2019年宁夏中考数学试卷 27页

2019 年宁夏中考数学试卷 一、选择题（本共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项中只有一个是符 合目要求的） 1．（3 分）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度 最长的跨海大桥，全长 55000 米．数字 55000 用科学记数法表示为（　　） A．5.5×104 B．55×104 C．5.5×105 D．0.55×106 2．（3 分）下列各式中正确的是（　　） A． ＝±2 B． ＝﹣3 C． ＝2 D． ﹣ ＝ 3．（3 分）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小 正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3 分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了 30 名学生一天课外阅读时间，整理 如下表： 阅读时间/小时 0.5 及以下 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 及以上 人数 2 9 6 5 4 4 则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是（　　） A ．0.7 和 0.7 B．0.9 和 0.7 C．1 和 0.7 D．0.9 和 1.1 5．（3 分）如图，在△ABC 中 AC＝BC，点 D 和 E 分别在 AB 和 AC 上，且 AD＝AE．连接 DE，过点 A 的直线 GH 与 DE 平行，若∠C＝40°，则∠GAD 的度数为（　　） A．40° B．45° C．55° D．70° 6．（3 分）如图，四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，且互相平分．添加下列条件， 仍不能判定四边形 ABCD 为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD 7．（3 分）函数 y＝ 和 y＝kx+2（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 8．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，分别以点 A，D 为圆心，以 AB，DC 为 半径作扇形 ABF，扇形 DCE．则图中阴影部分的面积是（　　） A．6 ﹣ π B．6 ﹣ π C．12 ﹣ π D．12 ﹣ π 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）分解因式：2a3﹣8a＝　 　． 10．（3 分）计算：（﹣ ）﹣1+|2﹣ |＝　 　． 11．（3 分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 2 个黄色乒乓球和若干个白 色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为 ，那么盒子内白 色乒乓球的个数为　 　． 12．（3 分）已知一元二次方程 3x2+4x﹣k＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围　 　 ． 13．（3 分）为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体育锻炼的时 间（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为　 　 小时．[来源:学,科,网] 14．（3 分）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，垂足为点 C，将劣弧 沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点 D，若 AB＝2 ，则⊙O 的半径为　 　． 15．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点 B 为圆心，适当长度为半径画弧， 分别交 AB，BC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两 弧交于点 P，作射线 BP 交 AC 于点 D．若∠A＝30°，则 ＝　 　． 16．（3 分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方 程 x2+5x﹣14＝0 即 x（x+5）＝14 为例加以说明．数学家赵爽（公元 3～4 世纪）在其所 著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5 ）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14+52，据此易得 x ＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上）中 ，能够说明方程 x2﹣4x﹣12＝0 的正确构图是　 　．（只填序号） 三、解答题（本题共有 6 个小题，每小题 6 分，共 36 分） 17．（6 分）已知：在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（5，4），B（ 0，3），C（2，1）． （1）画出△ABC 关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点 C1 的坐标； （2）画出将 A1B1C1 绕点 C1 按顺时针旋转 90°所得的△A2B2C1． 18．（6 分）解方程： +1＝ ． 19．（6 分）解不等式组： ． 20．（6 分）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中 5 名男生和 3 名 女生共需化妆费 190 元；3 名男生的化妆费用与 2 名女生的化妆费用相同． （1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元； （2）如果学校提供的化妆总费用为 2000 元，根据活动需要至少应有 42 名女生化妆，那 么男生最多有多少人化妆． 21．（6 分）如图，已知矩形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AD，AB 上的点，EF⊥EC，且 AE ＝CD． （1）求证：AF＝DE； （2）若 DE＝ AD，求 tan∠AFE． 22．（6 分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取 8 名学生，对他们的垃圾 分类投放情况进行调查，这 8 名学生分别标记为 A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√ ”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表． 学生 垃圾类别 A B C D E F G H 厨余垃圾 √ √ √ √ √ √ √ √ 可回收垃圾 √ × √ × × √ √ √ 有害垃圾 × √ × √ √ × × √ 其他垃圾 × √ √ × × √ √ √ （1）求 8 名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率； （2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从 8 名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中 随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果． 四、解答题（本共 4 道题，其中 23、24 题每题 8 分，25、28 题每题 10 分，共 38 分） 23．（8 分）如图在△ABC 中，AB＝BC，以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于点 D，连接 OD． （1）求证：OD∥BC； （2）过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E，若∠A＝30°，求 的值． 24．（8 分）将直角三角板 ABC 按如图 1 放置，直角顶点 C 与坐标原点重合，直角边 AC、 BC 分别与 x 轴和 y 轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿 y 轴向下平移，当点 B 平 移到原点 O 时运动停止． 设平移的距离为 m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面 积为 s，s 关于 m 的函数图象（如图 2 所示）与 m 轴相交于点 P（ ，0），与 s 轴相交 于点 Q． （1）试确定三角板 ABC 的面积； （2）求平移前 AB 边所在直线的解析式； （3）求 s 关于 m 的函数关系式，并写出 Q 点的坐标． 25．（10 分）在综合与实践活动中，活动小组对学校 400 米的跑道进行规划设计，跑道由 两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中 400 米跑道最内圈为 400 米，两端半圆弧的 半径为 36 米．（π 取 3.14）． （1）求 400 米跑道中一段直道的长度； （2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的 变化而变化．请完成下表： 跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 … 跑道周长/米 400 … 若设 x 表示跑道宽度（单位：米），y 表示该跑道周长（单位：米），试写出 y 与 x 的函 数关系式： （3）将 446 米的跑道周长作为 400 米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长 400 米）形成的区域最多能铺设道宽为 1.2 米的跑道多少条？ 26．（10 分）如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点 M，Q 分别是边 AB，BC 上的动点（点 M 不与 A，B 重合），且 MQ⊥BC，过点 M 作 BC 的平行线 MN，交 AC 于点 N，连接 NQ，设 BQ 为 x． （1）试说明不论 x 为何值时，总有△QBM∽△ABC； （2）是否存在一点 Q，使得四边形 BMNQ 为平行四边形，试说明理由； （3）当 x 为何值时，四边形 BMNQ 的面积最大，并求出最大值． 2019 年宁夏中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分在每小题给出的四个选项中只有一个是符 合目要求的） 1．（3 分）港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度 最长的跨海大桥，全长 55000 米．数字 55000 用科学记数法表示为（　　） A．5.5×104 B．55×104 C．5.5×105 D．0.55×106 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 ．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：数字 55000 用科学记数法表示为 5.5×104． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 2．（3 分）下列各式中正确的是（　　） A． ＝±2 B． ＝﹣3 C． ＝2 D． ﹣ ＝ 【考点】22：算术平方根；24：立方根．菁优网版权所有 【分析】分别根据算术平方根、立方根的性质化简即可判断． 【解答】解：A. ，故选项 A 不合题意； B. ，故选项 B 不合题意； C. ，故选项 C 不合题意； D. ，故选项 D 符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根和立方根的 性质是解答本题的关键． 3．（3 分）由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小 正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】U2：简单组合体的三视图；U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有 【分析】由俯视图知该几何体共 3 列，其中第 1 列前一排 3 个正方形、后 1 排 1 个正方 形，第 2 列只有后排 2 个正方形，第三列只有 1 个正方形，据此可得． 【解答】解：由俯视图知该几何体共 3 列，其中第 1 列前一排 3 个正方形、后 1 排 1 个 正方形，第 2 列只有后排 2 个正方形，第三列只有 1 个正方形， 所以其主视图为： 故选：A． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4．（3 分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了 30 名学生一天课外阅读时间，整理 如下表： 阅读时间/小时 0.5 及以下 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 及以上 人数 2 9 6 5 4 4[来源:Z#xx#k.Com] 则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是（　　） A．0.7 和 0.7 B．0.9 和 0.7 C．1 和 0.7 D．0.9 和 1.1 【考点】W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有 【分析】根据表格中的数据可知共有 30 人参与调查，从而可以得到全班学生平均每天阅 读时间的中位数和众数，本题得以解决． 【解答】解：由表格可得，30 名学生平均每天阅读时间的中位数是： ＝0.9 30 名学生平均每天阅读时间的是 0.7， 故选：B． 【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和 中位数． 5．（3 分）如图，在△ABC 中 AC＝BC，点 D 和 E 分别在 AB 和 AC 上，且 AD＝AE．连接 DE，过点 A 的直线 GH 与 DE 平行，若∠C＝40°，则∠GAD 的度数为（　　） A．40° B．45° C．55° D．70° 【考点】JA：平行线的性质；KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有 【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AC＝CB，∠C＝40°， ∴∠BAC＝∠B＝ （180°﹣40°）＝70°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝ （180°﹣70°）＝55°， ∵GH∥DE， ∴∠GAD＝∠ADE＝55°， 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是 解题的关键． 6．（3 分）如图，四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，且互相平分．添加下列条件， 仍不能判定四边形 ABCD 为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD 【考点】L9：菱形的判定．菁优网版权所有 【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【解答】解：∵四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，且互相平分， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， 当 AB＝AD 或 AC⊥BD 时，均可判定四边形 ABCD 是菱形；[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 当 AC＝BD 时，可判定四边形 ABCD 是矩形； 当∠ABD＝∠CBD 时， 由 AD∥BC 得：∠CBD＝∠ADB， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形； 故选：C． 【点评】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判 定． 7．（3 分）函数 y＝ 和 y＝kx+2（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象．菁优网版权所有 【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答 本题． 【解答】解：在函数 y＝ 和 y＝kx+2（k≠0）中， 当 k＞0 时，函数 y＝ 的图象在第一、三象限，函数 y＝kx+2 的图象在第一、二、三象 限，故选项 A、D 错误，选项 B 正确， 当 k＜0 时，函数 y＝ 的图象在第二、四象限，函数 y＝kx+2 的图象在第一、二、四象 限，故选项 C 错误， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意， 利用分类讨论的数学思想解答． 8．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，分别以点 A，D 为圆心，以 AB，DC 为 半径作扇形 ABF，扇形 DCE．则图中阴影部分的面积是（　　） A．6 ﹣ π B．6 ﹣ π C．12 ﹣ π D．12 ﹣ π 【考点】MM：正多边形和圆；MO：扇形面积的计算．菁优网版权所有 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积， 从而可以解答本题． 【解答】解：∵正六边形 ABCDEF 的边长为 2， ∴正六边形 ABCDEF 的面积是： ＝6× ＝6 ，∠FAB＝∠ EDC＝120°， ∴图中阴影部分的面积是：6 ﹣ ＝ ， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用 数形结合的思想解答． 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）分解因式：2a3﹣8a＝　2a（a+2）（a﹣2）　． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有 【分析】原式提取 2a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2）， 故答案为：2a（a+2）（a﹣2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因 式分解的方程是解本 题的关键． 10．（3 分）计算：（﹣ ）﹣1+|2﹣ |＝　﹣ 　． 【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有 【分析】分别化简每一项可得（﹣ ）﹣1+|2﹣ |＝﹣2+2﹣ ； 【解答】解：（﹣ ）﹣1+|2﹣ |＝﹣2+2﹣ ＝﹣ ； 故答案为﹣ ； 【点评】本题考查实数的运算，负整数指数幂的运算；掌握实数的运算性质，负整数指 数幂的运算法则是解题的关键． 11．（3 分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 2 个黄色乒乓球和若干个白 色乒乓球，从盒子里随机摸出 一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为 ，那么盒子内白 色乒乓球的个数为　4　． 【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有 【分析】设盒子内白色乒乓球的个数为 x，根据摸到白色乒乓球的概率为 列出关于 x 的 方程，解之可得． 【解答】解：设盒子内白色乒乓球的个数为 x， 根据题意，得： ＝ ， 解得：x＝4， 经检验：x＝4 是原分式方程的解， ∴盒子内白色乒乓球的个数为 4， 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）＝事件 A 可能 出现的结果数：所有可能出现的结果数． 12．（3 分）已知一元二次方程 3x2+4x﹣k＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围　k＞ ﹣ 　． 【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有 【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于 k 的不等式，求出 k 的取值范 围． 【解答】解：∵方程 3x2+4x﹣k＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即 42﹣4×3×（﹣k）＞0， 解得 k＞﹣ ， 故答案为：k＞﹣ ． 【点评】本题考查根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△ ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔ 方程没有实数根． 13．（3 分）为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体育锻炼的时 间（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为　 1.15　小时． 【考点】VC：条形统计图；W2：加权平均数．菁优网版权所有 【分析】首先根据条形图得出该班学生的总人数以及一天用于体育锻炼的时间，再利用 加权平均数的公式列式计算即可． 【解答】解：由图可知，该班一共有学生：8+16+12+4＝40（人）， 该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为：（0.5×8+1×16+1.5×12+2×4）÷40＝1.15（ 小时）． 故答案为 1.15． 【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信 息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了加权平均 数． 14．（3 分）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，垂足为点 C，将劣弧 沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点 D，若 AB＝2 ，则⊙O 的半径为　3 　． 【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；PB：翻折变换（折叠问题 ）．菁优网版权所有 【分析】连接 OA，设半径为 x，用 x 表示 OC，根据勾股定理建立 x 的方程，便可求得 结果． 【解答】解：连接 OA，设半径为 x， ∵将劣弧 沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点 D， ∴OC＝ ，OC⊥AB， ∴AC＝ ＝ ， ∵OA2﹣OC2＝AC2， ∴ ， 解得，x＝3 ． 故答案为：3 ． 【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列 出半径的方程． 15．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点 B 为圆心，适当长度为半径画弧， 分别交 AB，BC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两 弧交于点 P，作射线 BP 交 AC 于点 D．若∠A＝30°，则 ＝　 　． 【考点】KF：角平分线的性质；KO：含 30 度角的直角三角形；N2：作图—基本作图． 菁优 网版权所有 【分析】利用基本作图得 BD 平分∠ABC，再计算出∠ABD＝∠CBD＝30°，所以 DA＝ DB，利用 BD＝2CD 得到 AD＝2CD，然后根据三角形面积公式可得到 的值． 【解答】解：由作法得 BD 平分∠ABC， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴DA＝DB， 在 Rt△BCD 中，BD＝2CD， ∴AD＝2CD， ∴ ＝ ． 故答案为 ． 【点评】本题考查 了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知 直线的垂线）． 16．（3 分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方 程 x2+5x﹣14＝0 即 x（x+5）＝14 为例加以说明．数学家赵爽（公元 3～4 世纪）在其所 著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5 ）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14+52，据此易得 x＝ 2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上）中， 能够说明方程 x2﹣4x﹣12＝0 的正确构图是　②　．（只填序号） 【考点】AD：一元二次方程的应用．菁优网版权所有 【分析】仿造案例，构造面积是（x+x﹣4）2 的大正方形，由它的面积为 4×12+42，可求 出 x＝6，此题得解． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣12＝0 即 x（x﹣4）＝12， ∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间 小正方形的面积，即 4 ×12+42， 据此易得 x＝6． 故答案为：②． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的 关键． 三、解答题（本题共有 6 个小题，每小题 6 分，共 36 分） 17．（6 分）已知：在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（5，4），B（ 0，3），C（2，1）． （1）画出△ABC 关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点 C1 的坐标； （2）画出将 A1B1C1 绕点 C1 按顺时针旋转 90°所得的△A2B2C1． 【考点】R8：作图﹣旋转变换．菁优网版权所有 【分析】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得； （2）分别作出点 A1、B1 绕点 C1 按顺时针旋转 90°所得的对应点，再顺次连接即可得． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求，其中点 C1 的坐标为（﹣2，﹣1）． （2）如图所示，△A2B2C1 即为所求． 【点评】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 18．（6 分）解方程： +1＝ ． 【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有 【分析】方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得 x＝4； 【解答】解： +1＝ ， 方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得 2（x﹣1）+（x+2）（x﹣1）＝x（x+2）， ∴x＝4， 将检验 x＝4 是方程的解； ∴方程的解为 x＝4； 【点评】本题考查分式方程的解；掌握分式方程的求解方法，验根是关键． 19．（6 分）解不等式组： ． 【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 ﹣ ≥1，得：x≥4， 解不等式 ＜x+2，得：x＞﹣7， 则不等式组的解集为 x≥4． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“ 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．（6 分）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中 5 名男生和 3 名 女生共需化妆费 190 元；3 名男生的化妆费用与 2 名女生的化妆费用相同． （1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元； （2）如果学校提供的化妆总费用为 2000 元，根据活动需要至少应有 42 名女生化妆，那 么男生最多有多少人化妆． 【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）设每位男生的化妆费是 x 元，每位女生的化妆费是 y 元．关键描述语：5 名男生和 3 名女生共需化妆费 190 元；3 名男生的化妆费用与 2 名女生的化妆费用相同． （2）设男生有 a 人化妆，根据女生人数＝ ≥42 列出不等式并解 答． 【解答】解：（1）设每位男生的化妆费是 x 元，每位女生的化妆费是 y 元， 依题意得： ． 解得： ． 答：每位男生的化妆费是 20 元，每位女生的化妆费是 30 元； （2）设男生有 a 人化妆， 依题意得： ≥42． 解得 a≤37． 即 a 的最大值是 37． 答：男生最多有 37 人化妆． 【点评】考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读 懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系． 21．（6 分）如图，已知矩形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AD，AB 上的点，EF⊥EC，且 AE ＝CD． （1）求证：AF＝DE； （2）若 DE＝ AD，求 tan∠AFE． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；T7：解直角三角形． 菁优网版权所有 【分析】（1）根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝90°，由垂直的定义得到∠FEC＝90°， 根据余角的性质得到∠AFE＝∠DEC，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）由已知条件得到 AE＝ DE，由 AF＝DE，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC＝90°， ∴∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠DEC＝90°， ∴∠AFE＝∠DEC， 在△AEF 与△DCE 中， ， ∴△AEF≌△DCE（AAS），[来源:学_科_网 Z_X_X_K] ∴AF＝DE； （2）解：∵DE＝ AD， ∴AE＝ DE， ∵AF＝DE， ∴tan∠AFE＝ ＝ ． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确的 识别图形是解题的关键． 22．（6 分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取 8 名学生，对他们的垃圾 分类投放情况进行调查，这 8 名学生分别标记为 A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√ ”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表． 学生 垃圾类别 A B C D E F G H 厨余垃圾 √ √ √ √ √ √ √ √ 可回收垃圾 √ × √ × × √ √ √ 有害垃圾 × √ × √ √ × × √ 其他垃圾 × √ √ × × √ √ √ （1）求 8 名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率； （2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从 8 名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中 随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果． 【考点】VA：统计表；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）利用列表法可得所有等可能结果． 【解答】解：（1）8 名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为 ； （2）列表如下： A C F G A CA FA GA C AC FC GC F AF CF GF G AG CG FG 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用 到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 四、解答题（本共 4 道题，其中 23、24 题每题 8 分，25、28 题每题 10 分，共 38 分） 23．（8 分）如图在△ABC 中，AB＝BC，以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于点 D，连接 OD． （1）求证：OD∥BC； （2）过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E，若∠A＝30°，求 的值． 【考点】KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理；MC：切线的性质；S9：相似三角 形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】（1）由边等得角等，再由同位角相等，可证得平行； （2）连接 BD，由∠A＝30°得∠C，由切线得 OD⊥DE，由 OD∥BC，得 DE⊥BC，再 利用三角函数可求得 CD 与 BE 的比值． 【解答】解：（1）证明∵AB＝BC ∴∠A＝∠C ∵OD＝OA ∴∠A＝∠ADO ∴∠C＝∠ADO ∴OD∥BC （2）如图，连接 BD， ∵∠A＝30°，∠A＝∠C ∴∠C＝30° ∵DE 为⊙O 的切线， ∴DE⊥OD ∵OD∥BC ∴DE⊥BC ∴∠BED＝90°[来源:Z§xx§k.Com] ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠BDA＝90°，∠CBD＝60° ∴ ＝tan∠C＝tan30°＝ ∴BD＝ CD ∴ ＝cos∠CBD＝cos60°＝ ∴BE＝ BD＝ CD ∴ ＝ 【点评】本题属于圆的综合题，考查了平行线的判定，切线的性质，三角函数等知识点， 综合性较强，难度中等略大． 24．（8 分）将直角三角板 ABC 按如图 1 放置，直角顶点 C 与坐标原点重合，直角边 AC、 BC 分别与 x 轴和 y 轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿 y 轴向下平移，当点 B 平 移到原点 O 时运动停止．设平移的距离为 m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面 积为 s，s 关于 m 的函数图象（如图 2 所示）与 m 轴相交于点 P（ ，0），与 s 轴相交 于点 Q． （1）试确定三角板 ABC 的面积； （2）求平移前 AB 边所在直线的解析式； （3）求 s 关于 m 的函数关系式，并写出 Q 点的坐标． 【考点】FI：一次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）与 m 轴相交于点 P（ ，0），可知 OB＝ ，OA＝1； （2）设 AB 的解析式 y＝kx+b，将点 B（0， ），A（1，0）代入即可； （3）在移动过程中 OB＝ ﹣m，则 OA＝tan30°×OB＝ （ ﹣m）＝1﹣ m ，所以 s＝ ×（ ﹣m）×（1﹣ m）＝ ﹣m+ ，（0≤m≤ ）；当 m＝0 时，s＝ ，即可求 Q（0， ）． 【解答】解：（1）∵与 m 轴相交于点 P（ ，0）， ∴OB＝ ， ∵∠ABC＝30°， ∴OA＝1， ∴S＝ ＝ ； （2）∵B（0， ），A（1，0）， 设 AB 的解析式 y＝kx+b， ∴ ， ∴ ， ∴y＝﹣ x+ ； （3）在移动过程中 OB＝ ﹣m，则 OA＝tan30°×OB＝ （ ﹣m）＝1﹣ m ， ∴s＝ ×（ ﹣m）×（1﹣ m）＝ ﹣m+ ，（0≤m≤ ） 当 m＝0 时，s＝ ， ∴Q（0， ）． 【点评】本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到 B（0， ）是解题的关键． 25．（10 分）在综合与实践活动中，活动小组对学校 400 米的跑道进行规划设计，跑道由 两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中 400 米跑道最内圈为 400 米，两端半圆弧的 半径为 36 米．（π 取 3.14）． （1）求 400 米跑道中一段直道的长度； （2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的 变化而变化．请完成下表： 跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 … 跑道周长/米 400 … 若设 x 表示跑道宽度（单位：米），y 表示该跑道周长（单位：米），试写出 y 与 x 的函 数关系式： （3）将 446 米的跑道周长作为 400 米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长 400 米）形成的区域最多能铺设道宽为 1.2 米的跑道多少条？ 【考点】38：规律型：图形的变化类；FH：一次函数的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）根据周长的意义：直道长度+弯道长度＝400 求出， （2）跑道宽度增加，就是半圆的半径增加，依据圆的周长公式可求当跑道宽度为 1、2、 3、4、5、……时，跑道的周长，填写表格．并求出函数关系式． （3）依据关系式，可求当跑道周长为 446 米时，对应的跑道的宽度，再根据每道宽 1.2 米，求出可以设计几条跑道． 【解答】解：（1）400 米跑道中一段直道的长度＝（400﹣2×36×3.14）÷2＝86.96 m （2）表格如下： y＝2πx+400＝6.28x+400； （3）当 y＝446 时，即 6.28x+400＝446， 解得：x≈7.32 m 7.32÷1.2≈6 条 ∴最多能铺设道宽为 1.2 米的跑道 6 条． 【点评】体会跑道周长怎样随着跑道宽度的变化而变化的关系，进而得出宽度周长 y 与 跑道宽度 x 之间的函数关系式，其中圆的周长公式、一次函数性质是解决问题必需的知 识． 26．（10 分）如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点 M，Q 分别是边 AB，BC 上的动点（点 M 不与 A，B 重合），且 MQ⊥BC，过点 M 作 BC 的平行线 MN，交 AC 于点 N，连接 NQ，设 BQ 为 x． （1）试说明不论 x 为何值时，总有△QBM∽△ABC； （2）是否存在一点 Q，使得四边形 BMNQ 为平行四边形，试说明理由； （3）当 x 为何值时，四边形 BMNQ 的面积最大，并求出最大值． 【考点】SO：相似形综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）根据题意得到∠MQB＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答； （3）根据勾股定理求出 BC，根据相似三角形的性质用 x 表示出 QM、BM，根据梯形面 积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可． 【解答】解：（1）∵MQ⊥BC， ∴∠MQB＝90°， ∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC， ∴△QBM∽△ABC； （2）当 BQ＝MN 时，四边形 BMNQ 为平行四边形， ∵MN∥BQ，BQ＝MN， ∴四边形 BMNQ 为平行四边形； （3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝ ＝5， ∵△QBM∽△ABC， ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ， 解得，QM＝ x，BM＝ x， ∵MN∥BC， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得，MN＝5﹣ x， 则四边形 BMNQ 的面积＝ ×（5﹣ x+x）× x＝﹣ （x﹣ ）2+ ， ∴当 x＝ 时，四边形 BMNQ 的面积最大，最大值为 ． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质， 掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/29 11:37:43；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509