2017年辽宁锦州中考真题数学试卷（详解 19页

/ 2017年辽宁锦州中考真题数学试卷(详解) 一、选择题 （本大题共8小题，每小题2分，共16分） 2. A. B. C. D. 【答案】 【解析】 联合国宽带委员会 年 月 日发布了《 年宽带状况》报告，报告显示，中国以 亿 网民人数成为全球第一大互联网市场， 亿用科学记数法表示为（ ）． B 将 亿用科学记数法表示为： ． 3. A. B. C. D. 如图，一个由相同小正方体堆积而成的几何体，该几何体的主视图是（ ）． 1. A. B. C. D. 【答案】 【解析】 的绝对值是（ ）． C 的绝对值是 ． / 【答案】 【解析】 D 该几何体的主视图为： 所以 选项是正确的． 4. A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】 【解析】 关于 的一元二次方程 根的情况是（ ）． A 在方程 ， ， ∵ ， ∴方程 有两个不相等的实数根． 5. A. B. C. D. 【答案】 方法一：【解析】 一小区大门的栏杆如图所示，当栏杆抬起时， 垂直于地面 ， 平行于地面 ，则 的度数为（ ）． B 过 作 ，则 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， / 方法二： ∴ ， ∴ ． 易知： ，∴ ． 故选 ． 6. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 【解析】 在某校开展的“书香校园”读书活动中，学校为了解八年级学生的读书情况，随机调查了八年级 名学生每学期每人读书的册数，绘制统计表如下： 册数 人数 则这 个样本数据的众数和中位数分别是（ ）． D 本出现 次，出现次数最多，众数为 ， 按照从小到大排列，第 和 个数据为 本，中位数为 ． 7. A. B. C. D. 【答案】 【解析】 如图，四边形 是⊙ 的内接四边形， 与 的延长线交于点 ， 与 的延长线 交于点 ， ， ，则 的度数为（ ）． C ， ∵四边形 是⊙ 的内接四边形， ∴ ， ∴ ． 8. / A. B. C. D. 【答案】 【解析】 如图，矩形 中， ， ，双曲线 的图象分别交 ， 于点 ， ，连接 ， ， ， ，则 值为（ ）． A ∵四边形 是矩形， ， ， ∴设 点坐标为 ，则 点坐标为 ， 则 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 整理得 ，解得 （舍去）， ， ∴ 点坐标为 ， ∴ ． 故选 ． 形 二、填空题 （本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式： ． / 【答案】 【解析】原式 ． 10. 【答案】 【解析】 计算： ． ， ， ， ． 11. 【答案】 【解析】 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有 个，除颜色外，形状、大小、质地等完全 相同，小明通过大量摸球实验后发现摸到红色、黑色球的频率分别稳定在 和 ，则口袋中 白色球的个数很可能是 个． 白色球的个数是： （个）． 12. 【答案】 【解析】 如图， 为平行四边形 的边 延长线上的一点，且 ，连接 交 于点 ，则 ． 由题意可知： ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， / ∵ ， ∴ ． 13. 【答案】 【解析】 已知 ， 两地相距 千米，上午 甲骑电动车从 地出发到 地， 乙开车从 地出 发到 地，甲、乙两人距 地的距离 （千米）与甲所用的时间 （分）之间的关系如图所示， 则乙到达 地的时间为 ． 距离 千米 时间 分 因为甲 分走完全程 千米，所以甲的速度是 千米/分， 由图中看出两人在走了 千米时相遇，那么甲此时用了 分钟，则乙用了 分钟， 所以乙的速度为： 千米/分，所以乙走完全程需要时间为： 分，此时的时间应加上乙先前迟出发的 分，现在的时间为 点 ． 14. 【答案】 【解析】 如图，二次函数 的图象与 轴正半轴相交，其顶点坐标为 ，下列结 论：① ；② ；③ ；④方程 有两个相等的实数根，其 中正确的结论是 ．（只填序号即可）． ③④ ①∵根据图示知，抛物线开口方向向下， ∴ ， 由对称轴在 轴的右侧知 ， ∵抛物线与 轴正半轴相交， / ∴ ， ∴ ．故①错误． ②∵抛物线的对称轴直线 ， ∴ ， 故②错误． ③∵该抛物线的顶点坐标为 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ，等式两边除以 ， 得 ，即 ， 故③正确． ④∵二次函数 的最大值为 ，即 ， ∴方程 有两个相等的实数根， 故④正确， 综上所述，正确的结论有③④． 15. 【答案】 【解析】 如图，正方形 中， ， 是 中点，将正方形 沿 折叠，使点 的对 应点 落在 上，延长 交 于点 ，则 的长为 ． ∵在正方形 中， ， ∴ ， ， ∵ 是 中点， ∴ ， ∴ ， ∵将正方形 沿 折叠，使点 的对应点 落在 上， / ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． 16. 【答案】 方法一： 方法二： 【解析】 如图， 在平面直角坐标系内， ， ，以 为直角 边向外作 ，使 ， ，以 为直角边向外作 ，使 ， ，按此方法进行下去，得到 ， ， ， ，若点 ，则点 的横坐标为 ． 由已知可得 ， ， ， ， 由此可得 ， ， ， 由此可知 所在的射线与 所在射线重合， 所以点 的横坐标为： ． 故答案为： ． ∵ ， ， ， 同理： ， ， ， / ∴ 的长度为 ， ∵ ， ∴ 与 重合， ∴点 的横坐标为 ． 故答案为： ． 三、解答题 （本大题共2小题，共14分） 17. 【答案】 【解析】 先化简，再求值： ，其中 ． ． ， ， ， ， 当 时，原式 ． 18. （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 今年市委市政府积极推进创建“全国文明城市”工作，市创城办公室为了调查初中学生对“社会 主义核心价值观”内容的了解程度（程度分为：“ ﹣十分熟悉”，“ ﹣了解较多”，“ ﹣ 了解较少”，“ ﹣不知道”），对我市一所中学的学生进行了随机抽样调查，根据调查结果绘 制了两幅不完整的统计图如图，根据信息解答下列问题： 本次抽样调查了多少名学生． 补全条形统计图和扇形统计图． 求扇形统计图中“ ﹣不知道”所在的扇形圆心角的度数． / （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 【答案】 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 【解析】 若该中学共有 名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对“社会主义核心价值观” 内容的了解程度为“十分熟悉”和“了解较多”的学生共有多少名． （名）． 画图见解析． ． 名． 本次抽样调查了 （名）． 有 （名）， 占 ， 占 ， 所在的扇形圆心角的度数为 ． （名）， 所以估计这所中学的所有学生中，对“社会主义核心价值观”内容的了解程度 为“十分熟悉”和“了解较多”的学生共有 名． 四、解答题 （本大题共2小题，每小题8分，共16分） 19. （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 【答案】 （ 1 ）【解析】 传统节日“端午节”的早晨，小文妈妈为小文准备了四个粽子作早点：一个枣馅粽，一个肉馅 粽，两个花生馅粽，四个粽子除内部馅料不同外，其它一切均相同． 小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率为 ． 若妈妈在早点中给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可 能性是否会增大．请说明理由． 会增大，证明见解析． 分别用 ， ， 表示一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽， 画树状图得： / （ 2 ） 开始 ∵共有 种等可能的结果，小文吃前两个粽子刚好都是花生馅的有 种情况， ∴小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率： ． 分别用 ， ， 表示一个枣馅粽，一个肉馅粽，三个花生馅粽，画树状图 得： 开始 ∵共有 种等可能的结果，两个都是花生的有 种情况， ∴都是花生的概率为： ， ∴给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能 性会增大． 20. （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 【答案】 （ 1 ）【解析】 某电子超市销售甲、乙两种型号的蓝牙音箱，每台进价分别为 元， 元，下表是近两周的 销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 甲种型号 乙种型号 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 求甲、乙两种型号蓝牙音箱的销售单价． 若超市准备用不多于 元的资金再采购这两种型号的蓝牙音箱共 台，求甲种型号的 蓝牙音箱最多能采购多少台． 甲种型号蓝牙音箱的销售价为 元，乙种型号蓝牙音箱的销售单价为 元． 甲种型号的蓝牙音箱最多能采购 台． 设甲种型号蓝牙音箱的销售价为 元，乙种型号蓝牙音箱的销售单价为 元， 依题意有： ， 解得 ， 故甲种型号蓝牙音箱的销售价为 元，乙种型号蓝牙音箱的销售单价为 元． / （ 2 ）设甲种型号的蓝牙音箱采购 台，依题意有： ， 解得 ， 故甲种型号的蓝牙音箱最多能采购 台． 五、解答题 （本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 【答案】 【解析】 超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路 上，小型车限速为每小时 千米，设置在公路旁的超速监测点 ，现测得一辆小型车在监测点 的南偏西 方向的 处， 秒后，测得其在监测点 的南偏东 方向的 处，已知 米， 在 的北偏东 方向，请问：这辆车超速了吗．通过计算说明理由．（参考数据： ， ） 这辆车超速了． 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 由题意可得： ， ， ，则 ， ， ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 故 ， 则 ， / ， 故 ， 则 ， 故 ， ∴ ， ∵每小时 千米 ， ∵ ，∴这辆车超速． 22. （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 【答案】 （ 1 ） （ 2 ） 【解析】 已知：四边形 是菱形，以 为圆心作⊙ ，与 相切于点 ，交 于 ，交 于 ，连接 ， ． 求证： 是⊙ 的切线； 连接 交 于点 ，若 ，求证： ． 证明见解析． 证明见解析． 如图，过 作 ， ∵四边形 为菱形， ∴ ， ∵ 为⊙ 的切线， ∴ ，且 为⊙ 的半径， ∴ ， ∴ ， ∴ 为⊙ 的切线． 由（ ）可知 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，且 ， / ∴ ， 在 中， 为 的外角， ∴ ， ∵ ， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 六、解答题 （本大题共1小题，共10分） 23. 1 2 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 1 2 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 【答案】 1（ 1 ）【解析】 为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出 的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为 元，为制定合理的收费标准，该商场对每天 轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每 辆次轿车的停车费定价不超过 元时，每天来此停放的轿车都为 辆次；若每辆次轿车的停车 费定价超过 元，则每超过 元，每天来此停放的轿车就减少 辆次，设每辆次轿车的停车费 元（为便于结算，停车费 只取整数），此停车场的日净收入为 元（日净收入 每天共收停车 费 每天固定的支出）回答下列问题： 回答下列问题： 当 时， 与 的关系式为： ． 当 时， 与 的关系式为： ． 停车场能否实现 元的日净收入．如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实 现，请说明理由． 该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收 入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元．此时最大日净收入是多少元． 停车场能实现 元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是 元或 元． 每辆次轿车的停车费定价应定为 元，此时最大日净收入是 元． 由题意得： ． / 2 （ 2 ） （ 3 ） 由题意得： ， 即 ． 依题意有： ， 解得 ， ． 故停车场能实现 元的日净收入， 每辆次轿车的停车费定价是 元或 元． 当 时，停车 辆次，最大日净收入 （元） 当 时， ， ， ， ∴当 时， 有最大值．但 只能取整数， ∴ 取 或 ． 显然， 取 时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为 （元）． 由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为 元，此时最大日净收入是 元． 七、解答题 24. （ 1 ） （ 2 ） 已知： 和 均为等边三角形，连接 ， ，点 ， ， 分别为 ， ， 中点． 当 绕点 旋转时，如图 ，则 的形状为 ，说明理由． 图 在 旋转的过程中，当 ， ， 三点共线时，如图 ，若 ， ，求 线段 的长． / （ 3 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 【答案】 图 （ 1 ）【解析】 图 在 旋转的过程中，若 ， ，则 的周长是否存 在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值．若不存在，说明理由． 备用图 等边三角形 ． 的周长最大值为 ，最小值为 ． 如图 中，连接 、 ，延长 交 于 ，设 交 于点 ， ∵ 和 均为等边三角形， 是等边三角形． ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， / 图 （ 2 ） （ 3 ） ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， 故答案为等边三角形． 如图 中，连接 、 ， 易知 ， 在 中， ， ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ． 由（ ）可知， 是等边三角形， ， ∴ 的周长 ， 在 中， ， ， ∴ 的最小值为 ，最大值为 ， ∴ 的周长最大值为 ，最小值为 ． 25. （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴另一交点为 ，点 是线 段 上一动点，过点 的直线 轴，分别交直线 、抛物线于点 ， ． x y O 　　 x y O 备用图 求抛物线的解析式． 是否存在点 ，使 ，若存在，求出点 的横坐标，若不存在，说明理由． 连接 ，一动点 从点 出发，沿线段 以每秒 个单位的速度运动到 ，再沿线段 以每秒 个单位的速度运动到 后停止，当点 的坐标是多少时，点 在整个运动 过程中用时 最少． / （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 【答案】 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 【解析】 ． 点 的横坐标为： 或 ． ． 把 ， 代入 ， 得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为： ． 存在点 ，使 ． 当 时，即 ，解得： ， ， ∴ ， ． 设 ，则 ， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ， ∴点 的横坐标为： 或 ． 如图，过点 作 轴于点 ， x y O 则 ， ， ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴，则 ， ． 由题意，动点 运动的路径为折线 ，运动时间： ， / ∴ ，即运动的时间值等于折线 的长度值， 由垂线段最短可知，折线 的长度的最小值为 与 轴之间的垂线 段， 过点 作 于点 ， 则 ， 与直线 的交点，即为所求之 点． ∵ ， ， ∴直线 的解析式为： ， ∵ 点横坐标为 ， ∴ ， ∴ ． 小