2019年陕西省西安市末央区中考数学一模试卷（含答案解析） 23页

2019 年陕西省西安市末央区中考数学一模试卷 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．3 的相反数是（ ） A．﹣3 B．3 C． D．﹣ 2．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，若点 P（m﹣2，m+1）在第二象限，则 m 的取值范围是（ ） A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1 5．下列正比例函数中，y 随 x 的值增大而增大的是（ ） A．y＝﹣2014x B．y＝（ ﹣1）x C．y＝（﹣ π ﹣3）x D．y＝（1﹣ π 2）x 6．如图，已知直线 AB、CD 被直线 AC 所截，AB∥CD，E 是平面内任意一点（点 E 不在直线 AB、 CD、AC 上），设∠BAE＝ α ，∠DCE＝ β ．下列各式： ①α + β ， ②α ﹣ β ， ③β ﹣ α ， ④ 360°﹣ α﹣ β ，∠AEC 的度数可能是（ ） A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ①②③④7．利用如图 1 的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图 2 是某个学生的识别 图案，黑色小正方形表示 1，白色小正方形表示 0，将第一行数字从左到右依次记为 a，b，c，d， 那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为 a×23+b×22+c×21+d×20，如图 2 第一行数字从左 到右依次为 0，1，0，1，序号为 0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为 5 班学生．表示 6 班 学生的识别图案是（ ） A． B． C． D． 8．如图， ⊙ O 是△ABC 的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧 的长等于（ ） A． B． π C． D． 9．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则 cosA 的值是（ ） A． B． C． D． 10．已知点 A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线 y＝ax2+bx+c 上，点 P（m，n）是该抛物线的顶 点，若 y1＞y2≥n，则 m 的取值范围是（ ） A．﹣3＜m＜2 B．﹣ C．m＞﹣ D．m＞2 二．填空题（共 4 小题，满分 12 分，每小题 3 分） 11．比较大小：5 ． 12．∠1 还可以用 表示，若∠1＝62.16°，那么 62.16°＝ ° ′ ″． 13．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y＝﹣ 在第二象限的图象上有一点 A，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，则 S△AOB＝ ． 14．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，以点 A 为圆心，1 为半径作圆，E 是 ⊙ A 上的任意一点， 将点 E 绕点 D 按逆时针方向旋转 90°得到点 F，则线段 AF 的长的最小值 ． 三．解答题（共 11 小题，满分 78 分） 15．计算： +|1﹣ |﹣2× +（ ）﹣1 16．附加题：（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2＝（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2． 求 的值． 17．如图，△ABC，AB＝AC＝10，BC＝16． （1）作△ABC 的外接圆 O（用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） （2）求 OA 的长． 18．萧山区 2014 教师招聘有拉开序幕，这给很多有志于教育事业的人员很多机会．下面是今年报考 人数统计表（数学） 招聘岗位 招聘计划 报考人数 高中教师 1 研究生 高中 数 学 [来源:学+科+网] 10 高中教师 2 普通 高中 数 学 19[来源:Zxxk.Com] 初中教师 普通 初中 数 学 12 55 小学教师 1 普通 城区与八 镇 数 学 18 83 小学教师 2 普通 其他 数 学 21 93 （1）根据上表信息，请制作补完下面的扇形统计图和上述表格． （2）录取比例最小的是多少？最大的是多少？ （3）如果是你（本科毕业），仅从录取比例上看，你会选择报考哪个岗位？ 19．已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 DC 边上的点，且 EC＝FC．求证：∠AEF ＝∠AFE． 20．如图，游客在点 A 处坐缆车出发，沿 A﹣B﹣D 的路线可至山顶 D 处．已知 AB＝BD＝800 米， ∠ α ＝75°，∠ β ＝45°，求山高 DE（结果精确到 1 米）． 【参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732， ＝1.414】 21．某校八年级举行英语演讲比赛，准备用 1200 元钱（全部用完）购买 A，B 两种笔记本作为奖品， 已知 A，B 两种每本分别为 12 元和 20 元 ，设购入 A 种 x 本，B 种 y 本． （1）求 y 关于 x 的函数表达式． （2）若购进 A 种的数量不少于 B 种的数量． ① 求至少购进 A 种多少本？ ② 根据 ① 的购买，发现 B 种太多，在费用不变的情况下把一部分 B 种调换成另一种 C，调换后 C 种的数量多于 B 种的数量，已知 C 种每本 8 元，则调换后 C 种至少有 本（直接写出答案） 22．车辆经过润 扬大桥收费站时，4 个收费通道 A、B、C、D 中，可随机选择其中一个通过． （1）一辆车经过此收费站时，选择 A 通道通过的概率是 ． （2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率． 23．已知，AB 为 ⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，在 CD 的延长线上取一点 P，PG 与 ⊙ O 相切于 点 G，连接 AG 交 CD 于点 F．[来源:学&科&网 Z&X&X&K] （Ⅰ）如图 ① ，若∠A＝20°，求∠GFP 和∠AGP 的大小； （Ⅱ）如图 ② ，若 E 为半径 OA 的中点，DG∥AB，且 OA＝2 ，求 PF 的长． 24．已知抛物线 y＝x2+mx+n 的图象经过点（﹣3，0），点（1，0） （1）求抛物线解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 25．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，过点 B 作 BD⊥AB，点 C，D 都在 AB 上方，AD 交△BCD 的外接圆 ⊙ O 于点 E． （1）求证：∠CAB＝∠AEC． （2）若 BC＝3． ① EC∥BD，求 AE 的长． ② 若△BDC 为直角三角形，求所有满足条件的 BD 的长． （ 3）若 BC＝EC＝ ，则 ＝ ．（直接写出结果即可） 2019 年陕西省西安市末央区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【分析】依据相反数的定义回答即可． 【解答】解：3 的相反数是﹣3． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2．【分析】根据几何体的展开图，可得答案． 【解答】解：A、不能折叠成正方体，故选项错误； B、不能折成圆锥，故选项错误； C、不能折成三棱柱，故选项错误； D、能折成圆柱，故选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题关键． 3．【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断． 【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的对称性进行判断． 4．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可． 【解答】解：∵点 P（m﹣2，m+1）在第二象限， ∴ ， 解得﹣1＜m＜2． 故选：C． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号 是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象 限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 5．【分析】先根据正比例函数中，y 随 x 的增大而增大判断出 k 的符号，再对各选项进行分析即可． 【解答】解：∵正比例函数中，y 随 x 的值增大而增大， ∴k＞0， A、﹣2014＜0，故本选项错误； B、 ﹣1≈1.73﹣1＝0.73＞0，故本选项正确； C、﹣ π ﹣3＜0，故本选项错误； D、1﹣ π 2＜0，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数 y＝kx（k≠0），当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大是解答此题的关键． 6．【分析】根据点 E 有 6 种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进 行计算求解即可． 【解答】解：（1）如图，由 AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝ β ， ∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C＝ β ﹣ α ．[来源:Z*xx*k.Com] （2）如图，过 E2 作 AB 平行线，则由 AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝ α ，∠2＝∠DCE2＝ β ， ∴∠AE2C＝ α + β ． （3）如图，由 AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝ β ， ∵∠BAE3＝∠ BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C＝ α ﹣ β ． （4）如图，由 AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°， ∴∠AE4C＝360°﹣ α ﹣ β ． ∴∠AEC 的度数可能为 β ﹣ α ， α + β ， α ﹣ β ，360°﹣ α ﹣ β ． （5）（6）当点 E 在 CD 的下方时，同理可得，∠AEC＝ α ﹣ β 或 β ﹣ α ． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，两直线 平行，内错角相等． 7．【分析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断． 【解答】解：A、第一行数字从左到右依次为 1、0、1、0，序号为 1×23+0×22+1×21+0×20＝10， 不符合题意； B、第一行数字从左到右依次为 0，1，1，0，序号为 0×23+1×22+1×21+0×20＝6，符合题意； C、第一行数字从左到右依次为 1，0，0，1，序号为 1×23+0×22+0×21+1×20＝9，不符合题意； D、第一行数字从左到右依次为 0，1，1，1，序号为 0×23+1×22+1×21+1×20＝7，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是根据题意弄清题干规定的运算规则，并将图 形的变化问题转化为数字问题． 8．【分析】连接 OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，得到△OBC 是等边三角形，求出 OB，根据弧长公式计算即可．[来源:Zxxk.Com] 【解答】解：连接 OB，OC， 由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝60°，又 OB＝OC， ∴△OBC 是等边三角形， ∴O B＝BC＝2， ∴劣弧 ＝ ＝ ， 故选：A． 【点评】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，弧长的计算，掌握弧长公式是解 题的关键． 9．【分析】先根据勾股定理求得 AC＝8，再依据余弦函数的定义求解可得． 【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6， 由勾股定理得：AC＝ ＝8， ∴cosA＝ ， 故选：A． 【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及锐角三角函数的定义． 10．【分析】根据点 A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线 y＝ax2+bx+c 上，点 P（m，n）是该抛 物线的顶点，y1＞y2≥n，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线 x＝m，则 ＜m，从而可以 求得 m 的取值范围，本题得以解决． 【解答】解：∵点 P（m，n）是该抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为 x＝m， ∵点 A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线 y＝ax2+bx+c 上，且 y1＞y2≥n， ∴ ＜m， 解得 m＞ ， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意， 利用二次函数的性质解答． 二．填空题（共 4 小题，满分 12 分，每小题 3 分） 11．【分析】根据实数大小比较的方法比较即可． 【解答】解：∵5 ＝ ， ∴5 ＞ ． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法是解题的关键 12．【分析】依据角的表示方法以及度分秒的换算进行解答即可． 【解答】解：由图可得，∠1 还可以用∠BCE 表示； ∵0.16°＝9.6′，0.6′＝36″， ∴62.16°＝62°9′36″， 故答案为：∠BCE，62，9，36． 【点评】本题主要考查了度分秒的换算，度、分、秒是常用的角的度量单位．1 度＝60 分，即 1 °＝60′，1 分＝60 秒，即 1′＝60″． 13．【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以求得△AOB 的面积，本题得以解决． 【解答】解：设点 A 的坐标为（a，﹣ ）， ∵反比例函数 y＝﹣ 在第二象限的图象上有一点 A，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B， ∴S△AOB＝ ＝2， 故答案为：2． 【点评】本替考查反比例函数系数 k 的几何意义，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数 的性质和数形结合的思想解答． 14．【分析】根据题意先证明△ADE≌△CDF，则 CF＝AE＝1，根据三角形三边关系得：AF≤AC ﹣CF，可知：当 F 在 AC 上时，AF 最小，所以由勾股定理可得 AC 的长，可求得 AF 的最小值．[来 源:学+科+网] 【解答】解：如图，连接 FC，AC，AE． ∵ED⊥DF， ∴∠EDF＝∠EDA+∠ADF＝90°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠ADF+∠CDF＝90°， ∴∠EDA＝∠CDF， 在△ADE 和△CDF 中 ∵ ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴CF＝AE＝1， ∵正方形 ABCD 的边长为 2， ∴AC＝2 ， ∵AF≥AC﹣CF， ∴AF≥2 ﹣1 ∴AF 的最小值是 2 ﹣1； 故答案为：2 ﹣1． 【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题 的关键是确定 AF 最小时，F 在线段 AC 上，是一道中等难度的试题． 三．解答题（共 11 小题，满分 78 分） 15．【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝3+ ﹣1﹣ +3 ＝5． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 16．【分析】先将已知条件化简，可得：（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝0．因为 x， y，z 均为实 数，所以 x＝y＝z．将所求代数式中所有 y 和 z 都换成 x，计算即可． 【解答】解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2＝（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2． ∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2＝0， ∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y） （z﹣x﹣z﹣x+2y）＝0， ∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz＝0， ∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2＝0． ∵x，y，z 均为实数， ∴x＝y＝z． ∴ ＝ ＝1． 【点评】本题中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，要仔细琢磨，灵活运用公式， 会给解题带来益处． 17．【分析】（1）可按尺规作图的方法进行作图．（作其中两条边的垂直平分线，以此交点为圆心， 圆心到三角形任何一顶点的距离为半径作圆）； （2）可通过构建直角三角形来求解．连接 OA，OC，OA⊥BC．先在三角形 ACD 中求出 AD 的 值，然后在三角形 ODC 中，用半径表示 OD，OC，根据勾股定理求出半径． 【解答】解：（1）如图，点 O 即为所求的点． [来源:Z*xx*k.Com] （2）连接 OA 交 BC 于 D，连接 OC． 因为 AB＝AC， 所以由垂径定理，得 OA⊥BC 于 D，BD＝CD＝8． 在 Rt△ADC 中，AD＝ ＝ ＝6． 设 OC＝OA＝R，则 OD＝R﹣6． 在 Rt△OCD 中，由 OC2＝OD2+CD2， 得 R2＝（R﹣6）2+82，解得 R＝ ， ∴OA＝ ．[来源:学。科。网] 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、勾股定理和垂径定理，要注意本题中外接圆的作法． 18．【分析】（1）根据初中教师的招聘计划和所占的百分比求出招聘总人数，再分别乘以所占的百 分比求出高中教师 1 和高中教师 2 的人数，用各部分的招聘计划除以总招聘人数求出所占的百分 比，然后补全统计图即可； （2）根据招聘计划和所报人数解答； （3）根据各岗位的录取比例选择即可． 【解答】解：（1）招聘总计划为：12÷20%＝60， 高中教师 1：60×5%＝3， 高中教师 2：60×10%＝6， 小学教师 1： ×100%＝30%， 小学教师 2： ×100%＝35%； 依次填入：3，6； （2）高中教师 1： ×100%＝30%， 高中教师 2： ×100%≈31.58%， 初中教师： ×100%≈21.82%， 小学教师 1： ×100%≈21.69%， 小学教师 2，为 ×100%≈22.58%； 所以，录取比例最小的是小学教师 1， 最大的是高中教师 2； （3）高中教师 2． 【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息 是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19．【分析】由四边形 ABCD 是菱形，即可求得 AB＝AD，∠B＝∠D，又由 EC＝FC 知 BE＝DF， 根据 SAS，即可证△ABE≌△ADF 得 AE＝AF，从而得证． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D， ∵EC＝FC， ∴BE＝DF， 在△ABE 和△ADF 中 ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）； ∴AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE． 【点评】此题考查了菱形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质， 注意菱形的四条边都相等，对角相等． 20．【分析】在 R△ABC 中，求出 BC＝AB•cos75°≈800×0.26＝208m，在 Rt△BDF 中，求出 DF 的长，由四边形 BCEF 是矩形，可得 EF＝BC，由此即可解决问题． 【解答】解：由题意得：∠ACB＝∠BFD＝90°，EF＝BC， 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，cos α ＝ ， ∴BC＝AB•cos75°＝80×0.259＝207.2． ∴EF＝BC＝207.2， 在 Rt△BDF 中，∠BFD＝90° ，sin β ＝ ， ∴DF＝BD•sin45°＝800× ＝400×1.414＝565.6． ∴DE＝DF+EF＝565.6+207.2＝772.8≈773（米）． ∴山高 DE 约为 773 米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是学会 利用直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 21．【分析】（1）根据 A 种的费用+B 种的费用＝1200 元，可求 y 关于 x 的函数表达式； （2） ① 根据购进 A 种的数量不少于 B 种的数量，列出不等式，可求解； ② 设 B 种的数量 m 本，C 种的数量 n 本，根据题意找出 m，n 的关系式，再根据调换后 C 种的数 量多于 B 种的数量，列出不等式，可求解． 【解答】解：（1）∵12x+20y＝1200， ∴y＝ ， （2） ① ∵购进 A 种的数量不少于 B 种的数量， ∴x≥y， ∴x≥ ， ∴x≥ ， ∵x，y 为正整数， ∴至少购进 A 种 40 本， ② 设 A 种的数量为 x 本，B 种的数量 y 本，C 种的数量 c 本， 根据题意得：12x+20y+8c＝1200 ∴y＝ ∵C 种的数量多于 B 种的数量 ∴c＞y ∴c＞ ∴c＞ ， ∵购进 A 种的数量不少于 B 种的数量， ∴x≥y ∴x≥ ∴c≥150﹣4x ∴c＞ ， 且 x，y，c 为正整数， ∴C 种至少有 30 本 故答案为 30 本． 【点评】本题考查一次函数的应用，不等式组等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决实际 问题，属于中考常考题型． 22．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）画出树状图即可得到结论． 【解答】解：（1）选择 A 通道通过的概率＝ ， 故答案为： ； （2）设两辆车为甲，乙， 如图，两辆车经过此收费站时，会有 16 种可能的结果，其中选择不同通道通过的有 12 种结果， ∴选择不同通道通过的概率＝ ＝ ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键． 23．【分析】（Ⅰ）连接 OG，在 Rt△AEF 中，∠A＝20°，可得∠GFP＝∠EFA＝70°，因为 OA ＝OG，所以∠OGA＝∠A＝20°，因为 PG 与 ⊙ O 相切于点 G，得∠OGP＝90°，可得∠AGP＝ 90°﹣20°＝70°．； （Ⅱ）如图，连结 BG，OG，OD，AD，证明△OAD 为等边三角形，得∠AOD＝60°，所以∠AGD ＝30°，因为 DG∥AB，所以∠BAG＝∠AGD＝30°，在 Rt△AGB 中可求得 AG＝6，在 Rt△AEF 中可求得 AF＝2，再证明△GFP 为等边三角形，所以 PF＝FG＝AG﹣AF＝ 6﹣2＝4． 【解答】解：（Ⅰ）连接 OG， ∵CD⊥AB 于 E， ∴∠AEF＝90°， ∵∠A＝20°， ∴∠ EFA＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°， ∴∠GFP＝∠EFA＝70°， ∵OA＝OG， ∴∠OGA＝∠A＝20°， ∵PG 与 ⊙ O 相切于点 G， ∴∠OGP＝90°，[来源:学科网] ∴∠AGP＝∠OGP﹣∠OGA＝90°﹣20°＝70°． （Ⅱ）如图，连结 BG，OG，OD，AD， ∵E 为半径 OA 的中点，CD⊥AB， ∴OD＝AD＝OA， ∴△OAD 为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠AGD＝ ∠AOD＝30°， ∵DG∥AB， ∴∠BAG＝∠AGD＝30°， ∵AB 为 ⊙ O 的直径，OA＝2 ， ∴∠AGB＝90°，AB＝4 ， ∴AG＝AB•cos30°＝6，． ∵OG＝OA， ∴∠OGA＝∠BAG＝30°， ∵PG 与 ⊙ O 相切于点 G，∴∠OGP＝90°， ∴∠FGP＝90°﹣30°＝60°， ∵∠AEF＝90°，AE＝ ，∠BAG＝30°， ∴AF＝2，∠GFP＝∠EFA＝60， ∴△GFP 为等边三角形， ∴PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4． 【点评】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．解题的关键 是掌握圆的切线的性质． 24．【分析】（1）利用待定系数法把（﹣3，0），（1，0）代入二次函数 y＝x2+mx+n 中，即可 算 出 m、n 的值，进而得到函数解析式； （2）将（1）中所得解析式化为顶点式，可得结果． 【解答】解：（1）∵二次函数 y＝x2+mx+n 过点（﹣3，0），C（1，0）， ∴ 解得： ， 二次函数的解析式为 y＝x2+2x﹣3； （2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，顶点坐标为：（﹣1，﹣4）． 【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能 满足解析式． 25．【分析】（1）利用圆的内接四边形的性质以及等角的余角相等的性质易证明出结论成立； （2）延长 AC 交 BD 于点 F，利用平行线等分线段和相似三角形对应边成比例求解即可； （3）利用勾股定理和相似三角形分别求出 AE 和 BD 的长，依据对应边等高三角形的面积比是对 应边之比，进而求解； 【 解 答 】 证明：（1）∵四边形 BCED 内接于 ⊙ O ∴∠AEC＝∠DBC 又∵DB⊥AB ∴∠ABC+∠DBC＝90° 又∵∠ACB＝90° ∴在 Rt△ABC 中，∠CAB+∠ABC＝90° ∴∠DBC＝∠CAB ∴∠CAB＝∠AEC （2） ① 如图 1 延长 AC 交 BD 于点 F，延长 EC 交 AB 于点 G． ∵在 Rt△ABC 中，AB＝5，BC＝3 ∴由勾股定理得，AC＝4 又∵BC⊥AF，AB⊥BF ∠AFB＝∠BFC ∴Rt△AFB∽Rt△BFC ∴ ＝ ∴BC2＝CF•AC 即 9＝CF•4，解得，CF＝ 又∵EC∥BD ∴CG⊥AB ∴AB•CG＝AC•BC 即 5CG＝4×3，解得，CG＝ 又∵在 Rt△ACG 中，AG＝ ∴AG＝ ＝ 又∵EC∥DB ∴∠AEC＝∠ADB 由（1）得，∠CAB＝∠AEC ∴∠ADB＝∠CAB 又∵∠ACB＝∠DBA＝90° ∴Rt△ABC∽Rt△DBA ∴ ＝ 即 ＝ ，解得 AD＝ 又∵EG∥BD ∴ ＝ 即 ＝ ，解得 AE＝ ② 当△BDC 是直角三角形时，如图二所示 ∵∠BCD＝90° ∴BD 为 ⊙ O 直径 又∵∠ACB＝90°[来源:Zxxk.Com] ∴A、C、D 三点共线 即 BC⊥AD 时垂足为 C，此时 C 点与 E 点重合． 又∵∠DAB＝∠BAC，∠ACB＝ABD＝90° ∴Rt△ACB∽Rt△ABD ∴ ＝ 即 ＝ ，解得 AD＝ 又∵在 Rt△ABD 中，BD＝ ∴BD＝ ＝ ③ 如图三，由 B、C、E 都在 ⊙ O 上，且 BC＝CE＝ ∴ ＝ ∴∠ADC＝∠BDC 即 DC 平分∠ADB 过 C 作 CM⊥BD，CN⊥AD，CH⊥AB 垂足分别为 M、N．，H． ∵在 Rt△ACB 中 AB＝5，BC＝ ∴AC＝2 又∵在 Rt△ACB 中 CH⊥AB ∴AB•CH＝AC•BC 即 5CH＝2 × 解得，CH＝2 ∴MB＝2 又∵DC 平分∠ADB ∴CM＝CN 又∵在 Rt△CHB 中 BC＝5，CH＝2 ∴HB＝1 ∴CM＝CN＝1 又∵在△DCN 与△DCM 中 ∴△DCN 与△DCM（AAS） ∴DN＝DM 设 DN＝DM＝x 则 BD＝x+2，AD＝x+ 在 Rt△ABD 中由 AB2+BD2＝AD2 得， 25+（x+2）2＝（x+ ）2 解得，x＝ ∴BD＝BM+MD＝2+ ＝ 又由（1）得∠CAB＝∠AEC，且∠ENC＝∠ACB ∴△ENC∽△ACB ∴ ＝ ＝ ＝2 ∴NE＝2 又∵在 Rt△CAN 中 CN＝1，AC＝2 ∴AN＝ ＝ ＝ ∴AE＝AN+NE＝ +2 又∵S△BCD＝ BD•CM，S△ACE＝ AE•CN，CM＝CN ∴ ＝ ＝ ＝ 故 ＝ 【点评】本题综合考察了圆内接四边形的性质，以及等弧对等弦，等弧所对的圆周角相等与相似 三角形的判定，勾股定理的运用，全等三角形的证明等多个知识点，需要认真分析，属于偏难题 型．