华师版九年级数学下册-第26章检测题 6页

第 26 章检测题 (时间：100 分钟满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列函数中，属于二次函数的是( C ) A．y＝－2xB．y＝x2＋ 1 x2C．y＝(x＋3)2－9D．y＝ 1 x2 ＋1 2．(益阳中考)下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是( B ) A．y＝4xB．y＝－4xC．y＝x－4D．y＝x2 3．(2020·广东)把函数 y＝(x－1)2＋2 图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函数解 析式为( C ) A．y＝x2＋2B．y＝(x－1)2＋1C．y＝(x－2)2＋2D．y＝(x－1)2＋3 4．用一根长为 12cm 的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积最大为( C ) A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm2 5．(山西中考)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨 径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近 似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点．拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB＝90 米)，以最 高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的 函数表达式为( B ) A．y＝ 26 675x2B．y＝－ 26 675x2C．y＝ 13 1350x2D．y＝－ 13 1350x2 第 5 题图 第 8 题图 第 10 题图 6．(2020·达州)如图，直线 y1＝kx 与抛物线 y2＝ax2＋bx＋c 交于 A，B 两点，则 y＝ax2 ＋(b－k)x＋c 的图象可能是( B ) 7．(2020·呼和浩特)关于二次函数 y＝1 4x2－6x＋a＋27，下列说法错误的是( C ) A．若将图象向上平移 10 个单位，再向左平移 2 个单位后过点(4，5)，则 a＝－5 B．当 x＝12 时，y 有最小值 a－9 C．x＝2 对应的函数值比最小值大 7 D．当 a＜0 时，图象与 x 轴有两个不同的交点 8．(2020·长沙)“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制 作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百 分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间 t(单位：分钟)近似满 足的函数关系为：P＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根 据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( C ) A．3.50 分钟 B．4.05 分钟 C．3.75 分钟 D．4.25 分钟 9．(2020·江西)在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y＝x2－2x－3 与 y 轴交 于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B，连接 AB，将 Rt△OAB 向右上方平移，得到 Rt△O′A′ B′，且点 O′，A′落在抛物线的对称轴上，点 B′落在抛物线上，则直线 A′B′的表达式为( B ) A．y＝xB．y＝x＋1C．y＝x＋1 2D．y＝x＋2 10．(2020·随州)如图所示，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A(－1，0)， B(3，0)两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，则下列结论：①2a＋b＝0；②2c＜3b； ③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有 2 个；④当△BCD 是直角三角形时，a＝－ 2 2 .其中 正确的有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2020·哈尔滨)抛物线 y＝3(x－1)2＋8 的顶点坐标为__(1，8)__． 12．(天门中考)矩形的周长等于 40，则此矩形面积的最大值是__100__． 13．(2020·仙桃)某商店销售一批头盔，售价为每顶 80 元，每月可售出 200 顶．在“创 建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1 元，每月可多售出 20 顶．已 知头盔的进价为每顶 50 元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为__70__元． 14．(2020·无锡)二次函数 y＝ax2－3ax＋3 的图象过点 A(6，0)，且与 y 轴交于点 B，点 M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为__(3 2 ， －9)或(3 2 ，6)__． 15．(2020·内江)已知抛物线 y1＝－x2＋4x(如图)和直线 y2＝2x＋b.我们规定：当 x 取任 意一个值时，x 对应的函数值分别为 y1 和 y2.若 y1≠y2，取 y1 和 y2 中较大者为 M；若 y1＝y2， 记 M＝y1＝y2.①当 x＝2 时，M 的最大值为 4；②当 b＝－3 时，使 M＞y2 的 x 的取值范围是 －1＜x＜3；③当 b＝－5 时，使 M＝3 的 x 的值是 x1＝1，x2＝3；④当 b≥1 时，M 随 x 的 增大而增大．上述结论正确的是__②④__．(填写所有正确结论的序号) 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)(2020·温州)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋1 经过点(1，－2)，(－2，13). (1)求 a，b 的值． (2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且 y2＝12－y1，求 m 的值． 解：(1)把点(1，－2)，(－2，13)代入 y＝ax2＋bx＋1 得， －2＝a＋b＋1， 13＝4a－2b＋1， 解得： a＝1， b＝－4 (2)由(1)得函数解析式为 y＝x2－4x＋1，把 x＝5 代入 y＝x2－4x＋1 得 y1＝6，∴y2＝12 －y1＝6，∵y1＝y2，∴对称轴为 x＝2，∴m＝4－5＝－1 17．(9 分)已知一个二次函数的对称轴是直线 x＝1，图象上最低点 P 的纵坐标是－8， 图象经过点(－2，10)且与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C. (1)求这个二次函数的表达式； (2)求△ABC 的面积． 解：(1)y＝2x2－4x－6 (2)当 y＝0 时，2x2－4x－6＝0，即 x2－2x－3＝0，解得 x1＝3，x2＝－1，∴|AB|＝4.当 x＝0 时，y＝－6，∴C(0，－6)，S△ABC＝1 2·|AB||yc|＝1 2 ×4×6＝12 18．(9 分)(2020·宁波)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋4x－3 图象的顶 点是 A，与 x 轴交于 B，C 两点，与 y 轴交于点 D.点 B 的坐标是(1，0). (1)求 A，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当 y＞0 时 x 的取值范围． (2)平移该二次函数的图象，使点 D 恰好落在点 A 的位置上，求平移后图象所对应的二 次函数的表达式． 解：(1)把 B(1，0)代入 y＝ax2＋4x－3，得 0＝a＋4－3，解得 a＝－1，∴y＝－x2＋4x －3＝－(x－2)2＋1，∴A(2，1)，∵对称轴 x＝1，B，C 关于 x＝2 对称，∴C(3，0)，∴当 y ＞0 时，1＜x＜3 (2)∵D(0，－3)，∴点 D 平移到 A，抛物线向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位，可得抛物线的解析式为 y＝－(x－4)2＋5 19．(9 分)如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数 y2＝－x＋m 和二次函数 y1＝ax2 ＋bx－3 的图象上． (1)求 m 的值和二次函数的表达式； (2)请直接写出 y2＞y1 时，x 的取值范围； (3)说出 y1＝ax2＋bx－3 可由 y＝x2 如何平移得到？ 解：(1)把 A(－1，0)代入 y＝－x＋m 中得 m＝－1，将 A，B 坐标代入 y1 中，得 a－b－3＝0， 4a＋2b－3＝－3， ∴ a＝1， b＝－2. ∴y1＝x2－2x－3 (2)当 y2＞y1 时，－1＜x＜2 (3)y1＝x2－2x －3＝(x－1)2－4.可由 y＝x2 向下平移 4 个单位，再向右平移 1 个单位得到 20．(9 分)(2020·临沂)已知抛物线 y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在 x 轴上，求其解析式； (3)设点 P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若 y1＜y2，求 m 的取值范围． 解：(1)∵抛物线 y＝ax2－2ax－3＋2a2＝a(x－1)2＋2a2－a－3.∴抛物线的对称轴为直线 x ＝1 (2)∵抛物线的顶点在 x 轴上，∴2a2－a－3＝0，解得 a＝3 2 或 a＝－1，∴抛物线为 y＝3 2x2 －3x＋3 2 或 y＝－x2＋2x－1 (3)∵抛物线的对称轴为 x＝1，则 Q(3，y2)关于 x＝1 对称点的 坐标为(－1，y2)，∴当 a＝3 2 ，－1＜m＜3 时，y1＜y2；当 a＝－1，m＜－1 或 m＞3 时，y1 ＜y2 21．(10 分)(2020·河北)用承重指数 W 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验 室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数 W 与木板厚度 x(厘 米)的平方成正比，当 x＝3 时，W＝3. (1)求 W 与 x 的函数关系式； (2)如图，选一块厚度为 6 厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块 板(不计分割损耗).设薄板的厚度为 x(厘米)，Q＝W 厚－W 薄． ①求 Q 与 x 的函数关系式； ②x 为何值时，Q 是 W 薄的 3 倍？[注：(1)及(2)中的①不必写 x 的取值范围] 解：(1)设 W＝kx2(k≠0).∵当 x＝3 时，W＝3，∴3＝9k，解得 k＝1 3 ，∴W 与 x 的函数 关系式为 W＝1 3x2 (2)①设薄板的厚度为 x 厘米，则厚板的厚度为(6－x)厘米，∴Q＝W 厚－ W 薄＝1 3(6－x)2－1 3x2＝－4x＋12，即 Q 与 x 的函数关系式为 Q＝－4x＋12②∵Q 是 W 薄的 3 倍，∴－4x＋12＝3×1 3x2，整理得，x2＋4x－12＝0，解得 x1＝2，x2＝－6(不合题意舍去)， 故当 x 为 2 时，Q 是 W 薄的 3 倍 22．(10 分)(2020·随州)2020 年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查 发现某药店某月(按 30 天计)前 5 天的某型号口罩销售价格 p(元/只)和销量 q(只)与第 x 天的 关系如下表： 第 x 天 1 2 3 4 5 销售价格 p(元/只) 2 3 4 5 6 销量 q(只) 70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于 1 元/只， 该药店从第 6 天起将该型号口罩的价格调整为 1 元/只．据统计，该药店从第 6 天起销量 q(只) 与第 x 天的关系为 q＝－2x2＋80x－200 (6≤x≤30，且 x 为整数)，已知该型号口罩的进货价 格为 0.5 元/只． (1)直接写出该药店该月前 5 天的销售价格 p 与 x 和销量 q 与 x 之间的函数关系式； (2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润 W(元)与 x 的函数关系式，并判断第几天的 利润最大； (3)物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获 得的正常利润之外的非法所得部分处以 m 倍的罚款，若罚款金额不低于 2000 元，则 m 的 取值范围为________. 解：(1)根据表格数据可知：前 5 天的某型号口罩销售价格 p(元/只)和销量 q(只)与第 x 天的关系式为：p＝x＋1，1≤x≤5且x为整数；q＝5x＋65，1≤x≤5且x为整数 (2)当1≤x≤5 且 x 为整数时，W＝(x＋1－0.5)(5x＋65)＝5x2＋135 2 x＋65 2 ；当 6≤x≤30 且 x 为整数时，W ＝ (1 － 0.5)( － 2x2 ＋ 80x － 200) ＝ － x2 ＋ 40x － 100. 即 有 W ＝ 5x2＋135 2 x＋65 2 ，1≤x≤5 且 x 为整数， －x2＋40x－100，6≤x≤30 且 x 为整数， 当 1≤x≤5 且 x 为整数时，售价，销量均随 x 的 增大而增大，故当 x＝5 时，W 有最大值为：495 元；当 6≤x≤30 且 x 为整数时，W＝－x2 ＋40x－100＝－(x－20)2＋300，故当 x＝20 时，W 有最大值为：300 元；由 495＞300，可 知：第 5 天的利润最大为 495 元 (3)根据题意可知：获得的正常利润之外的非法所得部分 为：(2－1)×70＋(3－1)×75＋(4－1)×80＋(5－1)×85＋(6－1)×90＝1250(元)，∴1250m≥ 2000，解得 m≥8 5.则 m 的取值范围为 m≥8 5.故答案为：m≥8 5 23．(11 分)(河南中考)如图，抛物线 y＝ax2＋1 2x＋c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C. 直线 y＝－1 2x－2 经过点 A，C. (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐 标为 m. ①当△PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标； ②作点 B 关于点 C 的对称点 B′，则平面内存在直线 l，使点 M，B，B′到该直线的距 离都相等．当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l：y＝kx ＋b 的解析式．(k，b 可用含 m 的式子表示) 解：(1)当 x＝0 时，y＝－1 2x－2＝－2，∴点 C 的坐标为(0，－2)；当 y＝0 时，－1 2x－2 ＝0，解得：x＝－4，∴点 A 的坐标为(－4，0).将 A(－4，0)，C(0，－2)代入 y＝ax2＋1 2x＋ c，得： 16a－2＋c＝0， c＝－2， 解得 a＝1 4 ， c＝－2， ∴抛物线的解析式为 y＝1 4x2＋1 2x－2 (2)①∵PM⊥x 轴，∴∠PMC≠90°，∴分两种情况考虑，如图①所示．(Ⅰ)当∠MPC＝90°时，PC∥x 轴， ∴点 P 的纵坐标为－2.当 y＝－2 时，即 1 4x2＋1 2x－2＝－2，解得：x1＝－2，x2＝0，∴点 P 的坐标为(－2，－2)；(Ⅱ)当∠PCM＝90°时，设 PC 与 x 轴交于点 D.∵∠OAC＋∠OCA＝ 90°，∠OCA＋∠OCD＝90°，∴∠OAC＝∠OCD.又∵∠AOC＝∠COD＝90°，∴△AOC ∽△COD，∴OD OC ＝OC OA ，即OD 2 ＝2 4 ，∴OD＝1，∴点 D 的坐标为(1，0).设直线 PC 的解析式 为 y＝kx＋b(k≠0)，将 C(0，－2)，D(1，0)代入 y＝kx＋b，得： b＝－2， k＋b＝0， 解得： k＝2， b＝－2， ∴直线 PC 的解析式为 y＝2x－2.联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组，得： y＝2x－2， y＝1 4x2＋1 2x－2，解得： x1＝0， y1＝－2， x2＝6， y2＝10， 点 P 的坐标为(6，10). 综上所述：当△PCM 是直角三角形时，点 P 的坐标为(－2，－2)或(6，10) ②当 y＝0 时，1 4x2＋1 2x－2＝0，解得：x1＝－4，x2＝2，∴点 B 的坐标为(2，0).∵点 C 的坐标为(0，－ 2)，点 B，B′关于点 C 对称，∴点 B′的坐标为(－2，－4).∵点 P 的横坐标为 m(m＞0 且 m≠2)，∴点 M 的坐标为(m，－1 2m－2).利用待定系数法可求出：直线 BM 的解析式为 y＝ － m＋4 2m－4 x＋m＋4 m－2 ，直线 B′M 的解析式为 y＝－m＋4 2m＋4 x－5m＋4 m＋2 ，直线 BB′的解析式为 y＝x －2.分三种情况考虑，如图②所示：当直线 l∥BM 且过点 C 时，直线 l 的解析式为 y＝－ m＋4 2m－4 x－2；当直线 l∥B′M 且过点 C 时，直线 l 的解析式为 y＝－m＋4 2m＋4 x－2；当直线 l∥BB′ 且过线段 CM 的中点 N(1 2m，－1 4m－2)时，直线 l 的解析式为 y＝x－3 4m－2.综上所述：直线 l 的解析式为 y＝－ m＋4 2m－4 x－2，y＝－m＋4 2m＋4 x－2 或 y＝x－3 4m－2