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- 2021-11-10 发布
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第八讲 电 路
第一节 电流、电阻与欧姆定律
一、电流
1.电流的定义
导体中的自由电荷定向移动时,就形成了电流。电流用符号 I 表示,电流的大小可以用单位时
间内通过导体某一横截面的电荷量来表示。定义式为 qI t
,注意 q 是通过导体横截面的所有的电荷
电量的总和。在国际单位制中,电流的单位是安培,符号为“ A ”,1 A 1 C / s ,电流有方向,规
定导体中正电荷定向移动的方向为电流的方向,负电荷定向移动的方向与电流的方向相反。电流的
方向表示的是电流的流向。
2.电流的微观表达式
电流的定义式为 qI t
,但并不能说电流随 q 的增大而增大、随通电时间 t 的增长而变小。从微
观上说,电流大小和导体内部自由电荷的电荷量、定向移动速度、导体单位体积的自由电荷数以及
导体横截面积都有关系。
例 1 已知某导体单位体积内的自由电荷数为 n ,自由电荷的定向移动速度为 v ,自由电荷的电
荷量为 q ,导体的横截面积为 S 。试证明电流的微观表达式: I nSqv 。
分析与解 求解电流的大小,可以利用电流的定义式 qI t
,只要能求出通过导体横截面的电荷
量与时间的比值即可。如图 8.1 所示,在导体上取两个横截面 A 和 B ,设自由电荷从截面 A 定向运
动到截面 B 所用时间为 t ,则 A , B 截面的距离为 l vt , A , B 截面
以 内 所 含 的 自 由 电 荷 数 为 N nSl nSvt , 这 些 电 荷 的 电 荷 量
qN qnSvtQ 。显然,在时间 t 内,这些电荷恰好全部通过 A 截面,因
此通过导体的电流为 Q qnSvtI nSqvt t
,得证。
当导体两端没有电压时,自由电荷处于无规则运动状态,无规则运动的速度约为 510 m / s ,而
加上电压后,自由电荷定向移动的速度仅约为 310 m / s ,可见,自由电荷的定向移动速度是非常小
的,远不及电流的传播速度(光速)。
二、电阻
1.电阻的定义
电阻是表示导体对电流阻碍作用的物理量,用 R 表示,电阻的定义式为 UR I
,电阻的单位为
欧姆,符号为“ ”,1 1 V / A 。对同一导体,不论导体两端电压U 和通过导体的电流 I 如何变
化,其比值 U
I
都相同,即电阻 R 是一个只跟导体本身性质(导体的材料、横截面积和长度)有关的量,
与所加的电压和通过的电流无关。
2.电阻定律
一段导体的电阻跟它的长度 L 成正比,跟它的横截面积 S 成反比,这就是电阻定律。表达式为
LR S
在公式 LR S
中, 为导体材料的电阻率,是反映材料导电性能的物理量,电阻率在数值上等
于该材料制成的长为1 m 、横截面积为 21 m 的导体的电阻值。电阻率大,表示材料的导电性能差。
电阻率的单位符号为“ m ”。
电阻率只和导体的材料以及温度有关。金属导体电阻率的数量级为 710 m ,且金属导体电阻
率随温度的升高而增大。某些合金的电阻率受温度影响很小,根据这一特点可制成标准电阻;某些
材料的电阻率随温度升高而减小,如半导体和绝缘体。
当温度降低到绝对零度附近时,某些金属、合金等材料的电阻率会突然减小到零,这种现象叫
做超导现象,处于这种状态的导体叫做超导体。
3.超导现象
例 2 一粗细均匀的镍铬丝,截面直径为 d ,电阻为 R 。把它拉制成直径为
10
d 的均匀细丝后,
它的电阻变为( )。
A.
1000
R B.
100
R C.100R D.10000R
分析与解 将导体直径拉制成
10
d 后,导体的横截面积将变为原来的 1
100
,而导体体积不变,导
体长度将变为原来的 100 倍,根据 LR S
,导体电阻将变为原来的 10000 倍,选项 D 正确。
例 3 (上海第 30 届大同杯初赛)如图 8.2 所示, 1R 和 2R 是材料、厚度相同的正方形导体板,但 1R
的尺寸比 2R 的尺寸大,在导体两端加相同的电压,通过两导体的电流方向如图 8.2 所示,则下列说
法中正确的是( )。
A. 1R 中的电流小于 2R 中的电流
B. 1R 中的电流等于 2R 中的电流
C. 1R 比 2R 中自由电荷定向移动的速率大
D. 1R 比 2R 中自由电荷定向移动的速率小
分析与解 设正方形导体板的边长为 a ,厚度为 d ,电阻率为 ,则电阻 l aR S ad
d
,可
见 1 2R R ,导体两端加相同电压时电流相等,选项 B 正确。再根据电流的微观表达式 I nSqv ,由
于导体为相同材料,因此 n ,q 相同,电流 I 相同,导体横截面积 S 越大,自由电荷定向移动的速度
越小,选项 D 正确。本题正确选项为 BD.
三、欧姆定律
1.欧姆定律的内容
导体中的电流 I 跟导体两端的电压U 成正比,跟导体的电阻 R 成反比,这就是部分电路的欧姆
定律。数学表达式为 UI R
。
欧姆定律适用于金属导电和电解液导电,对气体导电不适用。
2.导体的伏安特性图线
(1)在直角坐标系中,用横坐标表示导体两端的电压U ,用纵坐标表示通过导体的电流 I ,则导
体中的电流随电压变化的函数图线为导体的伏安特性图线。
(2)对于电阻一定的导体,它的伏安特性图线是过坐标原点的直线,如图
8.3 中的 a ,b 直线,直线的斜率等于电阻的倒数,即 Ik R
,直线斜率大则电
阻小。
(3)电阻随外界条件(如温度)变化而变化的导体,其伏安特性图线是曲线。
这里值得注意的是,导体的电阻等于电压与电流的比值: UR I
,并不等于 U
I
,所以在由伏安特
性曲线求阻值时,不能由曲线的斜率或斜率的倒数求解。
例 4 研究某导体的伏安特性曲线,通电后其电流 I 与所加电压U 的变化图线如图 8.4 所示,P
为图线上一点,PQ 为U 轴的垂线,PM 为 I 轴的垂线,则下列说法中正
确的是( )。
A.随着所加电压的增大,该电阻的阻值增大
B.随着所加电压的增大,该电阻的阻值减小
C.对应 P 点,电阻的阻值为 1
2
UR I
D.对应 P 点,电阻的阻值为 1
1 2
UR I I
分析与解 在利用导体的伏安特性曲线求解电阻问题时,要透彻理解欧姆定律的内涵及图线所
表达的物理意义,充分挖掘图线中隐含的条件,并一定要将“物理量的比值( /U I )”与“物理量的
变化量的比值 ( / )U I ”的含义区分开。伏安特性为曲线时,P 点对应的阻值并不等于过 P 点的切
线的斜率,而是等于 P 点的横坐标 1U 与 P 点纵坐标 2I 的比值,即等于 OP 连线斜率的倒数,所以选
项 C 正确。当电压逐渐增加时,曲线上的点与 O 点连线的斜率逐渐减小,所以电阻逐渐增大,选项
A 正确。本题选 AC。
练习题
1.下列关于电阻率的叙述,错误的是( ).
A.当温度极低时,超导材料的电阻率会突然减小到零
B.常用的导线是用电阻率较小的铝、铜材料做成的
C. 材料的电阻率取决于导体的电阻、横截面积和长度
D.材料的电阻率随温度的变化而变化
2.一根阻值为 R 的均匀电阻丝,长为 L ,横截面积为 S ,设温度不变,在下列哪些情况下其电
阻值仍为 R ?( )
A. L 不变, S 增大一倍 B. S 不变, L 增大一倍
C. L 和 S 都缩为原来的 1
2 D. L 和横截面的半径都增大一倍
3.关于欧姆定律,下面说法中不正确的是( )。
A.由关系式 UR I
可知,导体的电阻跟导体两端的电压成正比,跟导体的电流强度成反比
B.关系式 UR I
表明使导体通过一定的电流所需的电压越高,则导体的电阻越大
C.由公式 UI R
可知,导体中的电流强度跟导体两端的电压成正比,跟导体的电阻成反比
D.由关系式U IR 可知,对于一个确定的导体来说,如果通过的电流越大,那么导体两端的
电压也越大
4.(上海第 28 届大同杯初赛)通过横截面积为 S 的铜导线的电流为 I ,设导线内单位体积的自由
电子数为 n ,电子的电荷量为 e ,此时电子定向移动的速率为 v ,则在 t 时间内,通过导线横截面
的电子数为( )
A. nSv t B. nv t C. I t
Se
D. I t
e
5.(上海第 27 届大同杯初赛)每种金属导体中单位体积的自由电子数都有确定的值。两段长度之
比为 2:1、横截面积之比为 1:3 的镍铬合金丝并联在某电路中,则两根电阻丝内电子定向移动的
平均速度之比为( )。
A.1:2 B.3:1 C.2:3 D.1:1
6.某一探测器因射线照射,内部气体电离,在时间t 内有 n 个二价正离子到达阴极,有 2n 个电
子到达探测器的阳极,则探测器电路中的电流为( )。
A.0 B. 2ne
t C. 3ne
t D. 4ne
t
7.某导体的伏安特性曲线如图 8.5 所示, P 为图线上一点, PN 为图线的切线, P , N 两点的
坐标如图所示,则下列说法中正确的是( )。
A.随着所加电压的增大,该电阻的阻值增大
B.随着所加电压的增大,该电阻的阻值减小
C.对应 P 点,电阻的阻值为 1
2
UR I
D.对应 P 点,电阻的阻值为 1
2 1
UR I I
8.如图 8.6 所示,一块长方体的均匀导电材料,其长、宽、高的比为 3:2:1,那么分别沿其
长的方向通电、沿其宽的方向通电和沿其高的方向通电时的电阻值之比为________。
9.两种材料不同的电阻丝,长度之比为 1:5,截面积之比为 2:3,电阻之比为 2:5,则材料
的电阻率之比为________。
10.如图 8.7 所示的图线所对应的是两个导体:(1) 1 2:R R ________;(2)若两个导体中的电流
相等(不为零),电压之比 1 2:U U ________,(3)若两个导体中的电压相等(不为零),电流强度之比
1 2:I I ________。
11.某导线的电阻为16 ,将它对折起来使用,它的电阻变为________ ,如果将它均匀地拉
长到原来的 2 倍,则它的电阻为________ 。
12.已知电子的电量为 e ,若氢原子的核外电子绕核做半径为 r 的匀速圆周运动,线速度大小为
v ,则电子的转动周期为________;电子绕核的运动可等效为环形电流,则电子运动的等效电流为
________。
13.实验表明,某些材料当温度降到某一定值时,其
电阻率突然降为零,这种现象叫做________,这种材料称
为超导材料,材料电阻率降为零的温度称为临界温度,其
值与材料有关,则在图 8.8 所示的电阻—温度曲线图中,
临界温度最高的样品为________号(填“Ⅰ”“Ⅱ”或“Ⅲ”),
在实际应用中最有利用价值的样品为________号(填“Ⅰ”“Ⅱ”或“Ⅲ”)。
14.如图 8.9 所示,相距 40 km 的 A ,B 两地架两条输电线,
电阻共为800 ,如果在 A ,B 间的某处发生短路,这时接在 A
处的电压表示数为10 V ,电流表的示数为 40 mA ,求发生短路
处距 A 处有多远。
15.有一根导线长为 1 mL ,横截面积 3 21 10 mS ,它是由电阻率不均匀的材料组成的,从
一端到另一端,电阻率 随导体长度 l 的变化规律为 0 kl ,试求这段导线的电阻( 0 1 m ,
0.5 k )。
参考答案
1.C。电阻率是导体材料的一种特性,只与导体材料的种类、温度有关,与导体的长短、横截
面积无关。
2.C。结合公式 LR S
,可知选项 C 正确。
3.A。导体电阻只和导体的材料、长短、粗细有关,与导体两端电压和通过的电流无关,所以
选项 A 的说法错误。
4.AD。 t 时间内通过导体横截面的电荷量 q I t ,则 t 时间内通过的电子数
eN q I t
e
,
结合电子的微观表达式 I nSev ,亦可得 N nSv t 。
5.A。由电阻公式 LR S
,可知两导体电阻之比 1 1 2
2 2 1
6R L S
R L S
,两导体并联,通过它们的电
流之比 1 2
2 1
1
6
I R
I R
,再由电流的微观表达式 SevI n ,可得 Iv nSe
,因此 1 1
2 2
v I
v I
2
1
1
2
S
S
。
6.D。正离子与负离子定向移动形成的电流方向相同:
1 2 2 2 4q q n e n e neI t t t
7.AC。导体的电阻等于导体两端的电压U 与电流 I 的比值,反映在U I 图线上,是图线上某
点与坐标原点连线的斜率,由题给图线可知,随着电流的增大,导体电阻逐渐增大。对应 P 点,电
阻的阻值为 1
2
UR I
。
8.9:4:1。在电阻公式 LR S
中,L 为沿着电流方向的长度,S 为垂直于电流方向的面积,则
沿长方体长的方向通电时电阻 1
3
2 1R
,沿长方体宽的方向通电时电阻 2
2
3 1R
,沿长方体高的
方向通电时电阻 3
1
3 2R
,则 1 2 3: : 9 : 4 :1R R R 。
9.4:3。略。
10.(1)3:1;(2)3:1;(3)1:3,提示: I U 图像斜率的倒数表示电阻的阻值。
11.4,64。提示:对折后,长度减半,横截面积加倍;均匀拉长一倍后,横截面积减半。
12. 2πr
v
,
2π
ev
r
。电子转动周期等于轨道圆周长与线速度大小的比值, 2πrT v
,电子每经过一
个周期,就通过轨道上某点一次,因此在一个周期的时间内通过的电荷量为 e ,则
2π
e evI T r
。
13.超导现象,Ⅰ,Ⅰ。提示:由于低温不易获得,实际应用中临界温度较高的样品最有利用
价值。
14.设发生短路处与 A 处的距离为 x ,根据欧姆定律,可得短路后导线的电阻 x
UR I
250 ,
又 2
x
xR S
,短路前的总电阻 2 800 LR S
总 ,解得 12.5 kmx 。
15.已知电阻定律公式 LR S
,本题遇到的困难是电阻率 不是常量,无法直接代入公式计算。
考虑到 与 l 是线性关系,因此可取平均电阻率进行计算,则 0 0
2
kL ,有
0 0[ ( )] 1250 2
kL LLR S S
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