 l 交直线 GH 于点 P .根据以上操作,完成下列问
题.
探究:
(1)线段 PA 与 PM 的数量关系为 ,其理由为: .
(2)在 x 轴上多次改变点 M 的位置,按上述作图方法得到相应点 P 的坐标,并完成下列表
格:
M 的坐标 ( 2,0) (0,0) (2,0) (4,0)
P 的坐标 (0, 1) (2, 2)
猜想:
(3)请根据上述表格中 P 点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图 2 中连接起来;观察画出
的曲线 L ,猜想曲线 L 的形状是 .
验证:
(4)设点 P 的坐标是 ( , )x y ,根据图 1 中线段 PA 与 PM 的关系,求出 y 关于 x 的函数解析
式.
应用:
(5)如图 3,点 ( 1, 3)B , (1, 3)C ,点 D 为曲线 L 上任意一点,且 30BDC ,求点 D
的纵坐标 Dy 的取值范围.
2020 年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正
确的选项选出来.每小题选对得 4 分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.
1.(4 分)| 2020 | 的结果是 ( )
A. 1
2020 B.2020 C. 1
2020
D. 2020
【解答】解:| 2020 | 2020 ;
故选: B .
2.(4 分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
【解答】解: A 、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故此选项不合题意;
B 、是中心对称图形但不是轴对称图形.故此选项符合题意;
C 、既是轴对称图形,又是中心对称图形.故此选项不合题意;
D 、是轴对称图形,不是中心对称图形.故此选项不合题意.
故选: B .
3.(4 分)下列运算正确的是 ( )
A. 6 5 1a a B. 2 3 5a a a C. 2 2( 2 ) 4a a D. 6 2 3a a a
【解答】解: 6 5a a a ,因此选项 A 不符合题意;
2 3 5a a a ,因此选项 B 符合题意;
2 2( 2 ) 4a a ,因此选项 C 不符合题意;
6 2 6 2 4a a a a ,因此选项 D 不符合题意;
故选: B .
4.(4 分)如图 1 是用 5 个相同的正方体搭成的立体图形.若由图 1 变化至图 2,则三视图
中没有发生变化的是 ( )
A.主视图 B.主视图和左视图
C.主视图和俯视图 D.左视图和俯视图
【解答】解:图 1 主视图第一层三个正方形,第二层左边一个正方形;图 2 主视图第一层三
个正方形,第二层右边一个正方形;故主视图发生变化;
左视图都是第一层两个正方形,第二层左边一个正方形,故左视图不变;
俯视图都是底层左边是一个正方形,上层是三个正方形,故俯视图不变.
不改变的是左视图和俯视图.
故选: D .
5.(4 分)为提升学生的自理和自立能力,李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况,
调查结果如下表:
一周做饭次数 4 5 6 7 8
人数 7 6 12 10 5
那么一周内该班学生的平均做饭次数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解答】解: 4 7 5 6 6 12 7 10 8 5 67 6 12 10 5x
(次 ) ,
故选: C .
6.(4 分)如图,小明从 A 点出发,沿直线前进 8 米后向左转 45,再沿直线前进 8 米,又
向左转 45照这样走下去,他第一次回到出发点 A 时,共走路程为 ( )
A.80 米 B.96 米 C.64 米 D.48 米
【解答】解:根据题意可知,他需要转 360 45 8 次才会回到原点,
所以一共走了8 8 64 (米 ) .
故选: C .
7.(4 分)函数 ky x
和 2( 0)y kx k 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( )
A. B.
C. D.
【解答】解:在函数 ky x
和 2( 0)y kx k 中,
当 0k 时,函数 ky x
的图象在第一、三象限,函数 2y kx 的图象在第一、二、四象限,
故选项 A 、 B 错误,选项 D 正确,
当 0k 时,函数 ky x
的图象在第二、四象限,函数 2y kx 的图象在第一、二、三象限,
故选项 C 错误,
故选: D .
8.(4 分)下列命题:
①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;
③一个角为 90 且一组邻边相等的四边形是正方形;
④对角线相等的平行四边形是矩形.
其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形,原命题是假命题;
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,是真命题;
③一个角为 90 且一组邻边相等的平行四边形是正方形,原命题是假命题;
④对角线相等的平行四边形是矩形,是真命题;
故选: B .
9.(4 分)若关于 x 的不等式组
2 2 4
2 3
3 2
x x
x x a
的解集是 2x ,则 a 的取值范围是 ( )
A. 2a
B. 2a C. 2a D. 2a
【解答】解:解不等式组
2 2 4
2 3
3 2
x x
x x a
①
②
,
由①可得: 2x ,
由②可得: x a ,
因为关于 x 的不等式组
2 2 4
2 3
3 2
x x
x x a
的解集是 2x ,
所以, 2a
,
故选: A .
10.(4 分)如图,圆内接正六边形的边长为 4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的
面积为 ( )
A. 24 3 4 B.12 3 4 C. 24 3 8 D. 24 3 4
【解答】解:设正六边形的中心为 O ,连接 OA , OB .
由题意, 4OA OB AB ,
2
2360 4 84 4 3360 4 3AOBAmB OABS S S
弓形 扇形 ,
21 86 6 2 4 3 24 3 42 3AmBS S S 阴 弓形半圆 ,
故选: A .
11.(4 分)二次函数 2y ax bx c 的部分图象如图所示,则下列选项错误的是 ( )
A.若 1( 2, )y , 2(5, )y 是图象上的两点,则 1 2y y
B. 3 0a c
C.方程 2 2ax bx c 有两个不相等的实数根
D.当 0x
时, y 随 x 的增大而减小
【解答】解:抛物线的对称轴为直线 1x , 0a ,
点 ( 1,0) 关于直线 1x 的对称点为 (3,0) ,
则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 (3,0) ,点 1( 2, )y 与 1(4, )y 是对称点,
当 1x 时,函数 y 随 x 增大而减小,
故 A 选项不符合题意;
把点 ( 1,0) , (3,0) 代入 2y ax bx c 得: 0a b c ①, 9 3 0a b c ②,
① 3 ②得:12 4 0a c ,
3 0a c ,
故 B 选项不符合题意;
当 2y 时, 2 2y ax bx c ,
由图象得:纵坐标为 2 的点有 2 个,
方程 2 2ax bx c 有两个不相等的实数根,
故 C 选项不符合题意;
二次函数图象的对称轴为 1x , 0a ,
当 1x 时, y 随 x 的增大而增大;
当 1x
时, y 随 x 的增大而减小;
故 D 选项符合题意;
故选: D .
12.(4 分)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第 10 个这样的图
案需要黑色棋子的个数为 ( )
A.148 B.152 C.174 D.202
【解答】解:根据图形,第 1 个图案有 12 枚棋子,
第 2 个图案有 22 枚棋子,
第 3 个图案有 34 枚棋子,
第 n个图案有 22(1 2 2) 2( 1) 7 4n n n n 枚棋子,
故第 10 个这样的图案需要黑色棋子的个数为 210 7 10 4 100 70 4 174 (枚 ) .
故选: C .
二、填空题:本大题共 6 小题,共 24 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 4 分.
13.(4 分) 27 3 2 3 .
【解答】解:原式 3 3 3 2 3 .
故答案为: 2 3 .
14.(4 分)若一个圆锥的底面半径是 2cm ,母线长是 6cm ,则该圆锥侧面展开图的圆心角
是 120 度.
【解答】解:圆锥侧面展开图的弧长是: 2 2 4 ( )cm ,
设圆心角的度数是 n 度.则 6 4180
n ,
解得: 120n .
故答案为:120.
15.(4 分)在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是 ( 2,1) ,以原点 O 为位似中心,把线段 OA
放大为原来的 2 倍,点 A 的对应点为 A .若点 A 恰在某一反比例函数图象上,则该反比例
函数解析式为 8y x
.
【解答】解:点 A 的坐标是 ( 2,1) ,以原点 O 为位似中心,把线段 OA 放大为原来的 2 倍,
点 A 的对应点为 A ,
A 坐标为: ( 4,2) 或 (4, 2) ,
A 恰在某一反比例函数图象上,
该反比例函数解析式为: 8y x
.
故答案为: 8y x
.
16.(4 分)菱形的一条对角线长为 8,其边长是方程 2 9 20 0x x 的一个根,则该菱形的
周长为 20 .
【解答】解:如图所示:
四边形 ABCD 是菱形,
AB BC CD AD ,
2 9 20 0x x ,
因式分解得: ( 4)( 5) 0x x ,
解得: 4x 或 5x ,
分两种情况:
①当 4AB AD 时, 4 4 8 ,不能构成三角形;
②当 5AB AD 时, 5 5 8 ,
菱形 ABCD 的周长 4 20AB .
故答案为:20.
17.(4 分)如图,在 4 4 的正方形网格中,有 4 个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意 1 个
白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同),使新构成的黑色部分图形是轴
对称图形的概率是 1
6
.
【解答】解:如图所示:当分别将 1,2 位置涂黑,构成的黑色部分图形是轴对称图形,
故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是: 2 1
12 6
.
故答案为: 1
6
.
18.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 3 2AB , 3AD .把 AD 沿 AE 折叠,使点 D 恰
好落在 AB 边上的 D 处,再将 AED 绕点 E 顺时针旋转 ,得到△ A ED ,使得 EA 恰好
经过 BD 的中点 F . A D 交 AB 于点G ,连接 AA .有如下结论:① A F 的长度是 6 2 ;
②弧 D D 的长度是 5 3
12
;③△ A AF △ A EG ;④△ AA F EGF ∽ .上述结论中,所有
正确的序号是 ①②④ .
【解答】解:把 AD 沿 AE 折叠,使点 D 恰好落在 AB 边上的 D 处,
90D AD E DAD , AD AD ,
四边形 ADED 是矩形,
又 3AD AD ,
四边形 ADED 是正方形,
3AD AD D E DE , 2 6AE AD , 45EAD AED ,
2D B AB AD ,
点 F 是 BD 中点,
1D F ,
2 2 3 1 2EF D E D F ,
将 AED 绕点 E 顺时针旋转 ,
6AE A E , D ED , 45EA D EAD ,
6 2A F ,故①正确;
1 3tan 33
D FFED D E
,
30FED
30 45 75 ,
弧 D D 的长度 75 3 5 3
180 12
,故②正确;
AE A E , 75AEA ,
52.5EAA EA A ,
7.5A AF ,
AA F EA G , AA E EA G , 120AFA EA G ,
△ AA F 与△ A GE 不全等,故③错误;
D E D E , EG EG ,
Rt △ ED G Rt △ ( )ED G HL ,
D GE D GE ,
105AGD A AG AA G ,
52.5D GE AA F ,
又 AFA EFG ,
AFA EFG ∽ ,故④正确,
故答案为:①②④.
三、解答题:本大题共 7 小题,共 78 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.
19.(8 分)先化简: 2
1 2 4( )2 4 4
x x x
x x x x
,然后选择一个合适的 x 值代入求值.
【解答】解: 2
1 2 4( )2 4 4
x x x
x x x x
2( 1) ( 2)( 2) ( 2)[ ]( 2) ( 2) 4
x x x x x
x x x x x
24 ( 2)
( 2) 4
x x
x x x
2x
x
,
把 1x 代入 2 1 2 1x
x x
.
20.(10 分)某校“校园主持人大赛”结束后,将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)
进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下:
(1)本次比赛参赛选手共有 50 人,扇形统计图中“ 79.5 ~ 89.5”这一范围的人数占总
参赛人数的百分比为 ;
(2)补全图 2 频数直方图;
(3)赛前规定,成绩由高到低前 40% 的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为 88 分,
试判断他能否获奖,并说明理由;
(4)成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生,若从他们中任选 2 人作为该校文艺晚会的主持人,
试求恰好选中 1 男 1 女为主持人的概率.
【解答】解:(1)本次比赛参赛选手共有: (8 4) 24% 50 (人 ) ,
“ 59.5 ~ 69.5 ”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 2 3 100% 10%50
,
79.5 ~ 89.5 ”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100% 24% 10% 30% 36% ;
故答案为:50, 36% ;
(2) “ 69.5 ~ 79.5 ”这一范围的人数为 50 30% 15 (人 ) ,
“ 69.5 ~ 74.5 ”这一范围的人数为15 8 7 (人 ) ,
“ 79.5 ~ 89.5”这一范围的人数为 50 36% 18 (人 ) ,
“ 79.5 ~ 84.5”这一范围的人数为18 8 10 (人 ) ;
补全图 2 频数直方图:
(3)能获奖.理由如下:
本次比赛参赛选手 50 人,
成绩由高到低前 40% 的参赛选手人数为 50 40% 20 (人 ) ,
又 88 84.5 ,
能获奖;
(4)画树状图为:
共有 12 种等可能的结果数,其中恰好选中 1 男 1 女的结果数为 8,
所以恰好选中 1 男 1 女的概率 8 2
12 3
.
21.(10 分)如图,无人机在离地面 60 米的 C 处,观测楼房顶部 B 的俯角为 30 ,观测楼
房底部 A 的俯角为 60,求楼房的高度.
【解答】解:过 B 作 BE CD 交 CD于 E ,
由题意得, 30CBE , 60CAD ,
在 Rt ACD 中, tan tan60 3CDCAD AD
,
60 20 3
3
AD ,
20 3BE AD ,
在 Rt BCE 中, 3tan tan30 3
CECBE BE
,
320 3 203CE ,
60 20 40ED CD CE ,
40AB ED (米 ) ,
答:楼房的高度为 40 米.
22.(12 分)如图,点 C 在以 AB 为直径的 O 上,点 D 是半圆 AB 的中点,连接 AC ,BC ,
AD , BD .过点 D 作 / /DH AB 交 CB 的延长线于点 H .
(1)求证:直线 DH 是 O 的切线;
(2)若 10AB , 6BC ,求 AD , BH 的长.
【解答】(1)证明:连接 OD ,
AB 为 O 的直径,点 D 是半圆 AB 的中点,
1 902AOD AOB ,
/ /DH AB ,
90ODH ,
OD DH ,
直线 DH 是 O 的切线;
(2)解:连接 CD ,
AB 为 O 的直径,
90ADB ACB ,
点 D 是半圆 AB 的中点,
AD DB ,
AD DB ,
ABD 是等腰直角三角形,
10AB ,
210sin 10sin 45 10 5 22AD ABD ,
10AB , 6BC ,
2 210 6 8AC ,
四边形 ABCD 是圆内接四边形,
180CAD CBD ,
180DBH CBD ,
CAD DBH ,
由(1)知 90AOD , 45OBD ,
45ACD ,
/ /DH AB ,
45BDH OBD ,
ACD BDH ,
ACD BDH ∽ ,
AC AD
BD BH
,
8 5 2
5 2 BH
,
解得: 25
4BH .
23.(12 分)小刚去超市购买画笔,第一次花 60 元买了若干支 A 型画笔,第二次超市推荐
了 B 型画笔,但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元,他又花 100 元买了相同支数的 B 型画
笔.
(1)超市 B 型画笔单价多少元?
(2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用 B 型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后,
超市给出以下优惠方案:一次购买不超过 20 支,则每支 B 型画笔打九折;若一次购买超过
20 支,则前 20 支打九折,超过的部分打八折.设小刚购买的 B 型画笔 x 支,购买费用为 y
元,请写出 y 关于 x 的函数关系式.
(3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔,则能购买多少支 B 型画
笔?
【解答】解:(1)设超市 B 型画笔单价为 a元,则 A 型画笔单价为 ( 2)a 元.
根据题意得, 60 100
2a a
,
解得 5a .
经检验, 5a 是原方程的解.
答:超市 B 型画笔单价为 5 元;
(2)由题意知,
当小刚购买的 B 型画笔支数 20x 时,费用为 0.9 5 4.5y x x ,
当小刚购买的 B 型画笔支数 20x 时,费用为 0.9 5 20 0.8 5( 20) 4 10y x x .
所以, y 关于 x 的函数关系式为 4.5 (1 20)
4 10( 20)
x xy x x
(其中 x 是正整数);
(3)当 4.5 270x 时,解得 60x ,
60 20 ,
60x 不合题意,舍去;
当 4 10 270x 时,解得 65x ,符合题意.
答:若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔,则能购买 65 支 B 型画笔.
24.(12 分)问题探究:
小红遇到这样一个问题:如图 1, ABC 中, 6AB , 4AC , AD 是中线,求 AD 的取值
范围.她的做法是:延长 AD 到 E ,使 DE AD ,连接 BE ,证明 BED CAD ,经过推
理和计算使问题得到解决.
请回答:(1)小红证明 BED CAD 的判定定理是: SAS ;
(2) AD 的取值范围是 ;
方法运用:
(3)如图 2, AD 是 ABC 的中线,在 AD 上取一点 F ,连结 BF 并延长交 AC 于点 E ,使
AE EF ,求证: BF AC .
(4)如图 3,在矩形 ABCD 中, 1
2
AB
BC
,在 BD 上取一点 F ,以 BF 为斜边作 Rt BEF ,
且 1
2
EF
BE
,点 G 是 DF 的中点,连接 EG , CG ,求证: EG CG .
【解答】解:(1) AD 是中线,
BD CD ,
又 ADC BDE , AD DE ,
( )BED CAD SAS ,
故答案为: SAS ;
(2) BED CAD ,
4AC BE ,
在 ABE 中, AB BE AE AB BE ,
2 2 10AD ,
1 5AD ,
故答案为:1 5AD ;
(3)如图 2,延长 AD 至 H ,使 AD DH ,连接 BH ,
AD 是 ABC 的中线,
BD CD ,
又 ADC BDH , AD DH ,
( )ADC HDB SAS ,
AC BH , CAD H ,
AE EF ,
EAF AFE ,
H BFH ,
BF BH ,
AC BF ;
(4)如图 3,延长 CG 至 N ,使 NG CG ,连接 EN ,CE , NF ,
点 G 是 DF 的中点,
DG GF ,
又 NGF DGC , CG NG ,
( )NGF CGD SAS ,
CD NF , CDB NFG ,
1
2
AB AB
AD BC
, 1
2
EF
BE
,
1tan 2ADB , 1tan 2EBF ,
ADB EBF ,
/ /AD BC ,
ADB DBC ,
EBF DBC ,
2EBC DBC ,
90EBF EFB , 90DBC BDC ,
EFB BDC NFG , 180EBF EFB DBC BDC ,
2 180DBC EFB NFG ,
又 180NFG BFE EFN ,
2EFN DBC ,
EBC EFN ,
1
2
AB CD EF
BC BC BE
,且 CD NF ,
BE EF
BC NF
BEC FEN ∽ ,
BEC FEN ,
90BEF NEC ,
又 CG NG ,
1
2EG NC ,
EG GC .
25.(14 分)如图 1,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是 (0, 2) ,在 x 轴上任取一点 M ,
连接 AM ,分别以点 A 和点 M 为圆心,大于 1
2 AM 的长为半径作弧,两弧相交于 G ,H 两
点,作直线 GH ,过点 M 作 x 轴的垂线 l 交直线 GH 于点 P .根据以上操作,完成下列问
题.
探究:
(1)线段 PA 与 PM 的数量关系为 PA PM ,其理由为: .
(2)在 x 轴上多次改变点 M 的位置,按上述作图方法得到相应点 P 的坐标,并完成下列表
格:
M 的坐标 ( 2,0) (0,0) (2,0) (4,0)
P 的坐标 (0, 1) (2, 2)
猜想:
(3)请根据上述表格中 P 点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图 2 中连接起来;观察画出
的曲线 L ,猜想曲线 L 的形状是 .
验证:
(4)设点 P 的坐标是 ( , )x y ,根据图 1 中线段 PA 与 PM 的关系,求出 y 关于 x 的函数解析
式.
应用:
(5)如图 3,点 ( 1, 3)B , (1, 3)C ,点 D 为曲线 L 上任意一点,且 30BDC ,求点 D
的纵坐标 Dy 的取值范围.
【解答】解:(1)分别以点 A 和点 M 为圆心,大于 1
2 AM 的长为半径作弧,两弧相交于G ,
H 两点,
GH 是 AM 的垂直平分线,
点 P 是 GH 上一点,
PA PM (线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等),
故答案为: PA PM ,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;
(2)当点 ( 2,0)M 时,设点 ( 2, )P a , ( 0)a
PA PM ,
2 2( 2 0) ( 2)a a ,
2a ,
点 ( 2, 2)P ,
当点 (4,0)M 时,设点 (4, )P b , ( 0)b
PA PM ,
2 2(4 0) ( 2)b b ,
5b ,
点 (4, 5)P ,
故答案为: ( 2, 2) , (4, 5) ;
(3)依照题意,画出图象,
猜想曲线 L 的形状为抛物线,
故答案为:抛物线;
(4) PA PM ,点 P 的坐标是 ( , )x y , ( 0)y ,
2 2( 0) ( 2)y x y ,
21 14y x ;
(5)点 ( 1, 3)B , (1, 3)C ,
2BC , 2 2( 1 0) ( 3 0) 2OB , 2 2(1 0) ( 3 0) 2OC ,
BC OB OC ,
BOC 是等边三角形,
60BOC ,
如图 3,以 O 为圆心, OB 为半径作圆 O ,交抛物线 L 与点 E ,连接 BE , CE ,
30BEC ,
设点 ( , )E m n ,
点 E 在抛物线上,
21 14n m ,
2OE OB ,
2 2( 0) ( 0) 2m n ,
1 2 2 3n , 2 2 2 3n (舍去),
如图 3,可知当点 D 在点 E 下方时, 30BDC ,
点 D 的纵坐标 Dy 的取值范围为 2 2 3Dy .
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