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  • 2021-11-10 发布

中考数学复习专题十四:几何与函数问题

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中考数学复习专题14 几何与函数问题 ‎【知识纵横】 ‎ 客观世界中事物总是相互关联、相互制约的。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题,对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性,通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式,进一步研究几何的性质,沟通函数与几何的有机联系,可以培养学生的数形结合的思想方法。 ‎【典型例题】 ‎【例1】(上海市)已知,,(如图).是射线上的动点(点与点不重合),是线段的中点. ‎(1)设,的面积为,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域; ‎(2)如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,求线段的长; B A D M E C B A D C 备用图 ‎(3)联结,交线段于点,如果以为顶点的三角形与相似,求线段的长. ‎【思路点拨】(1)取中点,联结;(2)先求出 DE; (3)分二种情况讨论。 ‎【例2】(山东青岛)已知:如图(1),在中,,,,点由出发沿方向向点匀速运动,速度为1cm/s;点由出发沿方向向点匀速运动,速度为2cm/s;连接.若设运动的时间为(),解答下列问题: ‎(1)当为何值时,? ‎(2)设的面积为(),求与之间的函数关系式; ‎(3)是否存在某一时刻,使线段恰好把的周长和面积同时平分?若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由; A Q C P B ‎(4)如图(2),连接,并把沿翻折,得到四边形,那么是否存在某一时刻,使四边形为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由. A Q C P B ‎ 图(1) 图(2) ‎【思路点拨】(1)设BP为t,则AQ = 2t,证△APQ ∽△ABC;(2)过点P作PH⊥AC于H. ‎(3)构建方程模型,求t;(4)过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,若四边形PQP ′ C是菱形,那么构建方程模型后,能找到对应t的值。 ‎【例3】(山东德州)如图(1),在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x. ‎(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; ‎(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切? ‎(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少? A B C M N P O A B C M N D O A B C M N P O ‎ 图(1) 图(2) 图(3) ‎【思路点拨】(1)证△AMN ∽ △ABC;(2)设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,先求出OD(用x的代数式表示),再过M点作MQ⊥BC 于Q,证△BMQ∽△BCA;‎ ‎(3)先找到图形娈化的分界点,=2。然后 分两种情况讨论求的最大值: ① 当0<≤2时, ② 当2<<4时。 ‎【学力训练】 ‎1、(山东威海) 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F. C D A B E F N M ‎(1)求梯形ABCD的面积; ‎(2)求四边形MEFN面积的最大值. ‎(3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能, 求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由. A B C D E R P H Q ‎2、(浙江温州市)如图,在中,,,,分别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过点作交于,当点与点重合时,点停止运动.设,. ‎(1)求点到的距离的长; ‎(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); ‎(3)是否存在点,使为等腰三角形?若存在, 请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由. ‎3、(湖南郴州)如图,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为 BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F. FE与DC的延长线相交于点G,连结DE,DF.. ‎(1) 求证:ΔBEF ∽ΔCEG. ‎(2) 当点E在线段BC上运动时,△BEF和 ‎△CEG的周长之间有什么关系?并说明你的理由. ‎(3)设BE=x,△DEF的面积为 y,请你求 出y和x之间的函数关系式,并求出当x为何 值时,y有最大值,最大值是多少? ‎4、(浙江台州)如图,在矩形中,,,点是边上的动点(点不与点,点重合),过点作直线,交边于点,再把沿着动直线对折,点的对应点是点,设的长度为,与矩形重叠部分的面积为. ‎(1)求的度数; ‎(2)当取何值时,点落在矩形的边上? ‎(3)①求与之间的函数关系式; ‎②当取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的? D Q C B P R A B A D C ‎(备用图1)‎ B A D C ‎(备用图2)‎ 参考答案 ‎【典型例题】 ‎【例1】(上海市)(1)取中点,联结, 为的中点,,. 又,. ‎,得; ‎(2)由已知得. 以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切, ‎,即. 解得,即线段的长为; ‎(3)由已知,以为顶点的三角形与相似, 又易证得. 由此可知,另一对对应角相等有两种情况:①;②. ‎①当时,,.. ‎,易得.得; ‎②当时,,. ‎.又,. ‎,即,得. 解得,(舍去).即线段的长为2. 综上所述,所求线段的长为8或2. 图①‎ B A Q P C H ‎【例2】(山东青岛)(1)在Rt△ABC中,,‎ 由题意知:AP = 5-t,AQ = 2t,‎ 若PQ∥BC,则△APQ ∽△ABC,‎ ‎∴,∴,∴. ‎ ‎(2)过点P作PH⊥AC于H.‎ ‎∵△APH ∽△ABC,‎ ‎∴,∴,∴,‎ ‎∴.  ‎ ‎(3)若PQ把△ABC周长平分,则AP+AQ=BP+BC+CQ.‎ ‎∴, 解得:.‎ 若PQ把△ABC面积平分,则, 即-+3t=3.‎ ‎∵ t=1代入上面方程不成立, ‎ ‎∴不存在这一时刻t,使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分.‎ P ′‎ B A Q P C 图②‎ M N ‎(4)过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,‎ 若四边形PQP ′ C是菱形,那么PQ=PC.‎ ‎∵PM⊥AC于M,∴QM=CM.‎ ‎∵PN⊥BC于N,易知△PBN∽△ABC.‎ ‎∴, ∴,‎ ‎∴, ∴,‎ ‎∴,解得:.‎ ‎∴当时,四边形PQP ′ C 是菱形. ‎ 此时, ,‎ 在Rt△PMC中,,‎ ‎∴菱形PQP ′ C边长为.‎ ‎【例3】(山东德州)(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ‎ ‎ ∴ △AMN ∽ △ABC.‎ ‎∴ ,即.‎ ‎∴ AN=x. ‎ ‎∴ =.(0<<4) ‎ ‎(2)如图(2),设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =MN.‎ A B C M N D 图( 2)‎ O Q 在Rt△ABC中,BC ==5.‎ ‎ 由(1)知 △AMN ∽ △ABC. ‎ ‎∴ ,即. ‎ ‎∴ ,‎ A B C M N P 图 (1)‎ O ‎∴ .过M点作MQ⊥BC 于Q,则. ‎ 在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,‎ ‎∴ △BMQ∽△BCA.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ,. ‎ ‎∴ x=. ‎ ‎∴当x=时,⊙O与直线BC相切. ‎ ‎(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.‎ A B C M N P 图 (3)‎ O ‎∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.‎ ‎∴ △AMO ∽ △ABP. ‎ ‎∴ . AM=MB=2. ‎ 故以下分两种情况讨论: ‎ ‎① 当0<≤2时,. ‎ A B C M N P 图 ( 4)‎ O E F ‎∴ 当=2时, ‎ ‎② 当2<<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.‎ ‎∵ 四边形AMPN是矩形, ‎ ‎∴ PN∥AM,PN=AM=x. ‎ 又∵ MN∥BC, ‎ ‎∴ 四边形MBFN是平行四边形. ‎ ‎∴ FN=BM=4-x. ‎ ‎∴ . ‎ 又△PEF ∽ △ACB. ‎ ‎∴ .∴ .‎ ‎ =.‎ 当2<<4时,. ‎ ‎∴ 当时,满足2<<4,. ‎ 综上所述,当时,值最大,最大值是2.‎ ‎【例3】(山东德州)(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ‎ ‎ ∴ △AMN ∽ △ABC.‎ ‎∴ ,即.‎ ‎∴ AN=x. ‎ ‎∴ =.(0<<4) ‎ A B C M N D 图( 2)‎ O Q ‎(2)如图(2),设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =MN.‎ 在Rt△ABC中,BC ==5.‎ ‎ 由(1)知 △AMN ∽ △ABC. ‎ ‎∴ ,即. ‎ A B C M N P 图 (1)‎ O ‎∴ ,‎ ‎∴ .过M点作MQ⊥BC 于Q,则. ‎ 在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,‎ ‎∴ △BMQ∽△BCA.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ,. ∴ x=. ‎ ‎∴ 当x=时,⊙O与直线BC相切.‎ ‎(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.‎ A B C M N P 图 (3)‎ O ‎∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.‎ ‎∴ △AMO ∽ △ABP. ‎ ‎∴ . AM=MB=2. ‎ 故以下分两种情况讨论: ‎ ‎① 当0<≤2时,. ‎ ‎∴ 当=2时, ‎ A B C M N P 图 ( 4)‎ O E F ‎② 当2<<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.‎ ‎∵ 四边形AMPN是矩形, ‎ ‎∴ PN∥AM,PN=AM=x. ‎ 又∵ MN∥BC, ‎ ‎∴ 四边形MBFN是平行四边形. ‎ ‎∴ FN=BM=4-x. ‎ ‎∴ . ‎ 又△PEF ∽ △ACB. ‎ ‎∴ .∴ .‎ ‎ =.‎ 当2<<4时,. ‎ ‎∴ 当时,满足2<<4,. ‎ 综上所述,当时,值最大,最大值是2. ‎ ‎【学力训练】‎ ‎1、(山东威海)(1)分别过D,C两点作DG⊥AB于点G,CH⊥AB于点H. ‎ ‎∵ AB∥CD, ‎ ‎∴ DG=CH,DG∥CH. ‎ ‎∴ 四边形DGHC为矩形,GH=CD=1. ‎ C D A B E F N M G H ‎∵ DG=CH,AD=BC,∠AGD=∠BHC=90°,‎ ‎∴ △AGD≌△BHC(HL). ‎ ‎∴ AG=BH==3. ‎ ‎∵ 在Rt△AGD中,AG=3,AD=5, ‎ ‎∴ DG=4. ‎ ‎∴ . ‎ C D A B E F N M G H ‎(2)∵ MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB, ‎ ‎∴ ME=NF,ME∥NF. ‎ ‎∴ 四边形MEFN为矩形. ‎ ‎∵ AB∥CD,AD=BC, ‎ ‎∴ ∠A=∠B. ‎ ‎∵ ME=NF,∠MEA=∠NFB=90°, ‎ ‎∴ △MEA≌△NFB(AAS).‎ ‎∴ AE=BF. ‎ 设AE=x,则EF=7-2x. ‎ ‎∵ ∠A=∠A,∠MEA=∠DGA=90°, ‎ ‎∴ △MEA∽△DGA.‎ ‎∴ .∴ ME=. ‎ ‎ ∴ . ‎ 当x=时,ME=<4,∴四边形MEFN面积的最大值为.‎ ‎(3)能. ‎ 由(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=. ‎ 若四边形MEFN为正方形,则ME=EF. ‎ ‎ 即 7-2x.解,得 . ‎ ‎∴ EF=<4. ‎ ‎∴ 四边形MEFN能为正方形,其面积为. 00000000………….‎ ‎2、(浙江温州市)(1),,,.‎ 点为中点,.‎ ‎,.‎ ‎,‎ ‎,.‎ ‎(2),.‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 即关于的函数关系式为:.‎ ‎(3)存在,分三种情况:‎ A B C D E R P H Q M ‎2‎ ‎1‎ ‎①当时,过点作于,则.‎ ‎,,‎ ‎.‎ ‎,,‎ A B C D E R P H Q ‎,.‎ A B C D E R P H Q ‎②当时,,‎ ‎.‎ ‎③当时,则为中垂线上的点,‎ 于是点为的中点,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎,.‎ 综上所述,当为或6或时,为等腰三角形.‎ ‎3、(湖南郴州)(1) 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以 ‎ ‎ 所以 所以 ‎(2)的周长之和为定值.理由一:‎ 过点C作FG的平行线交直线AB于H ,‎ 因为GF⊥AB,所以四边形FHCG为矩形.所以 FH=CG,FG=CH 因此,的周长之和等于BC+CH+BH ‎ 由 BC=10,AB=5,AM=4,可得CH=8,BH=6,‎ 所以BC+CH+BH=24‎ 理由二:‎ 由AB=5,AM=4,可知 ‎ 在Rt△BEF与Rt△GCE中,有:‎ ‎,‎ 所以,△BEF的周长是, △ECG的周长是 又BE+CE=10,因此的周长之和是24.‎ ‎(3)设BE=x,则 所以配方得:‎ ‎. ‎ 所以,当时,y有最大值.最大值为.‎ ‎4、(浙江台州)(1)如图,四边形是矩形,.‎ 又,,,‎ ‎,.‎ ‎,.‎ ‎,.‎ ‎(2)如图(1),由轴对称的性质可知,,‎ D Q C B P R A ‎(图1)‎ ‎,.‎ 由(1)知,,‎ ‎,.‎ ‎,,.‎ 在中,根据题意得:,‎ 解这个方程得:.‎ ‎(3)①当点在矩形的内部或边上时,‎ ‎,,‎ ‎,当时,‎ 当在矩形的外部时(如图(2)),,‎ D Q C B P R A 图(2)‎ F E 在中,,‎ ‎,‎ 又,,‎ 在中,‎ ‎,.‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时,.‎ 综上所述,与之间的函数解析式是:.‎ ‎②矩形面积,当时,函数随自变量的增大而增大,所以的最大值是,而矩形面积的的值,‎ 而,所以,当时,的值不可能是矩形面积的;‎ 当时,根据题意,得:‎ ‎,解这个方程,得,因为,‎ 所以不合题意,舍去.‎ 所以.‎ 综上所述,当时,与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的.‎