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- 2021-11-10 发布
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2019年浙江省杭州市余杭区中考数学模拟试卷
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.二次函数y=﹣(x﹣3)2+1的最大值为( )
A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3
2.近年来,中国高铁发展迅速,高铁技术不断走出国门,成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到22000公里,将22000用科学记数法表示应为( )
A.2.2×104 B.22×103 C.2.2×103 D.0.22×105
3.若a=,b=,则下列结论正确的是( )
A.a=b B.a<b C.a>b D.ab=1
4.如图是本地区一种产品30天的销售图象,图①是产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系,已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润,下列结论错误的是( )
A.第24天的销售量为200件
B.第10天销售一件产品的利润是15元
C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D.第27天的日销售利润是875元
5.在音乐比赛中,常采用一“打分类制”,经常采用这样的办法来得到一名选手的最后成绩:将所有评委的打分组成一组数据,去掉一个最高分和一个最低分,得到一组新的数据,再计算平均分.假设评委不少于10人,则比较两组数据,一定不会发生变化的是( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
6.如图,∠BCD=90°,AB∥DE,则α与β一定满足的等式是( )
A.α+β=180° B.α+β=90° C.β=3α D.α﹣β=90°
7.若要得到函数y=(x+1)2+2的图象,只需将函数y=x2的图象( )
A.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
C.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
D.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC>BC,若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为S1,以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S2,则( )
A.S1=S2
B.S1>S2
C.S1<S2
D.S1、S2的大小关系不确定
9.如图,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,且∠AEC=∠DCE,则下列结论不正确的是( )
A. B.S△AFD=2S△EFB
C.四边形AECD是等腰梯形 D.∠AEB=∠ADC
10.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“
竹文化”旅游收入的年平均增长率约为( )
A.2% B.4.4% C.20% D.44%
二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)
11.函数y=x2+bx﹣c的图象经过点(2,4),则2b﹣c的值为 .
12.生命在于运动.运动渗透在生命中的每一个角落,运动的好处就在于让我们的身体保持在健康的状态.小明同学用手机软件记录了11月份每天健步走的步数(单位:万步),将记录结果绘制成了如图所示的统计图.在每天所走的步数这组数据中,中位数是 万步.
13.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x与双曲线y=(k≠0)交于点A,过点C(0,2)作AO的平行线交双曲线于点B,连接AB并延长与y轴交于点D(0,4),则k的值为 .
14.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则tan∠APD的值是 .
15.如图,△AOB中,∠O=90°,AO=8cm,BO=6cm,点C从A点出发,在边AO上以2cm/s的速度向O点运动,与此同时,点D从点B出发,在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动,过OC的中点E作CD的垂线EF,则当点C运动了 s时,以C点为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切.
16.如图,扇形OAB的圆心角为30°,半径为1,将它沿箭头方向无滑动滚动到O′A′B′的位置时,则点O到点O′所经过的路径长为 .
三.解答题(共8小题,满分20分)
17.先化简,再求值:(3x+2)(3x﹣2)﹣10x(x﹣1)+(x﹣1)2,其中x=﹣1.
18.解不等式,并把它的解集表示在数轴上:5x﹣2>3(x+1)
19.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,将△ABO向左平移6个单位长度得到△A1B1O1;将△A1B1O1绕点B1按逆时针方向旋转90°后,得到△A2B2O2,请画出△A1B1O1和△A2B2O2,并直接写出点O2的坐标.
20.某校在宣传“民族团结”活动中,采用四种宣传形式:A.器乐,B.舞蹈,C.朗诵,D.唱歌.每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的,学校就宣传形式对学生进行了抽样调查,并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请结合图中所给信息,解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有 人;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有1200名学生,请估计选择“唱歌”的学生有多少人?
(4)七年一班在最喜欢“器乐”的学生中,有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀,现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队,请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.
21.某市火车站北广场将于2016年底投入使用,计划在广场内种植A,B两种花木共 6600棵,若A花木数量是B花木数量的2倍少600 棵.
(1)A,B两种花木的数量分别是多少棵?
(2)如果园林处安排13人同时种植这两种花木,每人每天能种植A花木60棵或B花木40 棵,应分别安排多少人种植A花木和B花木,才能确保同时完成各自的任务?
22.如图,钝角△ABC中,AB=AC,BC=2,O是边AB上一点,以O为圆心,OB为半径作⊙O,交边AB于点D,交边BC于点E,过E作⊙O的切线交边AC于点F.
(1)求证:EF⊥AC.
(2)连结DF,若∠ABC=30°,且DF∥BC,求⊙O的半径长.
23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B,C(点B在点C左侧).
(1)求该抛物线的表达式及点B,C的坐标;
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D,若直线y=kx+b经过点D和点E(﹣1,﹣2),求直线DE的表达式;
(3)在(2)的条件下,已知点P(t,0),过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M,交直线DE于点N,若点M和点N中至少有一个点在x轴下方,直接写出t的取值范围.
24.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点A,且与y轴交于点C(0,5).
(1)求直线BC与抛物线的解析式.
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交轴BC于点N,求MN的最大值.
第26题图
(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.
2019年浙江省杭州市余杭区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.【分析】因为顶点式y=a(x﹣h)2+k,其顶点坐标是(h,k),对照求二次函数y=﹣(x﹣3)2+1最值.
【解答】解:∵二次函数y=﹣(x﹣3)2+1是顶点式,
∴顶点坐标为(3,1),函数的最大值为1,
故选:A.
【点评】考查了二次函数的性质,顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h,此题考查了学生的应用能力.
2.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:22000=2.2×104.
故选:A.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
3.【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案.
【解答】解:∵a===,b=,
∴a=b.
故选:A.
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算,正确将原式变形是解题关键.
4.【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20,一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系为z=﹣x+25,当0≤t≤24时,设产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系为y=,根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润,即可进行判断.
【解答】解:A、根据图①可得第24天的销售量为200件,故正确;
B、设当0≤t≤20,一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系为z=kx+b,
把(0,25),(20,5)代入得:
解得:,
∴z=﹣x+25,
当x=10时,y=﹣10+25=15,
故正确;
C、当0≤t≤24时,设产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系为y=k1t+b1,
把(0,100),(24,200)代入得:,
解得:,
∴y=,
当t=12时,y=150,z=﹣12+25=13,
∴第12天的日销售利润为;150×13=1950(元),第30天的日销售利润为;150×5=750(元),
750≠1950,故C错误;
D、第27天的日销售利润为875(元),故正确.
故选:C.
【点评】本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式.
5.【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响,即中位数.
【解答】解:统计每位选手得分时,会去掉一个最高分和一个最低分,这样做不会对数据的中间的数产生影响,即中位数.
故选:B.
【点评】本题考查了统计量的选择,属于基础题,相对比较简单,解题的关键在于理解这些统计量的意义.
6.【分析】过C作CF∥AB,根据平行线的性质得到∠1=∠β,∠2=180°﹣∠α
,于是得到结论.
【解答】解:过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴AB∥DE∥CF,
∴∠1=∠β,∠α=180°﹣∠2,
∴∠α﹣∠β=180°﹣∠2﹣∠1=180°﹣∠BCD=90°,
故选:D.
【点评】本题考查了平行线的性质,熟记平行线的性质是解题的关键.
7.【分析】找出两抛物线的顶点坐标,由a值不变即可找出结论.
【解答】解:∵抛物线y=(x+1)2+2的顶点坐标为(﹣1,2),抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),
∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=(x+1)2+2.
故选:B.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,通过平移顶点找出结论是解题的关键.
8.【分析】根据S=底面周长×母线长表示出两个侧面面积后比较.
【解答】解:S1=底面周长×母线长=×2πAC×AB;
S2=底面周长×母线长=×2πBC×AB,
∵AC>BC,
∴S1>S2.
故选:B.
【点评】解决本题的关键是得到相应的面积表达式子,然后进行比较.
9.【分析】根据已知条件即可推出△BEF∽△DAF,推出A项为正确,已知条件可以推出四边形AECD为等腰梯形,推出C项正确,结合平行四边形的性质,可以推出D项正确,所以B
项是错误的.
【解答】解:∵平行四边形ABCD中,
∴△BEF∽△DAF,
∵E是BC的中点,
∴BF:FD=BE:AD,
∴BF=DF,
故A项正确;
∵∠AEC=∠DCE,
∴四边形AECD为等腰梯形,
故C项正确;
∴∠AEB=∠ADC.
∵△BEF∽△DAF,BF=DF,
∴S△AFD=4S△EFB,
故B项不正确;
∵∠AEB+∠AEC=180
∠ADC+∠C=180
而四边形AECD为等腰梯形
∴∠AEC=∠C
∴∠AEB=∠ADC
因此D项正确.
故选:B.
【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、等腰梯形的判定、平行四边形的性质,解题的关键在于找到相似三角形.
10.【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【解答】解:设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,
根据题意得:2(1+x)2=2.88,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%.
故选:C.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)
11.【分析】把点(2,4)代入函数y=x2+bx﹣c得:4+2b﹣c=4,经过移项,合并同类项即可得到答案.
【解答】解:把点(2,4)代入函数y=x2+bx﹣c得:
4+2b﹣c=4,
则2b﹣c=4﹣4=0,
故答案为:0.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,正确掌握代入法是解题的关键.
12.【分析】中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),据此判断即可.
【解答】解:∵共有2+8+7+10+3=30个数据,
∴其中位数是第15、16个数据的平均数,而第15、16个数据均为1.3万步,
则中位数是1.3万步,
故答案为:1.3.
【点评】此题主要考查了中位数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.
13.【分析】根据“直线y=x与双曲线y=(k≠0)交于点A,过点C(0,2)作AO的平行线交双曲线于点B”,得到BC的解析式,根据“OD=4,OC=2,BC∥AO”,得到△BCD~△AOD,结合点A和点B的坐标,根据点A和点B都在双曲线上,得到关于m的方程,解之,得到点A的坐标,即可得到k的值.
【解答】解:∵OA的解析式为:y=,
又∵AO∥BC,点C的坐标为:(0,2),
∴BC的解析式为:y=,
设点B的坐标为:(m, m+2),
∵OD=4,OC=2,BC∥AO,
∴△BCD~△AOD,
∴点A的坐标为:(2m, m),
∵点A和点B都在y=上,
∴m()=2m•m,
解得:m=2,
即点A的坐标为:(4,),
k=4×=,
故答案为:.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,正确掌握代入法和三角形相似的判定定理是解题的关键.
14.【分析】首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACP∽△BDP,然后由相似三角形的对应边成比例,易得DP:CP=1:3,即可得PF:CF=PF:BF=1:2,在Rt△PBF中,即可求得tan∠BPF的值,继而求得答案.
【解答】解:如图,连接BE,[来源:学科网ZXXK]
∵四边形BCED是正方形,
∴DF=CF=CD,BF=BE,CD=BE,BE⊥CD,
∴BF=CF,
根据题意得:AC∥BD,
∴△ACP∽△BDP,
∴DP:CP=BD:AC=1:3,
∴DP:DF=1:2,
∴DP=PF=CF=BF,
在Rt△PBF中,tan∠BPF==2,
∵∠APD=∠BPF,
∴tan∠APD=2.
故答案为:2.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义.此题难度适中,解题的关键准确作出辅助线,注意转化思想与数形结合思想的应用.
15.【分析】当以点C为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切时,即CF=1.5cm,又因为∠EFC=∠O=90°,所以△EFC∽△DCO,利用对应边的比相等即可求出EF的长度,再利用勾股定理列出方程即可求出t的值,要注意t的取值范围为0≤t≤4.
【解答】解:当以点C为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切时,
此时,CF=1.5,
∵AC=2t,BD=t,
∴OC=8﹣2t,OD=6﹣t,
∵点E是OC的中点,
∴CE=OC=4﹣t,
∵∠EFC=∠O=90°,∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DCO
∴=
∴EF===
由勾股定理可知:CE2=CF2+EF2,
∴(4﹣t)2=+,
解得:t=或t=,
∵0≤t≤4,
∴t=.
故答案为:
【点评】
本题考查圆的切线性质,主要涉及相似三角形的判定与性质,勾股定理,切线的性质等知识,题目综合程度较高,很好地考查学生综合运用知识的能力.
16.【分析】点O到点O′所经过的路径长分三段,先以A为圆心,1为半径,圆心角为90度的弧长,再平移了AB弧的长,最后以B为圆心,1为半径,圆心角为90度的弧长.根据弧长公式计算即可.
【解答】解:∵扇形OAB的圆心角为30°,半径为1,
∴AB弧长==,
∴点O到点O′所经过的路径长=×2+=π.
故答案为
【点评】本题考查了弧长公式:l=.也考查了旋转的性质和圆的性质.
三.解答题(共8小题,满分20分)
17.【分析】原式第一项利用平方差公式化简,第二项利用单项式乘以多项式法则计算,最后一项利用完全平方公式展开,去括号合并得到最简结果,再将x的值代入计算即可.
【解答】解:原式=9x2﹣4﹣10x2+10x+x2﹣2x+1=8x﹣3,
当x=﹣1时,原式=8×(﹣1)﹣3=﹣11.
【点评】此题考查了整式的混合运算,平方差公式,以及完全平方公式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.【分析】先求此不等式的解集,再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得.
【解答】解:5x﹣2>3x+3,
2x>5,
∴.
【点评】不等式的解集在数轴上表示出来的方法:“>”空心圆点向右画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线.
19.【分析】分别作出平移变换和旋转变换后的对应点,再顺次连接即可得.
【解答】解:如图所示,△A1B1O1、△A2B2O2即为所求:
其中点O2的坐标为(﹣3,﹣3).
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换、平移变换,解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义、性质.
20.【分析】(1)根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数即可;
(2)用总人数减去A、C、D项目的人数,求出B项目的人数,从而补全统计图;
(3)用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的百分比即可;
(4)根据题意先画出树状图,得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数,然后根据概率公式即可得出答案.
【解答】解:(1)本次调查的学生共有:30÷30%=100(人);
故答案为:100;
(2)喜欢B类项目的人数有:100﹣30﹣10﹣40=20(人),补图如下:
(3)选择“唱歌”的学生有:1200×=480(人);
(4)根据题意画树形图:
共有12种情况,被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况,
则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是=.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.
21.【分析】(1)根据在广场内种植A,B两种花木共 6600棵,若A花木数量是B花木数量的2倍少600 棵可以列出相应的二元一次方程组,从而可以解答本题;
(2)根据安排13人同时种植这两种花木,每人每天能种植A花木60棵或B花木40 棵,可以列出相应的二元一次方程组,从而可以解答本题.
【解答】解:(1)设A,B两种花木的数量分别是x棵、y棵,
,
解得,,
即A,B两种花木的数量分别是4200棵、2400棵;
(2)设安排种植A花木的m人,种植B花木的n人,
,
解得,,
即安排种植A花木的7人,种植B花木的6人,可以确保同时完成各自的任务.
【点评】本题考查二元一次方程组的应用,解题的关键是明确题意,列出相应的二元一次方程组.
22.【分析】(1)连接OE,如图,先证明OE∥AC,再利用切线的性质得OE⊥EF,从而得到EF⊥AC;
(2)连接DE,如图,设.⊙O的半径长为r,利用圆周角定理得到∠BED=90°,则DE=BD=r,BE=r,再证明∠EDF=90°,∠DFE=60°,接着用r表示出DF=r,EF=r,CE=r,
从而得到r+r=2,然后解方程即可.
【解答】(1)证明:连接OE,如图,
∵OB=OE,
∴∠B=∠OEB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠OEB=∠C,
∴OE∥AC,
∵EF为切线,[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∴OE⊥EF,
∴EF⊥AC;
(2)解:连接DE,如图,设.⊙O的半径长为r,
∵BD为直径,
∴∠BED=90°,
在Rt△BDE中,∵∠B=30°,
∴DE=BD=r,BE=r,
∵DF∥BC,
∴∠EDF=∠BED=90°,
∵∠C=∠B=30°,
∴∠CEF=60°,
∴∠DFE=∠CEF=60°,
在Rt△DEF中,DF=r,
∴EF=2DF=r,
在Rt△CEF中,CE=2EF=r,
而BC=2,
∴r+r=2,解得r=,
即⊙O的半径长为.
【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.也考查了圆周角定理和垂径定理.
23.【分析】(1)把A点坐标代入可求得m的值,可求得抛物线的表达式,令y=0可求得B、C两点的坐标;
(2)由(1)可求得抛物线的对称轴,可求得D点坐标,再利用待定系数法可求得直线DE的表达式;
(3)由条件可知当直线和抛物线的图象不能都在x轴上方,结合直线和抛物线的图象可求得t的范围.
【解答】解:(1)∵抛物线y=mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A(0,3),
∴m+4=3.
∴m=﹣1.
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3.[来源:Zxxk.Com]
∵抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点B,C,
∴令y=0,即﹣x2+2x+3=0.[来源:Z,xx,k.Com]
解得 x1=﹣1,x2=3.
又∵点B在点C左侧,
∴点B的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(3,0);
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵抛物线的对称轴与x轴交于点D,
∴点D的坐标为(1,0).
∵直线y=kx+b经过点D(1,0)和点E(﹣1,﹣2),
∴
解得
∴直线DE的表达式为y=x﹣1;
(3)如图,当P点在D、B两点之间时,M、N都在x轴上方,
∴点M、N至少有一个点在x轴下方的t的范围为:t<1或t>3.
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合,在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中求得D点坐标是解题的关键,在(3)中注意数形结合思想的应用.[来源:Z+xx+k.Com]
24.【分析】(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线BC的解析式;同理,将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出MN的最大值;
(3)先求出△ABN的面积S2=5,则S1=6S2=30.再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,根据平行四边形的面积公式得出BD=3,过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.证明△EBD为等腰直角三角形,则BE=BD=6,求出E的坐标为(﹣1,0),运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1,然后解方程组,即可求出点P的坐标.
【解答】解:(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,
将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,得,
解得,
故直线BC的解析式为y=﹣x+5;
将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x2+bx+c得,
解得.
故抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5;
(2)设M(x,x2﹣6x+5)(1<x<5),则N(x,﹣x+5),
∵MN=(﹣x+5)﹣(x2﹣6x+5)=﹣x2+5x=﹣(x﹣)2+,
∴当x=时,MN有最大值;
(3)∵MN取得最大值时,x=2.5,
∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5,即N(2.5,2.5).
解方程x2﹣6x+5=0,得x=1或5,
∴A(1,0),B(5,0),
∴AB=5﹣1=4,
∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5,
∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30.
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,则BC⊥BD.
∵BC=5,
∴BC•BD=30,
∴BD=3.
过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.
∵BC⊥BD,∠OBC=45°,
∴∠EBD=45°,
∴△EBD为等腰直角三角形,BE=BD=6,
∵B(5,0),
∴E(﹣1,0),
设直线PQ的解析式为y=﹣x+t,
将E(﹣1,0)代入,得1+t=0,解得t=﹣1
∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1.
解方程组,得,,
∴点P的坐标为P1(2,﹣3)(与点D重合)或P2(3,﹣4).
【点评】本题考查了二次函数的综合题,其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,二次函数的性质,三角形的面积,平行四边形的判定和性质等知识点,综合性较强,考查学生运用方程组、数形结合的思想方法.(2)中弄清线段MN长度的函数意义是关键,(3)中确定P与Q的位置是关键.
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