中考数学解题指导专题12：数学思想方法之归纳探讨 58页

1 【2013 年中考攻略】专题 12：数学思想方法之归纳探讨 数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。探索规律 性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之 中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规 律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终” 的要求，近年中考数学经常出现的考题。 归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出 了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特 殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力， 以及探究能力和创新能力。 结合 2011 和 2012 年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（ 1）根 据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（ 3）根据图的变化规律归纳；（ 4） 根据寻找的循环规律归纳；（ 5）根据代数式拆分规律归纳；（ 6）根据一阶递推规律归纳；（ 7）根据 二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳。 一、根据数的排列或运算规律归纳： 典型例题： 例 1. （2012 广东肇庆 3 分）观察下列一组数： 3 2 ， 5 4 ， 7 6 ， 9 8 ， 11 10 ，…… ，它们是按一定规律排列 的，那么这一组数的第 k 个数是 ▲ ． 【答案】 2k 2k+1 。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律： 分子是连续的偶数，分母是连续的奇数， ∴第 k 个数分子是 2k，分母是 2k+1。∴这一组数的第 k 个数是 。 例 2. （2012 福建三明 4 分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是 ▲ ． 【答案】900。 2 【考点】分类归纳（数字变化类）。 【分析】寻找规律： 上面是 1，2 ，3，4，…；左下是 1，4=22，9=32，16=42，…； 右下是：左下数字减上面数字差的平方： （1－1）2，（4－2）2，（ 9－3）2，（ 16－4）2，… ∴a=（36－6）2=900。 例 3. （2012 湖北恩施 4 分）观察数表 根据表中数的排列规律，则 B+D= ▲ ． 【答案】23。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】∵仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字 从左至右相加等于最上而的一个数字， ∴1+4+3=B，1+7+D+10+1=34。 ∴B=8，D=15。 ∴B+D=8+15=23。 例 4. （2012 四川巴中 3 分）观察下面一列数：1，－2，3，－4，5，－6，……，根据你发现的规律，第 2012 个数是 ▲ 【答案】－2012。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】∵1，－2，3，－4，5，－6，…规律为绝对值是连续的自然数，第奇数个数是正数，第偶数个数 是负数， ∴第 2012 个数是：－2012。 3 例 5. （2012 辽宁丹东 3 分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第 10 个图形 有 ▲ 个五角星. 【答案】120。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】寻找规律：不难发现， 第 1 个图形有 3=22－1 个小五角星；第 2 个图形有 8=32－1 个小五角星；第 3 个图形有 15=42－1 个小五角星；…第 n 个图形有（n＋1）2－1 个小五角星。 ∴第 10 个图形有 112－1=120 个小五角星。 例 6. （2012 贵州遵义 4 分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数： 2 4 8 16 32,5 7 11 19 35  ， ， ， ， ，小亮猜想出 第六个数字是 64 67 ，根据此规律，第 n 个数是 ▲ ． 【答案】 n n 2 2 +3 。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】∵分数的分子分别是：2 2=4，23=8，24=16，…2n。 分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，…2n＋3。 ∴第 n 个数是 。 例 7. （2012 黑龙江大庆 3 分）已知 l 2 =1，l1 =121，l11 =12321，…，则依据上述规律，   2 81 11 11 个 的计 算结果中，从左向右数第 12 个数字是 ▲ . 【答案】4。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。119281 【分析】根据平方后的结果的规律，从左向右依次是从 1 开始的连续的自然数再逐渐减小至 1，且中间的 自然数与底数的 1 的个数相同，根据此规律写出即可得解： 12=1，112=121，1112=12321，…   2 81 11 11 个 =123456787654321，所以   2 81 11 11 个 的第 12 个数字是 4。 例 8. （2012 湖南益阳 10 分）观察图形，解答问题： 4 （1）按下表已填写的形式填写表中的空格： 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 积与和的商 ﹣2÷2=﹣1， （2）请用你发现的规律求出图④中的数 y 和图⑤中的数 x． 【答案】解：（1）填表如下： 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 （﹣2）×（﹣5）×17=170 三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 （﹣2）+（﹣5）+17=17 积与和的商 ﹣2÷2=﹣1 （﹣60）÷（﹣12）=5 170÷10=17 （2）图④：∵5×（﹣8）×（﹣9）=360，5+（﹣8）+（﹣9）=﹣1， ∴y=360÷（﹣12）=﹣30。 图⑤：由（1·x·3）÷（1＋x＋3）=﹣3，解得 x=﹣2。． 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】（1）根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格； （2）根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出 x、 y 的值。 例 9. （2012 浙江丽水、金华 3 分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图 1 中棋子围城三角形，其棵 数 3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图 2 中的 4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三 角形数又是正方形数的是【 】 A．2010 B．2012 C．2014 D．2016 【答案】D。 5 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】观察发现，三角数都是 3 的倍数，正方形数都是 4 的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一 定是 12 的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解： ∵2010÷12＝167…6，2012÷12＝167…8，2014÷12＝167…10，2016÷12＝168， ∴2016 既是三角形数又是正方形数。故选 D。 例 10. （2012 贵州毕节 5 分）在下图中，每个图案均由边长为 1 的小正方形按一定的规律堆叠而成，照 此规律，第 10 个图案中共有 ▲ 个小正方形。 【答案】100。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】寻找规律： 第 1 个图案中共有 1=12 个小正方形；第 2 个图案中共有 4=22 个小正方形； 第 3 个图案中共有 9=32 个小正方形；第 4 个图案中共有 16=42 个小正方形； …… ∴第 10 个图案中共有 102=100 个小正方形。 练习题： 1. （2012山东潍坊3分）下图中每一个小方格的面积为l，则可根据面积计算得到如下算式：1+ 3+5+7+…+(2n －1)= ▲ .(用 n 表示，n 是正整数) 2. （2011 江苏南京 2 分）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为 1、2、3、4，接着甲报 5、乙报 6……按此规律，后一位同 学报出的数比前一位同学报出的数大 1，当报到的数是 50 时，报数结束； 6 ②若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为 ▲ ． 3. （2011 辽宁沈阳 4 分）宁宁同学设计了一个计算程序，如下表 输入数据 1 2 3 4 5 …… 输出数据 2 3 4 5 6 7 8 9 a …… 根据表格中的数据的对应关系，可得 a 的值是 ▲ 4. （2011 辽宁本溪 3 分）根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字 ▲ 。 5. （2011 江苏扬州 3 分）如图，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相 等，则这六个数的和为 ▲ ． 6. （2011 山东菏泽 3 分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 ▲ ． 7. （2011 四川广元 5 分）已知一组数为：1， 3 4 ， 5 9 ， 7 16， 9 25，…，按此规律用代数式表示第 n 个数为 ▲ 8. （2011 云南大理、楚雄、文山、保山、丽江、怒江、迪庆、临沧 3 分）下面是按一定规律排列的一列 数： 2 3 ， 4 5 ， 8 7 ， 16 9 ， 那么第 n 个数是 ▲ . 9. （2011 贵州六盘水 4 分）有一列数： 3 1 ， 5 2 ， 7 3 ， 9 4 ……，则它的第 7 个数是 ▲ ;第 n 个数 是 ▲ 。 10. （2011 浙江省 3 分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图 A2 比图 A1 多 出 2 个“树枝”， 图 A3 比图 A2 多出 4 个“树枝”， 图 A4 比图 A3 多出 8 个“树枝”，……，照此规律，图 A6 比图 A2 多出“树枝”【 】 A.28 B.56 C.60 D. 124 7 二、根据式的排列或运算规律归纳： 典型例题： 例 1. （2012 江苏盐城 3 分）已知整数 1 2 3 4, , , ,a a a a 满足下列条件： 1 0a  , 21| 1|aa   , 32| 2|aa   , 43| 3|aa   ,…,依次类推，则 2012a 的值为【 】 A． 1005 B． 1006 C． 1007 D． 2012 【答案】B。 【考点】分类归纳（数字的变化类） 【分析】根据条件求出前几个数的值，寻找规律，分 n 是奇数和偶数讨论：： ∵ 1 0a  ， 21| 1| = 1aa    ， 32| 2| | 1 2| = 1aa        ， 43| 3| = | 1 3| = 2aa       ， 54| 4| = | 2 4| = 2aa       ， 65| 5| = | 2 5| = 3aa       ， 76| 6| = | 3 6| = 3aa       ， 87| 7 | = | 3 7 | = 4aa       ， …， ∴当 是奇数时， 1= 2n na  ， 是偶数时， = 2n na  。 ∴ 2012 2012= = 10062a 。故选 B。 例 2. （2012 浙江台州 5 分）请你规定一种适合任意非零实数 a，b 的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立： 1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣ ，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣ ，… 你规定的新运算 a⊕b= ▲ （用 a，b 的一个代数式表示）． 【答案】 2a+2b ab 。 【考点】分类归纳（数字的变化类），新定义。 【分析】寻找规律： ∵ 2 1+2 2 7 2 3 +2 41 2 2 1 3 3 4 4 3 =1 2 6 3 4                       （ ） （ ），（ ） （ ）（ ） （ ） （ ）（ ） ，  2 5+2 343 5 5 3 =15 5 3           （ ） （ ） （ ） ，··· 8 ∴ 2a+2bab ab  。 例 3. （2012 江苏泰州 3 分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x ， 23x ， 35x ， ▲ ， 59x ，…． 【答案】 47x 。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】寻找规律，代数式的系数为 1，3，5，7，9，···，是奇数排列；代数式字母 x 的指数为 1，2，3， 4，5，···，是自然数排列。所以在横线上的代数式是 。 例 4. （2012 湖南株洲 3 分）一组数据为：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…观察其规律，推断第 n 个数据应为 ▲ ． 【答案】 n1 n2x 。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】寻找规律：（1）单项式的系数为 1，－2，3，－4···，即 n 为奇数时，系数为正数，n 为偶数时， 系数为负数，系数的绝对值为 n12  ，即系数为 n12  ； （2）单项式的指数为 n。 ∴第 n 个数据应为 n1 n2x 。 例 5. （2012 湖南衡阳 3 分）观察下列等式 ①sin30°= 1 2 cos60°= ②sin45°= 2 2 cos=45°= ③sin60°= 3 2 cos30°= … 根据上述规律，计算 sin2a+sin2（90°﹣a）= ▲ ． 【答案】1。 【考点】分类归纳（数字的变化类），互余两角三角函数的关系。 【分析】根据①②③可得出规律，即 sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案 由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）= sin230°+sin260°= 13+ =144 ； sin245°+sin2（90°﹣45°）= sin245°+sin245°= 11+ =122 ； 9 sin260°+sin2（90°﹣60°）= sin260°+sin230°= 31+ =144 ； … ∴sin2a+sin2（90°﹣a）=1。 例 6. （2012 四川凉山 5 分）对于正数 x ，规定 1f (x) 1x  ，例如： 11f (4) 1 4 5 ， 1 1 4f ( ) 1451 4   ， 则 1 1 1f (2012) f (2011) f (2) f (1) f ( ) f ( ) f ( )2 2011 2012        … … ▲ 。 【答案】 2011.5 。 【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。 【分析】寻找规律： 当 x=1 时，f（1）= 1 2 ； 当 x=2 时，f（2）= 1 3 ，当 x= 时，f（ ）= 2 3 ，f（2）＋f（ ）=1； 当 x=3 时，f（3）= 1 4 ，当 x= 时，f（ ）= 3 4 ，f（3）＋f（ ）=1； ······ 当 x= n 时，f（3）= 1 n+1 ，当 x= 1 n 时，f（ ）= n n+1 ，f（ n ）＋f（ ）=1。 ∴ 1 1 1 1 1f (n) f (n 1) f (2) f (1) f ( ) f ( ) f ( ) n 1+ =n2 n 1 n 2 2            … … 。 ∴当 x= 2012 时， 1 1 1f (2012) f (2011) f (2) f (1) f ( ) f ( ) f ( ) 2011.52 2011 2012        … … 。 例 7. （2012 四川资阳 3 分）观察分析下列方程：① 2x3x，② 6x5x，③ 12x7x；请利用它们 所蕴含的规律，求关于 x 的方程 2n +nx 2n+4x3 （n 为正整数）的根，你的答案是： ▲ ． 【答案】x=n+3 或 x=n+4。 【考点】分类归纳（数字的变化类），分式方程的解。 【分析】求得分式方程①②③的解，寻找得规律： ∵由①得，方程的根为：x=1 或 x=2， 由②得，方程的根为：x=2 或 x=3， 由③得，方程的根为：x=3 或 x=4， ∴方程 abx a bx   的根为：x=a 或 x=b， 10 ∴ 2n +nx 2n+4x3 可化为     n n+1x 3 n+ n+1x3   。 ∴此方程的根为：x－3=n 或 x－3=n+1，即 x=n+3 或 x=n+4。 例 8. （2012 辽宁沈阳 4 分）有一组多项式：a＋b2，a2－b4，a3＋b6，a4－b8，…，请观察它们的构成规律， 用你发现的规律写出第 10 个多项式为 ▲ . 【答案】a10－b20。 【考点】分类归纳（数字的变化类），多项式。 【分析】∵第 1 个多项式为：a1＋b2×1，第 2 个多项式为：a2－b2×2，第 3 个多项式为：a3＋b2×3，第 4 个多 项式为：a4－b2×4，… ∴第 n 个多项式为：an＋（－1）n+1b2n。 ∴第 10 个多项式为：a10－b20。 例 9. （2012 黑龙江牡丹江 3 分）观察下列数： 2 3 4 5 1 1 1 1, , ,x x x x，…，按此规律排列，第十个数为 ▲ ． 【答案】 11 1 x  。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】寻找规律：观察可知，这个代数式的第 n 个数的符号是 n+11（ ） ，分子是 1，分母 x 的指数是项 数加 1，所以，这个代数式为 n+1 n+1 11 x （ ） ，当 n=10 时，这个代数式为 10+1 10+1 11 111= xx （ ） 。 例 10. （2012 贵州六盘水 4 分）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西 方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律， 如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n 为非负整数）的展开式中 a 按次数从大到小排列的项的系数。 例如， 2 2 2a b a 2ab b   （ ） 展开式中的系数 1、2、1 恰好对应图中第三行的数字； 再如， 3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b    （ ） 展开式中的系数 1、3、3、1 恰好对应图中第四行的数字。 请认真观察此图，写出（a+b）4 的展开式，（a+b）4= ▲ ． 【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。 11 【考点】分类归纳（数字的变化类），完全平方公式。 【分析】由（a+b）=a+b，（ a+b）2=a2+2ab+b2，（ a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 可得（a+b）n 的各项展开式的系 数除首尾两项都是 1 外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1 的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4 的各项 系数依次为 1、4、6、4、1。如图： ∴（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。 例 11.（2012 广东珠海 9 分）观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， … 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我 们称这类等式为“数字对称等式”． （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52× = ×25； ② ×396=693× ． （2）设这类等式左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，且 2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般 规律的式子（含 a、b），并证明． 12 例 12.（2012 广东佛山 10 分）规律是数学研究的重要内容之一． 初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置 关系特征等方面． 请你解决以下与数的表示和运算相关的问题： (1)写出奇数 a 用整数 n 表示的式子； (2)写出有理数 b 用整数 m 和整数 n 表示的式子； (3)函数的研究中，应关注 y 随 x 变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说 明函数的数值规律)． 13 下面对函数 y=x2 的某种数值变化规律进行初步研究： 由表看出，当 x 的取值从 0 开始每增加 1 个单位时，y 的值依次增加 1，3，5... 请回答： 当 x 的取值从 0 开始每增加 1 2 个单位时，y 的值变化规律是什么？ 当 x 的取值从 0 开始每增加 1 n 个单位时，y 的值变化规律是什么？ 【答案】解：（1）n 是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。 （2）有理数 b= m n （n≠0）。 （3）①当 x 的取值从 0 开始每增加 1 2 个单位时，列表如下： 故当 x 的取值从 0 开始每增加 个单位时，y 的值依次增加 1 4 、 3 4 、 5 4 … 2i 1 4  。 ②当 x 的取值从 0 开始每增加 1 n 个单位时，列表如下： 故当 x 的取值从 0 开始每增加 个单位时，y 的值依次增加 2 1 n 、 2 3 n 、 2 5 n … 2 2i 1 n  。 【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。 【分析】（1）n 是任意整数，偶数是能被 2 整除的数，则偶数可以表示为 2n，因为偶数与奇数相差 1，所 xi 0 1 2 3 4 5 ... yi 0 1 4 9 16 25 ... yi+1－yi 1 3 5 7 9 11 ... xi 0 1 3 2 2 5 2 ... yi 0 1 9 4 4 25 4 ... yi+1－yi 7 4 9 4 11 4 ... xi 0 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n ... yi 0 2 4 n 2 9 n 2 16 n 2 25 n ... yi+1－yi 2 7 n 2 9 n 2 11 n ... 14 以奇数可以表示为 2n+1。 （2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。 （3）根据图表计算出相应的数值后即可看出 y 随着 x 的变化而变化的规律。 练习题： 1. （2011 黑龙江大庆 3 分）已知下列等式：1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，…． 根据以上等式，猜想： 对于正整数 n(n≥4)，1＋2＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝ ▲ ． 2. （2011 广西贵港 2 分）若记 y＝f(x)＝ x2 1＋x2，其中 f(1)表示当 x＝1 时 y 的值，即 f(1)＝ 12 1＋12＝1 2；f(1 2) 表示当 x＝1 2时 y 的值，即 f(1 2)＝ (1 2)2 1＋(1 2)2 ＝1 5；…； 则 f(1)＋f(2)＋f(1 2)＋f(3)＋f(1 3)＋…＋f(2011)＋f( 1 2011)＝_ ▲ ． 3. （2011 广东湛江 4 分）若：A3 2=3×2=6，A5 3=5×4×3=60，A5 4=5×4×3×2=120，A6 4=6×5×4×3=360，…， 观察前面计算过程，寻找计算规律计算 A7 3= ▲ （直接写出计算结果），并比较 A10 3 ▲ A10 4（填“＞” 或“＜”或“=”） 4. （2011 四川雅安 3 分）在一列数 .......,, 321 aaa 中， 1 1a  ， 7 4....342312  aaaaaa ，则 15a  ▲ ． 5. （2011 四川成都 4 分）设 1 22 11=1 12S  , 2 22 11=1 23S , 3 22 11=1 34S ,…, 22 11=1 ( 1)nS nn 设 12... nS S S S    ，则 S= ▲ （用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数）． 6. （2011 辽宁营口 3 分）观察下列数据：x 3，x3 5 ，x5 7 ，x7 9 ，x9 11，…，它们是按一定规律排列的，依照此规 律第 n 个数据是 ▲ _(用含 n 的式子表示)． 7. （2011 云南曲靖 3 分）将一列整式按某种规律排成 x,－2x2,4x3,－8x4,16x5…则排在第六个位置的整式为 ▲ ； 8. （2011 贵州铜仁 4 分）．观察一列单项式： a ， 22a ， 34a ， 48a ，… 根据你发现的规律，第 7 个单项式为 ▲ ；第 n 个单项式为 ▲ ． 9. （2011 福建莆田 4 分）已知函数 2( ) 1fx x ，其中 ()fa表示当 xa 时 对 应 的 函 数 值，如 15 2 2 2(1) 1 (2) 1 ( ) 112f f f a a     ， ， ，则 (1) (2) (3)..... (100)f f f f = ▲ 。 10. （2011 湖南益阳 8 分）观察下列算式： ① 1 ×3 － 22 = 3 － 4 = －1 ② 2 × 4 － 32 = 8 －9 = －1 ③ 3 × 5 － 42 = 15 －16 = －1 ④ …… （1）请你按以上规律写出第 4 个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来； （3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 三、根据图的变化规律归纳： 典型例题： 例 1. （2012 四川自贡 3 分）一质点 P 从距原点 1 个单位的 M 点处向原点方向跳动，第一次跳动到 OM 的 中点 M3 处，第二次从 M3 跳到 OM3 的中点 M2 处，第三次从点 M2 跳到 OM2 的中点 M1 处，如此不断跳 动下去，则第 n 次跳动后，该质点到原点 O 的距离为【 】 A． n1 2 B． n1 1 2  C． n11()2  D． n 1 2 【答案】D。 【考点】分类归纳（图形的变化类），数轴。 【分析】∵OM=1，∴第一次跳动到 OM 的中点 M3 处时，OM3= 1 2 OM= 。 同理第二次从 M3 点跳动到 M2 处，即在离原点的（ ）2 处， 同理跳动 n 次后，即跳到了离原点的 n 1 2 处。故选 D。 例 2. （2012 山东潍坊 3 分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 3×3 个位置相邻的 9 个数(如 6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的 9 个数中，最大数与最小数的积为 192，则这 9 个数的和为【 】． 16 A．32 B．126 C．135 D．144 【答案】D。 【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。 【分析】由日历表可知，圈出的 9 个数中，最大数与最小数的差总为 16，又已知最大数与最小数的积为 192，所以设最大数为 x，则最小数为 x－16。 ∴x（x－16）=192，解得 x=24 或 x=－8（负数舍去）。 ∴最大数为 24，最小数为 8。 ∴圈出的 9 个数为 8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为 144。故选 D。 例 3. （2012 广东深圳 3 分）如图，已知：∠MON=30o，点 A1、A2、A3 在射线 ON 上，点 B1、B2、B3…．．在 射线 OM 上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若 OA1=l，则 △A6B6A7 的边长为【 】 A．6 B．12 C．32 D．64 【答案】C。 【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含 30 度角的直角三角形的性质。 【分析】如图，∵△A1B1A2 是等边三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°。∴∠2=120°。 ∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。 又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°。 ∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1。 ∵△A2B2A3、△A3B3A4 是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°。 17 ∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3。 ∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3。 ∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16。 以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7 的边长为 32。故选 C。 例 4. （2012 浙江绍兴 4 分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有 3 棵树，相 邻的树与树，树与灯间的距离是 10cm，如图，第一棵树左边 5cm 处有一个路牌，则从此路牌起向右 510m～ 550m 之间树与灯的排列顺序是【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】分类归纳（图形的变化类），解一元一次不等式。 【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为 10 米， 第二个灯的里程数为 50， 第三个灯的里程数为 90 米 … 第 n 个灯的里程数为 10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米， 由510 40n 30 550﹣ ，解得 1113 n 1422 ，∴n=14。 当 n=14 时，40n﹣30=530 米处是灯， 则 510 米、520 米、540 米处均是树。 ∴从此路牌起向右 510m～550m 之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、树。故选 B。 例 5. （2012 浙江绍兴 4 分）如图，直角三角形纸片 ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边 BC 中点，第 1 次 将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与 AD 交与点 P1；设 P1D 的中点为 D1，第 2 次将纸片折叠，使点 A 与点 D1 重合，折痕与 AD 交于点 P2；设 P2D1 的中点为 D2，第 3 次将纸片折叠，使点 A 与点 D2 重合， 折痕与 AD 交于点 P3；…；设 Pn﹣1Dn﹣2 的中点为 Dn﹣1，第 n 次将纸片折叠，使点 A 与点 Dn﹣1 重合，折 痕与 AD 交于点 Pn（n＞2），则 AP6 的长为【 】 18 A． 5 12 53 2  B． 6 9 3 52 C． 6 14 53 2  D． 7 11 3 52 【答案】A。 【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题）。 【分析】由题意得，AD= 1 2 BC= 5 2 ，AD1=AD﹣DD1=15 8 ，AD2= 2 5 53 2  ，AD3= 3 7 53 2  ，…∴ADn= 21 53 2 n n  。 故 AP1= 5 4 ，AP2=15 16 ，AP3= 2 6 53 2  …APn= 1 2 53 2 n n  。 ∴当 n=14 时，AP6= 5 12 53 2  。故选 A。 例 6. （2012 湖北荆门 3 分） 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形 各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图 ③；如此反复操作下去，则第 2012 个图形中直角三角形的个数有【 】 A． 8048 个 B． 4024 个 C． 2012 个 D． 1066 个 【答案】B。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律： 第 1 个图形，有 4 个直角三角形，第 2 个图形，有 4 个直角三角形， 第 3 个图形，有 8 个直角三角形，第 4 个图形，有 8 个直角三角形， …， 依次类推，当 n 为奇数时，三角形的个数是 2（n+1），当 n 为偶数时，三角形的个数是 2n 个， 所以，第 2012 个图形中直角三角形的个数是 2×2012=4024。故选 B。 19 例 7. （2012 山东烟台 3 分）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部 分的小菱形的个数可能是【 】 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】如图所示，断去部分的小菱形的个数为 5： 故选 C。 例 8. （2012 山东淄博 4 分）骰子是 6 个面上分别写有数字 1，2，3，4，5，6 的小立方体，它任意两对面 上所写的两个数字之和为 7．将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为 6 摆成一个几何 体，这个几何体的三视图如图所示．已知图中所标注的是部分面上的数字，则“※”所代表的数是【 】 (A)2 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】 B。 【考点】分类归纳（图形的变化类），几何体的三视图。 【分析】由任意两对面上所写的两个数字之和为 7，相接触的两个面上的数字的积为 6，结合左视图知，几何体下面 5 个小立方体的左边的数字是 1，右边的数字是 6；结 合主视图知，几何体右下方的小立方体前面的数字是 3，反面的数字是 4；根据相接 触的两个面上的数字的积为 6，几何体右下方的小立方体上面的数字只能是 2（如图）。 20 根据相接触的两个面上的数字的积为 6，几何体右上方的小立方体下面的数字是 3；根据任意两对 面上所写的两个数字之和为 7，几何体右上方的小立方体上面的数字是 4。 ∴俯视图上“※”所代表的数是 4。故选 B。 例 9. （2012 浙江绍兴 5 分）如图，矩形 OABC 的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平 移，每次平移 1 个单位，若第 1 次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差 的绝对值为 0.6，则第 n 次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的 绝对值为 ▲ （用含 n 的代数式表示） 【答案】 14 5n(n 1) 或 6 5n(n 1) 。 【考点】分类归纳（图形的变化类），反比例函数综合题，反比例函数的性质，平移的性质，待定系数法， 曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】设反比例函数解析式为 ky x ，则 ①与 BC，AB 平移后的对应边相交时，则由两交点纵坐标之差的绝对值为 0.6 和反比例函数关 于 yx 对称的性质，得 与 AB 平移后的对应边相交的交点的坐标为（2，1.4），代入 ，得1.4 2 k ，解得 14 5k  。 ∴反比例函数解析式为 14 5y x 。 则第 n 次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值 为： 14 14 14 5n 5(n 1) 5n(n 1) 。 ②与 OC，AB 平移后的对应边相交时，由 0.62 kk  得 6 5k  。 ∴反比例函数解析式为 6 5y x 。 则第 n 次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值 为： 6 6 6 5n 5(n 1) 5n(n 1) 。 21 综上所述，第 n 次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差 的绝对值为 14 5n(n 1) 或 6 5n(n 1) 。 例 10. （2012 江苏南京 2 分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿 x 轴翻折，再向右平移两个单 位称为一次变换，如图，已知等边三角形 ABC 的顶点 B、C 的坐标分别是，（-1，-1），（ -3，-1），把三角 形 ABC 经过连续 9 次这样的变换得到三角形 A’B’C’，则点 A 的对应点 A’的坐标是 ▲ 【答案】（16，1+ 3 ）。 【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐 角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】先由△ABC 是等边三角形，点 B、C 的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），求得点 A 的坐标； 再寻找规律，求出点 A 的对应点 A′的坐标： 如图，作 BC 的中垂线交 BC 于点 D，则 ∵△ABC 是等边三角形，点 B、C 的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1）， ∴BD=1， 0AD BD tan60 3   。∴A（—2， 13 ）。 根据题意，可得规律：第 n 次变换后的点 A 的对应点的坐标：当 n 为奇数时为（2n－2， ）， 当 n 为偶数时为（2n－2， ）。 ∴把△ABC 经过连续 9 次这样的变换得到△A′B′C′，则点 A 的对应点 A′的坐标是：（16， ）。 22 例 11.（2012 江苏无锡 2 分）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形 ABCDEF，其中 C．D 的坐标分别 为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着 x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个 六边形的顶点 A．B．C．D．E、F 中，会过点（45，2）的是点 ▲ ． 【答案】B。 【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正多边形和圆，旋转的性质。 【分析】由正六边形 ABCDEF 中 C．D 的坐标分别为（1，0）和（2，0），得正六边形边长为 1，周长为 6。 ∴正六边形滚动一周等于 6。如图所示。 当正六边形 ABCDEF 滚动到位置 1，2，3，4，5，6，7 时，顶点 A．B．C．D．E、F 的纵坐标为 2。 位置 1 时，点 A 的横坐标也为 2。 又∵（45－2）÷6=7…1， ∴恰好滚动 7 周多一个，即与位置 2 顶点的纵坐标相同，此点是点 B。 ∴会过点（45，2）的是点 B。 练习题： 1. （2012 湖北随州 4 分）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内的 不同的 n 个点最多可确定 15 条直线，则 n 的值为 ▲ . 2. （2012 四川达州 3 分）将边长分别为 1、2、3、4……19、20 的正方形置于直角坐标系第一象限，如 图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 ▲ . 23 3. （2012 四川内江 6 分）已知反比例函数 1y x 的图象，当 x 取 1，2，3，…，n 时，对应在反比例图象 上的点分别为 M1，M2，M3…，Mn，则 1 1 2 2 2 3 n 1 n 1 nPM M P M M P M MS S S     = ▲ 4. （2012 四川乐山 3 分）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1， ∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点 A2，…，∠An﹣1BC 的平分线与∠An﹣1CD 的平分线交于点 An．设∠A= ．则： （1）∠A1= ▲ ；（ 2）∠An= ▲ ． 5. （2012 四川泸州 3 分）如图，n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 M1,M2,M3,……Mn 分别为边 B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1 的中点，△B1C1M 1 的面积为 S1，△B2C2M2 的面积为 S2，… △BnCnMn 的面积为 Sn，则 Sn= ▲ 。(用含 n 的式子表示) 24 6. （2012 辽宁鞍山 3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边 AB 边中线 CD， 得到第一个三角形 ACD；DE⊥BC 于点 E，作 Rt△BDE 斜边 DB 上中线 EF，得到第二个三角形 DEF；依 此作下去…则第 n 个三角形的面积等于 ▲ ． 7. （2012 辽宁阜新 3 分）如图，△ABC 的周长是 32，以它的三边中点为顶点组成第 2 个三角形，再以第 2 个三角形的三边中点为顶点组成的第 3 个三角形，…，则第 n 个三角形的周长为 ▲ ． 8. （2012 辽宁本溪 3 分）如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第 1 个图中菱形的面 积为 S（S 为常数），第 2 个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到 的菱形产生的，依此类推……，则第 n 个图中阴影部分的面积可以用含 n 的代数式表示为 ▲ _。 （n≥2，且 n 是正整数） 9. （2012 辽宁锦州 3 分）如图，正方形 A 1B 1B 2C 1，A2 B 2B 3C 2，A3 B3 B4 C3 ,… ,An Bn B n+ 1C n，按如图 所示放置，使点 A1 、 A 2、 A 3、 A4、 … 、 An 在射线 OA 上，点 B 1、 B2、 B3 、 B 4、 … 、 Bn 在射线 OB 上.若∠AOB=45°， OB1 =1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作 S1,S2，S3，…，Sn ,则 Sn = ▲ . 25 10. （2012 辽宁铁岭 3 分）如图，点 E、F、G、H 分别为菱形 A1B1C1D1 各边的中点，连接 A1F、B1G、 C1H、D1E 得四边形 A2B2C2D2，以此类推得四边形 A3 B3C3D3…，若菱形 A1B1C1D1 的面积为 S，则四边形 AnBnCnDn 的面积为 ▲ . 四、根据寻找的循环规律归纳： 典型例题： 例1. （2012四川自贡4分）若 x 是不等于1的实数，我们把 1 1x 称为 x 的差倒数，如2的差倒数是 1 112 ， 1 的差倒数为 11 1 ( 1) 2 ，现已知 1 1x 3 ， 2x 是 1x 的差倒数， 3x 是 的差倒数， 4x 是 的差倒数，……， 依次类推，则 2012x = ▲ ． 【答案】 3 4 。 【考点】分类归纳（数字的变化类），倒数。 【分析】∵ 1 1x 3 ， ∴x2= 13=1 41 3  ，x3= 1 =431 4 ，x4= 11=1 4 3 。∴差倒数为 3 个循环的数。 ∵2012=670×3+2，∴x2012=x2= 。 例 2. （2012 内蒙古赤峰 3 分）将分数 6 7 化为小数是0.857142 ，则小数点后第 2012 位上的数是 ▲ ． 【答案】5。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】观察 0.857142 ，得出规律：6 个数为一循环，若余数为 1，则末位数字为 8；若余数为 2，则末 位数字为 5；若余数为 3，则末位数安为 7；若余数为 4，则末位数字为 1；若余数为 5，则末位数字为 4； 若余数为 0，则末位数字为 2。 ∵ 6 7 化为小数是 ，∴2012÷6=335…2。 ∴小数点后面第 2012 位上的数字是：5。 26 例 3. （2012 江苏南通 3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AC＝1，AC 在直线 l 上．将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转到位置①，可得到点 P1，此时 AP1＝2；将位置①的三角形绕点 P1 顺时针旋转到 位置②，可得到点 P2，此时 AP2＝2＋ 3；将位置②的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置③，可得到点 P3， 此时 AP3＝3＋ 3；…，按此规律继续旋转，直到得到点 P2012 为止，则 AP2012＝【 】 A．2011＋671 3 B．2012＋671 3 C．2013＋671 3 D．2014＋671 3 【答案】B。 【考点】分类归纳（图形的变化类），旋转的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。 【分析】寻找规律，发现将 Rt△ABC 绕点 A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次， APi（i=1,2,3,···） 的长度依次增加 2， 3 ，1，且三次一循环，按此规律即可求解： ∵Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC= 3。 根据旋转的性质，将 Rt△ABC 绕点 A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次， APi（i=1,2,3,···） 的长度依次增加 2， 3 ，1，且三次一循环。 ∵2012÷3==670…2， ∴AP2012=670（3+ 3 ）+2+ 3=2012+671 3。故选 B。 例 4. （2012 福建莆田 4 分）如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－ 2)．把一条长为 2012 个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点 A 处，并按 A—B—C －D—A 一…的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【 】 A．(1，－1) B．(－1，1) C．(－1，－2) D．(1，－2) 【答案】B。 【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。 27 【分析】根据点的坐标求出四边形 ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而 确定答案： ∵A（1，1）， B（－1，1）， C（－1，－2）， D（1，－2）， ∴AB=1－（－1）=2，BC=1－（－2）=3，CD=1－（－1）=2，DA=1－（-2）=3。 ∴绕四边形 ABCD 一周的细线长度为 2＋3＋2＋3=10， ∵2012÷10=201…2， ∴细线另一端在绕四边形第 202 圈的第 2 个单位长度的位置，即点 B 的位置。 ∴所求点的坐标为（－1，1）。故选 B。 例 5. （2012 湖南永州 3 分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第 0 号角，现依逆时针方向移动这枚棋子， 其各步依次移动 1，2，3，…，n 个角，如第一步从 0 号角移动到第 1 号角，第二步从第 1 号角移动到第 3 号角，第三步从第 3 号角移动到第 6 号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的 角的个数是【 】 A．0 B．1 C．2 D．3 28 例 6. （2012 山东济南 3 分）如图，矩形 BCDE 的各边分别平行于 x 轴或 y 轴，物体甲和物体乙分别由点 A（2，0）同时出发，沿矩形 BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以 1 个单位/秒匀速运动，物体 乙按顺时针方向以 2 个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第 2012 次相遇地点的坐标是【 】 A．（ 2，0） B．（－1，1） C．（－2，1） D．（－1，－1） 29 例 7. （2012 山东聊城 3 分）如图，在直角坐标系中，以原点 O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为 1， 2，3，4，…，同心圆与直线 y=x 和 y=﹣x 分别交于 A1，A2，A3，A4…，则点 A30 的坐标是【 】 A．（ 30，30） B．（﹣8 2 ，8 ） C．（﹣4 ，4 ） D．（ 4 ，﹣4 ） 30 【答案】C。 【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数综合题，解直角三角形。 【分析】∵A1，A2，A3，A4…四点一个周期，而 30÷4=7 余 2， ∴A30 在直线 y=﹣x 上，且在第二象限。 即射线 OA30 与 x 轴的夹角是 45°，如图 OA=8，∠AOB=45°， ∵在直角坐标系中，以原点 O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为 1，2，3，4，…， ∴OA30=8。 ∵A30 的横坐标是﹣8sin45°=﹣4 2 ，纵坐标是 4 ，即 A30 的坐标是（﹣4 ，4 ）。 故选 C。 例 8. （2012 广东梅州 3 分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为 1cm，一个微型机器人由点 A 开 始按 ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达 G 点时移动了 ▲ cm；②当微型 机器人移动了 2012cm 时，它停在 ▲ 点． 【答案】7；E。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】①由图可知，从 A 开始，第一次移动到 G 点，共经过 AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG 七条边， 所以共移动了 7cm； ②∵机器人移动一圈是 8cm，而 2012÷8=251…4， ∴移动 2012cm，是第 251 圈后再走 4cm 正好到达 E 点。 例 9. （2012 广东河源 4 分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为 1cm，一个微型机器人由点 A 开始按 ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达点 G 时，微型机器人移动了 ▲ cm；②当微型机器人移动了 2012cm 时，它停在 ▲ 点． 【答案】7；E。 31 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】①由图可知，从 A 开始，第一次移动到 G 点，共经过 AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG 七条边， 所以共移动了 7cm； ②∵机器人移动一圈是 8cm，而 2012÷8=251…4， ∴移动 2012cm，是第 251 圈后再走 4cm 正好到达 E 点。 例 10. （2012 湖北鄂州 3 分）已知，如图，△OBC 中是直角三角形，OB 与 x 轴正半轴重合，∠OBC=90°， 且 OB=1，BC= 3 ，将△OBC 绕原点 O 逆时针旋转 60°再将其各边扩大为原来的 m 倍，使 OB1=OC，得 到△OB1C1，将△OB1C1 绕原点 O 逆时针旋转 60°再将其各边扩大为原来的 m 倍，使 OB2=OC1，得到 △OB2C2，……，如此继续下去，得到△OB2012C2012，则 m= ▲ 。点 C2012 的坐标是 ▲ 。 【答案】2；（ 22011，－22011 3 ）。 【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形的旋转变化，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】在△OBC 中，∵OB=1，BC= ，∴tan∠COB= 。∴∠COB=60°，OC=2。 ∵OB1=mOB，OB1=OC，∴mOB=OC，即 m=2。 ∵每一次的旋转角是 60°，∴旋转 6 次一个周期（如图）。 ∵2012÷6=335…2， ∴点 C2012 的坐标跟 C2 的坐标在一条射线 OC6n+2 上。 ∵第 1 次旋转后，OC1=2；第 2 次旋转后，OC1=22；第 3 次旋 转后，OC3=23；···第 2012 次旋转后，OC2012=22012。 ∵∠C2012OB2012=60°，∴OB2012=22011。B2012C2012==22011 。 ∴点 C2012 的坐标为（22011，－22011 ）。 练习题： 1. （2012 湖南娄底 4 分）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第 1 至第 2012 个图 案中“ ”，共 ▲ 个． 32 2. （2012 山东莱芜 4 分）将正方形 ABCD 的各边按如图所示延长，从射线 AB 开始，分别在各射线上标 记点 A1、A2、A3、…，按此规律，点 A2012 在射线 ▲ 上． 3. （2012 山东德州 4 分）如图，在一单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都 是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3 的顶点坐标分别为 A1（2， 0）， A2（1，﹣1）， A3（0，0），则依图中所示规律，A2012 的坐标为 ▲ ． 4. （2012 山东泰安 3 分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→” 方向排列，如（1，0），（ 2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第 2012 个点的横 坐标为 ▲ ． 33 5. （2012 山东威海 3 分）如图，在平面直角坐标系中，线段 OA1=1，OA1 与 x 轴的夹角为 300。线段 A1A2=1， A1A2⊥OA1，垂足为 A1；线段 A2A3=1，A2A3⊥A1A2，垂足为 A2；线段 A3A4=1，A3A4⊥A2A3，垂足为 A3；···按 此规律，点 A2012 的坐标为 ▲ . 6. （2012 云南省 3 分）观察下列图形的排列规律（其中▲ 、■、★ 分别表示三角形、正方形、五角星）， 若第一个图形是三角形，则第 18 个图形是 ▲ .（填图形名称） ▲■★■▲★▲■★■▲★▲■★■▲★▲■★ 7. （2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 3 分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为 l 的正方 形 OABC，边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，如果以对角线 OB 为边作第二个正方形 OBB1C1，再以对角 线 OBl 为边作第三个正方形 OBlB2C2，照此规律作下去，则点 B2012 的坐标为 ▲ 8. （2011 重庆綦江 4 分）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格 子中 所填整数之和都相等，则第 2011 个格子中的数为【 】 3 a b c ﹣1 2 … A、3 B、2 C、0 D、﹣1 9. （2011 山东日照 4 分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数 2011 应标在【 】 34 A、第 502 个正方形的左下角 B、第 502 个正方形的右下角 C、第 503 个正方形的左上角 D、第 503 个正方形的右下角 10. （2011 贵州黔南 4 分）观察下列算式： 122 ， 224 ， 328 ， 42 16 ，…．根据上述算式中的规 律，请你猜想 102 的末尾数字是【 】 A、2 B、4 C、8 D、6 五、根据代数式拆分规律归纳： 典型例题： 例 1. （2012 江苏扬州 3 分）大于 1 的正整数 m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如 23＝3＋5， 33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…若 m3 分裂后，其中有一个奇数是 2013，则 m 的值是【 】 A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】分析规律，然后找出 2013 所在的奇数的范围，即可得解： ∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19， … ∴m3 分裂后的第一个数是 m(m－1)＋1，共有 m 个奇数。 ∵45×(45－1)＋1＝1981，46×(46－1)＋1＝2071， ∴第 2013 个奇数是底数为 45 的数的立方分裂后的一个奇数， ∴m＝45。故选 C。 例 2. （2012 山东菏泽 4 分）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如： 32 ， 33 和 34 分 别可以按如图所示的方式“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，即 32 3 5； 33 7 9 11   ； 34 13 15 17 19    ；……； 若 36 也按照此规律来进行“分裂”，则 36 “分裂”出的奇数中，最大的奇数是 ▲ ． 【答案】41。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 35 【分析】由 23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1， 由 33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1， 由 43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1， 由 53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1， 由 63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1， ∴63“分裂”出的奇数中最大的是 6×5+1+2×（6﹣1）=41。 例 3. （2012 贵州安顺 4 分）已知 2+ 2 3 =22× ，3+ 3 8 =32× ，4+ 4 15 =42× …，若 8+ a b =82× （a，b 为 正整数），则 a+b= ▲ ． 【答案】71。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】根据规律：可知 a=8，b=82﹣1=63，∴a+b=71。 例 4. （2012 山东临沂 3 分）读一读：式子“1+2+3+4+···+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和，由 于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 100 1n n   ，这里“∑”是求和符号通过对以上材料 的阅读，计算   2012 1 1 1n nn  = ▲ ． 【答案】 2012 2013 。 【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。 【分析】∵   1 1 1=1 +1n n n n ， ∴   2012 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2012= 1 + + + + =1 =1 2 2 3 3 4 2012 2013 2013 2013n nn                             。 例 5. （2012 河北省 3 分）某数学活动小组的 20 名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位开始， 每位同学一次报自己的顺序数的倒数加 1，第一同学报（ 1 1 +1），第二位同学报（ 1 2 +1），第三位同学报 （ 1 3 +1）， …这样得到的 20 个数的积为 ▲ 。 【答案】21。 【考点】分类归纳（数字的变化类），有理数的运算。 【分析】∵第一同学报（1 1 +1）=2，第二位同学报（ 1 2 +1）= 3 2 ，第三位同学报（ 1 3 +1）= 4 3 ，……第 20 36 位同学报（ 1 20 +1）= 21 20 ， ∴这 20 个数的积为 3 4 5 212 =212 3 4 20    。 例 6. （2012 广东省 7 分）观察下列等式： 第 1 个等式： 1 1 1 1 1 3 3a12    （ ）； 第 2 个等式： 2 1 1 1 3 5 2 1a 3 5  （ ）； 第 3 个等式： 3 1 1 1 5 7 2 1a 5 7  （ ）； 第 4 个等式： 4 1 1 1 7 9 2 1a 7 9  （ ）； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第 5 个等式：a5= = ； （2）用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：an= = （n 为正整数）； （3）求 a1+a2+a3+a4+…+a100 的值． 【答案】解：（1） 1 1 1 1 9 11 2 9 11 ， （ ）。 （2）     1 1 1 1 2n 1 2n+1 2 2n 1 2n+1   ， （ ）。 （3）a1+a2+a3+a4+…+a100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1 + + + +2 3 2 3 5 2 5 7 2 199 201        （ ） （ ） （ ） （ ） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 200 100= 1 + + + + = 1 = =2 3 3 5 5 7 199 201 2 201 2 201 201                   。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 【分析】（1）（ 2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为 1；分母是两个连续奇数的乘积， 它们与式子序号之间的关系为：序号的 2 倍减 1 和序号的 2 倍加 1。 （3）运用变化规律计算。 练习题： 1. （2011 广西玉林、防城港 3 分）一个容器装有 1 升水，按照如下要求把水倒出：第 1 次倒出 1 2 升水， 第 2 次倒出的水量是 升的 1 3 ，第 3 次倒出的水量是 升的 1 4 ，第 4 次倒出的水量是 升的 1 5 ，…按照 这种倒水的方法，倒了 10 次后容器内剩余的水量是【 】 37 A、10 11 升 B、 1 9 升 C、 1 10 升 D、 1 11 升 2. （2011 四川内江 12 分）同学们，我们曾经研究过 n×n 的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表 达式为 2 2 2 21 2 3 ... n    ．但 n 为 100 时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并 解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道 10 1 1 2 2 3 ... ( 1) ( 1)( 1)3n n n n n            时，我们可以这样做： （1）观察并猜想： 2212 =（1+0）×1+（1+1）×2=l+0×1+2+1×2=（1+2）+（0×1+1×2） 2 2 21 2 3=（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3 =1+0×1+2+1×2+3+2×3 =（1+2+3）+（0×1+1×2+2×3） 2 2 2 21 2 3 4   =（1+0）×1+（1+1）×2+（l+2）×3+ ___________ =1+0×1+2+1×2+3+2×3+ ___________ =（1+2+3+4）+（___________） … （2）归纳结论： =（1+0）×1+（1+1）×2+（1+2）×3+…[1+（n-l）]n =1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+（n-1）×n =（___________）+[ ___________] = ___________+ ___________ = 1 6 ×___________ （3 ）实践应用： 通过以上探究过程，我们就可以算出当 n 为 100 时，正方形网格中正方形的总个数是_________。 3.（2011 四川成都 4 分）设 1 22 11=1 12S  , 2 22 11=1 23S , 3 22 11=1 34S ,…, 22 11=1 ( 1)nS nn 设 12... nS S S S    ，则 S= ▲ （用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数）． 六、根据一阶递推规律归纳： 38 典型例题： 例 1. （2012 湖北黄石 3 分）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时候就能在课堂上快速 的计算出1 2 3 98 99 100 5050      ，今天我们可以将高斯的做法归纳如下： 令 1 2 3 98 99 10S 0      ① 100 99 98 3 2 1S      ② ①＋②：有 2 (1 100) 100S    解得：S 5050 请类比以上做法，回答下列问题： 若 n 为正整数，3 5 7 (2 1 8n ) 16     ，则 n  ▲ . 【答案】12。 【考点】分类归纳（数学的变化类），有理数的混合运算，解一元二次方程。 【分析】根据题目提供的信息，找出规律，列出方程求解即可： 设 S=3+5+7+…+（2n+1）=168①， 则 S=（2n+1）+…+7+5+3=168②， ①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168， 整理得，n2＋2n－168=0，解得 n1=12，n2=－14（舍去）。 ∴n=12。 例 2. （2012 湖北孝感 3 分）2008 年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦 举行，奥运会的年份与届数如下表所示： 年份 1896 1900 1904 … 2012 届数 1 2 3 … n 表中 n 的值等于 ▲ ． 【答案】30。 【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。 【分析】寻找规律：设奥运会的届数为 x，年份为 y，二者之间的关系为 y=kx+b。 将（1，1896），（2，1900）代入，得 k+b=1896 2k+b=1900    ，解得 k=4 b=1892    。 ∴ y=4x+1892 。检验：（3，1904）符合。∴奥运会的届数与年份之间的关系为 。 当 y=2012 时， 2012=4x+1892 ，解得 x=30。 ∴n=30。 39 例 3. （2012 山西省 3 分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则 第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 ▲ ． 【答案】4n﹣2。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形 2 个，第二图案有阴影小三角形 2+4=6 个，第三个图案有 阴影小三角形 2+8=12 个，···那么第 n 个就有阴影小三角形 2+4（n﹣1）=4n﹣2 个。 例 4. （2012 青海省 2 分）观察下列一组图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 n 个图形中共有 ▲ 个★． 【答案】3n+1。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。190187 【分析】观察发现，第 1 个图形五角星的个数是：1+3=4， 第 2 个图形五角星的个数是：1+3×2=7， 第 3 个图形五角星的个数是：1+3×3=10， 第 4 个图形五角星的个数是：1+3×4=13， … 依此类推，第 n 个图形五角星的个数是：1+3×n=3n+1。 例 5. （2012 浙江宁波 6 分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： （1）第 5 个图形有多少黑色棋子？ （2）第几个图形有 2013 颗黑色棋子？请说明理由． 【答案】解：（1）寻找规律： 第一个图需棋子 6=3×2， 40 第二个图需棋子 9=3×3， 第三个图需棋子 12=3×4， 第四个图需棋子 15=3×5， ∴第五个图需棋子 3×6=18。 答：第 5 个图形有 18 颗黑色棋子。 （2）由（1）可得，第 n 个图需棋子 3（n+1）枚 设第 n 个图形有 2013 颗黑色棋子， 则 3（n+1）=2013 ，解得 n=670。 答：第 670 个图形有 2013 颗黑色棋子。 【考点】分类归纳（图形的变化类），一元一次方程的应用。 【分析】（1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案。 （2）根据（1）所找出的规律，列出方程，即可求出答案。 例 6. （2012 山东济宁 6 分）问题情境： 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第 2012 个图共有多少枚棋子？ 建立模型： 有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函 数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则 用这个关系式去求解． 解决问题： 根据以上步骤，请你解答“问题情境”． 41 【答案】解：以图形的序号为横坐标，棋子的枚数为纵坐标，描点：（1，4）、（2，7）、（ 3，10）、（ 4，13） 依次连接以上各点，所有各点在一条直线上， 设直线解析式为 y=kx+b，把（1，4）、（ 2，7）两点坐标代入得 k+b=4 2k+b=7    ，解得 k=3 b=1    。∴y=3x+1。 验证：当 x=3 时，y=10；当 x=4 时，y=13，∴（3，10）、（ 4，13）也在这条直线上。 当 x=2012 时，y=3×2012+1=6037。 答：第 2012 个图有 6037 枚棋子。 【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数的应用。 【分析】画出相关图形后可得这些点在一条直线上，设出直线解析式，把任意两点代入可得直线解析式， 进而把 x=2012 代入可得相应的棋子数目。 42 练习题： 1. （2011 辽宁丹东 3 分）按一定规律排列的一列数，依次为 l，4，7，…．则第 n 个数是 ▲ _． 2. （2011 湖南岳阳 3 分）将边长分别为 2 ，2 ，3 ，4 …的正方形的面积记作 S1，S2，S3，S4…， 计算 S2﹣S1，S3﹣S2，S4﹣S3…．若边长为 n （n 为正整数）的正方形面积记作 Sn，根据你的计算结果， 猜想 Sn+1﹣Sn= ▲ ． 3. （2011 山东聊城 3 分）如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第 n 个图形需要围棋子的枚数为【 】 A．5n B．5n－1 C．6n－1 D．2n2＋1 4. （2011 湖北黄石 3 分）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定 3 条直线，若平面上 不同的 n 个点最多可确定 21 条直线，则 n 的值为 【 】 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. （2011 吉林省 2 分）用形状相同的两种菱形拼成如图所示的图案，用 a 表示第 n 个图案中菱形的个数， 则 n=____ ▲_____（用含 n 的式子表示） a1=4 a2=10 a3=16 6. （2011 黑龙江哈尔滨 3 分）观察下列图形： 43 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 9 个图形中共有 ▲ 个★ 7. （2011 黑龙江牡丹江 3 分）用大小相同的实心圆摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆成的第 n 个 图案中，共有实心圆的个数为 ▲ 8. （2011 福建漳州 4 分）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第 n 个图形需要棋子_ ▲ 枚．（用含 n 的代数式表示） 9. （2011 青海省 2 分）用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第 n 个图案中有 白色地面瓷 砖 ▲ 块。 第 1 个 第 2 个 第 3 个 10. （2011 内蒙古呼伦贝尔 3 分）用火柴棒按下列方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第 n 个图形需 ▲ 根火柴棒。 七、根据二阶递推规律归纳： 典型例题： 例 1. （2012 重庆市 4 分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有 2 个五角星，第②个图形一共有 8 个五角星，第③个图形一共有 18 个五角星，…，则第⑥个图形中五角星 的个数为【 】 44 A．50 B．64 C．68 D．72 【答案】D。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】寻找规律：每一个图形左右是对称的， 第①个图形一共有 2＝2×1 个五角星， 第②个图形一共有 8＝2×（1+3）＝2×22 个五角星， 第③个图形一共有 18＝2×（1+3+5）＝2×32 个五角星， …， 则第⑥个图形中五角星的个数为 2×62=72。故选 D。 例 2.（2012 湖南永州 3 分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如 1，3，9，19，33，…就是一 个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如 2，4，6，8，10 就是一个等差数列，它的公差为 2．如 果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数 列 1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是 2，6，10，14，…，这是一个公 差为 4 的等差数列，所以，数列 1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列 1， 3，7，13，…的第五个数应是 ▲ ． 【答案】21。 【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。 【分析】由已知，二阶等差数列 1，3，7，13，…与次序之间形成数对（1，1），（2，3），（3，7）， （4，13）…。 设二阶等差数列与次序之间的关系为 2y=ax +bx+c ， 将（1，1），（2，3），（3，7）代入，得 a+b+c=1 4a+2b+c=3 9a+3b+c=7    ，解得 a=1 b= 1 c=1     。 ∴ 2y=x x+1 。检验：（4，13）符合。∴二阶等差数列与次序之间的关系为 。 45 ∴当 x= 5 时， y=21。 ∴二阶等差数列 1，3，7，13，…的第五个数应是 21。 例 3. （2012 贵州铜仁 4 分）如图，第①个图形中一共有 1 个平行四边形，第②个图形中一共有 5 个平行 四边形，第③个图形中一共有 11 个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】 A．54 B．110 C．19 D．109 【答案】D。 【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。 【分析】由图知，图中平行四边形的个数与次序之间形成数对（1，1），（2，5），（ 3，11），…。 设平行四边形的个数与次序之间的关系为 2y=ax +bx+c ， 将（1，1），（2，5），（3，11）代入，得 a+b+c=1 4a+2b+c=5 9a+3b+c=11    ，解得 a=1 b=1 c= 1     。 ∴平行四边形的个数与次序之间的关系为 2y=x +x 1 。 ∴当 x= 10 时， y=109 。 ∴第⑩个图形中平行四边形的个数是 109。故选 D。 例 4. （2012 江苏宿迁 3 分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第 14 个图案中黑色小正方 形地砖的块数是 ▲ . 【答案】365。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。寻找规律， 【分析】画树状图：记第 n 个图案中黑色小正方形地砖的块数是 an，则 46 ∴an－an－1=4（n－1）（ n=2，3，4，···）， ∴（a2－a1）＋（a3－a2）＋（a4－a3）＋···＋（an－an－1）=4＋8＋···＋4（n－1）， 即 an－a1=4[1＋2＋3＋···＋（n－1）]=     21+ n 14 n 1 2n 2n2      ∴an= 22n 2n ＋a1= 22n 2n+1 。 当 n=14 时，a14 = 22 14 2 14+1 365    。 例 5. （2012 湖南岳阳 3 分）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第 n 个圆中，m= ▲ （用 含 n 的代数式表示）． 【答案】 29n 1 。 【考点】分类归纳（图形和数字的变化类）。 【分析】寻找圆中下方数的规律： 第一个圆中，8=2×4=（3×1－1）（ 3×1＋1）； 第二个圆中，35=5×7=（3×2－1）（ 3×2＋1）； 第三个圆中，80=8×10=（3×3－1）（ 3×3＋1）； ······ 第 n 个圆中，    22m 3 n 1 3 n 1 3n 1 9n 1        （ ） 。 例 6. （2012 贵州黔东南 4 分）如图，第（1）个图有 2 个相同的小正方形，第（1）个图有 2 个相同的小 正方形，第（2）个图有 6 个相同的小正方形，第（3）个图有 12 个相同的小正方形，第（4）个图有 20 个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（n）个图有 ▲ 个相同的小正方形． 47 【答案】n（n+1）。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】寻找规律： 第（1）个图有 2 个相同的小正方形，2=1×2， 第（2）个图有 6 个相同的小正方形，6=2×3， 第（3）个图有 12 个相同的小正方形，12=3×4， 第（4）个图有 20 个相同的小正方形，20=4×5， …， 按此规律，第（n）个图有 n（n+1）个相同的小正方形。 例 7. （2012 广西桂林 3 分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第 n 个图中阴影 部分小正方形的个数是 ▲ ． 【答案】n2＋n＋2。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】寻找规律，正方形网格中阴影部分小正方形可分为两部分：除最右一排的部分和最右一排的部分： 除最右一排的小正方形个数 最右一排的小正方形个数 合计小正方形个数 第 1 个图 1=12 3 4=12＋3 第 2 个图 4=22 4=3＋1 8=22＋3＋1 第 3 个图 9=32 5=3＋2 14=32＋3＋2 ··· ··· ··· ··· 第 n 个图 n2 3＋n－1= n＋2 n2＋n＋2 练习题： 48 1. （2011 广东河源 4 分）凸 n 边形的对角线的条数记作  4nan 例如： 4 =2a ，那么：① 5 =a ▲ ； ② 65=aa ▲ ；③ 1 =nnaa  ▲ （ 4n  ，用 n 含的代数式表示）。 2. （2011 湖北荆门 3 分）图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个 2×2 的近似正方 形，其中完整菱形共有 5 个；若铺成 3×3 的近似正方形图案③，其中完整的菱形有 13 个；铺成 4×4 的近 似正方形图案④，其中完整的菱形有 25 个；如此下去，可铺成一个 nn 的近似正方形图案.当得到完整的 菱形共 181 个时，n 的值为【 】 A.7 B.8 C.9 D.10 3. （2011 福建南平 4 分）观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第 11 个图形中小正方形的个数 为【 】 A．78 B．66 C．55 D．50 4. （2011 江苏徐州 3 分）如图，每个图案都是由若干个棋子摆成，依照此规律，第 n 个图案中棋子的总个 数可用含 n 的代数式表示为 ▲ . 5. （2011 辽宁朝阳 3 分） 观察下列图形： 它们是用●按一定规律排列的，依照此规律，第 10 个图形中共有 ▲ 个●. 6. （2011 内蒙古乌兰察布 4 分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图 形有 ▲ 个小圆 · （用含 n 的代数式表示） （1） （2） （3） （4） （5）    第3个          第4个   第2个  1第 个 49 第 1 个图形 第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形 7. （2011 四川达州 3 分）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第 1 个图形需要 1 个小圆，第 2 个图形需 3 个小圆，第 3 个图形需要 6 个小圆，第 4 个图形需要 10 个小圆，按照这样的规律摆下去，则 第 n 个图形需要小圆 ▲ 个（用含 n 的代数式表示）． 8. （2011 四川泸州 2 分）如图，是用三角形摆成的图案，摆第一层图需要 1 个三角形，摆第二层图需要 3 个三角形，摆第三层图需要 7 个三角形，摆第四层图需要 13 个三角形，摆第五层图需要 ▲ 个三角 形，…，摆第 n 层图需要 ▲ 个三角形． 9. （2011 四川遂宁 8 分）在同一平面内有 n 条直线，任何两条不平行，任何三条不共点。 当 n=1 时，如图⑴，一条直线将一个平面分成两个部分； 当 n=2 时，如图⑵，两条直线将一个平面分成四个部分； 则：当 n=3 时，三条直线将一个平面分成 部分； 当 n=4 时，四条直线将一个平面分成 部分； 图⑵ 图⑴ 50 若 n 条直线将一个平面分成 na 个部分，n+1 条直线将一个平面分成 1na 个部分。 试探索 na 、 1na 、n 之间的关系。 八、根据乘方规律归纳： 典型例题： 例 1. （2012 山东滨州 3 分）求 1+2+22+23+…+22012 的值，可令 S=1+2+22+23+…+22012，则 2S=2+22+23+24+…+22013，因此 2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出 1+5+52+53+…+52012 的值为【 】 A．52012﹣1 B．52013﹣1 C． 201351 4  D． 201251 4  【答案】C。 【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法。 【分析】设 S=1+5+52+53+…+52012，则 5S=5+52+53+54+…+52013， ∴5S﹣S=52013﹣1，∴S= 201351 4  。故选 C。 例 2. （2012 江苏盐城 3 分）一批志愿者组成了一个“爱心团队”,专门到全国各地巡回演出,以募集爱心基金. 第一个月他们就募集到资金 1 万元,随着影响的扩大,第 n（n≥2）个月他们募集到的资金都将会比上个月增 加 20%,则当该月所募集到的资金首次突破 10 万元时,相应的 n 的值为 ▲ . (参考数据: 51.2 2.5 , 61.2 3.0 , 71.2 3.6 ) 【答案】13。 【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法 【分析】第一个月募集到资金 1 万元，则由题意第二个月募集到资金（1+20%）万元，第三个月募集到资 金（1+20%）2 万元，…，第 n 个月募集到资金（1+20%）n-1 万元，由题意得： （1+20%）n－1＞10，即 1.2 n－1＞10. ∵1.25×1.26≈7.5＜10，1.25×1.27≈10.8＞10， ∴n－1=5+7=12，解得，n=13。 例 3. （2012 江苏镇江 3 分）边长为 a 的等边三角形，记为第 1 个等边三角形。取其各边的三等分点，顺 次连接得到一个正六边形，记为第 1 个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一 个等边三角形，记为第 2 个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第 2 个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。则第 6 个正六边形的边长是【 】 51 A. 511a32  B. 511a23  C. 611a32  D. 611a23  【答案】A。 【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。 【分析】如图，双向延长 EF 分别交 AB、AC 于点 G、H。 根据三角形中位线定理，得 GE=FH= 1 1 1a= a2 3 6 ，GB=CH= 1 a6 。 ∴AG=AH= 5 a6 。 又∵△ABC 中，∠A=600，∴△AGH 是等边三角形。 ∴GH=AG=AH= 。EF= GH－GE－FH= 5 1 1 1a a a= a6 6 6 2 。 ∴第 2 个等边三角形的边长为 1 a2 。 同理，第 3 个等边三角形的边长为 21 a2   ，第 4 个等边三角形的边长为 31 a2   ，第 5 个等边三角 形的边长为 41 a2   ，第 6 个等边三角形的边长为 51 a2   。 又∵相应正六边形的边长是等边三角形的边长的 1 3 ， ∴第 6 个正六边形的边长是 511a32  。故选 A。 例 4. （2012 湖北鄂州 3 分）在平面坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（1，0）， 点 D 的坐标为（0，2），延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C，延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方 形 A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，第 2012 个正方形的面积为【 】 52 A. 2010)2 3(5 B. 2010)4 9(5 C. 2012)4 9(5 D. 4022)2 3(5 【答案】D。 【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股 定理。 【分析】∵正方形 ABCD，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA。 ∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°。∴∠ADO=∠BAA1。 ∵∠DOA=∠ABA1，∴△DOA∽△ABA1。∴ 1 BA OA 1 AB OD 2。 ∵AB=AD= 22 2 1 5 ，∴BA1= 1 52 。 ∴第 2 个正方形 A1B1C1C 的边长 A1C=A1B+BC= 3 52 ，面积是 22335 =522           。 同理第 3 个正方形的边长是 23 3 9 35+ 5= 5= 52 4 4 2   ，面积是： 22 2 2335 =522           。 第 4 个正方形的边长是 33 52   ，面积是 23 2 3335 =522           … 第 2012 个正方形的边长是 2012 1 2011335= 522            ，面积是 22011 2 2011 40223 3 35 =5 =52 2 2                 。 故选 D。 例 5. （2012 湖南常德 3 分）若图 1 中的线段长为 1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角 形，然后去掉这一段，得到图 2，再将图 2 中的每一段作类似变形，得到图 3，按上述方法继续下去得到 图 4，则图 4 中的折线的总长度为【 】 53 A. 2 B. 27 16 C. 9 16 D. 27 64 【答案】D。 【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质。 【分析】寻找规律，从两方面考虑： （1）每个图形中每一条短线段的长：图 2 中每一条短线段的长为 1 3 ，图 3 中每一条短线段的长为 1 9 ，图 4 中每一条短线段的长为 1 27 。 （2）每个图形中短线段的根数：图 2 中有 4 根，图 3 中有 16 根，图 4 中有 64 根。 ∴图 4 中的折线的总长度为 1 6464=27 27 。故选 D。 【推广到一般，图 n 中的折线的总长度为 n14 3   】 例 6. （2012 山东日照 4 分）如图，在斜边长为 1 的等腰直角三角形 OAB 中，作内接正方形 A1B1C1D1； 在等腰直角三角形 OA1B1 中，作内接正方形 A2B2C2D2；在等腰直角三角形 OA2B2 中，作内接正方形 A3B3C3D3；……；依次作下去，则第 n 个正方形 AnBnCnDn 的边长是【 】 （A） n1 1 3  （B） n 1 3 （C） n1 1 3  （D） n2 1 3  【答案】B。 【考点】分类归纳（图形的变化类），等腰直角三角形和正方形的性质。 【分析】寻找规律：∵等腰直角三角形 OAB 中，∠A=∠B=450， ∴△AA1C1 和△BB1D1 都是等腰直角三角形。∴AC1=A1C1，BD1=B1D1。 54 又∵正方形 A1B1C1D1 中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，∴AC1=C1D1=D1B。 又∵AB=1，∴C1D1= 1 3 ，即正方形 A1B1C1D1 的边长为 。 同理，正方形 A2B2C2D2 的边长为 2 1 3 ，正方形 A3B3C3D3 的边长为 3 1 3 ，……正方形 AnBnCnDn 的 边长为 n 1 3 。故选 B。 例 7. （2012 广东广州 3 分）如图，在标有刻度的直线 l 上，从点 A 开始， 以 AB=1 为直径画半圆，记为第 1 个半圆； 以 BC=2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆； 以 CD=4 为直径画半圆，记为第 3 个半圆； 以 DE=8 为直径画半圆，记为第 4 个半圆， …按此规律，继续画半圆，则第 4 个半圆的面积是第 3 个半圆面积的 ▲ 倍，第 n 个半圆的面积为 ▲ （结果保留 π） 【答案】4； 2n 52  。 【考点】分类归纳（图形的变化类），半圆的面积，负整数指数幂，幂的乘方，同底幂乘法。 【分析】由已知，第 3 个半圆面积为： 22 =22   ，第 4 个半圆的面积为： 24 =82   ， ∴第 4 个半圆的面积是第 3 个半圆面积的 8 2   =4 倍。 由已知，第 1 个半圆的半径为 01 22  ，第 2 个半圆的半径为 11 22  ，第 3 个半圆的半径为 21 22  ， ······第 n 个半圆的半径为 n11 22  。 ∴第 n 个半圆的面积是  2 2n 1 n 2 1 2n 4 2n 51 1 12 = 2 =2 2 =22 2 2            。 例 8. （2012 广东湛江 4 分）如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二个正 方形 ACEF、再以对角线 AE 为边作笫三个正方形 AEGH，如此下去…．若正方形 ABCD 的边长记为 a1， 按上述方法所作的正方形的边长依次为 a2，a3，a4，…，an，则 an= ▲ ． 55 【答案】  n1 na = 2  。 【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形的性质，勾股定理，同底幂乘法。 【分析】分析规律： ∵a2=AC，且在 Rt△ABC 中，AB2+BC2=AC2， ∴  1 21a = 2a = 2 。 同理      2 2 3 3 2 4 3a = 2a = 2 2= 2 a = 2a = 2 2= 2  ， ， ∴ 。 例 9. （2012 黑龙江龙东地区 3 分）如图，直线 y=x，点 A1 坐标为（1，0），过点 A1 作 x 轴的垂线交直线 于点 B1，以原点 O 为圆心，OB1 长为半径画弧交 x 轴于点 A2，再过点 A2 作 x 轴的垂线交直线于点 B2，以 原点 O 为圆心，OB2 长为半径画弧交 x 轴于点 A3，……按此作法进行去，点 Bn 的纵坐标为 ▲ (n 为正整数)。 【答案】 n1 2  。 【考点】分类归纳（图形变化类），一次函数综合题，等腰直角三角形的性质。 【分析】寻找规律： 由直线 y=x 的性质可知，∵B2，B3，…，Bn 是直线 y=x 上的点， ∴△OA1B1，△OA2B2，…△OAnBn 都是等腰直角三角形，且 A2B2=OA2=OB1= 2 OA1； A3B3=OA3=OB2= OA2= 2 2 OA1； A4B4=OA4=OB3= OA3= 3 2 OA1； 56 ……  n1 n n n n 1 n 1 1A B OA OB 2OA 2 OA      。 又∵点 A1 坐标为（1，0）， ∴OA1=1。∴  n1 n n nA B OA 2   ，即点 Bn 的纵坐标为 n1 2  。 练习题： 1. （2011 山东德州 3 分）图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三 角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图 2），依此规律继续拼 下去（如图 3）， …，则第 n 个图形的周长是【 】 A、2n B、4n C、2n+1 D、2n+2 2. （2011 山东青岛 3 分）如图，以边长为 1 的正方形 ABCD 的边 AB 为对角线作第二个正方形 AEBO1， 再以 BE 为对角线作第三个正方形 EFBO2，如此作下去，…，则所作的第 n 个正方形的面积 Sn＝ ▲ ． 3. （2011 广东台山 3 分）先作半径为 2 2 的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述 内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第 7 个圆的内接正方形的边长为【 】 A、（ 6)2 2 B、（ 7)2 2 C、（ 6)2 D、 7)2( 4. （2011 黑龙江龙东五市 3 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD，且 AC=8，BD=4，各边 中点分别为 A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形 A1B1C1D1，再取各边 中点 A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形 A2B2C2D2，……，依此类推， 这样得到四边形 AnBnCnDn ,则四边形 AnBnCnDn 的面积为 ▲ 。 57 5. （2011 黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西 3 分）如图，△ABC 是边长为 1 的等边三角 形．取 BC 边中点 E，作 ED∥AB，EF∥AC，得到四边形 EDAF，它的面积记作 S1；取 BE 中点 E1，作 E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形 E1D1FF1，它的面积记作 S2．照此规律作下去，则 S2011= ▲ ． 6. （2011 湖北恩施 3 分）2002 年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的 一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”．若这四个全等的直角三角形有一个角为 30°，顶点 B1、B2、B3、…、Bn 和 C1、C2、C3、…、Cn 分别在直线 1y x 3 12    和 x 轴上，则第 n 个 阴影正方形的面积为 ▲ ． 7. （201 甘肃兰州 4 分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中 点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为 1，则第 n 个矩形的面积为 ▲ ． 8. （2011 福建三明 4 分）如图，直线 l 上有 2 个圆点 A，B．我们进行如下操作：第 1 次操作，在 A，B 两圆点间插入一个圆点 C，这时直线 l 上有（2+1）个圆点；第 2 次操作，在 A，C 和 C，B 间再分别插入 一个圆点，这时直线 l 上有（3+2）个圆点；第 3 次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线 l 上有（5+4）个圆点；…第 n 次操作后，这时直线 l 上有 ▲ 个圆点． 58 （第16题） l l l l A B A BC A B C A BC 9. （2011 浙江衢州 10 分）△ ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2， （1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1），比较甲、乙两种剪法， 哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由． （2）图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得正方形面积为 s1；按照甲种剪法，在余下的△ ADE 和△ BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这两个正方形面积和为 s2（如图 2）， 则 s2= ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形面积和为 s3，继续操作下去…，则第 10 次剪取时，s10= ； （3）求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．