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  • 2021-11-10 发布

中考数学解题指导专题18:动态几何之和差问题探讨

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1 【2013 年中考攻略】专题 18:动态几何之和差问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题,动态包括点动、线动和面动三大类,解这类题目要“以静制 动”,即把动态问题,变为静态问题来解,而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问 题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题进行了探讨, 本专题对和差问题进行探讨。 结合 2011 年和 2012 年全国各地中考的实例,我们从四方面进行动态几何之和差问题的探讨:(1)静 态和差问题;(2)和差为定值问题;(3)和差最大问题;( 4)和差最小问题。 一、静态和差问题: 典型例题: 例 1:(2012 海南省 3 分)如图,在△ABC 中,∠B 与∠C 的平分线交于点 O. 过 O 点作 DE∥BC,分别交 AB、AC 于 D、E.若 AB=5,AC=4,则△ADE 的周长是 ▲ . 【答案】9。 【考点】角平分线定义,平行线的性质,等腰三角形的判定。 【分析】∵OB 是∠B 的平分线,∴∠DBO=∠OBC。 又∵DE∥BC,∴∠OBC =∠BOD。∴∠DBO=∠BOD。∴DO=DB。 同理,EO=EC。 又∵AB=5,AC=4, ∴△ADE 的周长=AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9。 例 2:(2012 湖北荆门 3 分)如图,已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 ,将正方形 ABCD 沿直线 EF 折 叠,则图中阴影部分的周长为【 】 A. 8 B. 4 C. 8 D. 6 2 【答案】C。 【考点】翻折变换(折叠问题),折叠的对称性质,正方形的性质,勾股定理。 【分析】如图,∵正方形 ABCD 的对角线长为 2 2 ,即 BD=2 ,∠A=90°,AB=AD,∠ABD=45°, ∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2 22 =22 。 ∴AB=BC=CD=AD=2。 由折叠的性质:A′M=AM,D′N=DN,A′D′=AD, ∴图中阴影部分的周长为 A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。 故选 C。 例 3:(2012 四川内江 3 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=5 点 E、F 分别在 AB、CD 上,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1、 D1 处,则阴影部分图形的周长为【 】 A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】D。 【考点】翻折变换(折叠问题),矩形和折叠的性质。 【分析】根据矩形和折叠的性质,得 A1E=AE,A1D1=AD,D1F=DF,则阴影部分的周长即为矩形的周长, 为 2(10+5)=30。故选 D。 例 4:(2012 山东枣庄 3 分)如图:矩形 ABCD 的对角线 AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和 为【 】 A、14 B、16 C、20 D、28 3 【答案】D。 【考点】平移的性质,勾股定理。 【分析】由勾股定理,得 AB= 2 2 2 2AC BC 10 8 6    ,将五个小矩形的所有上边平移至 AD,所有下 边平移至 BC,所有左边平移至 AB,所有右边平移至 CD, ∴五个小矩形的周长之和=2(AB+CD)=2×(6+8)=28。故选 D。 例 5:(2012 湖北武汉 3 分)在面积为 15 的平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE 垂直于直线 BC 于点 E, 作 AF 垂直于直线 CD 于点 F,若 AB=5,BC=6,则 CE+CF 的值为【 】 A.11+11 3 2 B.11- C.11+ 或 11- D.11- 或1+ 3 2 【答案】C。 【考点】平行四边形的性质和面积,勾股定理。 【分析】依题意,有如图的两种情况。设 BE=x,DF=y。 如图 1,由 AB=5,BE=x,得 2 2 2AE AB BE 25 x    。 由平行四边形 ABCD 的面积为 15,BC=6,得 26 25 x =15 , 解得 53x= 2 (负数舍去)。 由 BC=6,DF=y,得 2 2 2AF AD DF 36 y    。 由平行四边形 ABCD 的面积为 15,AB=5,得 25 36 y =15 , 解得 y= 3 3 (负数舍去)。 ∴CE+CF=(6- 53 2 )+(5-33)=11-11 3 2 。 如图 2,同理可得 BE= 53 2 ,DF= 。 ∴CE+CF=(6+ )+(5+ )=11+ 。 故选 C。 例 6:(2012 山东枣庄 8 分)已知:如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2. (1)求证:AB=BC; (2)当 BE⊥AD 于 E 时,试证明:BE=AE+CD. 4 【答案】解:(1)证明:连接 AC。 ∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2。 ∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2。 ∵AD2+CD2=2AB2,∴AB2+BC2=2AB2。 ∴AB=BC。 (2)证明:过 C 作 CF⊥BE 于 F。 ∵BE⊥AD,∴四边形 CDEF 是矩形。∴CD=EF。 ∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF。 又∵AB=BC,∠BEA=∠CFB,∴△BAE≌△CBF(AAS)。 ∴AE=BF。 ∴BE=BF+EF =AE+CD。 【考点】勾股定理,矩形的性质,全等三角形的判定和性质。 【分析】(1)题目中存在直角,垂直,含线段平方的等式,因此考虑连接 AC,构造直角三角形,利用勾 股定理证明。 (2)可采用“截长”法证明,过点 C 作 CF⊥BE 于 F,易证 CD=EF,只需再证明 AE=BF 即可,这 一点又可通过全等三角形获证. 例 7:(2012 内蒙古呼和浩特 7 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,点 G 是 BC 边上任意一点,DE⊥AG 于 E,BF∥DE,交 AG 于 F. (1)求证:AF﹣BF=EF; (2)将△ABF 绕点 A 逆时针旋转,使得 AB 与 AD 重合,记此时点 F 的对应点为点 F′,若正方形边长为 3,求点 F′与旋转前的图中点 E 之间的距离. 5 【答案】(1)证明:如图,∵正方形 ABCD,∴AB=AD,∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°。 ∵DE⊥AG,∴∠AED=90°。∴∠EAD+∠ADE=90°。∴∠ADE=∠BAF。 又∵BF∥DE,∴∠AEB=∠AED=90°。 在△AED 和△BFA 中,∵∠AEB=∠AED,∠ADE=∠BAF,AD = AB。 ∴△AED≌△BDA(AAS)。 ∴BF=AE。 ∵AF﹣AE=EF,∴AF﹣BF=EF。 (2)解:如图, 根据题意知:∠FAF′=90°,DE=AF′=AF, ∴∠F′AE=∠AED=90°,即∠F′AE+∠AED=180°。 ∴AF′∥ED。∴四边形 AEDF′为平行四边形。 又∵∠AED=90°,∴四边形 AEDF′是矩形。 ∴EF′=AD=3。 ∴点 F′与旋转前的图中点 E 之间的距离为 3。 【考点】正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质。 【分析】(1)由四边形 ABCD 为正方形,可得出∠BAD 为 90°,AB=AD,进而得到∠BAG 与∠EAD 互余, 又 DE 垂直于 AG,得到∠EAD 与∠ADE 互余,根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF,利用 AAS 可 得出三角形 ABF 与三角形 ADE 全等,利用全等三角的对应边相等可得出 BF=AE,由 AF﹣AE=EF,等量 代换可得证。 (2)将△ABF 绕点 A 逆时针旋转,使得 AB 与 AD 重合,记此时点 F 的对应点为点 F′,连接 EF′, 如图所示,由旋转的性质可得出∠FAF′为直角,AF=AF′,由(1)的全等可得出 AF=DE,等量代换可得出 DE=AF′=AF,再利用同旁内角互补两直线平行得到 AF′与 DE 平行,根据一组对边平行且相等的四边形为 平行四边形可得出 AEDF′为平行四边形,再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出 AEDF′为矩形,根 据矩形的对角线相等可得出 EF′=AD,由 AD 的长即可求出 EF′的长。 例 8:(2012 重庆市 10 分)已知:如图,在菱形 ABCD 中,F 为边 BC 的中点,DF 与对角线 AC 交于点 M, 过 M 作 ME⊥CD 于点 E,∠1=∠2. (1)若 CE=1,求 BC 的长; (2)求证:AM=DF+ME. 6 【答案】解:(1)∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB∥CD。∴∠1=∠ACD。 ∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2。∴MC=MD。 ∵ME⊥CD,∴CD=2CE。 ∵CE=1,∴CD=2。∴BC=CD=2。 (2)证明:∵F 为边 BC 的中点,∴BF=CF= 1 2 BC。∴CF=CE。 ∵在菱形 ABCD 中,AC 平分∠BCD,∴∠ACB=∠ACD。 在△CEM 和△CFM 中,∵CE=CF,∠ACB=∠ACD,CM=CM, ∴△CEM≌△CFM(SAS), ∴ME=MF。 延长 AB 交 DF 于点 G, ∵AB∥CD,∴∠G=∠2。 ∵∠1=∠2,∴∠1=∠G。 ∴AM=MG。 在△CDF 和△BGF 中, ∵∠G=∠2,∠BFG=∠CFD,BF=CF,∴△CDF≌△BGF(AAS)。 ∴GF=DF。 由图形可知,GM=GF+MF,∴AM=DF+ME。 【考点】菱形的性质,平行的性质,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质。 【分析】(1)根据菱形的对边平行可得 AB∥D,再根据两直线平行,内错角相等可得∠1=∠ACD,所以 ∠ACD=∠2,根据等角对等边的性质可得 CM=DM,再根据等腰三角形三线合一的性质可得 CE=DE,然 后求出 CD 的长度,即为菱形的边长 BC 的长度。 (2)先利用 SAS 证明△CEM 和△CFM 全等,根据全等三角形对应边相等可得 ME=MF,延长 AB 交 DF 于点 G,然后证明∠1=∠G,根据等角对等边的性质可得 AM=GM,再利用 AAS 证明△CDF 和 △BGF 全等,根据全等三角形对应边相等可得 GF=DF,最后结合图形 GM=GF+MF 即可得证。 例 9:(2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分)如图,线段 AC=n+1(其中 n 为正整数),点 B 在线 段 AC 上,在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF,连接 AM、ME、EA 得到△AME.当 AB=1 7 时,△AME 的面积记为 S1;当 AB=2 时,△AME 的面积记为 S2;当 AB=3 时,△AME 的面积记为 S3;…; 当 AB=n 时,△AME 的面积记为 Sn.当 n≥2 时,Sn﹣Sn﹣1= ▲ . 例 10:(2012 贵州铜仁 4 分)如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E,过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M,交 AC 于 N,若 BM+CN=9,则线段 MN 的长为【 】 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D。 【考点】角平分线的定义,平行线的性质,等腰三角形的判定和性质。 【分析】∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 E,∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB, ∵MN∥BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB。∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN。 ∴BM=ME,EN=CN。∴MN=ME+EN,即 MN=BM+CN。 ∵BM+CN=9∴MN=9。故选 D。 8 例 11:(2012 广东梅州 3 分)如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点 D、E 分别是边 AB、 AC 上,将△ABC 沿着 DE 折叠压平,A 与 A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=【 】 A.150° B.210° C.105° D.75° 【答案】A。 【考点】翻折变换(折叠问题),三角形内角和定理。 【分析】∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成,∴∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,∠A=∠A′=75°。 ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°,∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。 故选 A。 例 12:(2012 湖北孝感 3 分)已知∠α 是锐角,∠α 与∠β 互补,∠α 与∠γ 互余,则∠β-∠γ 的值是【 】 A.45º B.60º C.90º D.180º 【答案】C。 【考点】余角和补角、 【分析】根据互余两角之和为 90°,互补两角之和为 180°,结合题意即可得出答案: 由题意得,∠α+∠β=180°,∠α+∠γ=90°, 两式相减可得:∠β-∠γ=90°。故选 C。 例 13:( 2012 湖南长沙 3 分)如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= ▲ 度. 【答案】360。 【考点】平行线的性质。 【分析】∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°…①。 ∵CD∥EF,∴∠CEF+∠ECD=180°…②。 ①+②得,∠BAC+∠ACD+∠CEF+∠ECD=180°+180°=360°,即∠BAC+∠ACE+∠CEF=3 60°。 9 练习题: 1. (2012 辽宁本溪 3 分)如图 在直角△ABC 中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE 是 AB 边的垂直平分 线,垂足为 D,交边 BC 于点 E,连接 AE,则△ACE 的周长为【 】 A、16 B、15 C、14 D、13 2. (2012 吉林省 3 分)如图,在等边△ABC 中,D 是边 AC 上一点,连接 BD.将△BCD 绕点 B 逆时 针旋转 60°得到△BAE,连接 ED.若 BC=10,BD=9,则△AED 的周长是_ ▲____. 3. (2012 福建龙岩 3 分)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC = BC = 6,E 是斜边 AB 上任意一点,作 EF⊥AC 于 F,EG⊥BC 于 G,则矩形 CFEG 的周长是 ▲ . 4. (2012 福建宁德 4 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=3,点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的各边上,EF∥HG,EH∥FG,则四边形 EFGH 的周长是【 】 A. 10 B. 13 C.2 10 D.2 13 5. (2012 内蒙古包头 10 分)如图,已知 AB 为⊙O 的直径,过⊙O 上的点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E , AD⊥EC 于点 D 且交⊙O 于点 F ,连接 BC , CF , AC 。 (1)求证:BC=CF; 10 (2)若 AD=6 , DE=8 ,求 BE 的长; (3)求证:AF + 2DF = AB。 6. (2012 山东东营 10 分) (1)如图 1,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,F 是 AD 延长线上一点,且 DF=BE.求证:CE=CF; (2)如图 2,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,G 是 AD 上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1) 的结论证明:GE=BE+GD. (3)运用(1)( 2)解答中所积累的经验和知识,完成下题: 如图 3,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC(BC>AD), ∠B=90°,AB=BC,E 是 AB 上一点,且∠DCE =45°,BE=4,DE=10, 求直角梯形 ABCD 的面积. 7. (2012黑龙江牡丹江8分)如图①,△ABC中。AB=AC,P 为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC, CH⊥AB, 垂足分别为 E、F、H.易证 PE+PF=CH.证明过程如下: 11 (1)如图②,P 为 BC 延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH 又有怎样的数量网]关系?请写出你的 猜想,并加以证明: (2)填空:若∠A=300,△ABC 的面积为 49,点 P 在直线 BC上,且 P 到直线 AC 的距离为 PF,当 PF=3 时,则 AB 边上的高 CH= .点 P 到 AB 边的距离 PE= 8. (2012 江苏南通 3 分)如图,在△ABC 中,∠C=70º,沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2=【 】 A.360º B.250º C.180º D.140º 9.(2012 江苏南京 2 分)如图, 1 、 2 、 3 、 4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角,若 2A 10  ,则 1 2 3 4     ▲ 12 10.(2012 四川绵阳 3 分)如图,将等腰直角三角形虚线剪去顶角后,∠1+∠2=【 】。 A.225° B.235° C.270° D.与虚线的位置有关 11.(2012 四川凉山 4 分)如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β 的度数是【 】 A.180 B. 220 C. 240 D.300 二、和差为定值问题: 典型例题: 例 1: (2012 广西崇左 10 分)如图所示,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、CD 上移动,但点 A 到 EF 的距离 AH 始终保持与 AB 的长度相等,问在点 E、F 移动过程中; (1)∠EAF 的大小是否发生变化?请说明理由. (2)△ECF 的周长是否发生变化?请说明理由. 【答案】解:(1)∠EAF 的大小不会发生变化。理由如下: 在正方形 ABCD 中,∵AH⊥EF,∴∠AHF=∠D=90°, 13 ∵AF=AF,AH=AD,∴Rt△AHF≌Rt△ADF(HL)。∴∠HAF=∠DAF。 同理 Rt△AHE≌Rt△ABE,∠HAE=∠BAE。 ∵∠HAF+∠DAF+∠HAE+∠BAE=90°,∴∠EAF=∠HAF+∠HAE=45°。 ∴∠EAF 的大小不会发生变化。 (2)△ECF 的周长不会发生变化。理由如下: 由(1)知:Rt△AHF≌Rt△ADF, Rt△AHE≌Rt△ABE, ∴FH=FD,EH=EB。∴EF=EH+FH=EB+FD。 ∴CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。 ∴CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。 【考点】正方形的性质,动点和定值问题,全等三角形的判定和性质。 【分析】(1)由 HL 证得 Rt△AHF≌Rt△ADF 和 Rt△AHE≌Rt△ABE 即可得∠EAF=∠HAF+∠HAE=45°, 即∠EAF 的大小不会发生变化。 (2)由(1)两个全等即可得 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD,即 CE+CF+EF= CE+CF+ EB+FD=BC+CD。 【点评】第二问,△ECF 的周长即 CE+CF+EF 为定值:正方形 ABCD 边长的 2 倍。 例 2:(2012 山东德州 12 分)如图所示,现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD,点 P 为正方形 AD 边上 的一点(不与点 A、点 D 重合)将正方形纸片折叠,使点 B 落在 P 处,点 C 落在 G 处,PG 交 DC 于 H, 折痕为 EF,连接 BP、BH. (1)求证:∠APB=∠BPH; (2)当点 P 在边 AD 上移动时,△PDH 的周长是否发生变化?并证明你的结论; (3)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,求出 S 与 x 的函数关系式,试问 S 是否存在最小值?若存在, 求出这个最小值;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)如图 1,∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB. 又∵∠EPH=∠EBC=90°, 14 ∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP,即∠PBC=∠BPH。 又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。 (2)△PHD 的周长不变为定值 8。证明如下: 如图 2,过 B 作 BQ⊥PH,垂足为 Q。 由(1)知∠APB=∠BPH, 又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP, ∴△ABP≌△QBP(AAS)。 ∴AP=QP,AB=BQ。 又∵AB=BC,∴BC=BQ。 又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH, ∴△BCH≌△BQH(HL)。 ∴CH=QH。 ∴△PHD 的周长为: PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 (3)如图 3,过 F 作 FM⊥AB,垂足为 M,则 FM=BC=AB。 又∵EF 为折痕,∴EF⊥BP。 ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。 ∴∠EFM=∠ABP。 又∵∠A=∠EMF=90°,AB=ME, ∴△EFM≌△BPA(ASA)。 ∴EM=AP=x. ∴在 Rt△APE 中,(4﹣BE)2+x2=BE2,即 2xBE 2+ 8 。 ∴ 2xCF BE EM 2+ x8    。 又∵四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等, ∴     2 221 1 x 1 1S BE CF BC= 4+ x 4= x 2x+8= x 2 +62 2 4 2 2          。 ∵ 1042<<,∴当 x=2 时,S 有最小值 6。 【考点】翻折变换(折叠问题),正方形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,二 次函数的最值。 【分析】(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC 即可得 出答案。 15 (2)先由 AAS 证明△ABP≌△QBP,从而由 HL 得出△BCH≌△BQH,即可得 CH=QH。因此, △PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。 (3)利用已知得出△EFM≌△BPA,从而利用在 Rt△APE 中,(4﹣BE)2+x2=BE2,利用二次函数 的最值求出即可。 例 3:(2012 黑龙江绥化 8 分)如图,点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点,且 BE=BC,AB=3,BC=4, 点 P 为直线 EC 上的一点,且 PQ⊥BC 于点 Q,PR⊥BD 于点 R. (1)如图 1,当点 P 为线段 EC 中点时,易证:PR+PQ= 5 12 (不需证明). (2)如图 2,当点 P 为线段 EC 上的任意一点(不与点 E、点 C 重合)时,其它条件不变,则(1)中的 结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由. (3)如图 3,当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时,其它条件不变,则 PR 与 PQ 之间又具有怎样的 数量关系?请直接写出你的猜想. 【答案】解:(2)图 2 中结论 PR+PQ=12 5 仍成立。证明如下: 连接 BP,过 C 点作 CK⊥BD 于点 K。 ∵四边形 ABCD 为矩形,∴∠BCD=90°。 又∵CD=AB=3,BC=4,∴ 2 2 2 2BD CD BC 3 4 5     。 ∵S△BCD= 1 2 BC•CD= BD•CK,∴3×4=5CK,∴CK= 。 ∵S△BCE= BE•CK,S△BEP= PR•BE,S△BCP= PQ•BC,且 S△BCE=S△BEP+S△BCP, ∴ BE•CK= PR•BE+ PQ•BC。 又∵BE=BC,∴ CK= PR+ PQ。∴CK=PR+PQ。 又∵CK= ,∴PR+PQ= 。 16 (3)图 3 中的结论是 PR-PQ=12 5 . 【考点】矩形的性质,三角形的面积,勾股定理。 【分析】(2)连接 BP,过 C 点作 CK⊥BD 于点 K.根据矩形的性质及勾股定理 求出 BD 的长,根据三角形面积相等可求出 CK 的长,最后通过等量代换即可证 明。 (3)图 3 中的结论是 PR-PQ=125 。 连接 BP,S△BPE-S△BCP=S△BEC,S△BEC 是固定值,BE=BC 为两个 底,PR,PQ 分别为高,从而 PR-PQ= 。 例 4:(2012 山东潍坊 11 分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于 A(-2,O)、B(2,0)、C(0,-l)三点, 过坐标原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点.分别过点 C、D(0,- 2)作平行于 x 轴的直线 1l 、 2l . (1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 相切; (3)求线段 MN 的长(用 k 表示),并证明 M、N 两点到直线 的距离之和等于线段 MN 的长. 【答案】解:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c, 则 4a 2b+c=0 4a+2b+c=0 c= 1     解得 1a= 4 b=0 c= 1        。 ∴抛物线对应二次函数的解析式 所以 21y= x 14  。 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),因为点 M、N 在抛物线上, ∴ 22 1 1 2 2 11y = x 1 y = x 144, ,∴x2 2=4(y2+1)。 17 又∵    22 2 2 2 2 2 2 2 2ON x y 4 y 1 y y 2       ,∴ 2ON y 2。 又∵y2≥-l,∴ON=2+y2。 设 ON 的中点 E,分别过点 N、E 向直线 1l 作垂线,垂 足为 P、F, 则 22yOC NPEF 22 , ∴ON=2EF, 即 ON 的中点到直线 的距离等于 ON 长度的一半, ∴以 ON 为直径的圆与 相切。 (3)过点 M 作 MH⊥NP 交 NP 于点 H,则    222 2 2 2 1 2 1MN MH NH x x y y      , 又∵y1=kx1,y2=kx2,∴(y2-y1)2=k2(x2-x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2 一 xl)2。 又∵点 M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上, ∴ 21kx= x 14  ,即 x2-4kx-4=0,∴x2+x1=4k,x2·x 1=-4。 ∴MN2=(1+k2)(x2 一 xl)2=(1+k2)[ (x2+xl)2-4x2·x l] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。 延长 NP 交 2l 于点 Q,过点 M 作 MS⊥ 交 于点 S, 则 MS+NQ=y1+2+y2+2= 22 12 11x 1+ x 1+444        22 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1= x +x +2= x +x 2x x +2= 16k +8 +2=4k +4=4 1+k4 4 4  ∴MS+NQ=MN,即 M、N 两点到 距离之和等于线段 MN 的长。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,中点坐标的求法,直线与圆相切 的条件,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理。 【分析】(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的 解析式。 (2)要证以 ON 为直径的圆与直线 1l 相切,只要证 ON 的中点到直线 的距离等于 ON 长的一半 即可。 (3)运用一元二次方程根与系数的关系,求出 MN 和 M、N 两点到直线 2l 的距离之和,相比较即 可。 例 5:(2012 江苏苏州 9 分)如图,正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合,将正方形 ABCD 18 以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动,移动开始前点 A 与点 F 重合.在移动过程中,边 AD 始终与边 FG 重合, 连接 CG,过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P,连接 PD.已知正方形 ABCD 的边长为 1cm,矩形 EFGH 的边 FG、GH 的长分别为 4cm、3cm.设正方形移动时间为 x(s),线段 GP 的长为 y(cm),其中 0≤x≤2.5. ⑴试求出 y 关于 x 的函数关系式,并求出 y =3 时相应 x 的值; ⑵记△DGP 的面积为 S1,△CDG 的面积为 S2.试说明 S1-S2 是常数; ⑶当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时,求线段 PD 的长. 【答案】解:(1)∵CG∥AP,∴∠CGD=∠PAG,则 tan CGD=tan PAG。∴ CD PG=GD AG 。 ∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,∴GD=3-x,AG=4-x。 ∴ 1y=3 x 4 x ,即 4xy= 3x   。∴y 关于 x 的函数关系式为 。 当 y =3 时, 4x3= 3x   ,解得:x=2.5。 (2)∵    12 1 1 4 x 1 1 1 1 3S = GP GD= 3 x x+2 S = GD CD= 3 x 1 x+2 2 3 x 2 2 2 2 2               , , ∴ 12 1 1 3 1S S = x+2 x+2 2 2 2               为常数。 (3)延长 PD 交 AC 于点 Q. ∵正方形 ABCD 中,AC 为对角线,∴∠CAD=45°。 ∵PQ⊥AC,∴∠ADQ=45°。 ∴∠GDP=∠ADQ=45°。 ∴△DGP 是等腰直角三角形,则 GD=GP。 ∴ 4x3 x= 3x   ,化简得: 2x 5x+5=0 ,解得: 55x= 2  。 ∵0≤x≤2.5,∴ 55x= 2  。 19 在 Rt△DGP 中,  0 GD 5 5 2+ 10PD= = 2 3 x = 2 3 =22cos45  。 【考点】正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,锐 角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】(1)根据题意表示出 AG、GD 的长度,再由 tan CGD=tan PAG可解出 x 的值。 (2)利用(1)得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1、S2,然后作差即可。 (3)延长 PD 交 AC 于点 Q,然后判断△ DGP 是等腰直角三角形,从而结合 x 的范围得出 x 的 值,在 Rt△DGP 中,解直角三角形可得出 PD 的长度。 练习题: 1. (广东广州 14 分)已知关于 x 的二次函数  2 0y ax bx c a  = 的图象经过点 C(0,1),且与 轴交 于不同的两点 A、B,点 A 的坐标是(1,0) (1)求 c 的值; (2)求 a 的取值范围; (3)该二次函数的图象与直线 y =1 交于 C、D 两点,设 A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相交于 点 P,记△PCD 的面积为 S1,△PAB 的面积为 S2,当 0< <1 时,求证:S1﹣S2 为常数,并求出该常数. 2. (2011 湖南岳阳 8 分)如图①,将菱形纸片 AB(E)CD(F)沿对角线 BD(EF)剪开,得到△ABD 和△ECF,固定△ABD,并把△ABD 与△ECF 叠放在一起. (1)操作:如图②,将△ECF 的顶点 F 固定在△ABD 的 BD 边上的中点处,△ECF 绕点 F 在 BD 边上方 左右旋转,设旋转时 FC 交 BA 于点 H(H 点不与 B 点重合),FE 交 DA 于点 G(G 点不与 D 点重合). 求证:BH•GD=BF2 (2)操作:如图③,△ECF 的顶点 F 在△ABD 的 BD 边上滑动(F 点不与 B、D 点重合),且 CF 始终经 过点 A,过点 A 作 AG∥CE,交 FE 于点 G,连接 DG. 探究:FD+DG= .请予证明. 20 3. (2011 福建莆田 10 分) 如图,将—矩形 OABC 放在直角坐际系中,O 为坐标原点.点 A 在 x 轴正半 轴上.点 E 是边 AB 上的—个动点(不与点 A、N 重合),过点 E 的反比例函数 ( 0)kyxx的图象与边 BC 交于点 F。 (1)(4 分)若△OAE、△OCF 的而积分别为 S1、S2.且 S1+S2=2,求 k 的值: (2)(6 分) 若 OA=2.0C=4.问当点 E 运动到什么位置时,四边形 OAEF 的面积最大.其最大值为多少? 4. (2011 黑龙江龙东五市 8 分)如图,点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点,且 BE=BC,AB=3, BC=4,点 P 为直线 EC 上的一点,且 PQ⊥BC 于点 Q,PR⊥BD 于点 R。 (1)如图 1,当点 P 为线段 EC 中点时,易证:PR+PQ= 5 12 (不需证明)。 (2)如图 2,当点 P 为线段 EC 上的任意一点(不与点 E、点 C 重合)时,其它条件不变,则(1)中 的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。 (3)如图 3,当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时,其它条件不变,则 PR 与 PQ 之间又具有怎样 的数量关系?请直接写出你的猜想。 5. (2011 湖南永州 10 分)探究问题: ⑴方法感悟:如图①,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且满足∠EAF=45°,连接 EF,求证 DE+BF=EF. 感悟解题方法,并完成下列填空: 将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°, 21 因此,点 G,B,F 在同一条直线上. ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°. ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠3=45°.即∠GAF=∠_________. 又 AG=AE,AF=AF∴△GAF≌_______.∴_________=EF,故 DE+BF=EF. ⑵方法迁移: 如图②,将 Rt△ABC 沿斜边翻折得到△ADC,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且∠EAF= 2 1 ∠DAB.试 猜想 DE,BF,EF 之间有何数量关系,并证明你的猜想. ⑶问题拓展: 如图③,在四边形 ABCD 中,AB=AD,E,F 分别为 DC,BC 上的点,满足∠EAF= ∠DAB,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时,可使得 DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由). 6.(2011 福建莆田 14 分)已知菱形 ABCD 的边长为 1.∠ADC=60°,等边△AEF 两边分别交边 DC、CB 于点 E、F。 (1)( 4 分)特殊发现:如图 1,若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点.求证:菱形 ABCD 对角线 AC、 BD 交点 O 即为等边△AEF 的外心; (2)若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动.记等边△AEF 的外心为点 P. ①(4 分)猜想验证:如图 2.猜想△AEF 的外心 P 落在哪一直线上,并加以证明; ②(6 分)拓展运用:如图 3,当△AEF 面积最小时,过点 P 任作一直线分别交边 DA 于点 M,交边 DC 的延长线于点 N,试判断 11 DM DN 是否为定值.若是.请求出该定值;若不是.请说明理由。 22 三、和差最大问题: 典型例题: 例 1: (2012 广西崇左 10 分)如图所示,抛物线 cbxaxy  2 (a≠0)的顶点坐标为点 A(-2,3), 且抛物线 与 y 轴交于点 B(0,2). (1)求该抛物线的解析式; (2)是否在 x 轴上存在点 P 使△PAB 为等腰三角形,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说 明理由; (3)若点 P 是 x 轴上任意一点,则当 PA-PB 最大时,求点 P 的坐标. 【答案】解:(1)∵抛物线的顶点坐标为 A(-2,3),∴可设抛物线的解析式为 2y a(x 2) 3   。 由题意得 2a(0 2) 3 2   ,解得 1a 4 。 ∴物线的解析式为 21y (x 2) 34    ,即 21y x x 24    。 (2)设存在符合条件的点 P,其坐标为(p,0),则 PA 2 = 22( 2 p) 3   ,PB= 22p2 ,AB = 22(3 2) 2 5   当 PA=PB 时, = ,解得 9p 4 ; 当 PA=PB 时, =5,方程无实数解; 当 PB=AB 时, =5,解得 p1 。 ∴x 轴上存在符合条件的点 P,其坐标为( 9 4 ,0)或(-1,0)或(1,0)。 (3)∵PA-PB≤AB,∴当 A、B、P 三点共线时,可得 PA-PB 的最大值,这个最大值等于 AB, 此时点 P 是直线 AB 与 x 轴的交点。 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,则 23 b2 2k b 3     ,解得 1k 2 b2     。∴直线 AB 的解析式为 1y x 22   , 当 =0 时,解得 x4 。 ∴当 PA-PB 最大时,点 P 的坐标是(4,0)。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰三角形的判定和性质。 【分析】(1)由已知用待定系数法,设顶点式求解。 (2)分 PA=PB、PA=PB、PB=A 三种情况讨论即可。 (3)求得 PA-PB 最大时的位置,即可求解。 例 3:(2012 广东广州 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=10,F 为 AD 的中点,CE⊥AB 于 E,设∠ABC=α(60°≤α<90°). (1)当 α=60°时,求 CE 的长; (2)当 60°<α<90°时, ①是否存在正整数 k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. 24 ②连接 CF,当 CE2﹣CF2 取最大值时,求 tan∠DCF 的值. 【答案】解:(1)∵α=60°,BC=10,∴sinα= CE BC ,即 sin60°= CE 3 10 2 ,解得 CE=53。 (2)①存在 k=3,使得∠EFD=k∠AEF。理由如下: 连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G, ∵F 为 AD 的中点,∴AF=FD。 在平行四边形 ABCD 中,AB∥CD,∴∠G=∠DCF。 在△AFG 和△CFD 中, ∵∠G=∠DCF, ∠G=∠DCF,AF=FD, ∴△AFG≌△CFD(AAS)。 ∴CF=GF,AG=CD。 ∵CE⊥AB,∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。 ∵AB=5,BC=10,点 F 是 AD 的中点,∴AG=5,AF= 1 2 AD= BC=5。∴AG=AF。 ∴∠AFG=∠G。 在△AFG 中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF, 又∵∠CFD=∠AFG,∴∠CFD=∠AEF。 ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF, 因此,存在正整数 k=3,使得∠EFD=3∠AEF。 ②设 BE=x,∵AG=CD=AB=5,∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x, 在 Rt△BCE 中,CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。 在 Rt△CEG 中,CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x。 ∵CF=GF(①中已证),∴CF2=( CG)2= 1 4 CG2= (200﹣20x)=50﹣5x。 ∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣ 5 2 )2+50+ 25 4 。 ∴当 x= ,即点 E 是 AB 的中点时,CE2﹣CF2 取最大值。 此时,EG=10﹣x=10﹣ 5 15=22 ,CE= 2 25 5 15100 x = 100 =42 , 25 ∴ 5 15 CG 152tan DCF tan G 15EG 3 2       。 【考点】锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行四边形的性质,对顶角的性质,全等三角形的判 定和性质,直角三角形斜边上的中线性质,等腰三角形的性质,二次函数的最值,勾股定理。 【分析】(1)利用 60°角的正弦值列式计算即可得解。 (2)①连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G,利用“角边角”证明△AFG 和△CFD 全等,根据全 等三角形对应边相等可得 CF=GF,AG=CD,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EF=GF, 再根据 AB、BC 的长度可得 AG=AF,然后利用等边对等角的性质可得∠AEF=∠G=∠AFG,根据三角形 的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC=2∠G,然后推出∠EFD=3∠AEF,从而得解。 ②设 BE=x,在 Rt△BCE 中,利用勾股定理表示出 CE2,表示出 EG 的长度,在 Rt△CEG 中, 利用勾股定理表示出 CG2,从而得到 CF2,然后相减并整理,再根据二次函数的最值问题解答。 例 4:(2012 河北省 12 分)如图 1 和 2,在△ABC 中,AB=13,BC=14,cos∠ABC= 5 13 . 探究:如图 1,AH⊥BC 于点 H,则 AH= ,AC= ,△ABC 的面积 S△ABC= ; 拓展:如图 2,点 D 在 AC 上(可与点 A,C 重合),分别过点 A、C 作直线 BD 的垂线,垂足为 E,F, 设 BD=x,AE=m,CF=n(当点 D 与点 A 重合时,我们认为 S△ABD=0) (1)用含 x,m,n 的代数式表示 S△ABD 及 S△CBD; (2)求(m+n)与 x 的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值; (3)对给定的一个 x 值,有时只能确定唯一的点 D,指出这样的 x 的取值范围. 发现:请你确定一条直线,使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个 最小值. 【答案】解:探究:12;15;84。 拓展:(1)由三角形面积公式,得 26 ABD 11S BD AE xm22    , CBD 11S BD CF xn22    。 (2)由(1)得 ABD2Sm x  , CBD2Sn x  , ∴ CBD ABCABD 2S 2S2S 168m+n +x x x x    ∵△ABC 中 AC 边上的高为 ABC2S 168 56==AC 15 5  , ∴x 的取值范围为 56 x 145  。 ∵ m+n 随 x 的增大而减小, ∴当 56x= 5 时, 的最大值为 15,当 x=14 时, 的最小值为 12。 (3)x 的取值范围为 或13 x 14<  。 发现:直线 AC,A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小,最小值为 56 5 。 【考点】动点问题,锐角三角函数定义,特殊角有三角函数值,勾股定理, 垂直线段的性质,反比例函 数的性质。 【分析】探究:在 Rt△ABH 中,AB=13, 5cos ABC 13,∴BH=AB 5cos ABC 13 513     。 ∴根据勾股定理,得 2 2 2 2AH AB BH 13 5 12     。 ∵BC=14,∴HC=BC-BH=9。∴根据勾股定理,得 2 2 2 2AC AB +HC 12 +9 15   。 ∴ ABC 11S BC AH 14 12 8422       。 拓展:(1)直接由三角形面积公式可得。 (2)由(1)和 ABC ABD CBDS S +S   即可得到 关于 x 的反比例函数关系式。根据垂 直线段最短的性质,当 BD⊥AC 时,x 最小,由面积公式可求得;因为 AB=13,BC=14,所以当 BD=BC=14 时,x 最大。从而根据反比例函数的性质求出 m+n)的最大值和最小值。 (3)当 时,此时 BD⊥AC,在线段 AC 上存在唯一的点 D;当 56 x 135 <  时,此 时在线段 AC 上存在两点 D;当 时,此时在线段 AC 上存在唯一的点 D。因此 x 的取值范围为 或 。 发现:由拓展(2)知,直线 AC,A、B、C 三点到这条直线的距离之和(即△ABC 中 AC 边上的 高)最小,最小值为 (它小于 BC 边上的高 12 和 AB 边上的高 ABC2S 168=AB 13  )。 27 练习题: 1. (2011 内蒙古乌兰察布 4 分)如图,BE 是半径为 6 的⊙D 的 4 1 圆周,C 点是 上的任意一点, △ABD 是等边三角形,则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是 ▲ 2.(2011 四川广安 12 分)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°, BC 与 y 轴相交于点 M,且 M 是 BC 的中点,A、B、D 三点的坐标分别是 A( 1 0 , ), B( 1 2 , ), D(3,0).连接 DM,并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON.若抛物线 2y ax bx c   经过点 D、M、N. (1)求抛物线的解析式. (2)抛物线上是否存在点 P,使得 PA=PC,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E,点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点,当点 Q 在什么位置时有 |QE-QC|最大?并求出最大值. 3. (2011 河南省 11 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 33 42yx与抛物线 21 4y x bx c    交于 A、B 两点,点 A 在 x 轴上,点 B 的横坐标为﹣8. (1)求该抛物线的解析式; (2)点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点(不与点 A、B 重合),过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,交 直线 AB 于点 D,作 PE⊥AB 于点 E. ①设△PDE 的周长为l ,点 P 的横坐标为 x ,求l 关于 x 的函数关系式,并求出l 的最大值; ②连接 PA,以 PA 为边作图示一侧的正方形 APFG.随着点 P 的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当 顶点 F 或 G 恰好落在 y 轴上时,直接写出对应的点 P 的坐标. 28 4. (2011 山东青岛 10 分))问题提出:我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大 小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是 通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式 M、N 的大小,只要作出它们的差 M -N,若 M-N>0,则 M>N;若 M-N=0,则 M=N;若 M-N<0,则 M<N. 问题解决:如图 1,把边长为 a +b( ≠b)的大正方形分割成两个边长分别是 、b 的小正方形 及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和 M 与两个矩形面积之和 N 的大小. 解:由图可知:M= 2+ b 2,N=2 .∴M-N= 2+ 2-2 =( - )2. ∵ ≠ ,∴( - )2>0.∴M-N>0.∴M>N. 类别应用:(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为 2 ab 元/千克和 2ab ab 元/千克 ( 、 是正数,且 ≠ ),试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低. (2)试比较图 2 和图 3 中两个矩形周长 M1、N1 的大小( > c ). 联系拓广:小刚在超市里买了一些物品,用一个长方体的箱子“打包”,这个箱子的尺寸如图 4 所示(其中 b>a>c>0),售货员分别可按图 5、图 6、图 7 三种方法进行捆绑,问哪种方法用绳最短?哪 种方法用绳最长?请说明理由. 29 四、和差最小问题: 典型例题: 例 1:(2012 浙江台州 4 分)如图,菱形 ABCD 中,AB=2,∠A=120°,点 P,Q,K 分别为线段 BC,CD, BD 上的任意一点,则 PK+QK 的最小值为【 】 A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 +1 【答案】B。 【考点】菱形的性质,线段中垂线的性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,矩形的判定和性质,锐角 三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】分两步分析: (1)若点 P,Q 固定,此时点 K 的位置:如图,作点 P 关于 BD 的对 称点 P1,连接 P1Q,交 BD 于点 K1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质,得 P1K1 = P K1,P1K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质,得 P1K+QK>P1Q= P1K1+Q K1= P K1+Q K1。 ∴此时的 K1 就是使 PK+QK 最小的位置。 (2)点 P,Q 变动,根据菱形的性质,点 P 关于 BD 的对称点 P1 在 AB 上,即不论点 P 在 BC 上 任一点,点 P1 总在 AB 上。 因此,根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性 质,得,当 P1Q⊥AB 时 P1Q 最短。 过点 A 作 AQ1⊥DC 于点 Q1。 ∵∠A=120°,∴∠DA Q1=30°。 30 又∵AD=AB=2,∴P1Q=AQ1=AD·cos300= 3233。 综上所述,PK+QK 的最小值为 3 。故选 B。 例 2:(2012 四川攀枝花 4 分)如图,正方形 ABCD 中,AB=4,E 是 BC 的中点,点 P 是对角线 AC 上一 动点,则 PE+PB 的最小值为 ▲ . 【答案】 25。 【考点】轴对称(最短路线问题),正方形的性质,勾股定理。 【分析】连接 DE,交 BD 于点 P,连接 BD。 ∵点 B 与点 D 关于 AC 对称,∴DE 的长即为 PE+PB 的最小值。 ∵AB=4,E 是 BC 的中点,∴CE=2。 在 Rt△CDE 中, 2 2 2 2DE= CD +CE 4 +2 2 5。 例 3:(2012 福建莆田 4 分)点 A、B均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角 坐标系如图所示.若 P 是 x 轴上使得 PA PB 的值最大的点,Q 是 y 轴上使得 QA 十 QB 的值最小的点, 则 OP OQ = ▲ . 【答案】5。 【考点】轴对称(最短路线问题),坐标与图形性质,三角形三边关系,待定系数法,直线上点的坐标与 方程的关系。 【分析】连接 AB 并延长交 x 轴于点 P,作 A 点关于 y 轴的对称点 A′连接 A′B 交 y 轴于点 Q,求出点 Q 与 y 轴的交点坐标即可得出结论: 31 连接 AB 并延长交 x 轴于点 P, 由三角形的三边关系可知,点 P 即为 x 轴上使得|PA-PB|的值最大的点。 ∵点 B 是正方形 ADPC 的中点, ∴P(3,0)即 OP=3。 作 A 点关于 y 轴的对称点 A′连接 A′B 交 y 轴于点 Q,则 A′B 即为 QA+QB 的最小值。 ∵A′(-1,2),B(2,1), 设过 A′B 的直线为:y=kx+b, 则 2 k b 1 2k b      ,解得 1k 3 5b 3     。∴Q(0, 5 3 ),即 OQ= 5 3 。 ∴OP•OQ=3× 5 3 =5。 例 4:(2012 湖北鄂州 3 分)在锐角三角形 ABC 中,BC= 24 ,∠ABC=45°,BD 平分∠ABC,M、 N 分 别是 BD、BC 上的动点,则 CM+MN 的最小值是 ▲ 。 [ 【答案】4。 【考点】最短路线问题,全等三角形的判定和性质,三角形三边关系,垂直线段的性质,锐角三角函数定 义,特殊角的三角函数值。 【分析】如图,在 BA 上截取 BE=BN,连接 EM。 ∵∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,∴∠EBM=∠NBM。 在△AME 与△AMN 中,∵BE=BN ,∠EBM=∠NBM,BM=BM, ∴△BME≌△BMN(SAS)。 ∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。 又∵CM+MN 有最小值,∴当 CE 是点 C 到直线 AB 的距离时,CE 取最小值。 ∵BC= 42,∠ABC=45°,∴CE 的最小值为 sin450=4。 ∴CM+MN 的最小值是 4。 例 5:(2012 广西贵港 2 分)如图,MN 为⊙O 的直径,A、B 是 O 上的两点,过 A 作 AC⊥MN 于点 C, 32 过 B 作 BD⊥MN 于点 D,P 为 DC 上的任意一点,若 MN=20,AC=8,BD=6,则 PA+PB 的最小值是 ▲ 。 例 6:(2012 内蒙古赤峰 14 分)阅读材料: (1)对于任意两个数ab、 的大小比较,有下面的方法: 当 a b 0时,一定有ab ; 当 a b 0时,一定有ab ; 当 a b 0时,一定有ab . 反过来也成立.因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”. (2)对于比较两个正数 ab、 的大小时,我们还可以用它们的平方进行比较: ∵ 22a b (a b)(a b)    ,a b 0 ∴( 22ab )与( ab )的符号相同 33 当 22ab >0 时,ab >0,得ab 当 22ab =0 时,ab =0,得ab 当 22ab <0 时,ab <0,得ab 解决下列实际问题: (1)课堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了 3 张 A4 纸,7 张 B5 纸;李明同学用了 2 张 A4 纸,8 张 B5 纸.设每张 A4 纸的面积为 x,每张 B5 纸的面积为 y,且 x>y,张丽同学的用纸总面积为 W1,李明同学的用纸总面积为 W2.回答下列问题: ①W1= (用 x、y 的式子表示) W2= (用 x、y 的式子表示) ②请你分析谁用的纸面积最大. (2)如图 1 所示,要在燃气管道 l 上修建一个泵站,分别向 A.B 两镇供气,已知 A.B 到 l 的距离分别 是 3km、4km(即 AC=3km,BE=4km), AB=xkm,现设计两种方案: 方案一:如图 2 所示,AP⊥l 于点 P,泵站修建在点 P 处,该方案中管道长度 a1=AB+AP. 方案二:如图 3 所示,点 A′与点 A 关于 l 对称,A′B 与 l 相交于点 P,泵站修建在点 P 处,该方案中管道 长度 a2=AP+BP. ①在方案一中,a1= km(用含 x 的式子表示); ②在方案二中,a2= km(用含 x 的式子表示); ③请你分析要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二. 【答案】解:(1)①3x+7y;2x+8y。 ②W1﹣W2=(3x+7y)﹣(2x+8y)=x﹣y, ∵x>y,∴x﹣y>0。∴W1﹣W2>0。 ∴W1>W2,所以张丽同学用纸的总面积大。 (2)①x+3。 34 ② 2x 48 。 ③∵    222 2 2 2 2 12a a = x+3 x +48 =x +6x+9 x 48=6x 39     ∴当 22 12aa >0(即 a1﹣a2>0,a1>a2)时,6x﹣39>0,解得 x>6.5; 当 22 12aa =0(即 a1﹣a2=0,a1=a2)时,6x﹣39=0,解得 x=6.5; 当 22 12aa <0(即 a1﹣a2<0,a1<a2)时,6x﹣39<0,解得 x<6.5。 综上所述,当 x>6.5 时,选择方案二,输气管道较短, 当 x=6.5 时,两种方案一样, 当 0<x<6.5 时,选择方案一,输气管道较短。 例 7:(2012 山东滨州 10 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(﹣2,﹣4), O(0, 0), B(2,0)三点. (1)求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式; (2)若点 M 是该抛物线对称轴上的一点,求 AM+OM 的最小值. 【答案】解:(1)把 A(﹣2,﹣4), O(0,0), B(2,0)三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中,得 35 4a+2b+c=0 4a 2b+c= 4 c=0     ,解这个方程组,得 1a= 2 b=1 c=0        。 ∴抛物线的解析式为 y=﹣ 1 2 x2+x。 (2)由 y=﹣ 1 2 x2+x=﹣ 1 2 (x﹣1)2+ 1 2 ,可得 抛物线的对称轴为 x=1,并且对称轴垂直平分线段 OB。 ∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。 连接 AB 交直线 x=1 于 M 点,则此时 OM+AM 最小。 过点 A 作 AN⊥x 轴于点 N, 在 Rt△ABN 中, 2 2 2 2AB= AN +BN 4 +4 4 2, 因此 OM+AM 最小值为 42。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,解方程组,二次函数的性质,线段中垂线的性 质,三角形三边关系,勾股定理。 【分析】(1)已知抛物线上不同的三点坐标,利用待定系数法可求出该抛物线的解析。 (2)根据 O、B 点的坐标发现:抛物线上,O、B 两点正好关于抛物线的对称轴对称,那么只需 连接 A、B,直线 AB 和抛物线对称轴的交点即为符合要求的 M 点,而 AM+OM 的最小值正好是 AB 的长。 对 x=1 上其它任一点 M′,根据三角形两边之和大于第三边的性质,总有: O M′+A M′= B M′+A M′>AB=OM+AM, 即 OM+AM 为最小值。 例 8:(2012 山西省 14 分)综合与实践:如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=﹣x2+2x+3 与 x 轴交于 A.B 两点,与 y 轴交于点 C,点 D 是该抛物线的顶点. (1)求直线 AC 的解析式及 B.D 两点的坐标; 36 (2)点 P 是 x 轴上一个动点,过 P 作直线 l∥AC 交抛物线于点 Q,试探究:随着 P 点的运动,在抛物线 上是否存在点 Q,使以点 A.P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)请在直线 AC 上找一点 M,使△BDM 的周长最小,求出 M 点的坐标. 【答案】解:(1)当 y=0 时,﹣x2+2x+3=0,解得 x1=﹣1,x2=3。 ∵点 A 在点 B 的左侧,∴A.B 的坐标分别为(﹣1,0),(3,0)。 当 x=0 时,y=3。∴C 点的坐标为(0,3)。 设直线 AC 的解析式为 y=k1x+b1(k1≠0),则 1 11 b =3 k +b =0   ,解得 1 1 k =3 b =3    。 ∴直线 AC 的解析式为 y=3x+3。 ∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点 D 的坐标为(1,4)。 (2)抛物线上有三个这样的点 Q。如图, ①当点 Q 在 Q1 位置时,Q1 的纵坐标为 3,代入抛物线可得点 Q1 的坐标为(2,3); ②当点 Q 在点 Q2 位置时,点 Q2 的纵坐标为﹣3,代入抛物线 可得点 Q2 坐标为(1+ 7 ,﹣3); ③当点 Q 在 Q3 位置时,点 Q3 的纵坐标为﹣3,代入抛物线解 析式可得,点 Q3 的坐标为(1﹣ ,﹣3)。 综上可得满足题意的点 Q 有三个,分别为:Q1(2,3), Q2(1+ ,﹣3), Q3(1﹣ ,﹣3)。 (3)点 B 作 BB′⊥AC 于点 F,使 B′F=BF,则 B′为点 B 关于直线 AC 的对称点.连接 B′D 交直线 AC 与点 M,则点 M 为所求。 过点 B′作 B′E⊥x 轴于点 E。 37 ∵∠1 和∠2 都是∠3 的余角,∴∠1=∠2。 ∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴ CO CA=BF AB 。 由 A(﹣1,0), B(3,0), C(0,3)得 OA=1,OB=3,OC=3, ∴AC= 10 ,AB=4。 ∴ 3 10=BF 4 ,解得 6 10BF= 5 。∴BB′=2BF= 12 10 5 , 由∠1=∠2 可得 Rt△AOC∽Rt△B′EB,∴ AO CO CA==B E BE BB 。 ∴ 1 3 10==B E BE 12 10 5  。∴B′E=12 5 ,BE= 36 5 。∴OE=BE﹣OB= ﹣3= 21 5 . ∴B′点的坐标为(﹣ , )。 设直线 B′D 的解析式为 y=k2x+b2(k2≠0),则 22 22 k +b =4 21 12k +b =55  ,解得 2 2 4k=13 48b=13     。 ∴直线 B'D 的解析式为: 4 48y= x+13 13 。 联立 B'D 与 AC 的直线解析式可得: y 3x 3 4 48y= x+13 13   ,解得 9x= 35 132y= 35     。 ∴M 点的坐标为( 9 132 35 35 , )。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,平行四边形的 性质,轴对称的性质,直角三角形两锐角的关系,三角形三边关系,勾股定理,相似三角形的判定和性质, 解二元一次方程组。 【分析】(1)根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,由抛物线 y=﹣x2+2x+3 与 x 轴交于 A.B 两点 可求得 A.B 两点的坐标,同样,由由抛物线 y=﹣x2+2x+3 与 y 轴交于点 C 可求得 C 点的坐标。用待定系 数法,可求得直线 AC 的解析式。由 y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4 可求得顶点 D 的坐标。 (2)由于点 P 在 x 轴上运动,故由平行四边形对边平行的性质求得点 Q 的坐标。 (3)点 B 作 BB′⊥AC 于点 F,使 B′F=BF,则 B′为点 B 关于直线 AC 的对称点.连接 B′D 交直 38 线 AC 与点 M,则根据轴对称和三角形三边关系,知点 M 为所求。 因此,由勾股定理求得 AC= 10 ,AB=4。由 Rt△AOC∽Rt△AFB 求得 6 10BF= 5 ,从而得 到 BB′=2BF= 12 10 5 。由 Rt△AOC∽Rt△B′EB 得到 B′E=12 5 ,BE= 36 5 ,OE=BE﹣OB= ﹣3= 21 5 ,从 而得到点 B′的坐标。用待定系数法求出线 B′D 的解析式,与直线 AC 的解析式即可求得点 M 的坐标。 例 9:(2012 湖北恩施 8 分)如图,已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 与一直线相交于 A(﹣1,0), C(2,3)两 点,与 y 轴交于点 N.其顶点为 D. (1)抛物线及直线 AC 的函数关系式; (2)设点 M(3,m),求使 MN+MD 的值最小时 m 的值; (3)若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B,E 为直线 AC 上的任意一点,过点 E 作 EF∥BD 交抛物线于 点 F,以 B,D,E,F 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点 E 的坐标;若不能,请说明理由; (4)若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值. 【答案】解:(1)由抛物线 y=﹣x2+bx+c 过点 A(﹣1,0)及 C(2,3)得, 1 b+c=0 4+2b+c=3   ,解得 b=2 c=3    。∴抛物线的函数关系式为 2y x 2x 3    。 设直线 AC 的函数关系式为 y=kx+n,由直线 AC 过点 A(﹣1,0)及 C(2,3)得 k+n=0 2k+n=3    ,解得 k=1 n=1    。∴直线 AC 的函数关系式为 y=x+1。 (2)作 N 点关于直线 x=3 的对称点 N′, 令 x=0,得 y=3,即 N(0,3)。 39 ∴N′(6,3) 由  22y x 2x 3= x 1 +4      得 D(1,4)。 设直线 DN′的函数关系式为 y=sx+t,则 6s+t=3 s+t=4    ,解得 1s= 5 21t= 5     。 ∴故直线 DN′的函数关系式为 1 21yx55   。 根据轴对称的性质和三角形三边关系,知当 M(3,m)在直线 DN′上时,MN+MD 的值 最小, ∴ 1 21 18m 3 =5 5 5    。 ∴使 MN+MD 的值最小时 m 的值为18 5 。 (3)由(1)、( 2)得 D(1,4), B(1,2), ①当 BD 为平行四边形对角线时,由 B、C、D、N 的坐标知,四边形 BCDN 是平行四 边形,此时,点 E 与点 C 重合,即 E(2,3)。 ②当 BD 为平行四边形边时, ∵点 E 在直线 AC 上,∴设 E(x,x+1),则 F(x, 2x 2x 3   )。 又∵BD=2 ∴若四边形 BDEF 或 BDFE 是平行四边形时,BD=EF。 ∴  2x 2x 3 x 1 =2     ,即 2x x 2 =2   。 若 2x x 2=2   ,解得,x=0 或 x=1(舍去),∴E(0,1)。 若 2x x 2= 2    ,解得, 1 17x= 2  ,∴E 1+ 17 3+ 17 22   , 或 E 1 17 3 17 22  , 。 综上,满足条件的点 E 为(2,3)、( 0,1)、 、 。 (4)如图,过点 P 作 PQ⊥x 轴交 AC 于点 Q;过点 C 作 CG⊥x 轴于点 G, 40 设 Q(x,x+1),则 P(x,﹣x2+2x+3)。 ∴ 22PQ x 2x 3 x 1 x x 2         ( )( ) 。 ∴ APC APQ CPQ 1S S +S PQ AG2     221 3 1 27x x 2 3 x2 2 2 8        ( ) ( ) 。 ∵ 3 02 < , ∴当 1x= 2 时,△APC 的面积取得最大值,最大值为 27 8 。 例10:(2012湖北黄冈14分)如图,已知抛物线的方程C1:    1y x 2 (x m) m 0m     与x 轴相交于 点B、 C,与y 轴相交于点E,且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m 的值. (2)在(1)的条件下,求△BCE的面积. (3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标. (4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在, 求m的值;若不存在,请说明理由. 41 【答案】解:(1)∵抛物线 C1 过点 M(2,2),∴  12 2 2 (2 m)m    ,解得 m=4。 (2)由(1)得  1y x 2 (x 4)4    。 令 x=0,得 y2 。∴E(0,2), OE=2。 令 y=0,得  10 x 2 (x 4)4    ,解得 x1=-2,x=4。 ∴B(-2,, 0), C(4,0), BC=6。 ∴△BCE 的面积= 1 6 2 62    。 (3)由(2)可得 的对称轴为 x=1。 连接 CE,交对称轴于点 H,由轴对称的性质和两点之间线段 最短的性质,知此时 BH+EH 最小。 设直线 CE 的解析式为 y kx+b ,则 4k+b=0 b=2    ,解得 1k= 2 b=2    。∴直线 CE 的解析式为 1y x+22 。 当 x=1 时, 3y 2 。∴H(1, 3 2 )。 (4)存在。分两种情形讨论: ①当△BEC∽△BCF 时,如图所示。 则 BE BC BC BF ,∴BC2=BE•BF。 由(2)知 B(-2,0), E(0,2),即 OB=OE, ∴∠EBC=45°,∴∠CBF=45°。 作 FT⊥x 轴于点 F,则 BT=TF。 ∴令 F(x,-x-2)( x>0), 又点 F 在抛物线上,∴-x-2=  1 x 2 (x m)m   , ∵x+2>0(∵x>0), ∴x=2m,F(2m,-2m-2)。 此时 22BF (2m 2) ( 2m 2) 2 2 m 1 BE 2 2 BC m 2         ( ), , , 又 BC2=BE•BF,∴(m+2)2= 22 • 2 2 m 1( ),解得 m=2± 。 ∵m>0,∴m= +2。 42 ②当△BEC∽△FCB 时,如图所示。 则 BC EC BF BC ,∴BC2=EC•BF。 同①,∵∠EBC=∠CFB,△BTF∽△COE, ∴ TF OE 2 BT OC m。 ∴令 F(x,- 2 m (x+2))(x>0), 又点 F 在抛物线上,∴- (x+2)=  1 x 2 (x m)m   。 ∵x+2>0(∵x>0), ∴x=m+2。∴F(m+2,- (m+4)), 2EC m 4,BC=m+2。 又 BC2=EC•BF,∴(m+2)2=    2 22 2 4 m+4m 4 m+2+2 + m  . 整理得:0=16,显然不成立。 综合①②得,在第四象限内,抛物线上存在点 F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形 与△BCE 相似,m= 22+2。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,轴对称的性质,两点之间线 段最短的性质,相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)将点(2,2)的坐标代入抛物线解析式,即可求得 m 的值。 (2)求出 B、C、E 点的坐标,从而求得△BCE 的面积。 (3)根据轴对称以及两点之间线段最短的性质,可知点 B、C 关于对称轴 x=1 对称,连接 EC 与 对称轴的交点即为所求的 H 点。 (4)分两种情况进行讨论: ①当△BEC∽△BCF 时,如图所示,此时可求得 +2。 ②当△BEC∽△FCB 时,如图所示,此时得到矛盾的等式,故此种情形不存在。 例 11:(2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 6 分) 如图,抛物线 21y x=x2 bc 与 x 轴交 于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 OA=2,OC=3. (1)求抛物线的解析式. (2)若点 D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点 P,使得△BDP 的周长最小, 若存在,请求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由. 43 注:二次函数 2y ax bx c   (a ≠0)的对称轴是直线x = b 2a 【答案】解:(1)∵OA=2,OC=3,∴A(-2,0), C(0,3)。 将 C(0,3)代入 21y= x bx c2   得 c=3。 将 A(-2,0)代入 21y= x bx 32   得,    210= 2 2 b 32      ,解得 b= 1 2 。 ∴抛物线的解析式为 211y= x x 322   。 (2)如图:连接 AD,与对称轴相交于 P,由于点 A 和点 B 关于对称轴对称,则即 BP+DP=AP+DP,当 A、P、D 共线时 BP+DP=AP+DP 最小。 设 AD 的解析式为 y=kx+b, 将 A(-2,0), D(2,2)分别代入解析式得, 2k b 0 2k b 2      ,解得, 1k 2 b1     ,∴直线 AD 解析式为 y= 1 2 x+1。 ∵二次函数的对称轴为 1 12x 1 22 2     , ∴当 x= 时,y= × +1= 5 4 。∴P( , )。 【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,轴对称(最短路线问题)。 【分析】(1)根据 OC=3,可知 c=3,于是得到抛物线的解析式为 21y= x bx 32   ,然后将 A(-2,0) 代入解析式即可求出 b 的值,从而得到抛物线的解析式。 (2)由于 BD 为定值,则△BDP 的周长最小,即 BP+DP 最小,由于点 A 和点 B 关于对称轴对 称,则即 BP+DP=AP+DP,当 A、P、D 共线时 BP+DP=AP+DP 最小。 例 12:(2012 湖南郴州 10 分)如图,已知抛物线 2y ax bx c   经过 A(4,0), B(2,3), C(0,3) 三点. 44 (1)求抛物线的解析式及对称轴. (2)在抛物线的对称轴上找一点 M,使得 MA+MB 的值最小,并求出点 M 的坐标. (3)在抛物线上是否存在一点 P,使得以点 A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形?若存在, 请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)∵抛物线 2y ax bx c   经过 A(4,0), B(2,3), C(0,3)三点, ∴ 16a 4b c 0 4a 2b c 3 c 3          ,解得 3a 8 3b 4 c3        。 ∴抛物线的解析式为: 233y x x 384    ,其对称轴为: bx12a   。 (2)由 B(2,3), C(0,3),且对称轴为 x=1,可知点 B、 C 是关于对称轴 x=1 的对称点。 如图 1 所示,连接 AC,交对称轴 x=1 于点 M,连接 MB,则 MA+MB=MA+MC=AC,根据两点之间线段最短可知此时 MA +MB 的值最小。 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b, ∵A(4,0), C(0,3), ∴ 4k b 0 b 3    ,解得 3k 4 b3     。 ∴直线 AC 的解析式为:y= 3 4 x+3。 令 x=1,得 y= 9 4 。∴M 点坐标为(1, )。 (3)结论:存在。 45 如图 2 所示,在抛物线上有两个点 P 满足题意: ①若 BC∥AP1,此时梯形为 ABCP1。 由 B(2,3), C(0,3),可知 BC∥x 轴,则 x 轴与 抛物线的另一个交点 P1 即为所求。 在 233y x x 384    中令 y=0,解得 x1=-2,x2=4。 ∴P1(-2,0)。 ∵P1A=6,BC=2,∴P1A≠BC。 ∴四边形 ABCP1 为梯形。 ②若 AB∥CP2,此时梯形为 ABCP2。 设 CP2 与 x 轴交于点 N, ∵BC∥x 轴,AB∥CP2,∴四边形 ABCN 为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N(2,0)。 设直线 CN 的解析式为 y=k1x+b1,则有: 11 1 2k b 0 b 3    ,解得 3k 2 b3     。 ∴直线 CN 的解析式为:y= 3 2 x+3。 ∵点 P2 既在直线 CN:y= x+3 上,又在抛物线: 上, ∴ x+3= 233 x x 384   ,化简得:x2-6x=0,解得 x1=0(舍去),x2=6。 ∴点 P2 横坐标为 6,代入直线 CN 解析式求得纵坐标为-6。∴P2(6,-6)。 ∵ ABCN,∴AB=CN,而 CP2≠CN,∴CP2≠AB。∴四边形 ABCP2 为梯形。 综上所述,在抛物线上存在点 P,使得以点 A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为 梯形,点 P 的坐标为(-2,0)或(6,-6)。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,轴对称的性质, 线段最短的性质,梯形的判定。 【分析】(1)已知抛物线上三点 A、B、C 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式,再由对称 轴公式 bx 2a 求出对称轴。 (2)如图 1 所示,连接 AC,则 AC 与对称轴的交点即为所求之 M 点;已知点 A、C 的坐标,利 用待定系数法求出直线 AC 的解析式,从而求出点 M 的坐标。 (3)根据梯形定义确定点 P,如图 2 所示:①若 BC∥AP 1,确定梯形 ABCP1.此时 P1 为抛物线 46 与 x 轴的另一个交点,解一元二次方程即可求得点 P1 的坐标;②若 AB∥CP2,确定梯形 ABCP2.此时 P2 位于第四象限,先确定 CP2 与 x 轴交点 N 的坐标,然后求出直线 CN 的解析式,再联立抛物线与直线解析 式求出点 P2 的坐标。 例 13:(2012 四川凉山 8 分)在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题。 如图(1),要在燃气管道 l 上修建一个泵站,分别向 A、B 两镇供气.泵站修在管道的什么地方, 可使所用的输气管线最短? 你可以在 l 上找几个点试一试,能发现什么规律?你可以在l 上找几个点试一试,能发现什么规 律? 聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道 l 看成一条直线(图(2)),问 题就转化为,要在直线 l 上找一点 P,使 AP 与 BP 的和最小.他的做法是这样的: ①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′. ②连接 AB′交直线 l 于点 P,则点 P 为所求. 请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点,BC=6,BC 边上的高为 4,请你在 BC 边上确定一点 P,使△PDE 得周长最小. (1)在图中作出点 P(保留作图痕迹,不写作法). (2)请直接写出△PDE 周长的最小值: . 【答案】解:(1)作 D 点关于 BC 的对称点 D′,连接 D′E,与 BC 交于点 P,P 点即为所求。 47 (2)8. 【考点】轴对称(最短路线问题),三角形三边关系,三角形中位线定理,勾股定理。 【分析】(1)根据提供材料 DE 不变,只要求出 DP+PE 的最小值即可,作 D 点关于 BC 的对称点 D′,连 接 D′E,与 BC 交于点 P,P 点即为所求。 (2)利用中位线性质以及勾股定理得出 D′E 的值,即可得出答案: ∵点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点,∴DE 为△ABC 中位线。 ∵BC=6,BC 边上的高为 4,∴DE=3,DD′=4。 ∴ 2 2 2 2D E DE DD 3 4 5       。 ∴△PDE 周长的最小值为:DE+D′E=3+5=8。 例 14:(2012 湖北十堰 6 分)阅读材料: 例:说明代数式 22x 1 (x 3) 4   + 的几何意义,并求它的最小值. 解: 2 2 2 2 2 2x 1 (x 3) 4 (x 0) 1 (x 3) 2          ,如图,建立平面直角坐标系,点 P(x,0) 是 x 轴上一点,则 22(x 0) 1可以看成点 P 与点 A(0,1)的距离, 22(x 3) 2可以看成点 P 与点 B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和,它的最小值就是 PA+PB 的最小 值. 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′,则 PA=PA′,因此,求 PA+PB 的最小值,只需求 PA′+PB 的最小值,而 点 A′、B 间的直线段距离最短,所以 PA′+PB 的最小值为线段 A′B 的长度.为此,构造直角三角形 A′CB, 因为 A′C=3,CB=3,所以 A′B=3 2 ,即原式的最小值为 3 。 48 根据以上阅读材料,解答下列问题: (1)代数式 22(x 1) 1 (x 2) 9     的值可以看成平面直角坐标系中点 P(x,0)与点 A(1,1)、点 B 的距离之和.(填写点 B 的坐标) (2)代数式 22x 49 x 12x 37    的最小值为 . 【答案】解:(1)( 2,3)。 (2)10。 【考点】坐标与图形性质,轴对称(最短路线问题)。 【分析】(1)∵原式化为 2 2 2 2(x 1) 1 (x 2) 3     的形式, ∴代数式 22(x 1) 1 (x 2) 9     的值可以看成平面直角坐标系中点 P(x,0)与点 A (1,1)、点 B(2,3)的距离之和。 (2)∵原式化为 2 2 2 2(x 0) 7 (x 6) 1     的形式, ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P(x,0)与点 A(0,7)、点 B(6,1) 的距离之和。 如图所示:设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′,则 PA=PA′, ∴求 PA+PB 的最小值,只需求 PA′+PB 的最小值,而点 A′、B 间的直线段距离最短。 ∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度。 ∵A(0,7), B(6,1), ∴A′(0,-7), A′C=6,BC=8。 ∴ 2 2 2 2A B A C BC 6 8 =10      。 例 15:(2012 甘肃兰州 12 分)如图,Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴 上,O 为坐标原点,A、B 两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线 y= 2 3 x2+bx+c 经过点 B,且顶点 在直线 x= 5 2 上. (1)求抛物线对应的函数关系式; 49 (2)若把△ABO 沿 x 轴向右平移得到△DCE,点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E,当四边形 ABCD 是 菱形时,试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)在(2)的条件下,连接 BD,已知对称轴上存在一点 P 使得△PBD 的周长最小,求出 P 点的坐标; (4)在(2)、(3)的条件下,若点 M 是线段 OB 上的一个动点(点 M 与点 O、B 不重合),过点 M 作∥BD 交 x 轴于点 N,连接 PM、PN,设 OM 的长为 t,△PMN 的面积为 S,求 S 和 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围,S 是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时 M 点的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】解:(1)∵抛物线 y= 2 3 x2+bx+c 经过点 B(0,4),∴c=4。 ∵顶点在直线 x= 5 2 上,∴ b5=2 22 3   ,解得 10b= 3 。 ∴所求函数关系式为 22 10y= x x+433 。 (2)在 Rt△ABO 中,OA=3,OB=4,∴ 22AB OA OB 5= 。 ∵四边形 ABCD 是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5。 ∴C、D 两点的坐标分 别是(5,4)、(2,0), 当 x=5 时, 22 10y= 5 5+4=433   ; 当 x=2 时, 22 10y= 2 2+4=033   。 ∴点 C 和点 D 都在所求抛物线上。 (3)设 CD 与对称轴交于点 P,则 P 为所求的点, 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b, 则 5k+b=4 2k+b=0    ,解得, 4k= 3 8b= 3     。∴直线 CD 对应的函数关系式为 48y= x33 。 50 当 x= 5 2 时, 4 5 8 2y= =3 2 3 3 。∴P( 52 23 , )。 (4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD。 ∴ OM ON OB OD ,即 t ON 42 ,得 tON 2 。 设对称轴交 x 于点 F,则  PFOM 1 1 2 5 5 5S PF OM OF= +t = t+2 2 3 2 4 6      梯形 。 ∵ 2 MON 1 1 1 1S OM ON= t t= t2 2 2 4      , PME 1 1 5 1 2 1 5S NF PF= t = t+2 2 2 2 3 6 6        , MON PMEPFOMS=S S S梯形 225 5 1 1 5 1 17t+ t t+ t + t4 6 4 6 6 4 12       (0<t<4)。 ∵ 2 21 17 1 17 289S= t + t= t +4 12 4 6 144    , 1 04 < ,0<17 6 <4, ∴当 17t= 6 时,S 取最大值是 289 144 。此时,点 M 的坐标为(0, )。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,菱形的性质, 相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)根据抛物线 y= 2 3 x2+bx+c 经过点 B(0,4),以及顶点在直线 x= 上,得出 b,c 即可。 (2)根据菱形的性质得出 C、D 两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出 x= 5 或 2 时,y 的值即可。 (3)首先设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b,求出解析式,当 x= 时,求出 y 即可。 (4)利用 MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出 ,得到 ,从而表示出△PMN 的面积,利用二次函数最值求出即可。 例 16:(2012 甘肃兰州 4 分)如图,四边形 ABCD 中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在 BC、CD 上分 别找一点 M、N,使△AMN 周长最小时,则∠AMN+∠ANM 的度数为【 】 51 A.130° B.120° C.110° D.100° 练习题: 1. (2011 福建福州 14 分)已知,如图,二次函数 2 23y ax ax a ( 0)a  图象的顶点为 H,与 x 轴交于 A、B 两点(B 在 A 点右侧),点 H、B 关于直线l : 3 33yx对称. (1)求 A、B 两点坐标,并证明点 A 在直线 l 上; (2)求二次函数解析式; (3)过点 B 作直线 BK∥AH 交直线 于 K 点,M、N 分别为直线 AH 和直线 上的两个动点,连接 HN、NM、MK,求 HN+NM+MK 和的最小值. 52 2. (2011 贵州黔南 12 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(1, 3 ), △AOB 的面积是 . (1)求点 B 的坐标; (2)求过点 A、O、B 的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使△AOC 的周长最小?若存在,求出点 C 的坐标;若 不存在,请说明理由; (4)在(2)中 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 P,过点 P 作 轴的垂线,交直线 AB 于点 D,线段 OD 把△AOB 分成两个三角形.使其中一个三角形面积与四边形 BPOD 面积比为 2:3?若存在,求出点 P 的 坐标;若不存在,请说明理由. 3. (四川雅安 12 分)如图,已知二次函数 cxaxy  22 )0( a 图像的顶点 M 在反比例函数 xy 3 上, 且与 x 轴交于 A,B 两点。 (1)若二次函数的对称轴为 2 1x ,试求 ca, 的值; (2)在(1)的条件下求 AB 的长; (3)若二次函数的对称轴与 x 轴的交点为 N,当 NO+MN 取最小值时,试求二次函数的解析式。 53 4. (2011 四川乐山 13 分)已知顶点为 A(1,5)的抛物线 2y ax bx c   经过点 B(5,1). (1)求抛物线的解析式; (2)如图(1),设 C,D 分别是 x 轴、 y 轴上的两个动点,求四边形 ABCD 周长的最小值; (3)在(2)中,当四边形 ABCD 的周长最小时,作直线 CD.设点 P( xy, )( 0x  )是直线 yx 上的一个 动点,Q 是 OP 的中点,以 PQ 为斜边按图(2)所示构造等腰直角三角形 PRQ. ①当△PBR 与直线 CD 有公共点时,求 的取值范围; ②在①的条件下,记△PBR 与△COD 的公共部分的面积为 S.求 S 关于 的函数关系式,并求 S 的最大值。 5. (2011 山东莱芜 12 分)如图,在平面直角坐标系中,己知点 A(-2,- 4 ) , OB=2。抛物线 2y ax bx c   经过 A、O、B 三点。 (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点 M 是抛物线对称轴上的一点,试求 MO+MA 的最小值; (3)在此抛物线上,是否存在一点 P,使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形。若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 54 6. (2011 湖北黄石 3 分)初三年级某班有 54 名学生,所在教室有 6 行 9 列座位,用( , )mn 表示第 m 行第 n 列的座位,新学期准备调整座位,设某个学生原来的座位为 ,如果调整后的座位为( , )ij,则称该 生作了平移[ ,ab] ,m i n j   ,并称 ab 为该生的位置数。若某生的位置数为 10,则当 mn 取最小值 时, mn 的最大值为 ▲ . 7. (2011 四川南充 8 分)如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M 是 BC 的 中点. (1)求证:△MDC 是等边三角形; (2)将△MDC 绕点 M 旋转,当 MD(即 MD′)与 AB 交于一点 E,MC(即 MC′)同时与 AD 交于一点 F 时,点 E,F 和点 A 构成△AEF.试探究△AEF 的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果 存在,请计算出△AEF 周长的最小值. 8. (2011 四川眉山 11 分)如图,在直角坐标系中,已知点 A(0,1), B(-4,4),将点 B 绕点 A 顺时 针方向旋转 90°得到点 C;顶点在坐标原点的拋物线经过点 B. (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标; (2)抛物线上一动点 P,设点 P 到 x 轴的距离为 d1,点 P 到点 A 的距离为 d2,试说明 d2=d1+1; (3)在(2)的条件下,请探究当点 P 位于何处时,△PAC 的周长有最小值,并求出△PAC 的周长的最小 值. 55 9. (2011 辽宁本溪 3 分)如图,正方形 ABCD 的边长是 4,∠DAC 的平分线交 DC 于点 E,若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点,则 DQ+PQ 的最小值【 】 A、2 B、4 C、 22 D、 42 10.(2011 辽宁阜新 3 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,点 E 是 BC 中点,点 F 是边 CD 上的 任意一点,当△AEF 的周长最小时,则 DF 的长为【 】 A.1 B.2 C.3 D.4 11. (2011 贵州六盘水 3 分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC=6,BD=8,点 E、F 分别是边 AB、BC 的中点,点 P 在 AC 上运动,在运动过程中,存在 PE+PF 的最小值,则这个最小值是 【 】 A.3 B.4 C.5 D.6 12. (2011 甘肃天水 4 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=6,对角线 AC 平分∠BAD, 56 点 E 在 AB 上,且 AE=2(AE<AD),点 P 是 AC 上的动点,则 PE+PB 的最小值是 ▲ . 13. (2011 四川资阳 9 分)在一次机器人测试中,要求机器人从 A 出发到达 B 处.如图 1,已知点 A 在 O 的正西方 600cm 处,B 在 O 的正北方 300cm 处,且机器人在射线 AO 及其右侧(AO 下方)区域的速度为 20cm/ 秒,在射线 AO 的左侧(AO 上方)区域的速度为 10cm/秒. (1) 分别求机器人沿 A→O→B 路线和沿 A→B 路线到达 B 处所用的时间(精确到秒);(3 分) (2) 若∠OCB=45°,求机器人沿 A→C→B 路线到达 B 处所用的时间(精确到秒);(3 分) (3) 如图 2,作∠OAD=30°,再作 BE⊥AD 于 E,交 OA 于 P.试说明:从 A 出发到达 B 处,机器人沿 A→P→B 路线行进所用时间最短.(3 分) 14. (广东深圳 9 分)如图 1,抛物线  2 0y ax bx c a    的顶点为(1,4),交 x 轴于 A、B,交 y 轴 于 D,其中 B 点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式 (2)如图 2,过点 A 的直线与抛物线交于点 E,交 轴于点 F,其中 E 点的横坐标为 2,若直线 PQ 为抛 物线的对称轴,点 G 为 PQ 上一动点,则 轴上是否存在一点 H,使 D、G、F、H 四点围成的四边形周长 最小.若存在,求出这个最小值及 G、H 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图 3,抛物线上是否存在一点 T,过点 T 作 的垂线,垂足为 M,过点 M 作直线 MN∥BD,交线 段 AD 于点 N,连接 MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,说明理由. 57 15. (2011 湖北咸宁 12 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 43 4  xy 分别交 x 轴,y 轴于 A,B 两点, 点 C 为 OB 的中点,点 D 在第二象限,且四边形 AOCD 为矩形. (1)直接写出点 A,B 的坐标,并求直线 AB 与 CD 交点的坐标; (2)动点 P 从点 C 出发,沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动;同时,动点 M 从点 A 出发,沿线段 AB 以每秒 3 5 个单位长度的速度向终点 B 运动,过点 P 作 PH⊥OA,垂足为 H,连接 MP, MH.设点 P 的运动时间为t 秒. ①若△MPH 与矩形 AOCD 重合部分的面积为 1,求 的值; ②点 Q 是点 B 关于点 A 的对称点,问 BP+PH+HQ 是否有最小值,如果有,求出相应的点 P 的坐标;如果 没有,请说明理由. 16. (2011 云南昆明 12 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点 P 从点 A 出 发沿 AB 方向向点 B 运动,速度为 1cm/s,同时点 Q 从点 B 出发沿 B→C→A 方向向点 A 运动,速度为 2cm/s, 当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动. (1)求 AC、BC 的长; (2)设点 P 的运动时间为 x(秒),△PBQ 的面积为 y(cm2),当△PBQ 存在时,求 y 与 x 的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范围; (3)当点 Q 在 CA 上运动,使 PQ⊥AB 时,以点 B、P、Q 为定点的三角形与△ABC 是否相似,请说明 理由; (4)当 x=5 秒时,在直线 PQ 上是否存在一点 M,使△BCM 得周长最小,若存在,求出最小周长,若不 58 存在,请说明理由. 17. (2011 贵州安顺 12 分)如图,抛物线 y= 1 2 x2+bx﹣2 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(﹣1,0). (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)判断△ABC 的形状,证明你的结论; (3)点 M(m,0)是 x 轴上的一个动点,当 MC+MD 的值最小时,求 m 的值.