2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题5 二元一次方程(组)及其应用 15页

二元一次方程(组)及其应用 一.选择题 ‎1. （2020·天津市·3分）方程组的解是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①+②得：3x＝3，‎ 解得：x＝1，‎ 把x＝1代入①得：y＝2，‎ 则方程组的解为．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎2. （2020•山东临沂市•3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．‎ ‎【解答】解：依题意，得：．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．‎ 二.填空题 ‎ ‎1. （2020•四川省成都市•4分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设1头牛值金两，1只羊值金两，根据等量关系 “①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解．‎ ‎【详解】设1头牛值金两，1只羊值金两，由题意可得，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．‎ ‎2.（2020•甘肃省天水市•4分）已知，，则的值为_________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．‎ 详解】解：①，②，‎ ‎②-①得，2a+2b=2，‎ 解得：a+b=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．‎ ‎3.（2020•北京市•2分）方程组的解为　　．‎ ‎【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①+②得：4x＝8，‎ 解得：x＝2，‎ 把x＝2代入①得：y＝1，‎ 则方程组的解为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎4. （2020•四川省南充市•4分）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多可以购买钢笔_______支．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费=100元，可得，根据x最大且又能被5整除，即可求解．‎ ‎【详解】设钢笔x支，笔记本y本，则有7x+5y=100，则，‎ ‎∵x最大且又能被5整除，y是正整数，‎ ‎∴x=10，‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系．‎ 三.解答题 ‎1.（2020•宁夏省•6分）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A.B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．‎ ‎（1）求A.B两种防疫物品每件各多少元；‎ ‎（2）现要购买A.B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？‎ ‎【分析】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，根据总价＝单价×购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：A种防疫物品每件16元，B种防疫物品每件4元．‎ ‎（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，‎ 依题意，得：16m+4（600﹣m）≤7000，‎ 解得：m≤383，‎ 又∵m为正整数，‎ ‎∴m的最大值为383．‎ 答：A种防疫物品最多购买383件．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．‎ ‎2.（2020•宁夏省•8分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．‎ ‎（1）小丽与小明出发　30　min相遇；‎ ‎（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．‎ ‎①求小丽和小明步行的速度各是多少？‎ ‎②计算出点C的坐标，并解释点C的实际意义．‎ ‎【分析】（1）直接从图象获取信息即可；‎ ‎（2）①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，根据图象和题意列出方程组，求解即可；‎ ‎②设点C的坐标为（x，y），根据题意列出方程解出x，再根据图象求出y即可，再结合两人的运动过程解释点C的意义即可．‎ ‎【解答】解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min相遇，‎ 故答案为：30；‎ ‎（2）①设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，‎ 则，‎ 解得：，‎ 答：小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；‎ ‎②设点C的坐标为（x，y），‎ 则可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，‎ 解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，‎ ‎∴点C（54，4320），‎ 点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图象获取信息是解题关键．‎ ‎3.（2020•内蒙古包头市•10分）某商店销售两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．‎ ‎（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？‎ ‎（2）该商店计划购进两种商品共60件，且两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？‎ ‎【答案】（1）A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．（2）A进20件，B进40件时获得利润最大．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设A和B的销售单价分别是x和y，根据题意列出二元一次方程组即可求解；‎ ‎（2）设A进货m件，根据题意可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到结果．‎ ‎【详解】（1）设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元，‎ 根据题意可得，‎ 解得，‎ ‎∴A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．‎ ‎（2）设购进A商品m件，则购进B商品件，‎ 根据题意可得：，‎ 解得：，‎ 令总利润为w，则，‎ ‎，‎ ‎∴当时，获得利润最大，此时，‎ ‎∴A进20件，B进40件时获得利润最大．‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元一次不等式与二元一次方程组的实际应用，准确计算是解题的关键．‎ ‎4.（2020•辽宁省本溪市•12分）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．‎ ‎（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？‎ ‎（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？‎ ‎【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．‎ ‎（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，‎ 依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，‎ 解得：m≤5．‎ 答：学校最多可购买甲种词典5本．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．‎ ‎5.（2020•江西省•6分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元.‎ ‎（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；‎ ‎（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明.‎ ‎【解析】（1）设笔芯元/支，笔记本元/本，依题意可得解得 答：笔芯3元/支，笔记本5元/本.‎ ‎（2）方法一：合买笔芯，合算.‎ ‎∵整盒购买比单只购买每支可优惠0.5元 ‎∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯 ‎∴共可节约：0.5×10=5元.‎ ‎∵小工艺品的单价为3元，5+2＞3×2，‎ ‎∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.‎ 方法二：合买笔芯，单算.‎ ‎∵整盒购买比单支购买每支可优惠0.5元，∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯.‎ ‎∴小工艺品的单价为3元，小贤：3×0.5+2=3.5＞3，小艺：7×0.5=3.5＞3‎ ‎∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.‎ ‎6.（2020•广西省玉林市•6分）解方程组：．‎ ‎【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①+②×3得：7x＝7，‎ 解得：x＝1，‎ 把x＝1代入①得：y＝1，‎ 则方程组的解为．‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎7. （12分2020年辽宁省辽阳市）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．‎ ‎（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？‎ ‎（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？‎ ‎【分析】（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元．‎ ‎（2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30﹣m）本，‎ 依题意，得：70m+50（30﹣m）≤1600，‎ 解得：m≤5．‎ 答：学校最多可购买甲种词典5本．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．‎ ‎8. 24. 2020年内蒙古通辽市某服装专卖店计划购进两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．‎ ‎（1）求型服装的单价；‎ ‎（2）专卖店要购进两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？‎ ‎【答案】（1）A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；（2）47000‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元．根据“2件A型女装和3件B型女装共需4600元；1件A型女装和2件B型女装共需2800元”列出方程组并解答；‎ ‎（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，依据“A型的件数不少于B型件数的2倍”求得m的取值范围，然后根据购买方案求得需要准备的总费用．‎ ‎【详解】解：（1）设A型女装的单价是x元，B型女装的单价是y元，‎ 依题意得：‎ 解得：‎ 答：A型女装的单价是800元，B型女装的单价是1000元；‎ ‎（2）设购进A型女装m件，则购进B型女装（60-m）件，‎ 根据题意，得m≥2（60-m），‎ ‎∴m≥40，‎ 设购买A.B两种型号的女装的总费用为w元，‎ w=800m+1000×0.75×（60-m）=50m+45000，‎ ‎∴w随m的增大而增大，‎ ‎∴当m=40时，w最小=50×40+45000=47000．‎ 答：该专卖店至少需要准备47000元的贷款．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．‎ ‎9. （2020•山东淄博市•5分）解方程组：‎ ‎【分析】利用加减消元法解答即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①+②，得：5x＝10，‎ 解得x＝2，‎ 把x＝2代入①，得：6+y＝8，‎ 解得y＝4，‎ 所以原方程组的解为．‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎10. （2020•山东菏泽市•10分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．‎ ‎（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？‎ ‎（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．‎ ‎【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案．‎ ‎【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．‎ ‎（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，‎ 依题意，得：，‎ 解得：20＜m≤22．‎ 又∵m为正整数，‎ ‎∴m可以为21，22．‎ ‎∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．‎ ‎11.（2020•山东济宁市•8分）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．‎ ‎(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；‎ ‎(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000‎ 元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？‎ ‎【答案】（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；‎ ‎（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果.‎ 详解】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，‎ 根据题意，得：，‎ 解得：，‎ 答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；‎ ‎（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，‎ 则150m+（12-m）×100≥1500，‎ 解得：m≥6，‎ 而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000，‎ 解得：m＜9，‎ 则6≤m＜9，‎ 则运输方案有3种：‎ ‎6辆大货车和6辆小货车；‎ ‎7辆大货车和5辆小货车；‎ ‎8辆大货车和4辆小货车；‎ ‎∵2000＞0，‎ ‎∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元.‎ ‎∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.‎ ‎【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子.‎ ‎12. （2020•四川省泸州市•7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．‎ ‎（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？‎ ‎（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？‎ ‎【分析】（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程30x+20（30﹣x）＝800，然后解方程求出x，再计算30﹣x即可；‎ ‎（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．‎ ‎【解答】解：（1）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，‎ 根据题意得30x+20（30﹣x）＝800，‎ 解得x＝20，‎ 则30﹣x＝10，‎ 答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；‎ ‎（2）设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了（30﹣x）件，设购买两种奖品的总费用为w元，‎ 根据题意得 30﹣x≤3x，解得x≥7.5，‎ w＝30x+20（30﹣x）＝10x+600，‎ ‎∵10＞0，‎ ‎∴w随x的增大而减小，‎ ‎∴x＝8时，w有最小值为：w＝10×8+600＝680．‎ 答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题.‎ ‎13. （2020•四川省乐山市•9分）解二元一次方程组：‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程组利用加减消元法，由②-①即可解答；‎ ‎【详解】解：，‎ ‎②-①，得 ，‎ 解得：，‎ 把代入①，得 ；‎ ‎∴原方程组的解为 ‎【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎