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- 2021-11-10 发布
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2020 年浙江省绍兴市中考数学试卷
一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出每小题中一个最符合
题意的选项,不选、多选、错选,均不给分)
1. 实数2,0,−2,√2中,为负数的是( )
A.2 B.0 C.−2 D.√2
2. 某自动控制器的芯片,可植入2020000000粒晶体管,这个数字2020000000用科
学记数法可表示为( )
A.0.202 × 1010 B.2.02 × 109 C.20.2 × 108 D.2.02 × 108
3. 将如图的七巧板的其中几块,拼成一个多边形,为中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图,点퐴,퐵,퐶,퐷,퐸均在⊙ 푂上,∠퐵퐴퐶=15∘,∠퐶퐸퐷=30∘,则∠퐵푂퐷的度
数为( )
A.45∘ B.60∘ C.75∘ D.90∘
5. 如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为2: 5,且三角
板的一边长为8푐푚.则投影三角板的对应边长为( )
A.20푐푚 B.10푐푚 C.8푐푚 D.3.2푐푚
6. 如图,小球从퐴入口往下落,在每个交叉口都有向左或向右两种可能,且可能性
相等.则小球从퐸出口落出的概率是( )
A.1
2
B.1
3
C.1
4
D.1
6
7. 长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,
但不允许折断),得到的三角形的最长边长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8. 如图,点푂为矩形퐴퐵퐶퐷的对称中心,点퐸从点퐴出发沿퐴퐵向点퐵运动,移动到点퐵
停止,延长퐸푂交퐶퐷于点퐹,则四边形퐴퐸퐶퐹形状的变化依次为( )
A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C.平行四边形→正方形→菱形→矩形
D.平行四边形→菱形→正方形→矩形
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9. 如图,等腰直角三角形퐴퐵퐶中,∠퐴퐵퐶=90∘,퐵퐴=퐵퐶,将퐵퐶绕点퐵顺时针旋转
휃(0∘ < 휃 < 90∘),得到퐵푃,连结퐶푃,过点퐴作퐴퐻 ⊥ 퐶푃交퐶푃的延长线于点퐻,连结퐴푃,
则∠푃퐴퐻的度数( )
A.随着휃的增大而增大 B.随着휃的增大而减小
C.不变 D.随着휃的增大,先增大后减小
10. 同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210푘푚,它们各自单独行驶并
返回的最远距离是105푘푚.现在它们都从퐴地出发,行驶途中停下来从甲车的气体燃
料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶,然后甲车再行驶返回퐴地,而乙车继续
行驶,到퐵地后再行驶返回퐴地.则퐵地最远可距离퐴地( )
A.120푘푚 B.140푘푚 C.160푘푚 D.180푘푚
二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
11. 分解因式:1 − 푥2=________.
12. 若关于푥,푦的二元一次方程组{푥 + 푦 = 2,
퐴 = 0 的解为{푥 = 1,
푦 = 1, 则多项式퐴可以是
________.
13. 如图1,直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片,
把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图2中
阴影部分面积为________.
14. 如图,已知边长为2的等边三角形퐴퐵퐶中,分别以点퐴,퐶为圆心,푚为半径作弧,
两弧交于点퐷,连结퐵퐷.若퐵퐷的长为2√3,则푚的值为________.
15. 有两种消费券:퐴券,满60元减20元,퐵券,满90元减30元,即一次购物大于等
于60元、90元,付款时分别减20元、30元.小敏有一张퐴券,小聪有一张퐵券,他们
都购了一件标价相同的商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款150元,
则所购商品的标价是________元.
16. 将两条邻边长分别为√2,1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片),
各种剪法剪出的等腰三角形中,其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的
________(填序号).
①√2,②1,③√2 − 1,④√3
2
,⑤√3.
三、解答题(本大题有 8 小题,第 17~20 小题每小题 8 分,第 21 小题 10 分,第 22,
23 小题每小题 8 分,第 24 小题 14 分,共 80 分.解答需写出必要的文字说明、演算
步骤或证明过程)
17. (1)计算:√8 − 4cos45∘ + (−1)2020.
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(2)化简:(푥 + 푦)2 − 푥(푥 + 2푦).
18. 如图,点퐸是▱퐴퐵퐶퐷的边퐶퐷的中点,连结퐴퐸并延长,交퐵퐶的延长线于点퐹.
(1)若퐴퐷的长为2,求퐶퐹的长.
(2)若∠퐵퐴퐹=90∘,试添加一个条件,并写出∠퐹的度数.
19. 一只羽毛球的重量合格标准是5.0克∼ 5.2克(含5.0克,不含5.2克),某厂对4月份
生产的羽毛球重量进行抽样检验,并将所得数据绘制成如图统计图表.
4月份生产的羽毛球重量统计表
组别 重量푥(克) 数量(只)
퐴 푥 < 5.0 푚
퐵 5.0 ≤ 푥 < 5.1 400
퐶 5.1 ≤ 푥 < 5.2 550
퐷 푥 ≥ 5.2 30
(1)求表中푚的值及图中퐵组扇形的圆心角的度数.
(2)问这些抽样检验的羽毛球中,合格率是多少?如果购得4月份生产的羽毛球10筒
(每筒12只),估计所购得的羽毛球中,非合格品的羽毛球有多少只?
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20. 我国传统的计重工具--秤的应用,方便了人们的生活.如图1,可以用秤砣到秤
纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平
距离为푥(厘米)时,秤钩所挂物重为푦(斤),则푦是푥的一次函数.下表中为若干次
称重时所记录的一些数据.
푥(厘米) 1 2 4 7 11 12
푦(斤) 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50
(1)在上表푥,푦的数据中,发现有一对数据记录错误.在图2中,通过描点的方法,
观察判断哪一对是错误的?
(2)根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重
是多少?
21. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚,图2、图3是遮阳棚支架的示意图.遮阳棚支架
由相同的菱形和相同的等腰三角形构成,滑块퐸,퐻可分别沿等长的立柱퐴퐵,퐷퐶上下
移动,퐴퐹=퐸퐹=퐹퐺=1푚.
(1)若移动滑块使퐴퐸=퐸퐹,求∠퐴퐹퐸的度数和棚宽퐵퐶的长.
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(2)当∠퐴퐹퐸由60∘变为74∘时,问棚宽퐵퐶是增加还是减少?增加或减少了多少?
(结果精确到0.1푚,参考数据:√3 ≈ 1.73,sin37∘ ≈ 0.60,cos37∘ ≈ 0.80,
tan37∘ ≈ 0.75)
22. 问题:如图,在△ 퐴퐵퐷中,퐵퐴=퐵퐷.在퐵퐷的延长线上取点퐸,퐶,作△ 퐴퐸퐶,使
퐸퐴=퐸퐶.若∠퐵퐴퐸=90∘,∠퐵=45∘,求∠퐷퐴퐶的度数.
答案:∠퐷퐴퐶=45∘.
思考:(
(1))如果把以上“问题”中的条件“∠퐵=45∘”去掉,其余条件不变,那么∠퐷퐴퐶
的度数会改变吗?说明理由.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠퐵=45∘”去掉,再将“∠퐵퐴퐸=90∘”改为
“∠퐵퐴퐸=푛∘”,其余条件不变,求∠퐷퐴퐶的度数.
23. 如图1,排球场长为18푚,宽为9푚,网高为2.24푚,队员站在底线푂点处发球,球
从点푂的正上方1.9푚的퐶点发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点퐴时,
高度为2.88푚,即퐵퐴=2.88푚,这时水平距离푂퐵=7푚,以直线푂퐵为푥轴,直线푂퐶为푦
轴,建立平面直角坐标系,如图2.
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(1)若球向正前方运动(即푥轴垂直于底线),求球运动的高度푦(푚)与水平距离푥(푚)
之间的函数关系式(不必写出푥取值范围).并判断这次发球能否过网?是否出界?说
明理由.
(2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点푃(如图1,点푃距底线1푚,边线
0.5푚),问发球点푂在底线上的哪个位置?(参考数据:√2取1.4)
24. 如图1,矩形퐷퐸퐹퐺中,퐷퐺=2,퐷퐸=3,푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵=90∘,퐶퐴=퐶퐵=2,
퐹퐺,퐵퐶的延长线相交于点푂,且퐹퐺 ⊥ 퐵퐶,푂퐺=2,푂퐶=4.将△ 퐴퐵퐶绕点푂逆时针
旋转훼(0∘ ≤ 훼 < 180∘)得到△ 퐴′퐵′퐶′.
(1)当훼=30∘时,求点퐶′到直线푂퐹的距离.
(2)在图1中,取퐴′퐵′的中点푃,连结퐶′푃,如图2.
①当퐶′푃与矩形퐷퐸퐹퐺的一条边平行时,求点퐶′到直线퐷퐸的距离.
②当线段퐴′푃与矩形퐷퐸퐹퐺的边有且只有一个交点时,求该交点到直线퐷퐺的距离的取
值范围.
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参考答案与试题解析
2020 年浙江省绍兴市中考数学试卷
一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出每小题中一个最符合
题意的选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.【答案】
C
【解答】
实数2,0,−2,√2中,为负数的是−2,
2.【答案】
B
【解答】
2020000000=2.02 × 109,
3.【答案】
D
【解答】
퐴、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
퐵、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
퐶、不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
퐷、是中心对称图形,故本选项符合题意.
4.【答案】
D
【解答】
连接퐵퐸,
∵ ∠퐵퐸퐶=∠퐵퐴퐶=15∘,∠퐶퐸퐷=30∘,
∴ ∠퐵퐸퐷=∠퐵퐸퐶 + ∠퐶퐸퐷=45∘,
∴ ∠퐵푂퐷=2∠퐵퐸퐷=90∘.
5.【答案】
A
【解答】
设投影三角尺的对应边长为푥푐푚,
∵ 三角尺与投影三角尺相似,
∴ 8: 푥=2: 5,
解得푥=20.
6.【答案】
C
【解答】
由图可知,在每个交叉口都有向左或向右两种可能,且可能性相等,
小球最终落出的点共有퐸、퐹、퐺、퐻四个,
所以小球从퐸出口落出的概率是:1
4
;
7.【答案】
B
【解答】
①长度分别为5、3、4,能构成三角形,且最长边为5;
②长度分别为2、6、4,不能构成三角形;
③长度分别为2、7、3,不能构成三角形;
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综上所述,得到三角形的最长边长为5.
8.【答案】
B
【解答】
观察图形可知,四边形퐴퐸퐶퐹形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形.
9.【答案】
C
【解答】
∵ 将퐵퐶绕点퐵顺时针旋转휃(0∘ < 휃 < 90∘),得到퐵푃,
∴ 퐵퐶=퐵푃=퐵퐴,
∴ ∠퐵퐶푃=∠퐵푃퐶,∠퐵푃퐴=∠퐵퐴푃,
∵ ∠퐶퐵푃 + ∠퐵퐶푃 + ∠퐵푃퐶=180∘,∠퐴퐵푃 + ∠퐵퐴푃 + ∠퐵푃퐴=180∘,∠퐴퐵푃 + ∠퐶퐵푃
=90∘,
∴ ∠퐵푃퐶 + ∠퐵푃퐴=135∘=∠퐶푃퐴,
∵ ∠퐶푃퐴=∠퐴퐻퐶 + ∠푃퐴퐻=135∘,
∴ ∠푃퐴퐻=135∘ − 90∘=45∘,
∴ ∠푃퐴퐻的度数是定值,
10.【答案】
B
【解答】
设甲行驶到퐶地时返回,到达퐴地燃料用完,乙行驶到퐵地再返回퐴地时燃料用完,如
图:
设퐴퐵=푥푘푚,퐴퐶=푦푘푚,根据题意得:
{2푥 + 2푦 = 210 × 2
푥 − 푦 + 푥 = 210 ,
解得:{푥 = 140
푦 = 70 .
∴ 乙在퐶地时加注行驶70푘푚的燃料,则퐴퐵的最大长度是140푘푚.
二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
11.【答案】
(1 + 푥)(1 − 푥)
【解答】
1 − 푥2=(1 + 푥)(1 − 푥).
12.【答案】
答案不唯一,如푥 − 푦
【解答】
∵ 关于푥,푦的二元一次方程组{푥 + 푦 = 2
퐴 = 0 的解为{푥 = 1
푦 = 1 ,
而1 − 1=0,
∴ 多项式퐴可以是答案不唯一,如푥 − 푦.
13.【答案】
4√5
【解答】
由题意可得,
直角三角形的斜边长为3,一条直角边长为2,
故直角三角形的另一条直角边长为:√32 − 22 = √5,
故阴影部分的面积是:2×√5
2 × 4 = 4√5,
14.【答案】
2或2√7
【解答】
由作图知,点퐷在퐴퐶的垂直平分线上,
∵ △ 퐴퐵퐶是等边三角形,
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∴ 点퐵在퐴퐶的垂直平分线上,
∴ 퐵퐷垂直平分퐴퐶,
设垂足为퐸,
∵ 퐴퐶=퐴퐵=2,
∴ 퐵퐸 = √3,
当点퐷、퐵在퐴퐶的两侧时,如图,
∵ 퐵퐷=2√3,
∴ 퐵퐸=퐷퐸,
∴ 퐴퐷=퐴퐵=2,
∴ 푚=2;
当点퐷、퐵在퐴퐶的同侧时,如图,
∵ 퐵퐷′=2√3,
∴ 퐷′퐸=3√3,
∴ 퐴퐷′ = √(3√3)2 + 12 = 2√7,
∴ 푚=2√7,
综上所述,푚的值为2或2√7,
15.【答案】
100或85
【解答】
设所购商品的标价是푥元,则
①所购商品的标价小于90元,
푥 − 20 + 푥=150,
解得푥=85;
②所购商品的标价大于90元,
푥 − 20 + 푥 − 30=150,
解得푥=100.
故所购商品的标价是100或85元.
16.【答案】
①②③④
【解答】
如图所示:
则其中一个等腰三角形的腰长可以是①√2,②1,③√2 − 1,④√3
2
,不可以是√3.
故答案为:①②③④.
三、解答题(本大题有 8 小题,第 17~20 小题每小题 8 分,第 21 小题 10 分,第 22,
23 小题每小题 8 分,第 24 小题 14 分,共 80 分.解答需写出必要的文字说明、演算
步骤或证明过程)
17.【答案】
原式=2√2 − 4 × √2
2 + 1
=2√2 − 2√2 + 1
=1;
(푥 + 푦)2 − 푥(푥 + 2푦)
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=푥2 + 2푥푦 + 푦2 − 푥2 − 2푥푦
=푦2.
【解答】
原式=2√2 − 4 × √2
2 + 1
=2√2 − 2√2 + 1
=1;
(푥 + 푦)2 − 푥(푥 + 2푦)
=푥2 + 2푥푦 + 푦2 − 푥2 − 2푥푦
=푦2.
18.【答案】
∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形,
∴ 퐴퐷 // 퐶퐹,
∴ ∠퐷퐴퐸=∠퐶퐹퐸,∠퐴퐷퐸=∠퐹퐶퐸,
∵ 点퐸是퐶퐷的中点,
∴ 퐷퐸=퐶퐸,
在△ 퐴퐷퐸和△ 퐹퐶퐸中,{
∠퐷퐴퐸 = ∠퐶퐹퐸
∠퐴퐷퐸 = ∠퐹퐶퐸
퐷퐸 = 퐶퐸
,
∴ △ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐹퐶퐸(퐴퐴푆),
∴ 퐶퐹=퐴퐷=2;
∵ ∠퐵퐴퐹=90∘,
添加一个条件:当∠퐵=60∘时,∠퐹=90∘ − 60∘=30∘(答案不唯一).
【解答】
∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形,
∴ 퐴퐷 // 퐶퐹,
∴ ∠퐷퐴퐸=∠퐶퐹퐸,∠퐴퐷퐸=∠퐹퐶퐸,
∵ 点퐸是퐶퐷的中点,
∴ 퐷퐸=퐶퐸,
在△ 퐴퐷퐸和△ 퐹퐶퐸中,{
∠퐷퐴퐸 = ∠퐶퐹퐸
∠퐴퐷퐸 = ∠퐹퐶퐸
퐷퐸 = 퐶퐸
,
∴ △ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐹퐶퐸(퐴퐴푆),
∴ 퐶퐹=퐴퐷=2;
∵ ∠퐵퐴퐹=90∘,
添加一个条件:当∠퐵=60∘时,∠퐹=90∘ − 60∘=30∘(答案不唯一).
19.【答案】
表中푚的值为20,图中퐵组扇形的圆心角的度数为144∘;
这次抽样检验的合格率是95%,所购得的羽毛球中,非合格品的羽毛球有6只
【解答】
550 ÷ 55%=1000(只),1000 − 400 − 550 − 30=20(只)
即:푚=20,
360∘ × 400
1000 = 144∘,
答:表中푚的值为20,图中퐵组扇形的圆心角的度数为144∘;
400
1000 + 550
1000 = 950
1000 = 95%,
12 × 10 × (1 − 95%)=120 × 5%=6(只),
答:这次抽样检验的合格率是95%,所购得的羽毛球中,非合格品的羽毛球有6只.
20.【答案】
观察图象可知:푥=7,푦=2.75这组数据错误.
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设푦=푘푥 + 푏,把푥=1,푦=0.75,푥=2,푦=1代入可得{푘 + 푏 = 0.75
2푘 + 푏 = 1 ,
解得{
푘 = 1
4
푏 = 1
2
,
∴ 푦 = 1
4 푥 + 1
2
,
当푥=16时,푦=4.5,
答:秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是4.5斤.
【解答】
观察图象可知:푥=7,푦=2.75这组数据错误.
设푦=푘푥 + 푏,把푥=1,푦=0.75,푥=2,푦=1代入可得{푘 + 푏 = 0.75
2푘 + 푏 = 1 ,
解得{
푘 = 1
4
푏 = 1
2
,
∴ 푦 = 1
4 푥 + 1
2
,
当푥=16时,푦=4.5,
答:秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是4.5斤.
21.【答案】
∵ 퐴퐸=퐸퐹=퐴퐹=1,
∴ △ 퐴퐸퐹是等边三角形,
∴ ∠퐴퐹퐸=60∘,
连接푀퐹并延长交퐴퐸于퐾,则퐹푀=2퐹퐾,
∵ △ 퐴퐸퐹是等边三角形,
∴ 퐴퐾 = 1
2
,
∴ 퐹퐾 = √퐴퐹2 − 퐴퐾2 = √3
2
,
∴ 퐹푀=2퐹퐾 = √3,
∴ 퐵퐶=4퐹푀=4√3 ≈ 6.92 ≈ 6.9(푚);
∵ ∠퐴퐹퐸=74∘,
∴ ∠퐴퐹퐾=37∘,
∴ 퐾퐹=퐴퐹 ⋅ cos37∘ ≈ 0.80,
∴ 퐹푀=2퐹퐾=1.60,
∴ 퐵퐶=4퐹푀=6.40 < 6.92,
6.92 − 6.40=0.5,
答:当∠퐴퐹퐸由60∘变为74∘时,棚宽퐵퐶是减少了,减少了0.5푚.
【解答】
∵ 퐴퐸=퐸퐹=퐴퐹=1,
∴ △ 퐴퐸퐹是等边三角形,
∴ ∠퐴퐹퐸=60∘,
连接푀퐹并延长交퐴퐸于퐾,则퐹푀=2퐹퐾,
∵ △ 퐴퐸퐹是等边三角形,
∴ 퐴퐾 = 1
2
,
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∴ 퐹퐾 = √퐴퐹2 − 퐴퐾2 = √3
2
,
∴ 퐹푀=2퐹퐾 = √3,
∴ 퐵퐶=4퐹푀=4√3 ≈ 6.92 ≈ 6.9(푚);
∵ ∠퐴퐹퐸=74∘,
∴ ∠퐴퐹퐾=37∘,
∴ 퐾퐹=퐴퐹 ⋅ cos37∘ ≈ 0.80,
∴ 퐹푀=2퐹퐾=1.60,
∴ 퐵퐶=4퐹푀=6.40 < 6.92,
6.92 − 6.40=0.5,
答:当∠퐴퐹퐸由60∘变为74∘时,棚宽퐵퐶是减少了,减少了0.5푚.
22.【答案】
∠퐷퐴퐶的度数不会改变;
∵ 퐸퐴=퐸퐶,
∴ ∠퐴퐸퐷=2∠퐶,①
∵ ∠퐵퐴퐸=90∘,
∴ ∠퐵퐴퐷 = 1
2 [180∘ − (90∘ − 2∠퐶)]=45∘ + ∠퐶,
∴ ∠퐷퐴퐸=90∘ − ∠퐵퐴퐷=90∘ − (45∘ + ∠퐶)=45∘ − ∠퐶,②
由①,②得,∠퐷퐴퐶=∠퐷퐴퐸 + ∠퐶퐴퐸=45∘;
设∠퐴퐵퐶=푚∘,
则∠퐵퐴퐷 = 1
2 (180∘ − 푚∘)=90∘ − 1
2 푚∘,∠퐴퐸퐵=180∘ − 푛∘ − 푚∘,
∴ ∠퐷퐴퐸=푛∘ − ∠퐵퐴퐷=푛∘ − 90∘ + 1
2 푚∘,
∵ 퐸퐴=퐸퐶,
∴ ∠퐶퐴퐸 = 1
2 ∠퐴퐸퐵=90∘ − 1
2 푛∘ − 1
2 푚∘,
∴ ∠퐷퐴퐶=∠퐷퐴퐸 + ∠퐶퐴퐸=푛∘ − 90∘ + 1
2 푚∘ + 90∘ − 1
2 푛∘ − 1
2 푚∘ = 1
2 푛∘.
【解答】
∠퐷퐴퐶的度数不会改变;
∵ 퐸퐴=퐸퐶,
∴ ∠퐴퐸퐷=2∠퐶,①
∵ ∠퐵퐴퐸=90∘,
∴ ∠퐵퐴퐷 = 1
2 [180∘ − (90∘ − 2∠퐶)]=45∘ + ∠퐶,
∴ ∠퐷퐴퐸=90∘ − ∠퐵퐴퐷=90∘ − (45∘ + ∠퐶)=45∘ − ∠퐶,②
由①,②得,∠퐷퐴퐶=∠퐷퐴퐸 + ∠퐶퐴퐸=45∘;
设∠퐴퐵퐶=푚∘,
则∠퐵퐴퐷 = 1
2 (180∘ − 푚∘)=90∘ − 1
2 푚∘,∠퐴퐸퐵=180∘ − 푛∘ − 푚∘,
∴ ∠퐷퐴퐸=푛∘ − ∠퐵퐴퐷=푛∘ − 90∘ + 1
2 푚∘,
∵ 퐸퐴=퐸퐶,
∴ ∠퐶퐴퐸 = 1
2 ∠퐴퐸퐵=90∘ − 1
2 푛∘ − 1
2 푚∘,
∴ ∠퐷퐴퐶=∠퐷퐴퐸 + ∠퐶퐴퐸=푛∘ − 90∘ + 1
2 푚∘ + 90∘ − 1
2 푛∘ − 1
2 푚∘ = 1
2 푛∘.
23.【答案】
设抛物线的表达式为:푦=푎(푥 − 7)2 + 2.88,
将푥=0,푦=1.9代入上式并解得:푎 = − 1
50
,
故抛物线的表达式为:푦 = − 1
50 (푥 − 7)2 + 2.88;
当푥=9时,푦 = − 1
50 (푥 − 7)2 + 2.88=2.8 > 2.24,
当푥=18时,푦 = − 1
50 (푥 − 7)2 + 2.88=0.64 > 0,
13 / 18
故这次发球过网,但是出界了;
如图,分别过点作底线、边线的平行线푃푄、푂푄交于点푄,
在푅푡 △ 푂푃푄中,푂푄=18 − 1=17,
当푦=0时,푦 = − 1
50 (푥 − 7)2 + 2.88=0,解得:푥=19或−5(舍去−5),
∴ 푂푃=19,而푂푄=17,
故푃푄=6√2 = 8.4,
∵ 9 − 8.4 − 0.5=0.1,
∴ 发球点푂在底线上且距右边线0.1米处.
【解答】
设抛物线的表达式为:푦=푎(푥 − 7)2 + 2.88,
将푥=0,푦=1.9代入上式并解得:푎 = − 1
50
,
故抛物线的表达式为:푦 = − 1
50 (푥 − 7)2 + 2.88;
当푥=9时,푦 = − 1
50 (푥 − 7)2 + 2.88=2.8 > 2.24,
当푥=18时,푦 = − 1
50 (푥 − 7)2 + 2.88=0.64 > 0,
故这次发球过网,但是出界了;
如图,分别过点作底线、边线的平行线푃푄、푂푄交于点푄,
在푅푡 △ 푂푃푄中,푂푄=18 − 1=17,
当푦=0时,푦 = − 1
50 (푥 − 7)2 + 2.88=0,解得:푥=19或−5(舍去−5),
∴ 푂푃=19,而푂푄=17,
故푃푄=6√2 = 8.4,
∵ 9 − 8.4 − 0.5=0.1,
∴ 发球点푂在底线上且距右边线0.1米处.
24.【答案】
如图1中,
过点퐶′作퐶′퐻 ⊥ 푂퐹于퐻.
∵ ∠퐻퐶′푂=훼=30∘,
∴ 퐶′퐻=퐶′푂 ⋅ cos30∘=2√3,
∴ 点퐶′到直线푂퐹的距离为2√3.
①如图2中,当퐶′푃 // 푂퐹时,过点퐶′作퐶′푀 ⊥ 푂퐹于푀.
14 / 18
∵ 퐶′푃 // 푂퐹,
∴ ∠푂=180∘ − ∠푂퐶′푃=45∘,
∴ △ 푂퐶′푀是等腰直角三角形,
∵ 푂퐶′=4,
∴ 퐶′푀=2√2,
∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2√2 − 2.
如图3中,当퐶′푃 // 퐷퐺时,过点퐶′作퐶′푁 ⊥ 퐹퐺于푁.
同法可证△ 푂퐶′푁是等腰直角三角形,
∴ 퐶′푁=2√2,
∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2√2 + 2.
②设푑为所求的距离.
第一种情形:如图4中,当点퐴′落在퐷퐸上时,连接푂퐴′,延长퐸퐷交푂퐶于푀.
∵ 푂퐴′=2√5,푂푀=2,∠푂푀퐴′=90∘,
∴ 퐴′푀 = √퐴′푂2 − 푂푀2 = √(2√5)2 − 22 = 4,
∴ 퐴′퐷=2,即푑=2,
如图5中,当点푃落在퐷퐸上时,连接푂푃,过点푃作푃푄 ⊥ 퐶′퐵′于푄.
∵ 푃푄=1,푂푄=5,
∴ 푂푃 = √52 + 12 = √26,
∴ 푃푀 = √26 − 4 = √22,
15 / 18
∴ 푃퐷 = √22 − 2,
∴ 푑 = √22 − 2,
∴ 2 ≤ 푑 ≤ √22 − 2.
第二种情形:当퐴′푃与퐹퐺相交,不与퐸퐹相交时,当点퐴′在퐹퐺上时,퐴′퐺=2√5 − 2,即
푑=2√5 − 2,
如图6中,当点푃落在퐸퐹上时,设푂퐹交퐴′퐵′于푄,过点푃作푃푇 ⊥ 퐵′퐶′于푇,过点푃作
푃푅 // 푂푄交푂퐵′于푅,连接푂푃.
∵ 푂푃 = √26,푂퐹=5,
∴ 퐹푃 = √푂푃2 − 푂퐹2 = √26 − 25 = 1,
∵ 푂퐹=푂푇,푃퐹=푃푇,∠퐹=∠푃푇푂=90∘,
∴ 푅푡 △ 푂푃퐹 ≅ 푅푡 △ 푂푃푇(퐻퐿),
∴ ∠퐹푂푃=∠푇푂푃,
∵ 푃푄 // 푂푄,
∴ ∠푂푃푅=∠푃푂퐹,
∴ ∠푂푃푅=∠푃푂푅,
∴ 푂푅=푃푅,
∵ 푃푇2 + 푇푅2=푃푅2,
∴ 12 + (5 − 푃푅)2=푃푅2,
∴ 푃푅=2.6,푅푇=2.4,
∵ △ 퐵′푃푅 ∽△ 퐵′푄푂,
∴ 퐵′푅
퐵′푂 = 푃푅
푄푂
,
∴ 3.4
6 = 2.6
푂푄
,
∴ 푂푄 = 78
17
,
∴ 푄퐺=푂푄 − 푂퐺 = 44
17
,即푑 = 44
17
∴ 2√5 − 2 ≤ 푑 < 44
17
,
第三种情形:当퐴′푃经过点퐹时,如图7中,显然푑=3.
综上所述,2 ≤ 푑 ≤ √22 − 2或푑=3.
【解答】
如图1中,
16 / 18
过点퐶′作퐶′퐻 ⊥ 푂퐹于퐻.
∵ ∠퐻퐶′푂=훼=30∘,
∴ 퐶′퐻=퐶′푂 ⋅ cos30∘=2√3,
∴ 点퐶′到直线푂퐹的距离为2√3.
①如图2中,当퐶′푃 // 푂퐹时,过点퐶′作퐶′푀 ⊥ 푂퐹于푀.
∵ 퐶′푃 // 푂퐹,
∴ ∠푂=180∘ − ∠푂퐶′푃=45∘,
∴ △ 푂퐶′푀是等腰直角三角形,
∵ 푂퐶′=4,
∴ 퐶′푀=2√2,
∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2√2 − 2.
如图3中,当퐶′푃 // 퐷퐺时,过点퐶′作퐶′푁 ⊥ 퐹퐺于푁.
同法可证△ 푂퐶′푁是等腰直角三角形,
∴ 퐶′푁=2√2,
∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2√2 + 2.
②设푑为所求的距离.
第一种情形:如图4中,当点퐴′落在퐷퐸上时,连接푂퐴′,延长퐸퐷交푂퐶于푀.
∵ 푂퐴′=2√5,푂푀=2,∠푂푀퐴′=90∘,
∴ 퐴′푀 = √퐴′푂2 − 푂푀2 = √(2√5)2 − 22 = 4,
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∴ 퐴′퐷=2,即푑=2,
如图5中,当点푃落在퐷퐸上时,连接푂푃,过点푃作푃푄 ⊥ 퐶′퐵′于푄.
∵ 푃푄=1,푂푄=5,
∴ 푂푃 = √52 + 12 = √26,
∴ 푃푀 = √26 − 4 = √22,
∴ 푃퐷 = √22 − 2,
∴ 푑 = √22 − 2,
∴ 2 ≤ 푑 ≤ √22 − 2.
第二种情形:当퐴′푃与퐹퐺相交,不与퐸퐹相交时,当点퐴′在퐹퐺上时,퐴′퐺=2√5 − 2,即
푑=2√5 − 2,
如图6中,当点푃落在퐸퐹上时,设푂퐹交퐴′퐵′于푄,过点푃作푃푇 ⊥ 퐵′퐶′于푇,过点푃作
푃푅 // 푂푄交푂퐵′于푅,连接푂푃.
∵ 푂푃 = √26,푂퐹=5,
∴ 퐹푃 = √푂푃2 − 푂퐹2 = √26 − 25 = 1,
∵ 푂퐹=푂푇,푃퐹=푃푇,∠퐹=∠푃푇푂=90∘,
∴ 푅푡 △ 푂푃퐹 ≅ 푅푡 △ 푂푃푇(퐻퐿),
∴ ∠퐹푂푃=∠푇푂푃,
∵ 푃푄 // 푂푄,
∴ ∠푂푃푅=∠푃푂퐹,
∴ ∠푂푃푅=∠푃푂푅,
∴ 푂푅=푃푅,
∵ 푃푇2 + 푇푅2=푃푅2,
∴ 12 + (5 − 푃푅)2=푃푅2,
∴ 푃푅=2.6,푅푇=2.4,
∵ △ 퐵′푃푅 ∽△ 퐵′푄푂,
∴ 퐵′푅
퐵′푂 = 푃푅
푄푂
,
∴ 3.4
6 = 2.6
푂푄
,
∴ 푂푄 = 78
17
,
18 / 18
∴ 푄퐺=푂푄 − 푂퐺 = 44
17
,即푑 = 44
17
∴ 2√5 − 2 ≤ 푑 < 44
17
,
第三种情形:当퐴′푃经过点퐹时,如图7中,显然푑=3.
综上所述,2 ≤ 푑 ≤ √22 − 2或푑=3.
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