《一元二次方程》单元测试卷 (1) 15页

‎《一元二次方程》单元测试卷 时间：70分钟 满分：100分 一、选择题（每小题3分，共18分）‎ ‎1．（3分）下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（　　）‎ A．﹣x=9 B．x3﹣x2+40=0 C．=3 D．3x3﹣2xy+y2=0‎ ‎2．（3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（　　）‎ A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5‎ ‎3．（3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（　　）‎ A．x2+2x﹣4=0 B．x2﹣4x+4=0 C．x2+4x+10=0 D．x2+4x﹣5=0‎ ‎4．（3分）方程x（x﹣2）+x﹣2=0的解是（　　）‎ A．2 B．﹣2，1 C．﹣1 D．2，﹣1‎ ‎5．（3分）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）‎ A．13 B．11或13 C．11 D．12‎ ‎6．（3分）长春市企业退休人员王大爷2011年的工资是每月2100元，连续两年增长后，2013年大王大爷的工资是每月2541元，若设这两年平均每年的增长率为x，根据题意可列方程（　　）‎ A．2100（1+x）=2541 B．2541（1﹣x）2=2100‎ C．2100（1+x）2=2541 D．2541（1﹣x2）=2100‎ 二、填空题（每小题3分，共15分）‎ ‎7．（3分）一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是　 　．‎ ‎8．（3分）方程（x﹣3）2﹣9=0的解为　 　．‎ ‎9．（3分）若方程x2﹣x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2﹣x1=　 　．‎ 第15页（共15页）‎ ‎10．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．‎ ‎11．（3分）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共67分）‎ ‎12．用适当方法解方程．‎ ‎（1）x2﹣2x=2x+1 （2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8‎ ‎（3）x2﹣2x=5 （4）2（x﹣3）=3x（x﹣3）‎ ‎13．若方程（m﹣1）+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程，求m的值．‎ ‎14．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．‎ ‎（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．‎ 第15页（共15页）‎ ‎15．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．‎ 现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．‎ ‎（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）‎ ‎①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．‎ ‎（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？‎ ‎16．如图①：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？‎ 如图②：用含x的代数式表示：AB=　 　cm；AD=　 　cm；矩形ABCD的面积为　 　cm2；列出方程并完成本题解答．‎ 第15页（共15页）‎ ‎17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；‎ ‎（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？‎ ‎（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？‎ ‎　‎ 第15页（共15页）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共18分）‎ ‎1．（3分）下列方程中，你最喜欢的一个一元二次方程是（　　）‎ A．﹣x=9 B．x3﹣x2+40=0 C．=3 D．3x3﹣2xy+y2=0‎ ‎【解答】解：A、﹣x=9为一元二次方程；‎ B、x3﹣x2+40=0为一元三次方程；‎ C、=3为分式方程；‎ D、3x3﹣2xy+y2=0为二元二次方程．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（　　）‎ A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5‎ ‎【解答】解：方程移项得：x2+4x=﹣1，‎ 配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（　　）‎ A．x2+2x﹣4=0 B．x2﹣4x+4=0 C．x2+4x+10=0 D．x2+4x﹣5=0‎ ‎【解答】解：A、x2+2x﹣4=0，‎ ‎∵a=1，b=2，c=﹣4，‎ ‎∴b2﹣4ac=4+16=20＞0，‎ 设方程的两个根为x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=﹣=﹣2，本选项不合题意；‎ 第15页（共15页）‎ B、x2﹣4x+4=0，‎ ‎∵a=1，b=﹣4，c=4，‎ ‎∴b2﹣4ac=16﹣16=0，‎ 设方程的两个根为x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=﹣=4，本选项不合题意；‎ C、x2+4x+10=0，‎ ‎∵a=1，b=4，c=10，‎ ‎∴b2﹣4ac=16﹣40=﹣24＜0，‎ 即原方程无解，本选项不合题意；‎ D、x2+4x﹣5=0，‎ ‎∵a=1，b=4，c=﹣5，‎ ‎∴b2﹣4ac=16+20=36＞0，‎ 设方程的两个根为x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=﹣=﹣4，本选项符合题意，‎ 故选D ‎　‎ ‎4．（3分）方程x（x﹣2）+x﹣2=0的解是（　　）‎ A．2 B．﹣2，1 C．﹣1 D．2，﹣1‎ ‎【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2=0，‎ ‎（x﹣2）（x+1）=0，‎ 所以，x﹣2=0，x+1=0，‎ 解得x1=2，x2=﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 第15页（共15页）‎ ‎5．（3分）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（　　）‎ A．13 B．11或13 C．11 D．12‎ ‎【解答】解：∵x2﹣8x+15=0，‎ ‎∴（x﹣3）（x﹣5）=0，‎ ‎∴x﹣3=0或x﹣5=0，‎ 即x1=3，x2=5，‎ ‎∵一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，‎ ‎∴当底边长和腰长分别为3和5时，3+3＞5，‎ ‎∴△ABC的周长为：3+3+5=11；‎ ‎∴当底边长和腰长分别为5和3时，3+5＞5，‎ ‎∴△ABC的周长为：3+5+5=13；‎ ‎∴△ABC的周长为：11或13．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）长春市企业退休人员王大爷2011年的工资是每月2100元，连续两年增长后，2013年大王大爷的工资是每月2541元，若设这两年平均每年的增长率为x，根据题意可列方程（　　）‎ A．2100（1+x）=2541 B．2541（1﹣x）2=2100‎ C．2100（1+x）2=2541 D．2541（1﹣x2）=2100‎ ‎【解答】解：设这两年平均增长率为x，根据题意得：‎ ‎2100（1+x）2=2541，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎7．（3分）一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是　2　．‎ ‎【解答】解：一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是：2．‎ 第15页（共15页）‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）方程（x﹣3）2﹣9=0的解为　x1=6，x2=0　．‎ ‎【解答】解：由原方程移项，得 ‎（x﹣3）2=9，‎ 开平方，得 x﹣3=±3，‎ 所以x=3±3，‎ 解得x1=6，x2=0．‎ 故答案是：x1=6，x2=0．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）若方程x2﹣x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2﹣x1=　1　．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣x=0，‎ ‎∴x（x﹣1）=0，‎ ‎∵x1＜x2，‎ ‎∴解得：x1=0，x2=1，‎ 则x2﹣x1=1﹣0=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＜且k≠0　．‎ ‎【解答】解：∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=1﹣4k＞0，且k≠0，‎ 解得，k＜且k≠0；‎ 故答案是：k＜且k≠0．‎ 第15页（共15页）‎ ‎　‎ ‎11．（3分）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　a≥﹣1　．‎ ‎【解答】解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，‎ 当a≠0时，方程是一元二次方程，‎ 若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，‎ 则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，‎ 解得：a≥﹣1．‎ 故答案为：a≥﹣1．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）某种传染性牛疾在牛群中传播迅猛，平均一头牛每隔6小时能传染m头牛，现知一养牛场有a头牛染有此病，那么12小时后共有　am2+2am+a　头牛染上此病（用含a、m的代数式表示）．‎ ‎【解答】解：∵平均一头羊每隔6小时能传染a头羊，‎ ‎∴12小时能传染两轮，‎ 根据题意得：a+ma+m（a+ma）=am2+2am+a，‎ 故答案为：am2+2am+a．‎ ‎　‎ 三、解答题（每小题0分，共64分）‎ ‎13．用适当方法解方程．‎ ‎（1）x2﹣2x=2x+1‎ ‎（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8‎ ‎（3）x2﹣2x=5‎ ‎（4）2（x﹣3）=3x（x﹣3）‎ ‎【解答】解：（1）x2﹣4x=1，‎ x2﹣4x+4=5，‎ 第15页（共15页）‎ ‎（x﹣2）2=5，‎ x﹣2=±，‎ 所以x1=2+，x2=2﹣；‎ ‎（2）x2+2x﹣3=0，‎ ‎（x+3）（x﹣1）=0，‎ x+3=0或x﹣1=0，‎ 所以x1=﹣3，x2=1；‎ ‎（3）x2﹣2x+1=6，‎ ‎（x﹣1）2=6，‎ x﹣1=±，‎ 所以x1=1+，x2=1﹣；‎ ‎（4）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，‎ ‎（x﹣3）（2﹣3x）=0，‎ x﹣3=0或2﹣3x=0，‎ 所以x1=3，x2=．‎ ‎　‎ ‎14．若方程（m﹣1）+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程，求m的值．‎ ‎【解答】解：∵方程（m﹣1）+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程，‎ ‎∴m2+1=2，m﹣1≠0，‎ 解得：m=±1，m≠1，‎ 则m=﹣1．‎ ‎　‎ ‎15．已知a是方程x2﹣2013x+1=0的一个根，求代数式a2﹣2012a+的值．‎ 第15页（共15页）‎ ‎【解答】解：∵a是方程x2﹣2013x+1=0的一个根，‎ ‎∴a2﹣2013a+1=0，‎ ‎∴a2=2013a﹣1，‎ ‎∴原式=2013a﹣1﹣2012a+‎ ‎=a+﹣1‎ ‎=﹣1‎ ‎=﹣1‎ ‎=2013﹣1‎ ‎=2012．‎ ‎　‎ ‎16．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．‎ ‎（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，‎ ‎∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，‎ ‎∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）解：根据题意，得 ‎12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，‎ 解得，m=2，‎ 则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；‎ ‎①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；‎ 该直角三角形的周长为1+3+=4+；‎ ‎②‎ 第15页（共15页）‎ 当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．‎ ‎　‎ ‎17．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．‎ 现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．‎ ‎（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）‎ ‎①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．‎ ‎（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？‎ ‎【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），因此①，②，④，⑤是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式．‎ ‎（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．若设方程x2﹣x=2的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．‎ 答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：（﹣2）：（﹣4）．‎ ‎　‎ ‎18．如图①：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？‎ 如图②：用含x的代数式表示：AB=　（20﹣6x）　cm；AD=　（30﹣4x）　cm；矩形ABCD的面积为　（24x2﹣260x+600）　cm2；列出方程并完成本题解答．‎ 第15页（共15页）‎ ‎【解答】解：可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．‎ 则AB=（20﹣6x）cm，AD=（30﹣4x）cm，矩形的面积=（20﹣6x）（30﹣4x）=24x2﹣260x+600；‎ 故答案是：（20﹣6x），（30﹣4x），（24x2﹣260x+600）；‎ 根据题意，得24x2﹣260x+600=（1﹣）×20×30，‎ 整理，得6x2﹣65x+50=0，‎ 解方程，得x1=，x2=10（不合题意，舍去），‎ 则2x=，3x=，‎ 答：每个横、竖彩条的宽度分别为cm，cm．‎ ‎　‎ ‎19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；‎ ‎（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？‎ ‎（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？‎ ‎【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，‎ 根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，‎ 整理得2x2﹣60x+400=0‎ 解得x1=20，x2=10．‎ 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，‎ 第15页（共15页）‎ 故每件衬衫应降20元．‎ 答：每件衬衫应降价20元．‎ ‎（2）设商场平均每天赢利y元，则 y=（20+2x）（40﹣x）‎ ‎=﹣2x2+60x+800‎ ‎=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]‎ ‎=﹣2（x﹣15）2+1250．‎ ‎∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．‎ 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．‎ ‎　‎ ‎20．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．‎ ‎（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；‎ ‎（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．‎ ‎【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，‎ 则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，‎ 根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，‎ 解之得x=5，‎ ‎（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，‎ 第15页（共15页）‎ 作QE⊥AB，垂足为E，‎ 则QE=AD=6，PQ=10，‎ ‎∵PA=3t，CQ=BE=2t，‎ ‎∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，‎ 由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，‎ 解得t1=4.8，t2=1.6．‎ 答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；‎ ‎（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．‎ ‎　‎ 第15页（共15页）‎