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  • 2021-11-10 发布

人教版中考数学二轮复习专题练习下几何问题-线段的旋转

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‎1.旋转—线段 ‎1.在中,,,将线段绕点逆时针旋转得到线段.‎ ‎(1)如图1,直接写出的大小(用含的式子表示);‎ ‎(2)如图2,,,判断的形状并加以证明;‎ ‎(3)在(2)的条件下,连接,若,求的值.‎ 解析:(1) 又 ‎ ‎ ‎ ‎(2)是等边三角形 证明:连接、‎ ‎∵,‎ ‎∴是等边三角形,,‎ 又∵,,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∵,∴‎ 又∵,‎ ‎∴,∴‎ ‎∴是等边三角形 ‎(3)解:∵是等边三角形,∴‎ ‎∴‎ 又∵,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵ ,‎ ‎∴.‎ ‎2.在中,,,是的中点,是线段上的动点,将线段绕点顺时针旋转得到线段.‎ ‎(1)若且点与点重合(如图1),线段的延长线交射线于点,请补全图形,并写出的度数;‎ ‎(2)在图2中,点不与点,重合,线段的延长线与射线交于点,猜想的大小(用含的代数式表示),并加以证明;‎ ‎(3)对于适当大小的,当点在线段上运动到某一位置(不与点,重合)时,能使得线段的延长线与射线交于点,且,请直接写出的范围.‎ 解析:‎ ‎(1)‎ 补全图形,见图1;‎ ‎(2)猜想:‎ 证明:如图2 ,连结,‎ ‎∵,是的中点,∴‎ ‎∵点,在直线上,∴,‎ 又∵为公共边,∴‎ ‎∴,‎ 又∵,∴‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴‎ ‎∴在四边形中,‎ ‎∴,∴‎ ‎∴‎ ‎(3)‎ 提示:由(2)知,且 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∵点不与点,重合,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎3.如图1,边长为4的正方形中,点在边上(不与点,重合),点在边上(不与点,重合).‎ 第一次操作:将线段绕点顺时针旋转,当点落在正方形上时,记为点;‎ 第二次操作:将线段绕点顺时针旋转,当点落在正方形上时,记为点;‎ 依此操作下去…‎ ‎(1)图2中的是经过两次操作后得到的,其形状为____________,求此时线段的长;‎ ‎(2)若经过三次操作可得到四边形.‎ ‎①请判断四边形的形状为____________,此时与的数量关系是_________;‎ ‎②以①中的结论为前提,设的长为,四边形的面积为,求与的函数关系式及的取值范围.‎ ‎(3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形,其最大边数是多少?它可能是正多边形吗?如果是,请直接写出其边长;如果不是,请说明理由.‎ 解析:‎ ‎(1)由旋转可得: 为等边三角形 ‎∵四边形是正方形,∴,‎ ‎∵,∴‎ ‎∴,‎ ‎∴三角形是等腰直角三角形 设的长为,则,‎ 在中,‎ ‎∴ ‎ 解得,(舍去)‎ ‎∴‎ ‎(2)①四边形 的形状为正方形,此时 .理由如下:‎ 依题意画出图形,如答图1所示:‎ 由旋转性质可知, ,‎ ‎ 四边形 的形状为正方形.‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ 在 与 中,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎②利用①中结论,易证均为全等三角形,‎ ‎ , .‎ 在中,‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴当时,取得最小值;当时,‎ ‎∴的取值范围是 ‎(3)经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形,其最大边数是,它可能为正多边形,边长为.‎ 如答图2所示,粗线部分是由线段 经过次操作所形成的正八边形.‎ 设边长 ,则 ,‎ ‎,解得:.‎ ‎4.已知,四边形是正方形,点在直线上,点在直线上(、不与正方形顶点重合,且在的同侧),,于点,交直线于点,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连结.‎ ‎(1)如图1,当点与点分别在线段与线段上时.‎ ‎①求证:;‎ ‎②求证:四边形是菱形;‎ ‎(2)如图2,当点与点分别在线段与线段的延长线上时,猜想四边形是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想.‎ 解析:‎ ‎(1)‎ ‎①作于点 ‎∵,∴‎ 又∵,∴‎ ‎②∵于,∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∵四边形是正方形,于点 ‎∴,‎ ‎∴,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∵,,∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 又∵,∴是菱形 ‎(2)四边形是菱形 证明:∵四边形是正方形,于 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵,‎ ‎∴,∴‎ ‎∵,∴‎ 又∵,,∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 又∵,∴平行四边形是菱形 ‎5.如图1,在正方形中,点、分别在边、上,且平分.‎ ‎(1)求证:;(本小问不予评分,自行查看解析)‎ ‎(2)当平分时(如图2),将线段绕点逆时针旋转,旋转后的线段分别交、于点、,若正方形的边长为4,求的面积.‎ 解析:‎ ‎(1)证明:‎ 将绕点顺时针旋转到 则,,‎ ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎(2)‎ 过作于 则,‎ ‎∴,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∵平分,平分 ‎∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,‎ 过作于,设 ‎ ‎ 又 ‎ ‎∴,∴ ,∴ , ‎ ‎∴,∴‎ 过作交于,则是梯形的中位线 设,‎ ‎,‎ ‎∴ , ,∴ ‎ 过作于,则 ‎ ‎∴ ‎ ‎6.在中,,,点是的中点,,垂足为点,连接.‎ ‎(1)如图1,与的数量关系是___________;‎ ‎(2)如图2,若是线段上一动点(点不与点、重合),连接,将线段绕点逆时针旋转,得到线段,连接,请猜想、、三者之间的数量关系,并证明你的结论;‎ ‎(3)若点是线段延长线上一动点,按照(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出、、三者之间的数量关系_____________.‎ 解析:(1) ,‎ ‎ ,‎ ‎ 点 是 的中点,‎ ‎ ,‎ ‎ 为等边三角形,‎ ‎ ,‎ ‎;‎ 故答案为(或)‎ ‎(2) (或)‎ 证明:∵在中,,‎ ‎∴‎ ‎∵是的中点,∴ ‎ ‎∴是等边三角形,∴‎ ‎∴‎ 即 又∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∵,∴,∵‎ ‎∴‎ ‎(3)如图,‎ 与(2)一样可证明 ,‎ ‎ ,‎ 而 ,‎ ‎ ,‎ ‎(或)‎ ‎7.在中,,,是的中点,为射线上任意一点,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接,过点作,交直线于点.‎ ‎(1)如图1,当点在线段上时,判断与的数量关系并加以证明;‎ ‎(2)如图2,当点在线段的延长线上时,其它条件不变,你在(1)中得到的结论是否成立,请说明理由;‎ ‎(3)当点从的中点移动到点时,直接写出线段的中点所经过的路径长.‎ 解析:(1)‎ 证明:‎ 连接,延长交于 ‎∵,∴‎ ‎∵是的中点,∴为的中点,‎ ‎∴是的中位线,∴ ‎ ‎∵,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∵和都是等腰直角三角形 ‎∴,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎(2)成立 证明:连接,设交于 同理可证,‎ ‎,‎ ‎∵,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∴‎ ‎(3)线段的中点所经过的路径长为 ‎ 提示:延长交于,取中点,连接、、‎ 则,‎ ‎∴,∴‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴ ,∴‎ ‎∴‎ ‎∴,是定值 ‎∴线段的中点所经过的路径是一条线段 当点与点重合时,是的中点 连接、,则是的中位线 由(1)知,‎ ‎∴‎ 当点与点重合时,点与点重合,此时为的中点 ‎∴点所经过的路径长即为图中的长 ‎∵,∴,,‎ ‎∴ ‎ ‎8.已知,,是过点的直线,于点.‎ ‎(1)如图1,求:; ‎ ‎(2)当绕点旋转到如图(2)和图(3)两个位置时,猜想、、满足的关系式,并给予证明;‎ ‎(3)在在绕点旋转过程中,当, 时,则_________,_________.‎ 解析:‎ ‎(1)‎ 证明:如图1,过点作,交于点 ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∵四边形内角和为 ‎∴‎ ‎∵,∴‎ 又,∴‎ ‎∴,‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎∴‎ 又,∴‎ ‎∴‎ ‎(2)图2中,;图3中,‎ 证明:如图2,过点作,交于点 ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∵,∴‎ 又,∴‎ ‎∴,‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎∴‎ 又,∴‎ ‎∴‎ 如图3,过点作,交于点 ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∵,∴‎ 又,∴‎ ‎∴,‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎∴‎ 又,∴‎ ‎∴‎ ‎(3),或 提示:过点作,交于点,连接,‎ 和都是等腰直角三角形 ‎∴‎ ‎∵,∴‎ 当、两点在直线异侧时 则,∴‎ ‎∵,∴,,‎ ‎∴‎ ‎∵;∴‎ ‎∴‎ 当、两点在直线同侧时 ‎,∴‎ ‎∵,∴,,‎ ‎∴‎ ‎∵;∴‎ ‎∴‎ ‎9.在中,过点作交于点,将线段绕点逆时针旋转得到线段(如图1).‎ ‎(1)在图1中画图探究:‎ ‎①当为射线上任意一点(不与点重合)时,连结,将线段绕点逆时针旋转得到线段,判断直线与直线的位置关系并加以证明; ‎ ‎②当为线段的延长线上任意一点时,连结,将线段绕点逆时针旋转得到线段,判断直线与直线的位置关系,画出图形并直接写出你的结论. ‎ ‎(2)若,,,在①的条件下,设,,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.‎ 解析:(1)①直线与直线的位置关系为互相垂直.‎ 证明:如图,设直线与直线的交点为.‎ ‎∵线段、分别绕点逆时针旋转依次得到线段、.‎ ‎∴,,.‎ ‎∵,.‎ ‎∴,∴.‎ ‎∴,∴,∴.‎ ‎∴.‎ ‎②‎ 按题目要求所画图形见图1,直线与直线的位置关系为互相垂直.‎ ‎(2)∵四边形是平行四边形,∴.‎ ‎∵,,.‎ ‎∴,.‎ 可得 由(1)可得四边形为正方形 ‎∴‎ ‎①‎ 如图2,当点在线段的延长线上时 ‎(已证)‎ ‎ 四边形为平行四边形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 四边形中且 ‎ 四边形为正方形 ‎ ‎ ‎.‎ ‎∴‎ 即 ‎②‎ 如图3,当点在线段上(不与、两点重合)时 ‎∵,.‎ ‎∴‎ 即 ‎③当点与点重合时,即时,不存在.‎ 综上所述,与之间的函数关系式及自变量的取值范围是 或.‎ ‎10.在中,,为中点,为边的高,点在边上,点在线段上,且.‎ ‎(1)如图l,当时,线段与的数量关系为___________;‎ ‎(2)如图2,当时,求证:;‎ ‎(3)如图3,在(2)的条件下,将射线绕点顺时针旋转,交边于点,连接、,若,,求线段的长.‎ 解析:‎ ‎(1)‎ 提示:连接,‎ ‎∵ , ,∴ , ,‎ ‎∵ 为 边上的中点,∴ ,且 ,‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ,∴ ,且 ,‎ ‎∴ ,‎ 在 与 中,‎ ‎∴ ‎ ‎(2)‎ 连接 ‎ ‎∵ , 为 中点, ‎ ‎∴ , , ‎ ‎∵ 为 边的高,∴ ‎ ‎∵ ,∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ,∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎(3)由,可设,则 由(2)知,∴ ‎ ‎∴ , , ,, ‎ 在 中, ‎ ‎∴,解得 (舍去负值)‎ ‎∴ , , , ,‎ ‎,‎ 连接 ,,由(2)知 ‎ ‎∴,∴ ‎ ‎∴‎ ‎∵ ,∴ , ‎ ‎∴ ,∴ ,∴‎ ‎∵ ,∴‎ ‎∴ ,∴‎ ‎∴ ,∴‎