2021年中考数学专题复习 专题51 勾股定理的多种证明方法（教师版含解析） 20页

专题 51 勾股定理的多种证明方法 勾股定理具体内容是：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a 2 ＋b 2 =c 2 。 历史上证明勾股定理有很多方法，每种方法都含有科学思维、科学探究的过程，每一种证明方法都利 用数学观念，数学知识。每一种方法都体现一名数学家为科学付出的情怀。在证明勾股定理的长河中，参 与的人有的是学者，有的是著名的科学家，还有的是政治家，比如总统。通过学习勾股定理的证明，可以 品味各种拼图，方法各异，妙趣横生，证明思路别具匠心，极富创新。它们充分运用了几何图形的截、割、 拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，深刻体现了形数统一、代数和几何紧密 结合、互不可分的独特魅力。 勾股定理是对社会有重大影响的 10 大科学发现之一。早在 4000 多年前，中国的大禹曾在治理洪水的 过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有 500 余种，各种证法 融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。 数学故事：在 1876 年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美 景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德(Garfield)．他发现附近的一个小石凳上，有两个小孩 正在谈论着什么．由于好奇心的驱使，伽菲尔德向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见 一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小 男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”伽 菲尔德答到：“是 5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜边长又 是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方．”小男孩又说道： “先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终 于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 【例题 1】如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a 2 ＋b 2 =c 2 。 【答案】见解析。 【解析】用四个相同的直角三角形(直角边为 a、b，斜边为 c)按下图拼法。 根据正方形面积公式得大正方形面积为： S=(a+b)2………○1 这个大正方形的面积等于 4 个小直角三角形面积之和再加上内部的小正方形的面积，即： S= 4× 2 1 ab+ c 2 ……..○2 由○1 ○2 得 (a+b)2= c2 + 4× 2 1 ab 化简可得：a 2 +b 2 = c 2 从而结论得到证明。 【例题 2】用 1876 年美国第十七任总统加菲尔德 Garfield 的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2. 把 这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 2 1 c 2 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 S= 2 1 (a+b) 2 ……○1 又因为这个直角梯形的面积等于三个小三角形面积之和，即 S= 2× 2 1 ab+ 2 1 c 2 ……○2 由○1 ○2 得 2 1 (a+b) 2 = 2× 2 1 ab+ 2 1 c 2 化简： 222 cba  . 从而结论得到证明。 1.用初中教材出现的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别 为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 左边图形面积 S=a2+b2 + 4× 2 1 ab 右边图形面积 S= c2 + 4× 2 1 ab a2+b2 + 4× 2 1 ab= c2 + 4× 2 1 ab 整理得： 222 cba  从而结论得到证明。 2.利用邹元治的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 2 1 ab. 把 这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、 D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形. 它的面积等于 c 2 . ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º. ∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于(a+b) 2 。 又因为大正方形的面积等于 4 个小三角形面积之和再加上小正方形面积，所以   22 2 14 cabba  ∴ 222 cba  . 从而结论得到证明。 3.利用赵爽的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】以 a、b 为直角边(b>a)， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为 c的正方形，它的面积等于 c2. ∵ EF=FG =GH=HE=b-a , ∠HEF=90º. ∴ EFGH 是一个边长为 b-a 的正方形，它的面积等于(b-a) 2 。   22 2 14 cabab  . ∴ 222 cba  . 从而结论得到证明。 4.利用梅文鼎的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那 样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. ∵ D、E、F 在一条直线上, 且 RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB=BE=EG=GA=c， ∴ ABEG 是一个边长为 c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE=90º，∠BCP=90º， BC=BD=a. ∴ BDPC 是一个边长为 a的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为 b的正方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则 , 2 1222 abSba  abSc 2 122  ∴ 222 cba  从而结论得到证明。 5.利用项明达的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b(b>a) ，斜边长为 c. 再做一个边 长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上. 过点 Q 作 QP∥BC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BM⊥PQ，垂足为 M； 再过点 F 作 FN⊥PQ，垂足为 N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证 RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 这时我们容易知道矩形 BCPM 是边长为 a 的正方形，矩形 EFNP 是边长为 b 的正方形， 设多边形 FNMBA 的面积为 S，则 , 2 1222 abSba  abSc 2 122  ∴ 222 cba  从而结论得到证明。 6.利用欧几里得的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上， 连结 BF、CD. 过 C 作 CL⊥DE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB 的面积等于 2 1 a2 ΔGAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形 ADLM 的面积 = 2a . 同理可证，矩形 MLEB 的面积 = 2b . ∵ 正方形 ADEB 的面积= 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 ∴ 222 bac  ，即 222 cba  . 从而结论得到证明。 7.利用辛卜松的方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为   abbaba 2222  ； 把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为   22 2 14 cabba  = 22 cab  . ∴ 222 22 cababba  , ∴ 222 cba  . 从而结论得到证明。 8.利用相似三角形性质证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】如图，在 RtΔABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD⊥AB， 垂足是 D. 在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB， 即 ABADAC 2 . 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 ABBDBC 2 .   222 ABABDBADBCAC  即 222 cba  . 从而结论得到证明。 9.利用杨作玫方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b(b>a)，斜边长为 c. 再做一个边长 为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AF⊥AC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BP⊥ AF，垂足为 P. 过 D作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. ∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = b―a. ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA , RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为 a的正方形. ∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a . ∴ TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b―a，下底 BP= b，高 FP=a +(b―a). 用数字表示面积的编号(如图)，则以 c 为边长的正方形的面积为 54321 2 SSSSSc  ①      abaabbSSS  2 1 438 = abb 2 12  ， 985 SSS  ， 8 2 43 2 1 SabbSS  = 81 2 SSb  . ② 把②代入①，得 9881 2 21 2 SSSSbSSc  = 92 2 SSb  = 22 ab  . ∴ 222 cba  . 从而结论得到证明。 10.利用陈杰方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】设直角三角形两直角边的长分别为 a、b(b>a)，斜边的长为 c. 做三个边长分别为 a、b、c 的正方 形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). ∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a， ∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 27 SS  . 过 Q 作 QM⊥AG，垂足是 M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又 RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以 RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 58 SS  . 由 RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得 QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a， ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 64 SS  . ∵ 54321 2 SSSSSc  ， 61 2 SSa  ， 873 2 SSSb  ， 又∵ 27 SS  ， 58 SS  ， 64 SS  ， 87361 22 SSSSSba  = 52341 SSSSS  = 2c ， 即 222 cba  . 从而结论得到证明。 11.利用切割线定理证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】在 RtΔABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 如图， 以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º， 点 C 在⊙B上，所以 AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得 ADAEAC 2 =   BDABBEAB  =   acac  = 22 ac  ， 即 222 acb  ， ∴ 222 cba  . 从而结论得到证明。 12.利用托勒密定理证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】在 RtΔABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c(如图). 过点 A 作 AD∥CB，过点 B作 BD∥CA，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 BDACBCADDCAB  ， ∵ AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b， ∴ 222 ACBCAB  ，即 222 bac  ， ∴ 222 cba  . 从而结论得到证明。 13.利用作直角三角形的内切圆方法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】在 RtΔABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 作 RtΔABC 的内切圆⊙O，切点分别为 D、 E、F(如图)，设⊙O的半径为 r. ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴      BFAFCDBDCEAEABBCAC  = CDCE  = r + r = 2r, 即 rcba 2 ， ∴ crba  2 . ∴    22 2 crba  ， 即   2222 42 crcrabba  ， abS ABC 2 1  ， ABCSab  42 ， 又∵ AOCBOCAOBABC SSSS   = brarcr 2 1 2 1 2 1  =  rcba  2 1 =  rccr 2 2 1 = rcr 2 ， ∴   ABCSrcr  44 2 ， ∴   abrcr 24 2  ， ∴ 222 22 cababba  ， ∴ 222 cba  . 从而结论得到证明。 14.利用反证法证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】如图，在 RtΔABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD⊥AB， 垂足是 D. 假设 222 cba  ，即假设 222 ABBCAC  ，则由 ABABAB 2 =  BDADAB  = BDABADAB  可知 ADABAC 2 ，或者 BDABBC 2 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB. 在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则 ∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B， ∴ 若 BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º， ∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º. 这与作法 CD⊥AB 矛盾. 所以， 222 ABBCAC  的假设不能成立. ∴ 222 cba  . 从而结论得到证明。 15.利用射影定理证明勾股定理 【答案】见解析。 【解析】如图，在 RtΔABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C作 CD⊥AB， 垂足是 D. 根据射影定理，得 AC 2 ＝AD·AB， BC2＝BD·BA 即 AC 2 ＋BC 2 ＝AD·AB＋BD·BA＝AB(AD＋BD)＝AB 2 从而得 a2+b2 = c2 从而结论得到证明。