人教版中考数学二轮复习专题练习下几何问题-线段的旋转 26页

‎1.旋转—线段 ‎1.在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段．‎ ‎（1）如图1，直接写出的大小（用含的式子表示）；‎ ‎（2）如图2，，，判断的形状并加以证明；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接，若，求的值．‎ 解析：（1） 又 ‎ ‎ ‎ ‎（2）是等边三角形 证明：连接、‎ ‎∵，‎ ‎∴是等边三角形，，‎ 又∵，，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴‎ 又∵，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴是等边三角形 ‎（3）解：∵是等边三角形，∴‎ ‎∴‎ 又∵，∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵ ,‎ ‎∴.‎ ‎2.在中，，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．‎ ‎（1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点,请补全图形，并写出的度数；‎ ‎（2）在图2中，点不与点，重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；‎ ‎（3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围．‎ 解析：‎ ‎（1）‎ 补全图形，见图1；‎ ‎（2）猜想：‎ 证明：如图2 ，连结，‎ ‎∵，是的中点，∴‎ ‎∵点，在直线上，∴，‎ 又∵为公共边，∴‎ ‎∴，‎ 又∵，∴‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴在四边形中，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎（3）‎ 提示：由（2）知，且 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∵点不与点，重合，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎3.如图1，边长为4的正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合）．‎ 第一次操作：将线段绕点顺时针旋转，当点落在正方形上时，记为点；‎ 第二次操作：将线段绕点顺时针旋转，当点落在正方形上时，记为点；‎ 依此操作下去…‎ ‎（1）图2中的是经过两次操作后得到的，其形状为____________，求此时线段的长；‎ ‎（2）若经过三次操作可得到四边形．‎ ‎①请判断四边形的形状为____________，此时与的数量关系是_________；‎ ‎②以①中的结论为前提，设的长为，四边形的面积为，求与的函数关系式及的取值范围．‎ ‎（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．‎ 解析：‎ ‎（1）由旋转可得： 为等边三角形 ‎∵四边形是正方形，∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴三角形是等腰直角三角形 设的长为，则，‎ 在中，‎ ‎∴ ‎ 解得，（舍去）‎ ‎∴‎ ‎（2）①四边形 的形状为正方形，此时 ．理由如下：‎ 依题意画出图形，如答图1所示：‎ 由旋转性质可知， ，‎ ‎ 四边形 的形状为正方形．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ 在 与 中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎②利用①中结论，易证均为全等三角形，‎ ‎ ， ．‎ 在中，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴当时，取得最小值；当时，‎ ‎∴的取值范围是 ‎（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是，它可能为正多边形，边长为．‎ 如答图2所示，粗线部分是由线段 经过次操作所形成的正八边形．‎ 设边长 ，则 ，‎ ‎，解得：．‎ ‎4.已知，四边形是正方形，点在直线上，点在直线上（、不与正方形顶点重合，且在的同侧），，于点，交直线于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结．‎ ‎（1）如图1，当点与点分别在线段与线段上时．‎ ‎①求证：；‎ ‎②求证：四边形是菱形；‎ ‎（2）如图2，当点与点分别在线段与线段的延长线上时，猜想四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．‎ 解析：‎ ‎（1）‎ ‎①作于点 ‎∵，∴‎ 又∵，∴‎ ‎②∵于，∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∵四边形是正方形，于点 ‎∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，，∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 又∵，∴是菱形 ‎（2）四边形是菱形 证明：∵四边形是正方形，于 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴‎ 又∵，，∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 又∵，∴平行四边形是菱形 ‎5.如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且平分．‎ ‎（1）求证：；（本小问不予评分，自行查看解析）‎ ‎（2）当平分时（如图2），将线段绕点逆时针旋转，旋转后的线段分别交、于点、，若正方形的边长为4，求的面积．‎ 解析：‎ ‎（1）证明：‎ 将绕点顺时针旋转到 则，，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎（2）‎ 过作于 则，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∵平分，平分 ‎∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ 过作于，设 ‎ ‎ 又 ‎ ‎∴，∴ ，∴ ， ‎ ‎∴，∴‎ 过作交于，则是梯形的中位线 设，‎ ‎，‎ ‎∴ ， ，∴ ‎ 过作于，则 ‎ ‎∴ ‎ ‎6.在中，，，点是的中点，，垂足为点，连接．‎ ‎（1）如图1，与的数量关系是___________；‎ ‎（2）如图2，若是线段上一动点（点不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请猜想、、三者之间的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）若点是线段延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出、、三者之间的数量关系_____________．‎ 解析：（1） ，‎ ‎ ，‎ ‎ 点 是 的中点，‎ ‎ ，‎ ‎ 为等边三角形，‎ ‎ ，‎ ‎；‎ 故答案为（或）‎ ‎（2） （或）‎ 证明：∵在中，，‎ ‎∴‎ ‎∵是的中点，∴ ‎ ‎∴是等边三角形，∴‎ ‎∴‎ 即 又∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，∵‎ ‎∴‎ ‎（3）如图，‎ 与（2）一样可证明 ，‎ ‎ ，‎ 而 ，‎ ‎ ，‎ ‎（或）‎ ‎7.在中，，，是的中点，为射线上任意一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交直线于点．‎ ‎（1）如图1，当点在线段上时，判断与的数量关系并加以证明；‎ ‎（2）如图2，当点在线段的延长线上时，其它条件不变，你在（1）中得到的结论是否成立，请说明理由；‎ ‎（3）当点从的中点移动到点时，直接写出线段的中点所经过的路径长．‎ 解析：（1）‎ 证明：‎ 连接，延长交于 ‎∵，∴‎ ‎∵是的中点，∴为的中点，‎ ‎∴是的中位线，∴ ‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵和都是等腰直角三角形 ‎∴，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎（2）成立 证明：连接，设交于 同理可证，‎ ‎，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎（3）线段的中点所经过的路径长为 ‎ 提示：延长交于，取中点，连接、、‎ 则，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，∴‎ ‎∴‎ ‎∴，是定值 ‎∴线段的中点所经过的路径是一条线段 当点与点重合时，是的中点 连接、，则是的中位线 由（1）知，‎ ‎∴‎ 当点与点重合时，点与点重合，此时为的中点 ‎∴点所经过的路径长即为图中的长 ‎∵，∴，，‎ ‎∴ ‎ ‎8.已知，，是过点的直线，于点．‎ ‎（1）如图1，求：； ‎ ‎（2）当绕点旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，猜想、、满足的关系式，并给予证明；‎ ‎（3）在在绕点旋转过程中，当， 时，则_________，_________．‎ 解析：‎ ‎（1）‎ 证明：如图1，过点作，交于点 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵四边形内角和为 ‎∴‎ ‎∵，∴‎ 又，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎∴‎ 又，∴‎ ‎∴‎ ‎（2）图2中，；图3中，‎ 证明：如图2，过点作，交于点 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ 又，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎∴‎ 又，∴‎ ‎∴‎ 如图3，过点作，交于点 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ 又，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎∴‎ 又，∴‎ ‎∴‎ ‎（3），或 提示：过点作，交于点，连接,‎ 和都是等腰直角三角形 ‎∴‎ ‎∵，∴‎ 当、两点在直线异侧时 则，∴‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴‎ ‎∵；∴‎ ‎∴‎ 当、两点在直线同侧时 ‎，∴‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴‎ ‎∵；∴‎ ‎∴‎ ‎9.在中，过点作交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（如图1）．‎ ‎（1）在图1中画图探究：‎ ‎①当为射线上任意一点（不与点重合）时，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，判断直线与直线的位置关系并加以证明； ‎ ‎②当为线段的延长线上任意一点时，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，判断直线与直线的位置关系，画出图形并直接写出你的结论． ‎ ‎（2）若，，，在①的条件下，设，，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．‎ 解析：（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．‎ 证明：如图，设直线与直线的交点为．‎ ‎∵线段、分别绕点逆时针旋转依次得到线段、．‎ ‎∴，，．‎ ‎∵，．‎ ‎∴，∴．‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎∴．‎ ‎②‎ 按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．‎ ‎（2）∵四边形是平行四边形，∴．‎ ‎∵，，．‎ ‎∴，．‎ 可得 由（1）可得四边形为正方形 ‎∴‎ ‎①‎ 如图2，当点在线段的延长线上时 ‎（已证）‎ ‎ 四边形为平行四边形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 四边形中且 ‎ 四边形为正方形 ‎ ‎ ‎．‎ ‎∴‎ 即 ‎②‎ 如图3，当点在线段上（不与、两点重合）时 ‎∵，．‎ ‎∴‎ 即 ‎③当点与点重合时，即时，不存在．‎ 综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是 或．‎ ‎10.在中，，为中点，为边的高，点在边上，点在线段上，且．‎ ‎（1）如图l，当时，线段与的数量关系为___________；‎ ‎（2）如图2，当时，求证：；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，将射线绕点顺时针旋转，交边于点，连接、，若，，求线段的长．‎ 解析：‎ ‎（1）‎ 提示：连接，‎ ‎∵ ， ，∴ ， ，‎ ‎∵ 为 边上的中点，∴ ，且 ，‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ，∴ ，且 ，‎ ‎∴ ，‎ 在 与 中，‎ ‎∴ ‎ ‎（2）‎ 连接 ‎ ‎∵ ， 为 中点， ‎ ‎∴ ， ， ‎ ‎∵ 为 边的高，∴ ‎ ‎∵ ，∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ，∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎（3）由，可设，则 由（2）知，∴ ‎ ‎∴ ， ， ，， ‎ 在 中， ‎ ‎∴，解得 （舍去负值）‎ ‎∴ ， ， ， ，‎ ‎，‎ 连接 ，,由（2）知 ‎ ‎∴，∴ ‎ ‎∴‎ ‎∵ ，∴ ， ‎ ‎∴ ，∴ ，∴‎ ‎∵ ，∴‎ ‎∴ ，∴‎ ‎∴ ，∴‎