中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义19 轴对称与等腰三角形（教师版） 31页

专题 19 轴对称与等腰三角形 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点 1 图形的轴对称 轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这 条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫 做轴对称． 轴对称的性质： 1、 关于某条直线对称的两个图形是全等形。 2、 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。 轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称 图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂 直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应 点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 轴对称与轴对称图形的联系与区别 画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤： 1. 找到关键点，画出关键点的对应点， 2. 按照原图顺序依次连接各点。 用坐标表示轴对称： 1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（-x，y）； 2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，-y）； 1．（2017·重庆中考模拟）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选 D． 2．（2018·河北中考真题）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【答案】C 【详解】观察可知沿 l1 折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故 l1 不是对称轴； 沿 l2 折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故 l2 不是对称轴； 沿 l3 折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故 l3 是对称轴， 所以该图形的对称轴是直线 l3， 故选 C． 3．（2019·内蒙古中考真题）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对 称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：A．是轴对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，故本选项错误； C．是轴对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，故本选项正确． 故选 D． 4．（2018·重庆中考真题）下列图形中一定是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 A、40°的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意； B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意； C 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意； D 矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意， 故选 D. 5．（2019·山东中考真题）下列图形： 其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【详解】 1 有两条对称轴；2 有两条对称轴；3 有四条对称轴；4 不是对称图形 故选 A. 考查题型一 画对称轴的方法 1．（2016·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A（0，1），B（3，2），C（1，4）均 在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC 关于 x 轴的对称图形△A1B1C1； （2）将△A1B1C1 沿 x 轴方向向左平移 3 个单位后得到△A2B2C2，写出顶点 A2，B2，C2 的坐标． 【答案】（1）答案见解析；（2）A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）． 【解析】 (1)、如图所示：△A1B1C1，即为所求； (2)、如图所示：△A2B2C2，即为所求， 点 A2（﹣3，﹣2），B2（0，﹣3），C2（﹣2，﹣5） 2．（2019·广西中考模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线 的交点的三角形）ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为（－4，5），（－2，1）． （1）写出点 C 及点 C 关于 y 轴对称的点 C′的坐标； （2）请作出△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′； （3）求△ABC 的面积． 【答案】 （1）点 C（-1，3）， 点 Cˊ(1,3)；（2）详见解析；（3）面积为 4 【详解】 （1）点 C（-1，3），点 Cˊ(1，3)； （2）如图所示； （3）S△ABC＝3×4 1 2  2×3 1 2  1×2 1 2  2×4＝12﹣3﹣1﹣4＝4． 3．（2019·甘肃中考模拟）在3 3 的正方形格点图中，有格点 ABC 和 DEF ，且 ABC 和 DEF 关于某 直线成轴对称，请在备用图中画出 4 个这样的 DEF ． 【答案】见详解. 【解析】 如图，①，两个三角形关于大正方形的水平对称轴对称；②，两个三角形关于过C 点的水平线对称，此时C 和 F 重合；③，两个三角形关于大正方形的竖直对称轴对称；④，两个三角形关于大正方形的过 B 点的对 角线对称轴对称，此时 B 和 E 重合， 4 个 DEF 即为所画. 考查题型二 根据轴对称求坐标或字母的取值范围 1．（2013·江苏中考真题）已知点 P（3，2），则点 P 关于 y 轴的对称点 P1 的坐标是 ，点 P 关于原点 O 的对称点 P2 的坐标是 ． 【答案】（－3，2）；（－3，－2） 【解析】 试题分析：关于 y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点 P（3，2）关于 y 轴对 称的点 P1 的坐标是（－3，2）。 关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点 P（3，2）关于原点 O 对称的点 P2 的坐标是 （－3，－2）。 2．在直角坐标系中，已知点 P（-4a，7），Q（8，b+2）根据条件，求 a，b 值 1）P,Q 关于 x 轴对称 2）P,Q 关于 y 轴对称 【答案】（－2，-9）；（2，－5） 【解析】 1） 由题意可知-4a=8，-7=b+2，解得 a=-2，b=-9 2）由题意可知-4a=-8，7=b+2，解得 a=2，b=-5 考查题型三 利用轴对称解决折叠问题 1．（2018·黑龙江中考模拟）如图，将一个矩形纸片 ABCD，沿着 BE 折叠，使 C、D 两点分别落在点 1C 、 1D 处.若 1C BA 50   ，则 ABE 的度数为 ( ) A．10 B． 20 C．30 D． 40 【答案】B 【详解】 设∠ABE=x， 根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x， 所以 50°+x+x=90°， 解得 x=20°． 故选：B 2．（2019·山东中考真题）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机 翼间无缝隙)， AOB 的度数是________. 【答案】45° 【详解】 在折叠过程中角一直是轴对称的折叠， 22.5 2 45AOB      故答案为：45° 3．（2017·内蒙古中考模拟）把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝_____． 【答案】55° 【详解】 解：由翻折性质得，∠BOG＝∠B′OG， ∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG＝180°， ∴∠B′OG＝ 1 2 （180°﹣∠AOB′）＝ 1 2 （180°﹣70°）＝55°． 故答案为 55°． 4．（2012·江苏中考模拟）如图，△ABC 中，AC＝BC，把△ABC 沿 AC 翻折，点 B 落在点 D 处，连接 BD， 若∠ACB＝100°，则∠CBD＝_________° 【答案】10° 【解析】 三角形纸片 ABC，沿着 AC 翻折， ∴AB=AD，AC=BC，∠ACB＝100°， ∴∠BAC=CAD=40°， ∴∠ABC=40°， ∴∠BCD=160°， ∴∠CBD=∠CDB=10° 考查题型四 利用轴对称解决几何最值问题 1．（2019·吉林东北师大附中中考模拟）图①、图②均是 6 6 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点。 点 A 、 B 、 M 、 N 均落在格点上.在图①、图②给定的网格中按要求作图. （1）在图①中的格线 MN 上确定一点 P ，使 PA 与 PB 的长度之和最小; （2）在图②中的格线 MN 上确定一点Q ，使 AQM BQM   . 要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法. 【答案】如图①所示见解析，如图②所示见解析. 【详解】 (1)如图①所示；(2)如图②所示. 图① 图② 2．（2019·余干县瑞洪中学中考模拟）如图,根据要求画图(保留画图的痕迹,可以不写结论) (1)画线段 AB； (2)画射线 BC； (3)在线段 AB 上找一点 P，使点 P 到 A．B．C 三点的距离和最小,并简要说明理由． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）作 CP⊥AB 于 P,此时 P 到 A.B.C 三点的距离和最 短，图见解析 【详解】 (1)(2)如图所示: (3)如图所示: 作 CP⊥AB 于 P,此时 P 到 A.B.C 三点的距离和最 理由是:根据两点之间线段最短,PA+PB 此时最 小,根据垂线段最短,得出 PC 最短, 即 PA+PB+PC 的值最小, 即点 P 到 A.B.C 三点的距离和最小。 3．（2019·天津中考模拟）如图， 是等边三角形， 是 边上的高，点 E 是 边的中点，点 P 是 上的一个动点，当 最小时， 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：如连接 BE，与 AD 交于点 P，此时 PE+PC 最小， ∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC， ∴点 B 与点 D 关于 AD 对称， ∴PC=PB， ∴PE+PC=PB+PE=BE， ∴BE 就是 PE+PC 的最小值， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BCE=60°， ∵BA=BC，AE=EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC=90°， ∴∠EBC=30°， ∵PB=PC， ∴∠PCB=∠PBC=30°， ∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°， 故选：C． 知识点 2 线段的垂直平分线 概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上． 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。交点 叫做三角形的外心。 考查题型五 利用线段的垂直平分线性质解题 1．（2019·北京市通州区姚村中学中考模拟）已知如图，在△ABC 中，∠B＝45°，点 D 是 BC 边的中点，DE ⊥BC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 CE． （1）求∠AEC 的度数； （2）请你判断 AE、BE、AC 三条线段之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）90°；（2）AE2+EB2＝AC2，证明见解析． （2）根据勾股定理解答． 【详解】 解：（1）∵点 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC， ∴DE 是线段 BC 的垂直平分线， ∴EB＝EC， ∴∠ECB＝∠B＝45°， ∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°； （2）AE2+EB2＝AC2． ∵∠AEC＝90°， ∴AE2+EC2＝AC2， ∵EB＝EC， ∴AE2+EB2＝AC2． 2．（2017·福建中考模拟）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 延长线于点 E,连接 CE。 求证：∠BCE=∠A+∠ACB． 【答案】证明见解析. 【详解】 ∵BC 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 延长线于点 E， ∴CE=BE， ∴∠ECB=∠EBC， ∵∠EBC=∠A+∠ACB， ∴∠BCE=∠A+∠ACB． 3．（2014·福建中考模拟）如图，已知 DE 是 AC 的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，则△ABD 的周长为 __cm． 【答案】21 【解析】 ∵DE 垂直平分， ∴AD=CD， ∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm， 又∵AB=10cm， ∴△ABD 的周长=AB+BC=10+11=21（cm）． 考查题型六 证明某直线是一条线段的垂直平分线 1．（2019·上饶市第二中学初二期中）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E． （1）若∠BAC=50°，求∠EDA 的度数； （2）求证：直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线． 【答案】（1）65°（2）证明见解析 【详解】 （1）∵AD 平分∠BAC，∠BAC=50°， ∴∠EAD= 1 2 ∠BAC=25°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°， ∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°； （2）∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°=∠ACB， 又 AD 平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAC， 又∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD， ∴AE=AC，DE=DC ∴点 A 在线段 CE 的垂直平分线上，点 D 在线段 CE 的垂直平分线上， ∴直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. 2．（2018·广东初二期中）如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D 是垂 足，连接 CD，且交 OE 于点 F． （1）求证：OD=OC； （2）求证：OE 是 CD 的垂直平分线； （3）若∠AOB=60°，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）OE=4EF． 【详解】 证明：（1）∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是 C，D， ∴DE=CE，∠EOD=∠EOC， 在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中， ∴Rt△ODE≌Rt△OCE， ∴OD=OC； （2）∵Rt△ODE≌Rt△OCE， ∴OD=OC，ED=EC， ∴点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线上， ∴OE 是 CD 的垂直平分线； （3）OE=4EF． ∵OE 是∠AOB 的平分线，∠AOB=60°， ∴∠AOE=∠BOE=30°， ∵EC⊥OB，ED⊥OA， ∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°， ∴∠EDF=30°， ∴DE=2EF， ∴OE=4EF． 考查题型七 垂直平分线与角平分线相结合解题 1．（2019·河北锦玉中学初二期中）如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线 DE 与∠BAC 的平分线交于 点 E，EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，EG⊥AC 于点 G． 求证：（1）BF＝CG； （2）AB+AC＝2AF． 【答案】(1) 见解析；（2）见解析 【解析】 (1)如图，连接 BE 和 CE. ∵DE 是 BC 的垂直平分线， ∴BE＝CE. ∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG. 在 Rt△BFE 和 Rt△CGE 中， BE=CE，EF=EG， ∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)， ∴BF＝CG. (2)∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE. 在△AFE 和△AGE 中， ∠FAE＝∠GAE ，∠AFE＝∠AGE，AE=AE， ∴△AFE≌△AGE，∴AF＝AG. ∵BF＝CG， ∴AB＋AC＝AF－BF＋AG＋CG＝2AF. 2．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE 是 BC 的垂直平分线．试说明 BC ＝2AB． 【答案】证明见解析 【详解】 ∵DE 是 BC 的垂直平分线， ∴BE=EC，DE⊥BC， ∵∠A=90°， ∴DA⊥AB． 又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴DA=DE， 又∵BD=BD， ∴△ABD≌△EBD， ∴AB=BE， ∴BC=2AB． 知识点 3 等腰三角形 等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。 等腰三角形性质： 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 考查题型八 利用等腰三角形的概念解题 1．（2018·辽宁中考模拟）若等腰三角形的一个外角等于 140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A．40° B．100° C．40°或 70° D．40°或 100° 【答案】D 【详解】 当这个内角为顶角时，则顶角为 40°， 当这个内角为底角时，则两个底角都为 40°，此时顶角为：180°−40°−40°=100°， 故选：D. 2．（2018·陕西中考模拟）等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，那么它的底边长为（ ） A．4 或 6 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【解析】 详解：当腰为 6 时，则底边 4，此时三边满足三角形三边关系； 当底边为 6 时，则另两边长为 5、5，此时三边满足三角形三边关系； 故选 A． 3．（2018·湖南中考模拟）一个等腰三角形的两边长分别为 4，8，则它的周长为（ ） A．12 B．16 C．20 D．16 或 20 【答案】C 【详解】 等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 8，则第三边可能是 4，也可能是 8， （1）当 4 是腰时，4＋4＝8，不能构成三角形； （2）当 8 是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长＝8＋8＋4＝20． 故选 C． 4．（2017·湖北中考模拟）等腰三角形的一个角是 80°，则它的顶角的度数是（ ） A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20° 【答案】B 【解析】 分 80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①80°角是顶角时，三角形的顶角为 80°， ②80°角是底角时，顶角为 180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 80°或 20°． 5．（2016·贵州中考真题）已知 x，y 满足 4 8 0x y    ，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长 是（ ） A．20 或 16 B．20 C．16 D．以上答案都不对 【答案】B 【详解】 解：根据题意得，4-x=0，y-8=0， 解得 x=4，y=8， ①4 是腰长时，三角形的三边分别为 4、4、8， ∵4+4=8， ∴不能组成三角形， ②4 是底边时，三角形的三边分别为 4、8、8， 能组成三角形，周长=4+8+8=20， 所以，三角形的周长为 20． 故选 B. 考查题型九 利用等腰三角形的性质求角的度数 1．（2017·山东中考真题）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 上一点，且 DA＝DC，BD＝BA，则∠B 的大小为( ) A．40° B．36° C．30° D．25° 【答案】B 【详解】 解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵CD＝DA， ∴∠C＝∠DAC， ∵BA＝BD， ∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B， 设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α， 又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°， ∴α＋2α＋2α＝180°， ∴α＝36°，即∠B＝36°， 故选：B． 2．（2019·新疆中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称， ∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】C 【详解】 如图，连接 BB′ ∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称， ∴△BAC≌△B′AC′， ∵AB=AC，∠C=70°， ∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°， ∴∠BAC=∠B′AC′=40°， ∵∠CAF=10°， ∴∠C′AF=10°， ∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°， ∴∠ABB′=∠AB′B=40°， 故选 C． 3．（2015·广西中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°，AB 的垂直平分线 DE 分别交 AB、 BC 于点 D、E，则∠BAE=（ ） A．80° B．60° C．50° D．40° 【答案】D 【解析】 解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AE=BE， ∴∠BAE=∠B=40°， 故选 D． 4．（2018·内蒙古中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC，△ADE 的顶点 D，E 分别在 BC，AC 上，且∠DAE=90°， AD=AE，若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC 的度数为（ ） A．17.5° B．12.5° C．12° D．10° 【答案】D 【详解】 ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°， 又∵∠C+∠BAC=145°， ∴∠C=35°， ∵∠DAE=90°，AD=AE， ∴∠AED=45°， ∴∠EDC=∠AED-∠C=10°， 故选 D． 5．（2019·北京中考模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，点 E 分别是 BC，AC 上一点，且 DE⊥AD．若 ∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC 的度数． 【答案】∠DEC=115°． 【详解】 解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠B=50°， ∴∠C=50°， ∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°， ∵∠BAD=55°， ∴∠DAE=25°， ∵DE⊥AD， ∴∠ADE=90°， ∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°． 考查题型十 利用等腰三角形性质定理证明角度相等的方法 1．（2016·广东中考模拟）如图，在∆ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E. 求证：∠CBE=∠BAD． 【答案】见解析 【解析】 试题解析：∵AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，∴AD⊥BC， 又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD． 2．（2019·四川中考真题）如图，在四边形 ABCD 中， / /AB DC ，点 E 是 CD 的中点， AE BE ．求证： D C   ． 【答案】证明见解析. 【详解】 ∵ AE BE ， ∴ EAB EBA   ， ∵AB//DC， ∴ DEA EAB   ， CEB EBA   ， ∴ DEA CEB   ， ∵点 E 是CD 的中点， ∴ DE CE ， 在 ADE 和 BCE 中， DE CE DEA CEB AE BE       ， ∴  ADE BCE SAS   ， ∴ D C   ． 考查题型十一 利用等角对等边证明线段/角度相等 1．（2019·陕西中考模拟）如图，∠AEF＝∠AFE，AC＝AD，CE＝DF，求证：∠C＝∠D． 【答案】见解析. 【详解】 解：证明：∵∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， 在△AEC 与△AFD 中 AE AF AC AD CE DF      ， ∴△AEC≌△AFD（SSS）， ∴∠C＝∠D． 考查题型十二 等腰三角形与角平分线、平行线相结合解题 1．（2018·靖远县靖安中学中考模拟）如图，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，且 MN∥BC，设 AB＝12， BC＝24，AC＝18，则△AMN 的周长为（ ） A．30 B．36 C．42 D．18 【答案】A 【解析】 详解：∵BO 平分∠CBA，CO 平分∠ACB， ∴∠NBO=∠OBC，∠OCM=∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠NOB=∠OBC，∠MOC=∠OCB， ∴∠NBO=∠NOB，∠MOC=∠MCO， ∴MO=MC，NO=NB， ∵AB=12，AC=18， ∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AB+AC=12+18=30． 故选 A． 2．（2018·广西中考模拟）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，ED∥BC，若 AB=4，AD=2，则△AED 的周 长是（ ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【解析】 详解：∵BD 平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=DE， ∴ ADEC =AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，故选 A． 3.（2019·重庆中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F． （1）若∠C=36°，求∠BAD 的度数． （2）若点 E 在边 AB 上，EF//AC 叫 AD 的延长线于点 F．求证：FB=FE． 【答案】（1） 54BAD   ；（2）见解析. 【详解】 解：（1） AB AC C ABC   36C   36ABC   D 为 BC 的中点， AD BC  90 90 36 54BAD ABC          （2）BE 平分 ABC ABE EBC   又 / /EF BC EBC BEF   EBF FEB   BF EF  4．（2018·浙江中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，交 AC 于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数． 【答案】(1)见解析;(2) 40°. 【详解】 （1）∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠BCD=∠ECD． ∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE． （2）∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°． 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 等边三角形性质和判定： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60º。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是 60º的等腰三角形是等边三角形。 （ 4）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （补充： （1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。 （2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线 考查题型十三 利用等边三角形性质进行计算 1．（2018·山东中考模拟）如图：已知等边 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点， 且 CE CD ， DM BC ，垂足为 M ， 求证： M 是 BE 的中点． 【答案】见解析 【详解】 证明：如图，连接 BD， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60∘. ∵CD=CE， ∴∠CDE=∠E=30∘. ∵BD 是 AC 边上的中线， ∴BD 平分∠ABC， 即∠DBC=30∘， ∴∠DBE=∠E. ∴DB=DE. 又∵DM⊥BE， ∴DM 是 BE 边上的中线，即 M 是 BE 的中点. 2．（2019·太仓市陆渡中学中考模拟）如图，△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，点 D 是 AB 上一点，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 于点 E，交 CA 延长线于点 F． （1）证明：△ADF 是等腰三角形； （2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求 EC 的长， 【答案】（1）见解析；（2）EC＝4． 【详解】 （1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵FE⊥BC， ∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°， ∴∠F＝∠BDE， 而∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠FDA， ∴AF＝AD， ∴△ADF 是等腰三角形； （2）∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵∠B＝60°，BD＝4， ∴BE＝ 1 2 BD＝2， ∵AB＝AC， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BC＝AB＝AD+BD＝6， ∴EC＝BC﹣BE＝4． 3．（2016·宁夏中考真题）在等边△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC、AC 上，若 CD=2，过点 D 作 DE∥AB， 过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F，求 EF 的长． 【答案】证明过程见解析 【解析】 ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∴△EDC 是等边三角形， ∴DE=DC=2， 在 RT△DEC 中，∵∠DEC=90°，DE=2， ∴DF=2DE=4， ∴EF= = =2 ． 考查题型十四 等边三角形性质在全等证明中的应用 1．（2018·西安电子科技大学附属中学太白校区中考模拟）已知：如图,点 D 在等边△ABC 的边 AB 上，作 DG∥BC，交 AC 于点 G，点 F 在边 AC 上，连接 DF 并延长，交 BC 的延长线于点 E，FE=FD．求证：AD=CE. 【答案】证明见解析. 【解析】 ∵DG∥BC，∴∠DGF=∠ECF,在△DFG 和△EFC 中， DGF ECF DFG EFC FD EF         ， ∴△DFG≌△EFC(AAS)， ∴GD=CE，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60∘， ∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG 是等边三角形， ∴AD=GD， ∴AD=CE. 2．（2013·江苏中考模拟）如图，等边△ABC 中，D 是 AB 边上的一动点，以 CD 为一边，向上作等边△EDC， 连接 AE． (1)求证：△ACE≌△BCD； (2)判断 AE 与 BC 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）AE∥BC，理由见解析. 【详解】 （1）∵△ABC 与△EDC 是等边三角形， ∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC 又∵∠BCD=∠ACB－∠ACD，∠ACE=∠DCE－∠ACD， ∴∠BCD=∠ACE． ∴△ACE≌△BCD（SAS）； （2）AE∥BC，理由如下： ∵ACE≌△BCD， ∴∠ABC=∠CAE=60° 又∵∠ACB=60°， ∴∠CAE=∠ACB ∴ AE∥BC． 3．（2018·浙江师范大学附属秀洲实验学校中考模拟）如图，等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ ABC 外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ． （1）求证：△ABP≌△ACQ. （2）判断△APQ 的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）△APQ 为等边三角形．证明见解析. 【解析】 （1）∵ △ABC 为等边三角形， ∴ AB=AC． ∵ ∠ABP=∠ACQ，BP=CQ， ∴ △ABP≌△ACQ（SAS）． （2）解：△APQ 为等边三角形． 证明如下： ∵ △ABP≌△ACQ． ∴ AP=AQ，∠BAP=∠CAQ． ∵ ∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， ∴ ∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°． ∴ △APQ 是等边三角形．