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- 2021-11-10 发布
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2019年四川省宜宾市中考数学试卷
一、选择题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。
1.(3分)2的倒数是( )
A. B.﹣2 C. D.
2.(3分)人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元,某种神经元的直径约为52微米,52微米为0.000052米.将0.000052用科学记数法表示为( )
A.5.2×10﹣6 B.5.2×10﹣5 C.52×10﹣6 D.52×10﹣5
3.(3分)如图,四边形ABCD是边长为5的正方形,E是DC上一点,DE=1,将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合,则EF=( )
A. B. C.5 D.2
4.(3分)一元二次方程x2﹣2x+b=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2为( )
A.﹣2 B.b C.2 D.﹣b
5.(3分)已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成,该组合体的主视图与俯视图如图所示,则该组合体中正方体的个数最多是( )
A.10 B.9 C.8 D.7
6.(3分)如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩:
次数
环数
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
10
7
7
8
8
8
9
7
乙
10
5
5
8
9
9
8
10
根据以上数据,设甲、乙的平均数分别为、,甲、乙的方差分别为s甲2,s乙2,则下列结论正确的是( )
A.=,s甲2<s乙2 B.=,s甲2>s乙2
C.>,s甲2<s乙2 D.<,s甲2<s乙2
7.(3分)如图,∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心,∠EOF的两边与△ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
8.(3分)已知抛物线y=x2﹣1与y轴交于点A,与直线y=kx(k为任意实数)相交于B,C两点,则下列结论不正确的是( )
A.存在实数k,使得△ABC为等腰三角形
B.存在实数k,使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°
C.任意实数k,使得△ABC都为直角三角形
D.存在实数k,使得△ABC为等边三角形
二、填空题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。
9.(3分)分解因式:b2+c2+2bc﹣a2= .
10.(3分)如图,六边形ABCDEF的内角都相等,AD∥BC,则∠DAB= °.
11.(3分)将抛物线y=2x2的图象,向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为 .
12.(3分)如图,已知直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD= .
13.(3分)某产品每件的生产成本为50元,原定销售价65元,经市场预测,从现在开始的第一季度销售价格将下降10%,第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变,设每个季度平均降低成本的百分率为x,根据题意可列方程是 .
14.(3分)若关于x的不等式组有且只有两个整数解,则m的取值范围是 .
15.(3分)如图,⊙O的两条相交弦AC、BD,∠ACB=∠CDB=60°,AC=2,则⊙O的面积是 .
16.(3分)如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在同一直线上,AD与BE、BC分别交于点F、M,BE与CD交于点N.下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号).
①AM=BN;②△ABF≌△DNF;③∠FMC+∠FNC=180°;④=
三、解答题:(本大题共8小题,共72分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)(1)计算:(2019﹣)0﹣2﹣1+|﹣1|+sin245°
(2)化简:÷(+)
18.(6分)如图,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.求证:∠C=∠E.
19.(8分)某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛,分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖.现对三个年级同学的获奖情况进行了统计,其中获得纪念奖有17人,获得三等奖有10人,并制作了如图不完整的统计图.
(1)求三个年级获奖总人数;
(2)请补全扇形统计图的数据;
(3)在获一等奖的同学中,七年级和八年级的人数各占,其余为九年级的同学,现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛,通过列表或者树状图的方法,求所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概率.
20.(8分)甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物.已知A、C两城相距450千米,B、C两城的路程为440千米,甲车比乙车的速度快10千米/小时,甲车比乙车早半小时到达C城.求两车的速度.
21.(8分)如图,为了测得某建筑物的高度AB,在C处用高为1米的测角仪CF,测得该建筑物顶端A的仰角为45°,再向建筑物方向前进40米,又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)
22.(10分)如图,已知反比例函数y=(k>0)的图象和一次函数y=﹣x+b的图象都过点P(1,m),过点P作y轴的垂线,垂足为A,O为坐标原点,△OAP的面积为1.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M,过M作x轴的垂线,垂足为B,求五边形OAPMB的面积.
23.(10分)如图,线段AB经过⊙O的圆心O,交⊙O于A、C两点,BC=1,AD为⊙O的弦,连结BD,∠BAD=∠ABD=30°,连结DO并延长交⊙O于点E,连结BE交⊙O于点M.
(1)求证:直线BD是⊙O的切线;
(2)求⊙O的半径OD的长;
(3)求线段BM的长.
24.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,﹣3)、B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.
(1)求此抛物线和直线AB的解析式;
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点,当△PAB面积最大时,求点P的坐标,并求△PAB面积的最大值.
2019年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。
1.(3分)2的倒数是( )
A. B.﹣2 C. D.
【考点】17:倒数.菁优网版权所有
【分析】根据倒数的定义,可以求得题目中数字的倒数,本题得以解决.
【解答】解:2的倒数是,
故选:A.
【点评】本题考查倒数,解答本题的关键是明确倒数的定义.
2.(3分)人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元,某种神经元的直径约为52微米,52微米为0.000052米.将0.000052用科学记数法表示为( )
A.5.2×10﹣6 B.5.2×10﹣5 C.52×10﹣6 D.52×10﹣5
【考点】1J:科学记数法—表示较小的数.菁优网版权所有
【分析】由科学记数法可知0.000052=5.2×10﹣5;
【解答】解:0.000052=5.2×10﹣5;
故选:B.
【点评】本题考查科学记数法;熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键.
3.(3分)如图,四边形ABCD是边长为5的正方形,E是DC上一点,DE=1,将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合,则EF=( )
A. B. C.5 D.2
【考点】LE:正方形的性质;R2:旋转的性质.菁优网版权所有
【分析】根据旋转变换的性质求出FC、CE,根据勾股定理计算即可.
【解答】解:由旋转变换的性质可知,△ADE≌△ABF,
∴正方形ABCD的面积=四边形AECF的面积=25,
∴BC=5,BF=DE=1,
∴FC=6,CE=4,
∴EF===2.
故选:D.
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用,掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键.
4.(3分)一元二次方程x2﹣2x+b=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2为( )
A.﹣2 B.b C.2 D.﹣b
【考点】AB:根与系数的关系.菁优网版权所有
【分析】根据“一元二次方程x2﹣2x+b=0的两根分别为x1和x2”,结合根与系数的关系,即可得到答案.
【解答】解:根据题意得:
x1+x2=﹣=2,
故选:C.
【点评】本题考查了根与系数的关系,正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
5.(3分)已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成,该组合体的主视图与俯视图如图所示,则该组合体中正方体的个数最多是( )
A.10 B.9 C.8 D.7
【考点】U3:由三视图判断几何体.菁优网版权所有
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状,从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数,从而算出总的个数.
【解答】解:从俯视图可得最底层有5个小正方体,由主视图可得上面一层是2个,3个或4个小正方体,
则组成这个几何体的小正方体的个数是7个或8个或9个,
组成这个几何体的小正方体的个数最多是9个.
故选:B.
【点评】本题考查三视图的知识及从不同方向观察物体的能力,解题中用到了观察法.确定该几何体有几列以及每列方块的个数是解题关键.
6.(3分)如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩:
次数
环数
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
10
7
7
8
8
8
9
7
乙
10
5
5
8
9
9
8
10
根据以上数据,设甲、乙的平均数分别为、,甲、乙的方差分别为s甲2,s乙2,则下列结论正确的是( )
A.=,s甲2<s乙2 B.=,s甲2>s乙2
C.>,s甲2<s乙2 D.<,s甲2<s乙2
【考点】W1:算术平均数;W7:方差.菁优网版权所有
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案.
【解答】解:(1)=(10+7+7+8+8+8+9+7)=8;=(10+5+5+8+9+9+8+10)=8;
s甲2=[(10﹣8)2+(7﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(7﹣8)2]=1;
s乙2=[(10﹣8)2+(5﹣8)2+(5﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(9﹣8)2+(8﹣8)2+(10﹣8)2]=,
∴=,s甲2<s乙2,
故选:A.
【点评】本题考查了方差,方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
7.(3分)如图,∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心,∠EOF的两边与△ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
【考点】K5:三角形的重心;KD:全等三角形的判定与性质;KK:等边三角形的性质.菁优网版权所有
【分析】连接OB、OC,过点O作ON⊥BC,垂足为N,由点O是等边三角形ABC的内心可以得到∠OBC=∠OCB=30°,结合条件BC=2即可求出△OBC的面积,由∠EOF=∠BOC,从而得到∠EOB=∠FOC,进而可以证到△EOB≌△FOC,因而阴影部分面积等于△OBC的面积.
【解答】解:连接OB、OC,过点O作ON⊥BC,垂足为N,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵点O为△ABC的内心
∴∠OBC=∠OBA=∠ABC,∠OCB=∠ACB.
∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°.
∴OB=OC.∠BOC=120°,
∵ON⊥BC,BC=2,
∴BN=NC=1,
∴ON=tan∠OBC•BN=×1=,
∴S△OBC=BC•ON=.
∵∠EOF=∠AOB=120°,
∴∠EOF﹣∠BOF=∠AOB﹣∠BOF,即∠EOB=∠FOC.
在△EOB和△FOC中,
,
∴△EOB≌△FOC(ASA).
∴S阴影=S△OBC=
故选:C.
【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理,有一定的综合性,作出辅助线构建全等三角形是解题的关键.
8.(3分)已知抛物线y=x2﹣1与y轴交于点A,与直线y=kx(k为任意实数)相交于B,C两点,则下列结论不正确的是( )
A.存在实数k,使得△ABC为等腰三角形
B.存在实数k,使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°
C.任意实数k,使得△ABC都为直角三角形
D.存在实数k,使得△ABC为等边三角形
【考点】F6:正比例函数的性质;F8:一次函数图象上点的坐标特征;H3:二次函数的性质;H5:二次函数图象上点的坐标特征;KI:等腰三角形的判定;KL:等边三角形的判定.菁优网版权所有
【分析】通过画图可解答.
【解答】解:A、如图1,可以得△ABC为等腰三角形,正确;
B、如图3,∠ACB=30°,∠ABC=60°,可以得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°,正确;
C、如图2和3,∠BAC=90°,可以得△ABC为直角三角形,正确;
D、不存在实数k,使得△ABC为等边三角形,不正确;
本题选择结论不正确的,
故选:D.
【点评】本题考查了二次函数和正比例函数图象,等边三角形和判定,直角三角形的判定,正确画图是关键.
二、填空题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。
9.(3分)分解因式:b2+c2+2bc﹣a2= (b+c+a)(b+c﹣a) .
【考点】56:因式分解﹣分组分解法.菁优网版权所有
【分析】当被分解的式子是四项时,应考虑运用分组分解法进行分解.
【解答】解:原式=(b+c)2﹣a2=(b+c+a)(b+c﹣a).
故答案为:(b+c+a)(b+c﹣a)
【点评】本题考查了分组分解法分解因式,难点是采用两两分组还是三一分组.比如本题有a的二次项,a的一次项,有常数项,所以首要考虑的就是三一分组.
10.(3分)如图,六边形ABCDEF的内角都相等,AD∥BC,则∠DAB= 60 °.
【考点】JA:平行线的性质;L3:多边形内角与外角.菁优网版权所有
【分析】先根据多边形内角和公式(n﹣2)×180°求出六边形的内角和,再除以6即可求出∠B的度数,由平行线的性质可求出∠DAB的度数.
【解答】解:在六边形ABCDEF中,
(6﹣2)×180°=720°,
=120°,
∴∠B=120°,
∵AD∥BC,
∴∠DAB=180°﹣∠B=60°,
故答案为:60°.
【点评】本题考查了多边形的内角和公式,平行线的性质等,解题关键是能够熟练运用多边形内角和公式及平行线的性质.
11.(3分)将抛物线y=2x2的图象,向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为 y=2(x+1)2﹣2 .
【考点】H6:二次函数图象与几何变换.菁优网版权所有
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案.
【解答】解:将抛物线y=2x2的图象,向左平移1个单位,再向下平移2个单位,
所得图象的解析式为:y=2(x+1)2﹣2.
故答案为:y=2(x+1)2﹣2.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换,正确记忆平移规律是解题关键.
12.(3分)如图,已知直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD= .
【考点】KQ:勾股定理;SE:射影定理.菁优网版权所有
【分析】根据勾股定理求出AB,根据射影定理列式计算即可.
【解答】解:在Rt△ABC中,AB==5,
由射影定理得,AC2=AD•AB,
∴AD==,
故答案为:.
【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理,在直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
13.(3分)某产品每件的生产成本为50元,原定销售价65元,经市场预测,从现在开始的第一季度销售价格将下降10%,第二季度又将回升5%.若要使半年以后的销售利润不变,设每个季度平均降低成本的百分率为x,根据题意可列方程是 65×(1﹣10%)×(1+5%)﹣50(1﹣x)2=65﹣50 .
【考点】AC:由实际问题抽象出一元二次方程.菁优网版权所有
【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为x,根据利润=售价﹣成本价结合半年以后的销售利润为(65﹣50)元,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
【解答】解:设每个季度平均降低成本的百分率为x,
依题意,得:65×(1﹣10%)×(1+5%)﹣50(1﹣x)2=65﹣50.
故答案为:65×(1﹣10%)×(1+5%)﹣50(1﹣x)2=65﹣50.
【点评】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
14.(3分)若关于x的不等式组有且只有两个整数解,则m的取值范围是 ﹣2≤m<1 .
【考点】CC:一元一次不等式组的整数解.菁优网版权所有
【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集,最后根据已知得出关于m的不等式组,求出即可.
【解答】解:
解不等式①得:x>﹣2,
解不等式②得:x≤,
∴不等式组的解集为﹣2<x≤,
∵不等式组只有两个整数解,
∴0≤<1,
解得:﹣2≤m<1,
故答案为﹣2≤m<1.
【点评】本题考查了解一元一次不等式,解一元一次不等式组,不等式组的整数解的应用,解此题的关键是求出关于m的不等式组,难度适中.
15.(3分)如图,⊙O的两条相交弦AC、BD,∠ACB=∠CDB=60°,AC=2,则⊙O的面积是 4π .
【考点】M5:圆周角定理.菁优网版权所有
【分析】由∠A=∠BDC,而∠ACB=∠CDB=60°,所以∠A=∠ACB=60°,得到△ACB为等边三角形,又AC=2,从而求得半径,即可得到⊙O的面积.
【解答】解:∵∠A=∠BDC,
而∠ACB=∠CDB=60°,
∴∠A=∠ACB=60°,
∴△ACB为等边三角形,
∵AC=2,
∴圆的半径为2,
∴⊙O的面积是4π,
故答案为:4π.
【点评】本题考查了圆周角定理,解题的关键是能够求得圆的半径,难度不大.
16.(3分)如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在同一直线上,AD与BE、BC分别交于点F、M,BE与CD交于点N.下列结论正确的是 ①③④ (写出所有正确结论的序号).
①AM=BN;②△ABF≌△DNF;③∠FMC+∠FNC=180°;④=
【考点】KD:全等三角形的判定与性质;KK:等边三角形的性质;S9:相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】①根据等边三角形性质得出AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°,求出∠BCE=∠ACD,根据SAS推出两三角形全等即可;
②根据∠ABC=60°=∠BCD,求出AB∥CD,可推出△ABF∽△DNF,找不出全等的条件;
③根据角的关系可以求得∠AFB=60°,可求得MFN=120°,根据∠BCD=60°可解题;
④根据CM=CN,∠MCN=60°,可求得∠CNM=60°,可判定MN∥AE,可求得==,可解题.
【解答】证明:①∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°,[来源:学_科_网]
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,
即∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中,
,
∴△BCE≌△ACD(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,∠CAD=∠CBE,
在△DMC和△ENC中,
,
∴△DMC≌△ENC(ASA),
∴DM=EN,CM=CN,
∴AD﹣DM=BE﹣EN,即AM=BN;
②∵∠ABC=60°=∠BCD,
∴AB∥CD,
∴∠BAF=∠CDF,
∵∠AFB=∠DFN,
∴△ABF∽△DNF,找不出全等的条件;
③∵∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°,∠FBC=∠CAF,
∴∠AFB+∠ABC+∠BAC=180°,
∴∠AFB=60°,
∴∠MFN=120°,
∵∠MCN=60°,
∴∠FMC+∠FNC=180°;
④∵CM=CN,∠MCN=60°,
∴△MCN是等边三角形,
∴∠MNC=60°,
∵∠DCE=60°,
∴MN∥AE,
∴==,
∵CD=CE,MN=CN,
∴=,
∴=1﹣,[来源:Zxxk.Com]
两边同时除MN得=﹣,
∴=.
故答案为①③④
【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,考查了平行线的运用,考查了正三角形的判定,本题属于中档题.
三、解答题:(本大题共8小题,共72分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)(1)计算:(2019﹣)0﹣2﹣1+|﹣1|+sin245°
(2)化简:÷(+)
【考点】2C:实数的运算;6C:分式的混合运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.菁优网版权所有
【分析】(1)先根据0指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值,计算出(2019﹣)0、2﹣1、sin245°的值,再加减;
(2)先算括号里面的加法,再把除法转化为乘法,求出结果.
【解答】解:(1)原式=1﹣+1+()2
=2﹣+
=2
(2)原式=÷
=×
=y.
【点评】
本题考查了零指数、负整数指数幂的意义,特殊角的三角函数值、分式的混合运算等知识点,题目难度不大,综合性较强,是中考热点题型.a0=1(a≠0);
a﹣p=(a≠0).
18.(6分)如图,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.求证:∠C=∠E.
【考点】KD:全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE,可得∠C=∠E.
【解答】证明:∵∠BAE=∠DAC
∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE
∴∠CAB=∠EAD,且AB=AD,AC=AE
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∴∠C=∠E
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,证明∠CAB=∠EAD是本题的关键.
19.(8分)某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛,分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖.现对三个年级同学的获奖情况进行了统计,其中获得纪念奖有17人,获得三等奖有10人,并制作了如图不完整的统计图.
(1)求三个年级获奖总人数;
(2)请补全扇形统计图的数据;
(3)在获一等奖的同学中,七年级和八年级的人数各占,其余为九年级的同学,现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛,通过列表或者树状图的方法,求所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概率.
【考点】VB:扇形统计图;X6:列表法与树状图法.菁优网版权所有
【分析】(1)由获得纪念奖的人数及其所占百分比可得答案;
(2)先求出获得三等奖所占百分比,再根据百分比之和为1可得一等奖对应百分比,从而补全图形;
(3)画树状图(用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生)展示所有12种等可能的结果数,再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数,然后利用概率公式求解.
【解答】解:(1)三个年级获奖总人数为17÷34%=50(人);
(2)三等奖对应的百分比为×100%=20%,
则一等奖的百分比为1﹣(14%+20%+34%+24%)=8%,
补全图形如下:
(3)由题意知,获一等奖的学生中,七年级有1人,八年级有1人,九年级有2人,
画树状图为:(用A、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生)
共有12种等可能的结果数,其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4,
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率为.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.也考查了统计图.
20.(8分)甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物.已知A、C两城相距450千米,B、C两城的路程为440千米,甲车比乙车的速度快10千米/小时,甲车比乙车早半小时到达C城.求两车的速度.
【考点】B7:分式方程的应用.菁优网版权所有
【分析】设乙车的速度为x千米/时,则甲车的速度为(x+10)千米/时,路程知道,且甲车比乙车早半小时到达C城,以时间做为等量关系列方程求解.[来源:Z#xx#k.Com]
【解答】解:设乙车的速度为x千米/时,则甲车的速度为(x+10)千米/时.
根据题意,得:+=,
解得:x=80,或x=﹣110(舍去),
∴x=80,
经检验,x=,80是原方程的解,且符合题意.
当x=80时,x+10=90.
答:甲车的速度为90千米/时,乙车的速度为80千米/时.
【点评】本题考查分式方程的应用、分式方程的解法,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.根据时间=,列方程求解.
21.(8分)如图,为了测得某建筑物的高度AB,在C处用高为1米的测角仪CF,测得该建筑物顶端A的仰角为45°,再向建筑物方向前进40米,又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)
【考点】TA:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.菁优网版权所有
【分析】设AM=x米,根据等腰三角形的性质求出FM,利用正切的定义用x表示出EM,根据题意列方程,解方程得到答案.
【解答】解:设AM=x米,
在Rt△AFM中,∠AFM=45°,
∴FM=AM=x,
在Rt△AEM中,tan∠AEM=,
则EM==x,
由题意得,FM﹣EM=EF,即x﹣x=40,
解得,x=60+20,
∴AB=AM+MB=61+20,
答:该建筑物的高度AB为(61+20)米.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
22.(10分)如图,已知反比例函数y=(k>0)的图象和一次函数y=﹣x+b的图象都过点P(1,m),过点P作y轴的垂线,垂足为A,O为坐标原点,△OAP的面积为1.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M,过M作x轴的垂线,垂足为B,求五边形OAPMB的面积.
【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有
【分析】(1)根据系数k的几何意义即可求得k,进而求得P(1,2),然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式;
(2)设直线y=﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点,求出点C、D的坐标,然后联立方程求得P、M的坐标,最后根据S五边形=S△COD﹣S△APD﹣S△BCM,根据三角形的面积公式列式计算即可得解;
【解答】解:(1)∵过点P作y轴的垂线,垂足为A,O为坐标原点,△OAP的面积为1.
∴S△OPA=|k|=1,
∴|k|=2,
∵在第一象限,
∴k=2,
∴反比例函数的解析式为y=;
∵反比例函数y=(k>0)的图象过点P(1,m),
∴m==2,
∴P(1,2),
∵次函数y=﹣x+b的图象过点P(1,2),
∴2=﹣1+b,解得b=3,
∴一次函数的解析式为y=﹣x+3;
(2)设直线y=﹣x+3交x轴、y轴于C、D两点,
∴C(3,0),D(0,3),
解得或,
∴P(1,2),M(2,1),
∴PA=1,AD=3﹣2=1,BM=1,BC=3﹣2=1,
∴五边形OAPMB的面积为:S△COD﹣S△BCM﹣S△ADP=×3×3﹣×1×1﹣×1×1=.
[来源:学,科,网]
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积以及反比例函数系数k的几何意义,求得交点坐标是解题的关键.
23.(10分)如图,线段AB经过⊙O的圆心O,交⊙O于A、C两点,BC=1,AD为⊙O的弦,连结BD,∠BAD=∠ABD=30°,连结DO并延长交⊙O于点E,连结BE交⊙O于点M.
(1)求证:直线BD是⊙O的切线;[来源:学科网ZXXK]
(2)求⊙O的半径OD的长;
(3)求线段BM的长.
【考点】M5:圆周角定理;ME:切线的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO=30°,求出∠DOB=60°,求出∠ODB=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)根据直角三角形的性质得到OD=OB,于是得到结论;
(3)解直角三角形得到DE=2,BD=,根据勾股定理得到BE==,根据切割线定理即可得到结论.
【解答】(1)证明:∵OA=OD,∠A=∠B=30°,
∴∠A=∠ADO=30°,
∴∠DOB=∠A+∠ADO=60°,
∴∠ODB=180°﹣∠DOB﹣∠B=90°,
∵OD是半径,
∴BD是⊙O的切线;
(2)∵∠ODB=90°,∠DBC=30°,
∴OD=OB,
∵OC=OD,
∴BC=OC=1,
∴⊙O的半径OD的长为1;
(3)∵OD=1,
∴DE=2,BD=,
∴BE==,
∵BD是⊙O的切线,BE是⊙O 的割线,
∴BD2=BM•BE,
∴BM===.
【点评】本题考查了切线的判定和性质,圆周角定理,直角三角形的性质,勾股定理,切割线定理,正确的识别图形是解题的关键.
24.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,﹣3)、B(3,0)两点,该抛物线的顶点为C.
(1)求此抛物线和直线AB的解析式;
(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点,当△PAB面积最大时,求点P的坐标,并求△PAB面积的最大值.
【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)将A(0,﹣3)、B(3,0)两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解;
(2)先求出C点坐标和E点坐标,则CE=2,分两种情况讨论:①若点M在x轴下方,四边形CEMN为平行四边形,则CE=MN,②若点M在x轴上方,四边形CENM为平行四边形,则CE=MN,设M(a,a﹣3),则N(a,a2﹣2a﹣3),可分别得到方程求出点M的坐标;
(3)如图,作PG∥y轴交直线AB于点G,设P(m,m2﹣2m﹣3),则G(m,m﹣3),可由,得到m的表达式,利用二次函数求最值问题配方即可.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2﹣2x+c经过A(0,﹣3)、B(3,0)两点,
∴,
∴,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,
∵直线y=kx+b经过A(0,﹣3)、B(3,0)两点,
∴,解得:,
∴直线AB的解析式为y=x﹣3,
(2)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴抛物线的顶点C的坐标为(1,﹣4),
∵CE∥y轴,
∴E(1,﹣2),
∴CE=2,
①如图,若点M在x轴下方,四边形CEMN为平行四边形,则CE=MN,
设M(a,a﹣3),则N(a,a2﹣2a﹣3),
∴MN=a﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)=﹣a2+3a,
∴﹣a2+3a=2,
解得:a=2,a=1(舍去),
∴M(2,﹣1),
②如图,若点M在x轴上方,四边形CENM为平行四边形,则CE=MN,
设M(a,a﹣3),则N(a,a2﹣2a﹣3),
∴MN=a2﹣2a﹣3﹣(a﹣3)=a2﹣3a,
∴a2﹣3a=2,
解得:a=,a=(舍去),
∴M(,),
综合可得M点的坐标为(2,﹣1)或().
(3)如图,作PG∥y轴交直线AB于点G,
设P(m,m2﹣2m﹣3),则G(m,m﹣3),
∴PG=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,
∴S△PAB=S△PGA+S△PGB===﹣,
∴当m=时,△PAB面积的最大值是,此时P点坐标为().
【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,二次函数求最值问题,以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题.
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日期:2019/7/29 11:36:38;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509
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