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  • 2021-11-06 发布

2020年山东省德州市中考数学试卷

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2020 年山东省德州市中考数学试卷 一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正 确的选项选出来.每小题选对得 4 分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1.(4 分)| 2020 | 的结果是 ( ) A. 1 2020 B.2020 C. 1 2020  D. 2020 2.(4 分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 3.(4 分)下列运算正确的是 ( ) A. 6 5 1a a  B. 2 3 5a a a C. 2 2( 2 ) 4a a   D. 6 2 3a a a  4.(4 分)如图 1 是用 5 个相同的正方体搭成的立体图形.若由图 1 变化至图 2,则三视图 中没有发生变化的是 ( ) A.主视图 B.主视图和左视图 C.主视图和俯视图 D.左视图和俯视图 5.(4 分)为提升学生的自理和自立能力,李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况, 调查结果如下表: 一周做饭次数 4 5 6 7 8 人数 7 6 12 10 5 那么一周内该班学生的平均做饭次数为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 6.(4 分)如图,小明从 A 点出发,沿直线前进 8 米后向左转 45,再沿直线前进 8 米,又 向左转 45照这样走下去,他第一次回到出发点 A 时,共走路程为 ( ) A.80 米 B.96 米 C.64 米 D.48 米 7.(4 分)函数 ky x  和 2( 0)y kx k    在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( ) A. B. C. D. 8.(4 分)下列命题: ①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形; ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形; ③一个角为 90 且一组邻边相等的四边形是正方形; ④对角线相等的平行四边形是矩形. 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.(4 分)若关于 x 的不等式组 2 2 4 2 3 3 2 x x x x a        的解集是 2x  ,则 a 的取值范围是 ( ) A. 2a… B. 2a   C. 2a  D. 2a„ 10.(4 分)如图,圆内接正六边形的边长为 4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的 面积为 ( ) A. 24 3 4 B.12 3 4 C. 24 3 8 D. 24 3 4 11.(4 分)二次函数 2y ax bx c   的部分图象如图所示,则下列选项错误的是 ( ) A.若 1( 2, )y , 2(5, )y 是图象上的两点,则 1 2y y B. 3 0a c  C.方程 2 2ax bx c    有两个不相等的实数根 D.当 0x… 时, y 随 x 的增大而减小 12.(4 分)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第 10 个这样的图 案需要黑色棋子的个数为 ( ) A.148 B.152 C.174 D.202 二、填空题:本大题共 6 小题,共 24 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 4 分. 13.(4 分) 27 3  . 14.(4 分)若一个圆锥的底面半径是 2cm ,母线长是 6cm ,则该圆锥侧面展开图的圆心角 是 度. 15.(4 分)在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是 ( 2,1) ,以原点 O 为位似中心,把线段 OA 放大为原来的 2 倍,点 A 的对应点为 A .若点 A 恰在某一反比例函数图象上,则该反比例 函数解析式为 . 16.(4 分)菱形的一条对角线长为 8,其边长是方程 2 9 20 0x x   的一个根,则该菱形的 周长为 . 17.(4 分)如图,在 4 4 的正方形网格中,有 4 个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意 1 个 白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同),使新构成的黑色部分图形是轴 对称图形的概率是 . 18.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 3 2AB   , 3AD  .把 AD 沿 AE 折叠,使点 D 恰 好落在 AB 边上的 D 处,再将 AED  绕点 E 顺时针旋转 ,得到△ A ED ,使得 EA 恰好 经过 BD 的中点 F . A D  交 AB 于点G ,连接 AA .有如下结论:① A F 的长度是 6 2 ; ②弧 D D  的长度是 5 3 12  ;③△ A AF  △ A EG ;④△ AA F EGF ∽ .上述结论中,所有 正确的序号是 . 三、解答题:本大题共 7 小题,共 78 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 19.(8 分)先化简: 2 1 2 4( )2 4 4 x x x x x x x       ,然后选择一个合适的 x 值代入求值. 20.(10 分)某校“校园主持人大赛”结束后,将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数) 进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下: (1)本次比赛参赛选手共有 人,扇形统计图中“ 79.5 ~ 89.5”这一范围的人数占总参 赛人数的百分比为 ; (2)补全图 2 频数直方图; (3)赛前规定,成绩由高到低前 40% 的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为 88 分, 试判断他能否获奖,并说明理由; (4)成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生,若从他们中任选 2 人作为该校文艺晚会的主持人, 试求恰好选中 1 男 1 女为主持人的概率. 21.(10 分)如图,无人机在离地面 60 米的 C 处,观测楼房顶部 B 的俯角为 30 ,观测楼 房底部 A 的俯角为 60,求楼房的高度. 22.(12 分)如图,点 C 在以 AB 为直径的 O 上,点 D 是半圆 AB 的中点,连接 AC ,BC , AD , BD .过点 D 作 / /DH AB 交 CB 的延长线于点 H . (1)求证:直线 DH 是 O 的切线; (2)若 10AB  , 6BC  ,求 AD , BH 的长. 23.(12 分)小刚去超市购买画笔,第一次花 60 元买了若干支 A 型画笔,第二次超市推荐 了 B 型画笔,但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元,他又花 100 元买了相同支数的 B 型画 笔. (1)超市 B 型画笔单价多少元? (2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用 B 型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后, 超市给出以下优惠方案:一次购买不超过 20 支,则每支 B 型画笔打九折;若一次购买超过 20 支,则前 20 支打九折,超过的部分打八折.设小刚购买的 B 型画笔 x 支,购买费用为 y 元,请写出 y 关于 x 的函数关系式. (3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔,则能购买多少支 B 型画 笔? 24.(12 分)问题探究: 小红遇到这样一个问题:如图 1, ABC 中, 6AB  , 4AC  , AD 是中线,求 AD 的取值 范围.她的做法是:延长 AD 到 E ,使 DE AD ,连接 BE ,证明 BED CAD   ,经过推 理和计算使问题得到解决. 请回答:(1)小红证明 BED CAD   的判定定理是: ; (2) AD 的取值范围是 ; 方法运用: (3)如图 2, AD 是 ABC 的中线,在 AD 上取一点 F ,连结 BF 并延长交 AC 于点 E ,使 AE EF ,求证: BF AC . (4)如图 3,在矩形 ABCD 中, 1 2 AB BC  ,在 BD 上取一点 F ,以 BF 为斜边作 Rt BEF , 且 1 2 EF BE  ,点 G 是 DF 的中点,连接 EG , CG ,求证: EG CG . 25.(14 分)如图 1,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是 (0, 2) ,在 x 轴上任取一点 M , 连接 AM ,分别以点 A 和点 M 为圆心,大于 1 2 AM 的长为半径作弧,两弧相交于 G ,H 两 点,作直线 GH ,过点 M 作 x 轴的垂线 l 交直线 GH 于点 P .根据以上操作,完成下列问 题. 探究: (1)线段 PA 与 PM 的数量关系为 ,其理由为: . (2)在 x 轴上多次改变点 M 的位置,按上述作图方法得到相应点 P 的坐标,并完成下列表 格: M 的坐标  ( 2,0) (0,0) (2,0) (4,0)  P 的坐标  (0, 1) (2, 2)  猜想: (3)请根据上述表格中 P 点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图 2 中连接起来;观察画出 的曲线 L ,猜想曲线 L 的形状是 . 验证: (4)设点 P 的坐标是 ( , )x y ,根据图 1 中线段 PA 与 PM 的关系,求出 y 关于 x 的函数解析 式. 应用: (5)如图 3,点 ( 1, 3)B  , (1, 3)C ,点 D 为曲线 L 上任意一点,且 30BDC   ,求点 D 的纵坐标 Dy 的取值范围. 2020 年山东省德州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正 确的选项选出来.每小题选对得 4 分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1.(4 分)| 2020 | 的结果是 ( ) A. 1 2020 B.2020 C. 1 2020  D. 2020 【解答】解:| 2020 | 2020  ; 故选: B . 2.(4 分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解: A 、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故此选项不合题意; B 、是中心对称图形但不是轴对称图形.故此选项符合题意; C 、既是轴对称图形,又是中心对称图形.故此选项不合题意; D 、是轴对称图形,不是中心对称图形.故此选项不合题意. 故选: B . 3.(4 分)下列运算正确的是 ( ) A. 6 5 1a a  B. 2 3 5a a a C. 2 2( 2 ) 4a a   D. 6 2 3a a a  【解答】解: 6 5a a a  ,因此选项 A 不符合题意; 2 3 5a a a ,因此选项 B 符合题意; 2 2( 2 ) 4a a  ,因此选项 C 不符合题意; 6 2 6 2 4a a a a   ,因此选项 D 不符合题意; 故选: B . 4.(4 分)如图 1 是用 5 个相同的正方体搭成的立体图形.若由图 1 变化至图 2,则三视图 中没有发生变化的是 ( ) A.主视图 B.主视图和左视图 C.主视图和俯视图 D.左视图和俯视图 【解答】解:图 1 主视图第一层三个正方形,第二层左边一个正方形;图 2 主视图第一层三 个正方形,第二层右边一个正方形;故主视图发生变化; 左视图都是第一层两个正方形,第二层左边一个正方形,故左视图不变; 俯视图都是底层左边是一个正方形,上层是三个正方形,故俯视图不变. 不改变的是左视图和俯视图. 故选: D . 5.(4 分)为提升学生的自理和自立能力,李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况, 调查结果如下表: 一周做饭次数 4 5 6 7 8 人数 7 6 12 10 5 那么一周内该班学生的平均做饭次数为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解答】解: 4 7 5 6 6 12 7 10 8 5 67 6 12 10 5x              (次 ) , 故选: C . 6.(4 分)如图,小明从 A 点出发,沿直线前进 8 米后向左转 45,再沿直线前进 8 米,又 向左转 45照这样走下去,他第一次回到出发点 A 时,共走路程为 ( ) A.80 米 B.96 米 C.64 米 D.48 米 【解答】解:根据题意可知,他需要转 360 45 8  次才会回到原点, 所以一共走了8 8 64  (米 ) . 故选: C . 7.(4 分)函数 ky x  和 2( 0)y kx k    在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解:在函数 ky x  和 2( 0)y kx k    中, 当 0k  时,函数 ky x  的图象在第一、三象限,函数 2y kx   的图象在第一、二、四象限, 故选项 A 、 B 错误,选项 D 正确, 当 0k  时,函数 ky x  的图象在第二、四象限,函数 2y kx   的图象在第一、二、三象限, 故选项 C 错误, 故选: D . 8.(4 分)下列命题: ①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形; ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形; ③一个角为 90 且一组邻边相等的四边形是正方形; ④对角线相等的平行四边形是矩形. 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】解:①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形,原命题是假命题; ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,是真命题; ③一个角为 90 且一组邻边相等的平行四边形是正方形,原命题是假命题; ④对角线相等的平行四边形是矩形,是真命题; 故选: B . 9.(4 分)若关于 x 的不等式组 2 2 4 2 3 3 2 x x x x a        的解集是 2x  ,则 a 的取值范围是 ( ) A. 2a… B. 2a   C. 2a  D. 2a„ 【解答】解:解不等式组 2 2 4 2 3 3 2 x x x x a        ① ② , 由①可得: 2x  , 由②可得: x a , 因为关于 x 的不等式组 2 2 4 2 3 3 2 x x x x a        的解集是 2x  , 所以, 2a… , 故选: A . 10.(4 分)如图,圆内接正六边形的边长为 4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的 面积为 ( ) A. 24 3 4 B.12 3 4 C. 24 3 8 D. 24 3 4 【解答】解:设正六边形的中心为 O ,连接 OA , OB . 由题意, 4OA OB AB   , 2 2360 4 84 4 3360 4 3AOBAmB OABS S S           弓形 扇形 ,   21 86 6 2 4 3 24 3 42 3AmBS S S                 阴 弓形半圆 , 故选: A . 11.(4 分)二次函数 2y ax bx c   的部分图象如图所示,则下列选项错误的是 ( ) A.若 1( 2, )y , 2(5, )y 是图象上的两点,则 1 2y y B. 3 0a c  C.方程 2 2ax bx c    有两个不相等的实数根 D.当 0x… 时, y 随 x 的增大而减小 【解答】解:抛物线的对称轴为直线 1x  , 0a  , 点 ( 1,0) 关于直线 1x  的对称点为 (3,0) , 则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 (3,0) ,点 1( 2, )y 与 1(4, )y 是对称点, 当 1x  时,函数 y 随 x 增大而减小, 故 A 选项不符合题意; 把点 ( 1,0) , (3,0) 代入 2y ax bx c   得: 0a b c   ①, 9 3 0a b c   ②, ① 3  ②得:12 4 0a c  , 3 0a c   , 故 B 选项不符合题意; 当 2y   时, 2 2y ax bx c     , 由图象得:纵坐标为 2 的点有 2 个, 方程 2 2ax bx c    有两个不相等的实数根, 故 C 选项不符合题意; 二次函数图象的对称轴为 1x  , 0a  , 当 1x„ 时, y 随 x 的增大而增大; 当 1x… 时, y 随 x 的增大而减小; 故 D 选项符合题意; 故选: D . 12.(4 分)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第 10 个这样的图 案需要黑色棋子的个数为 ( ) A.148 B.152 C.174 D.202 【解答】解:根据图形,第 1 个图案有 12 枚棋子, 第 2 个图案有 22 枚棋子, 第 3 个图案有 34 枚棋子,  第 n个图案有 22(1 2 2) 2( 1) 7 4n n n n        枚棋子, 故第 10 个这样的图案需要黑色棋子的个数为 210 7 10 4 100 70 4 174       (枚 ) . 故选: C . 二、填空题:本大题共 6 小题,共 24 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 4 分. 13.(4 分) 27 3  2 3 . 【解答】解:原式 3 3 3 2 3   . 故答案为: 2 3 . 14.(4 分)若一个圆锥的底面半径是 2cm ,母线长是 6cm ,则该圆锥侧面展开图的圆心角 是 120 度. 【解答】解:圆锥侧面展开图的弧长是: 2 2 4 ( )cm   , 设圆心角的度数是 n 度.则 6 4180 n   , 解得: 120n  . 故答案为:120. 15.(4 分)在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是 ( 2,1) ,以原点 O 为位似中心,把线段 OA 放大为原来的 2 倍,点 A 的对应点为 A .若点 A 恰在某一反比例函数图象上,则该反比例 函数解析式为 8y x  . 【解答】解:点 A 的坐标是 ( 2,1) ,以原点 O 为位似中心,把线段 OA 放大为原来的 2 倍, 点 A 的对应点为 A , A  坐标为: ( 4,2) 或 (4, 2) , A 恰在某一反比例函数图象上, 该反比例函数解析式为: 8y x  . 故答案为: 8y x  . 16.(4 分)菱形的一条对角线长为 8,其边长是方程 2 9 20 0x x   的一个根,则该菱形的 周长为 20 . 【解答】解:如图所示: 四边形 ABCD 是菱形, AB BC CD AD    , 2 9 20 0x x   , 因式分解得: ( 4)( 5) 0x x   , 解得: 4x  或 5x  , 分两种情况: ①当 4AB AD  时, 4 4 8  ,不能构成三角形; ②当 5AB AD  时, 5 5 8  , 菱形 ABCD 的周长 4 20AB  . 故答案为:20. 17.(4 分)如图,在 4 4 的正方形网格中,有 4 个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意 1 个 白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同),使新构成的黑色部分图形是轴 对称图形的概率是 1 6 . 【解答】解:如图所示:当分别将 1,2 位置涂黑,构成的黑色部分图形是轴对称图形, 故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是: 2 1 12 6  . 故答案为: 1 6 . 18.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中, 3 2AB   , 3AD  .把 AD 沿 AE 折叠,使点 D 恰 好落在 AB 边上的 D 处,再将 AED  绕点 E 顺时针旋转 ,得到△ A ED ,使得 EA 恰好 经过 BD 的中点 F . A D  交 AB 于点G ,连接 AA .有如下结论:① A F 的长度是 6 2 ; ②弧 D D  的长度是 5 3 12  ;③△ A AF  △ A EG ;④△ AA F EGF ∽ .上述结论中,所有 正确的序号是 ①②④ . 【解答】解:把 AD 沿 AE 折叠,使点 D 恰好落在 AB 边上的 D 处, 90D AD E DAD        , AD AD , 四边形 ADED 是矩形, 又 3AD AD  , 四边形 ADED 是正方形, 3AD AD D E DE      , 2 6AE AD  , 45EAD AED     , 2D B AB AD     , 点 F 是 BD 中点, 1D F  , 2 2 3 1 2EF D E D F       , 将 AED  绕点 E 顺时针旋转 , 6AE A E   , D ED    , 45EA D EAD      , 6 2A F   ,故①正确; 1 3tan 33 D FFED D E     , 30FED   30 45 75       , 弧 D D  的长度 75 3 5 3 180 12     ,故②正确; AE A E , 75AEA   , 52.5EAA EA A      , 7.5A AF   , AA F EA G    , AA E EA G    , 120AFA EA G      , △ AA F 与△ A GE 不全等,故③错误; D E D E  , EG EG , Rt △ ED G Rt  △ ( )ED G HL , D GE D GE    , 105AGD A AG AA G         , 52.5D GE AA F      , 又 AFA EFG   , AFA EFG ∽ ,故④正确, 故答案为:①②④. 三、解答题:本大题共 7 小题,共 78 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 19.(8 分)先化简: 2 1 2 4( )2 4 4 x x x x x x x       ,然后选择一个合适的 x 值代入求值. 【解答】解: 2 1 2 4( )2 4 4 x x x x x x x       2( 1) ( 2)( 2) ( 2)[ ]( 2) ( 2) 4 x x x x x x x x x x         24 ( 2) ( 2) 4 x x x x x     2x x  , 把 1x  代入 2 1 2 1x x x     . 20.(10 分)某校“校园主持人大赛”结束后,将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数) 进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下: (1)本次比赛参赛选手共有 50 人,扇形统计图中“ 79.5 ~ 89.5”这一范围的人数占总 参赛人数的百分比为 ; (2)补全图 2 频数直方图; (3)赛前规定,成绩由高到低前 40% 的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为 88 分, 试判断他能否获奖,并说明理由; (4)成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生,若从他们中任选 2 人作为该校文艺晚会的主持人, 试求恰好选中 1 男 1 女为主持人的概率. 【解答】解:(1)本次比赛参赛选手共有: (8 4) 24% 50   (人 ) , “ 59.5 ~ 69.5 ”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 2 3 100% 10%50    , 79.5 ~ 89.5 ”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100% 24% 10% 30% 36%    ; 故答案为:50, 36% ; (2) “ 69.5 ~ 79.5 ”这一范围的人数为 50 30% 15  (人 ) ,  “ 69.5 ~ 74.5 ”这一范围的人数为15 8 7  (人 ) ,  “ 79.5 ~ 89.5”这一范围的人数为 50 36% 18  (人 ) ,  “ 79.5 ~ 84.5”这一范围的人数为18 8 10  (人 ) ; 补全图 2 频数直方图: (3)能获奖.理由如下: 本次比赛参赛选手 50 人, 成绩由高到低前 40% 的参赛选手人数为 50 40% 20  (人 ) , 又 88 84.5 , 能获奖; (4)画树状图为: 共有 12 种等可能的结果数,其中恰好选中 1 男 1 女的结果数为 8, 所以恰好选中 1 男 1 女的概率 8 2 12 3   . 21.(10 分)如图,无人机在离地面 60 米的 C 处,观测楼房顶部 B 的俯角为 30 ,观测楼 房底部 A 的俯角为 60,求楼房的高度. 【解答】解:过 B 作 BE CD 交 CD于 E , 由题意得, 30CBE   , 60CAD   , 在 Rt ACD 中, tan tan60 3CDCAD AD      , 60 20 3 3 AD   , 20 3BE AD   , 在 Rt BCE 中, 3tan tan30 3 CECBE BE      , 320 3 203CE    , 60 20 40ED CD CE      , 40AB ED   (米 ) , 答:楼房的高度为 40 米. 22.(12 分)如图,点 C 在以 AB 为直径的 O 上,点 D 是半圆 AB 的中点,连接 AC ,BC , AD , BD .过点 D 作 / /DH AB 交 CB 的延长线于点 H . (1)求证:直线 DH 是 O 的切线; (2)若 10AB  , 6BC  ,求 AD , BH 的长. 【解答】(1)证明:连接 OD , AB 为 O 的直径,点 D 是半圆 AB 的中点, 1 902AOD AOB     , / /DH AB , 90ODH   , OD DH  , 直线 DH 是 O 的切线; (2)解:连接 CD , AB 为 O 的直径, 90ADB ACB     , 点 D 是半圆 AB 的中点,   AD DB , AD DB  , ABD 是等腰直角三角形, 10AB  , 210sin 10sin 45 10 5 22AD ABD        , 10AB  , 6BC  , 2 210 6 8AC    , 四边形 ABCD 是圆内接四边形, 180CAD CBD     , 180DBH CBD     , CAD DBH   , 由(1)知 90AOD  , 45OBD   , 45ACD   , / /DH AB , 45BDH OBD     , ACD BDH   , ACD BDH ∽ ,  AC AD BD BH  ,  8 5 2 5 2 BH  , 解得: 25 4BH  . 23.(12 分)小刚去超市购买画笔,第一次花 60 元买了若干支 A 型画笔,第二次超市推荐 了 B 型画笔,但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元,他又花 100 元买了相同支数的 B 型画 笔. (1)超市 B 型画笔单价多少元? (2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用 B 型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后, 超市给出以下优惠方案:一次购买不超过 20 支,则每支 B 型画笔打九折;若一次购买超过 20 支,则前 20 支打九折,超过的部分打八折.设小刚购买的 B 型画笔 x 支,购买费用为 y 元,请写出 y 关于 x 的函数关系式. (3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔,则能购买多少支 B 型画 笔? 【解答】解:(1)设超市 B 型画笔单价为 a元,则 A 型画笔单价为 ( 2)a  元. 根据题意得, 60 100 2a a  , 解得 5a  . 经检验, 5a  是原方程的解. 答:超市 B 型画笔单价为 5 元; (2)由题意知, 当小刚购买的 B 型画笔支数 20x„ 时,费用为 0.9 5 4.5y x x   , 当小刚购买的 B 型画笔支数 20x  时,费用为 0.9 5 20 0.8 5( 20) 4 10y x x        . 所以, y 关于 x 的函数关系式为 4.5 (1 20) 4 10( 20) x xy x x     „ „ (其中 x 是正整数); (3)当 4.5 270x  时,解得 60x  , 60 20 , 60x  不合题意,舍去; 当 4 10 270x   时,解得 65x  ,符合题意. 答:若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔,则能购买 65 支 B 型画笔. 24.(12 分)问题探究: 小红遇到这样一个问题:如图 1, ABC 中, 6AB  , 4AC  , AD 是中线,求 AD 的取值 范围.她的做法是:延长 AD 到 E ,使 DE AD ,连接 BE ,证明 BED CAD   ,经过推 理和计算使问题得到解决. 请回答:(1)小红证明 BED CAD   的判定定理是: SAS ; (2) AD 的取值范围是 ; 方法运用: (3)如图 2, AD 是 ABC 的中线,在 AD 上取一点 F ,连结 BF 并延长交 AC 于点 E ,使 AE EF ,求证: BF AC . (4)如图 3,在矩形 ABCD 中, 1 2 AB BC  ,在 BD 上取一点 F ,以 BF 为斜边作 Rt BEF , 且 1 2 EF BE  ,点 G 是 DF 的中点,连接 EG , CG ,求证: EG CG . 【解答】解:(1) AD 是中线, BD CD  , 又 ADC BDE   , AD DE , ( )BED CAD SAS   , 故答案为: SAS ; (2) BED CAD   , 4AC BE   , 在 ABE 中, AB BE AE AB BE    , 2 2 10AD   , 1 5AD   , 故答案为:1 5AD  ; (3)如图 2,延长 AD 至 H ,使 AD DH ,连接 BH , AD 是 ABC 的中线, BD CD  , 又 ADC BDH   , AD DH , ( )ADC HDB SAS   , AC BH  , CAD H   , AE EF , EAF AFE   , H BFH   , BF BH  , AC BF  ; (4)如图 3,延长 CG 至 N ,使 NG CG ,连接 EN ,CE , NF , 点 G 是 DF 的中点, DG GF  , 又 NGF DGC   , CG NG , ( )NGF CGD SAS   , CD NF  , CDB NFG   ,  1 2 AB AB AD BC   , 1 2 EF BE  , 1tan 2ADB   , 1tan 2EBF  , ADB EBF   , / /AD BC , ADB DBC   , EBF DBC   , 2EBC DBC   , 90EBF EFB     , 90DBC BDC     , EFB BDC NFG     , 180EBF EFB DBC BDC         , 2 180DBC EFB NFG        , 又 180NFG BFE EFN       , 2EFN DBC   , EBC EFN   ,  1 2 AB CD EF BC BC BE    ,且 CD NF ,  BE EF BC NF  BEC FEN ∽ , BEC FEN   , 90BEF NEC     , 又 CG NG , 1 2EG NC  , EG GC  . 25.(14 分)如图 1,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是 (0, 2) ,在 x 轴上任取一点 M , 连接 AM ,分别以点 A 和点 M 为圆心,大于 1 2 AM 的长为半径作弧,两弧相交于 G ,H 两 点,作直线 GH ,过点 M 作 x 轴的垂线 l 交直线 GH 于点 P .根据以上操作,完成下列问 题. 探究: (1)线段 PA 与 PM 的数量关系为 PA PM ,其理由为: . (2)在 x 轴上多次改变点 M 的位置,按上述作图方法得到相应点 P 的坐标,并完成下列表 格: M 的坐标  ( 2,0) (0,0) (2,0) (4,0)  P 的坐标  (0, 1) (2, 2)  猜想: (3)请根据上述表格中 P 点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图 2 中连接起来;观察画出 的曲线 L ,猜想曲线 L 的形状是 . 验证: (4)设点 P 的坐标是 ( , )x y ,根据图 1 中线段 PA 与 PM 的关系,求出 y 关于 x 的函数解析 式. 应用: (5)如图 3,点 ( 1, 3)B  , (1, 3)C ,点 D 为曲线 L 上任意一点,且 30BDC   ,求点 D 的纵坐标 Dy 的取值范围. 【解答】解:(1)分别以点 A 和点 M 为圆心,大于 1 2 AM 的长为半径作弧,两弧相交于G , H 两点, GH 是 AM 的垂直平分线, 点 P 是 GH 上一点, PA PM  (线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等), 故答案为: PA PM ,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等; (2)当点 ( 2,0)M  时,设点 ( 2, )P a , ( 0)a  PA PM , 2 2( 2 0) ( 2)a a      , 2a   , 点 ( 2, 2)P   , 当点 (4,0)M 时,设点 (4, )P b , ( 0)b  PA PM , 2 2(4 0) ( 2)b b     , 5b   , 点 (4, 5)P  , 故答案为: ( 2, 2)  , (4, 5) ; (3)依照题意,画出图象, 猜想曲线 L 的形状为抛物线, 故答案为:抛物线; (4) PA PM ,点 P 的坐标是 ( , )x y , ( 0)y  , 2 2( 0) ( 2)y x y     , 21 14y x    ; (5)点 ( 1, 3)B  , (1, 3)C , 2BC  , 2 2( 1 0) ( 3 0) 2OB       , 2 2(1 0) ( 3 0) 2OC      , BC OB OC   , BOC 是等边三角形, 60BOC   , 如图 3,以 O 为圆心, OB 为半径作圆 O ,交抛物线 L 与点 E ,连接 BE , CE , 30BEC  , 设点 ( , )E m n , 点 E 在抛物线上, 21 14n m    , 2OE OB  ,  2 2( 0) ( 0) 2m n    , 1 2 2 3n   , 2 2 2 3n   (舍去), 如图 3,可知当点 D 在点 E 下方时, 30BDC   , 点 D 的纵坐标 Dy 的取值范围为 2 2 3Dy   .