2014年福建省莆田市中考数学试卷(含答案) 22页

福建省莆田市2014年中考数学试卷 ‎　‎ 一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的．答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分．‎ ‎1．（4分）（2014•莆田）3的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣3‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 相反数．.‎ 分析：‎ 根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．‎ 解答：‎ 解：根据概念，（3的相反数）+（3）=0，则3的相反数是﹣3．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2014•莆田）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a3•a2=a6‎ B．‎ ‎（2a）3=6a3‎ C．‎ ‎（a﹣b）2=a2﹣b2‎ D．‎ ‎3a2﹣a2=2a2‎ 考点：‎ 完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．.‎ 分析：‎ 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式；合并同类项法则对各选项分析判断利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、a3•a2=a3+2=a5，故本选项错误；‎ B、（2a）3=8a3，故本选项错误；‎ C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；‎ D、3a2﹣a2=2a2，故本选项正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，熟记性质与公式并理清指数的变化是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2014•莆田）如图图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形．.‎ 分析：‎ 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．‎ 解答：‎ 解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；‎ C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；‎ D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2014•莆田）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．.‎ 分析：‎ 细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．‎ 解答：‎ 解：从物体左面看，第一层有3个正方形，第二层的中间有1个正方形．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2014•莆田）若x、y满足方程组，则x﹣y的值等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 解二元一次方程组．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 方程组两方程相减即可求出x﹣y的值．‎ 解答：‎ 解：，‎ ‎②﹣①得：2x﹣2y=﹣2，‎ 则x﹣y=﹣1，‎ 故选A 点评：‎ 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎6．（4分）（2014•莆田）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 弧长的计算．.‎ 分析：‎ 连接OA、OB，求出圆心角AOB的度数，代入弧长公式求出即可．‎ 解答：‎ 解：连接OA、OB，‎ ‎∵OA=OB=AB=2，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∴∠AOB=60°，‎ ‎∴的长为=，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是R，弧AB对的圆心角的度数是n°，则弧AB的长=．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2014•莆田）如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB饶点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（2，﹣2）‎ B．‎ ‎（2，﹣2）‎ C．‎ ‎（2，﹣2）‎ D．‎ ‎（2，﹣2）‎ 考点：‎ 坐标与图形变化-旋转．.‎ 专题：‎ 数形结合．‎ 分析：‎ 根据含30度的直角三角形三边的关系得到OB=OA=2，AB=OB=2，则A点坐标为（2，2），再根据旋转的性质得到∠A′OA=120°，OA′=OA=4，‎ 则∠A′OB=60°，于是可判断点A′和点A关于x轴对称，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A′的坐标．‎ 解答：‎ 解：∵∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，‎ ‎∴∠AOB=60°，OB=OA=2，AB=OB=2，‎ ‎∴A点坐标为（2，2），‎ ‎∵△OAB饶点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，‎ ‎∴∠A′OA=120°，OA′=OA=4，‎ ‎∴∠A′OB=60°，‎ ‎∴点A′和点A关于x轴对称，‎ ‎∴点A′的坐标为（2，﹣2）．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2014•莆田）如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 动点问题的函数图象．.‎ 分析：‎ 判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AE、BE，然后表示出PE、QE，再求出点Q到AD的距离，然后根据三角形的面积公式表示出y与x的关系式，再根据二次函数图象解答．‎ 解答：‎ 解：∵∠ABE=45°，∠A=90°，‎ ‎∴△ABE是等腰直角三角形，‎ ‎∴AE=AB=2，BE=AB=2，‎ ‎∵BE=DE，PD=x，‎ ‎∴PE=DE﹣PD=2﹣x，‎ ‎∵PQ∥BD，BE=DE，‎ ‎∴QE=PE=2﹣x，‎ 又∵△ABE是等腰直角三角形（已证），‎ ‎∴点Q到AD的距离=（2﹣x）=2﹣x，‎ ‎∴△PQD的面积y=x（2﹣x）=﹣（x2﹣2x+2）=﹣（x﹣）2+，‎ 即y=﹣（x﹣）2+，‎ 纵观各选项，只有C选项符合．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象，求出点Q到AD的距离，从而列出y与x的关系式是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分．‎ ‎9．（4分）（2014•莆田）我国的北斗卫星导航系统与美国的GPS和俄罗斯格洛纳斯系统并称世界三大卫星导航系统，北斗系统的卫星轨道高达36000公里，将36000用科学记数法表示为　3.6×104　．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．.‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将36000用科学记数法表示为：3.6×104．‎ 故答案为：3.6×104．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2014•莆田）若正n边形的一个外角为45°，则n=　8　．‎ 考点：‎ 多边形内角与外角．.‎ 分析：‎ 根据正多边形的外角和的特征即可求出多边形的边数．‎ 解答：‎ 解：n=360°÷45°=8．‎ 答：n的值为8．‎ 故答案为：8．‎ 点评：‎ 本题考查多边形的外角和的特征：多边形的外角和等于360°，是基础题型．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2014•莆田）若关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，则a=　2　．‎ 考点：‎ 一元二次方程的解．.‎ 分析：‎ 把x=﹣1代入原方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．‎ 解答：‎ 解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，‎ ‎∴（﹣1）2+3×（﹣1）+a=0，‎ 解得 a=2，‎ 故答案是：2．‎ 点评：‎ 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2014•莆田）在一个不透明的袋子中，装有大小、形状、质地等都相同的红色、黄色、白色小球各1个，从袋子中随机摸出一个小球，之后把小球放回袋子中并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色相同的概率是　　．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．.‎ 分析：‎ 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球颜色相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：画树状图得：‎ ‎∵共有9种等可能的结果，两次摸出的小球颜色相同的有3种情况，‎ ‎∴两次摸出的小球颜色相同的概率是：=‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2014•莆田）在一次数学测试中，小明所在小组6人的成绩（单位：分）分别为84、79、83、87、77、81，则这6人本次数学测试成绩的中位数是　82　．‎ 考点：‎ 中位数．.‎ 分析：‎ 根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可．‎ 解答：‎ 解：把这组数据从小到大排列为：77、79、81、83、84、87，‎ 最中间两个数的平均数是：（81+83）÷2=82；‎ 故答案为：82．‎ 点评：‎ 此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的概念是本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2014•莆田）计算：=　a﹣2　．‎ 考点：‎ 分式的加减法．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据同分母分式加减运算法则，分母不变只把分子相加减即可求解．‎ 解答：‎ 解：==a﹣2．故答案为a﹣2．‎ 点评：‎ 本题主要考查同分母分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2014•莆田）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是　2　．‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题；菱形的性质．.‎ 分析：‎ 首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．‎ 解答：‎ 解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC，BD互相垂直平分，‎ ‎∴点B关于AC的对称点为D，‎ ‎∴FD=FB，‎ ‎∴FE+FB=FE+FD≥DE．‎ 只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），‎ ‎△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，‎ ‎∴∠HAD=60°，‎ ‎∵DH⊥AB，‎ ‎∴AH=AD，DH=AD，‎ ‎∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，‎ ‎∴AE=2，AH=2，‎ ‎∴EH=4，DH=2，‎ 在RT△EHD中，DE===2‎ ‎∴EF+BF的最小值为2．‎ 点评：‎ 此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，知道什么时候会使EF+BF成为最小值是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2014•莆田）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是　（2014，2016）　．‎ 考点：‎ 一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．.‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据题意得出直线AA1的解析式为：y=x+2，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，‎ 由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，‎ ‎∴CO=OB1cos30°=，‎ ‎∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，‎ 连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，‎ ‎∵点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，‎ ‎∴直线AA1的解析式为：y=x+2，‎ ‎∴y=×+2=3，‎ ‎∴A1（，3），‎ 同理可得出：A2的横坐标为：2，‎ ‎∴y=×2+2=4，‎ ‎∴A2（2，4），‎ ‎∴A3（3，5），‎ ‎…‎ A2014（2014，2016）．‎ 故答案为：（2014，2016）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A点横纵坐标变化规律是解题关键．‎ ‎　‎ 三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（8分）（2014•莆田）计算：﹣2sin60°+|﹣|．‎ 考点：‎ 实数的运算；特殊角的三角函数值．.‎ 分析：‎ 先根据数的开方法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=3﹣2×+‎ ‎=3﹣+‎ ‎=3．‎ 点评：‎ 本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2014•莆田）解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．.‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先去分母和去括号得到6﹣3x≥4﹣4x，然后移项后合并得到x≥﹣2，再利用数轴表示解集．‎ 解答：‎ 解：去分母得3（2﹣x）≥4（1﹣x），‎ 去括号得6﹣3x≥4﹣4x，‎ 移项得4x﹣3x≥4﹣6，‎ 合并得x≥﹣2，‎ 在数轴上表示为：‎ ‎．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元一次不等式：解一元一次不等式的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2014•莆田）某校为了解该校九年级学生对蓝球、乒乓球、羽毛球、足球四种球类运动项目的喜爱情况，对九年级部分学生进行了随机抽样调查，每名学生必须且只能选择最喜爱的一项运动项目上，将调查结果统计后绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）这次被抽查的学生有　60　人；请补全条形统计图；‎ ‎（2）在统计图2中，“乒乓球”对应扇形的圆心角是　144　度；‎ ‎（3）若该校九年级共有480名学生，估计该校九年级最喜欢足球的学生约有　48　人．‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．.‎ 分析：‎ ‎（1）根据C类的人数是9，所占的比例是20%，据此即可求得总人数；‎ ‎（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；‎ ‎（3）利用总人数480，乘以对应的比例即可．‎ 解答：‎ 解：（1）被抽查的学生数是：9÷15%=60（人），‎ D项的人数是：60﹣21﹣24﹣9=6（人），‎ ‎；‎ ‎（2）“乒乓球”对应扇形的圆心角是：360°×=144°；‎ ‎（3）480×=48（人）．‎ 故答案是：60，144，48．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2014•莆田）如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．‎ ‎（1）求证：BE=CE；‎ ‎（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；扇形面积的计算．.‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）由点D是线段BC的中点得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判断△ABC为等边三角形，于是得到AD为BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得BE=CE；‎ ‎（2）由EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB=30°，则根据三角形内角和定理计算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，‎ 根据含30度的直角三角形三边的关系得到ED=BD=，然后根据扇形的面积公式求解．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵点D是线段BC的中点，‎ ‎∴BD=CD，‎ ‎∵AB=AC=BC，‎ ‎∴△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AD为BC的垂直平分线，‎ ‎∴BE=CE；‎ ‎（2）解：∵EB=EC，‎ ‎∴∠EBC=∠ECB=30°，‎ ‎∴∠BEC=120°，‎ 在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，‎ ‎∴ED=BD=，‎ ‎∴阴影部分（扇形）的面积==π．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定与性质、相等垂直平分线的性质以及扇形的面积公式．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2014•莆田）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，Rt△MON的外心为点A（，﹣2），反比例函数y=（x＞0）的图象过点A．‎ ‎（1）求直线l的解析式；‎ ‎（2）在函数y=（x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l于点P．若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题．.‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）由A为直角三角形外心，得到A为斜边MN中点，根据A坐标确定出M与N坐标，设直线l解析式为y=mx+n，将M与N坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线l解析式；‎ ‎（2）将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，利用反比例函数k的意义求出△OBC的面积，由△ONP的面积是△OBC面积的3倍求出△ONP的面积，确定出P的横坐标，即可得出P坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵Rt△MON的外心为点A（，﹣2），‎ ‎∴A为MN中点，即M（3，0），N（0，﹣4），‎ 设直线l解析式为y=mx+n，‎ 将M与N代入得：，‎ 解得：m=，n=﹣4，‎ 则直线l解析式为y=x﹣4；‎ ‎（2）将A（，﹣2）代入反比例解析式得：k=﹣3，‎ ‎∴反比例解析式为y=﹣，‎ ‎∵B为反比例函数图象上的点，且BC⊥x轴，‎ ‎∴S△OBC=，‎ ‎∵S△ONP=3S△OBC，‎ ‎∴S△ONP=，‎ 设P横坐标为a（a＞0），‎ ‎∴ON•a=，即a=，‎ 则P坐标为（，﹣1）．‎ 点评：‎ 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，反比例函数k的几何意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2014•莆田）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且=．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．‎ 考点：‎ 切线的判定．.‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，则∠2=∠OCA，则可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）连结BE交OC于F，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根据正切的定义得AC=4，再利用勾股定理计算出AB=5，然后证明Rt△ABC∽Rt△ACD，利用相似比先计算出AD=，再计算出CD=；根据垂径定理的推论由=得OC⊥BE，BF=EF，于是可判断四边形DEFC为矩形，所以EF=CD=，则BE=2EF=，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理计算出AE=，再利用DE=AD﹣AE求解．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结OC，如图，‎ ‎∵=，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵OC=OA，‎ ‎∴∠1=∠OCA，‎ ‎∴∠2=∠OCA，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：连结BE交OC于F，如图，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ 在Rt△ACB中，tan∠CAB==，‎ 而BC=3，‎ ‎∴AC=4，‎ ‎∴AB==5，‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎∴Rt△ABC∽Rt△ACD，‎ ‎∴=，即=，解得AD=，‎ ‎∵=，即=，解得CD=，‎ ‎∵=，‎ ‎∴OC⊥BE，BF=EF，‎ ‎∴四边形DEFC为矩形，‎ ‎∴EF=CD=，‎ ‎∴BE=2EF=，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠BEA=90°，‎ 在Rt△ABE中，AE===，‎ ‎∴DE=AD﹣AE=﹣=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2014•莆田）某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2．‎ ‎（1）求y2的解析式；‎ ‎（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？‎ 考点：‎ 二次函数的应用．.‎ 分析：‎ ‎（1）把函数图象经过的点（3，6），（7，7）代入函数解析式，解方程组求出m、n的值，即可得解；‎ ‎（2）根据图1求出每千克的售价y1与x的函数关系式，然后根据利润=售价﹣成本得到利润与x的函数关系式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由图可知，y2=mx2﹣8mx+n经过点（3，6），（7，7），‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴y2=x2﹣x+（1≤x≤12）；‎ ‎（2）设y1=kx+b（k≠0），‎ 由图可知，函数图象经过点（4，11），（8，10），‎ 则，‎ 解得，‎ 所以，y1=﹣x+12，‎ 所以，每千克所获得利润=（﹣x+12）﹣（x2﹣x+）‎ ‎=﹣x+12﹣x2+x﹣‎ ‎=﹣x2+x+‎ ‎=﹣（x2﹣6x+9）++‎ ‎=﹣（x﹣3）2+，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴当x=3时，所获得利润最大，为元．‎ 答：第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于（2）整理出利润的表达式并整理成顶点式形式．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2014•莆田）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC﹣CD向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．‎ ‎（1）点F在边BC上．‎ ‎①如图1，连接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；‎ ‎②如图2，连结EF，DF，当t为何值时，△EBF与△DCF相似？‎ ‎（2）如图3，若点G是边AD的中点，BG，EF相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得=？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 四边形综合题．.‎ 分析：‎ ‎（1）①利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式计算．‎ ‎②利用△EBF∽△DCF，得出=，列出方程求解．‎ ‎（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定理求出BG，运用 ‎=，求出点O的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．②当t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定理求出BG，运用=，求出点O的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．‎ 解答：‎ 解：（1）①如图1‎ ‎∵DE⊥AF，‎ ‎∴∠AOE=90°，‎ ‎∴∠BAF+∠AEO=90°，‎ ‎∵∠ADE+∠AEO=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠ADE，‎ 又∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AE=AD，∠ABF=∠DAE=90°，‎ 在△ABF和△DAE中，‎ ‎∴△ABF≌△DAE（ASA）‎ ‎∴AE=BF，‎ ‎∴1+t=2t，‎ 解得t=1．‎ ‎②如图2‎ ‎∵△EBF∽△DCF ‎∴=，‎ ‎∵BF=2t，AE=1+t，‎ ‎∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，‎ ‎∴=，‎ 解得，t=，t=（舍去），‎ 故t=．‎ ‎（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，‎ A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（2t，0），E的坐标（0，3﹣t）‎ EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，‎ BG所在的直线函数关系式是：y=2x，‎ ‎∵BG==2‎ ‎∵=，‎ ‎∴BO=，OG=，‎ 设O的坐标为（a，b），‎ 解得 ‎∴O的坐标为（，）‎ 把O的坐标为（，）代入y=x+3﹣t，得 ‎=×+3﹣t，‎ 解得，t=（舍去），t=，‎ ‎②当3≥t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，‎ A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（4，2t﹣4），E的坐标（0，3﹣t）‎ EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，‎ BG所在的直线函数关系式是：y=2x，‎ ‎∵BG==2‎ ‎∵=，‎ ‎∴BO=，OG=，‎ 设O的坐标为（a，b），‎ 解得 ‎∴O的坐标为（，）‎ 把O的坐标为（，）代入y=x+3﹣t，得 ‎=×+3﹣t，‎ 解得：t=．‎ 综上所述，存在t=或t=，使得=．‎ 点评：‎ 本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是把四边形与坐标系相结合求解．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）（2014•莆田）如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．‎ ‎（1）如图1，若m=．‎ ‎①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；‎ ‎②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．.‎ 分析：‎ ‎（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C（0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；‎ ‎②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如答图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；‎ ‎（2）解题要点有3个：‎ i）判定△ABD为等边三角形；‎ ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；‎ iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．‎ 解答：‎ 解：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．‎ ‎∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，‎ ‎∴D（a，（a+）2）．‎ ‎∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2 （I）．‎ ‎①∵OC=2，∴C（0，2）．‎ ‎∵点C在抛物线C2上，‎ ‎∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，‎ 解得：a=，代入（I）式，‎ 得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．‎ ‎②在（I）式中，‎ 令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；‎ 令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：‎ ‎，解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．‎ 假设存在满足条件的a值．‎ ‎∵AP=BP，‎ ‎∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；‎ ‎∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，‎ ‎∴OP⊥BC．‎ 如答图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，‎ 则OP⊥BC，OE=a．‎ ‎∵点P在直线BC上，∴∴P（a，a+），PE=a+．‎ ‎∵tan∠EOP=tan∠BCO===2，‎ ‎∴==2，‎ 解得：a=．‎ ‎∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP ‎ ‎（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，‎ ‎∴D（a，（a+m）2）．‎ ‎∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．‎ 令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．‎ ‎∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．‎ ‎∴D（﹣m，3）．‎ AB=OB+OA=2﹣m+m=2．‎ 如答图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．‎ ‎∵tan∠ABD===，∴∠ABD=60°．‎ 又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．‎ 作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=•=1，‎ ‎∴P1（﹣m，1）；‎ 在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．‎ 在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，‎ ‎∴P2（﹣m，﹣3）；‎ 易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．‎ ‎∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．‎ 综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，‎ 其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．‎ 点评：‎ 本题是二次函数压轴题，以平移变换为背景，考查了二次函数、一次函数、三角函数（或相似）、等边三角形、角平分线的性质等知识点，有一定的难度．函数解析式中含有未知数，增大了试题的难度．第（2）问中，解题关键是理解“点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP”的含义；第（3）问中，满足条件的点P有4个，不要漏解．‎