人教版九年级数学上册全册同步练习册 268页

人教版九年级数学上册全册同步练习 22.1 一元二次方程 ◆随堂检测 1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________. （1） 3 22 5 0x x   ； （2） 2 1x  ； （3） 2 21 35 2 24 5x x x x     ； （4） 22( 1) 3( 1)x x   ；（5） 2 22 1x x x   ；（6） 2 0ax bx c   . （提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判 断.） 2、下列方程中不含一次项的是（ ） A． xx 253 2  B． 2916 xx  C． 0)7( xx D． 0)5)(5(  xx 3、方程 23( 1) 5( 2)x x   的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项 _________. 4、1、下列各数是方程 21 ( 2) 23 x   解的是（ ） A、6 B、2 C、4 D、0 5、根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x . （2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长 x . （3）一个直角三角形的斜边长为 10，两条直角边相差 2，求较长的直角边长 x . ◆典例分析 已知关于 x 的方程 2 2( 1) ( 1) 0m x m x m     ． （1） x 为何值时，此方程是一元一次方程？ （2） x 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系 数及常数项。 分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分 别进行讨论求解. 解：（1）由题意得， 2 1 0 1 0 m m       时，即 1m  时， 方程 2 2( 1) ( 1) 0m x m x m     是一元一次方程 2 1 0x   . （2）由题意得， 2( 1) 0m   时，即 1m   时，方程 2 2( 1) ( 1) 0m x m x m     是一元 二次方程.此方程的二次项系数是 2 1m  、一次项系数是 ( 1)m  、常数项是 m . ◆课下作业 ●拓展提高 1、下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A、 2 23 1 0x x    B、 25 6 3 0x y   C、 2 2 0ax x   D、 2 2( 1) 0a x bx c    2、 2 12 10 03 mx x m    是关于 x 的一元二次方程，则 x 的值应为（ ） A、 m ＝2 B、 2 3m  C、 3 2m  D、无法确定 3、根据下列表格对应值： x 3.24 3.25 3.26 2ax bx c  -0.02 0.01 0.03 判断关于 x 的方程 2 0,( 0)ax bx c a    的一个解 x 的范围是（ ） A、 x ＜3.24 B、3.24＜ x ＜3.25 C、3.25＜ x ＜3.26 D、3.25＜ x ＜3.28 4、若一元二次方程 2 0,( 0)ax bx c a    有一个根为 1，则  cba _________；若有 一个根是-1，则 b 与 a 、c 之间的关系为________；若有一个根为 0，则 c=_________. 5、下面哪些数是方程 2 2 0x x   的根？ -3、-2、-1、0、1、2、3、 6、若关于 x 的一元二次方程 012)1( 22  mxxm 的常数项为 0，求 m 的值是多少？ ●体验中考 1、（2009 年，武汉）已知 2x  是一元二次方程 2 2 0x mx   的一个解，则 m 的值是（ ） A．-3 B．3 C．0 D．0 或 3 （点拨：本题考查一元二次方程的解的意义.） 2、（2009 年，日照）若 ( 0)n n  是关于 x 的方程 2 2 0x mx n   的根，则 m n 的值为（ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 （提示：本题有两个待定字母 m 和 n ，根据已知条件不能分别求出它们的值，故考虑运用 整体思想，直接求出它们的和.） 参考答案： ◆随堂检测 1、（2）、（3）、（4） （1）中最高次数是三不是二；（5）中整理后是一次方程；（6）中只 有在满足 0a  的条件下才是一元二次方程． 2、D 首先要对方程整理成一般形式，D 选项为 2 25 0x   .故选 D. 3、3；-11；-7 利用去括号、移项、合并同类项等步骤，把一元二次方程化成一般形式 23 11 7 0x x   ，同时注意系数符号问题. 4、B 将各数值分别代入方程，只有选项 B 能使等式成立．故选 B. 5、解：（1）依题意得， 24 25x  ， 化为一元二次方程的一般形式得， 24 25 0x   . （2）依题意得， ( 2) 100x x   ， 化为一元二次方程的一般形式得， 2 2 100 0x x   . （3）依题意得， 2 2 2( 2) 10x x   ， 化为一元二次方程的一般形式得， 2 2 48 0x x   . ◆课下作业 ●拓展提高 1、D A 中最高次数是三不是二；B 中整理后是一次方程；C 中只有在满足 0a  的条件下 才是一元二次方程；D 选项二次项系数 2( 1) 0a   恒成立.故根据定义判断 D. 2、C 由题意得， 2 1 2m   ，解得 3 2m  .故选 D. 3、B 当 3.24＜ x ＜3.25 时, 2ax bx c  的值由负连续变化到正,说明在 3.24＜ x ＜3.25 范围内一定有一个 x 的值,使 2 0ax bx c   ,即是方程 2 0ax bx c   的一个解.故选 B. 4、0；b a c  ；0 将各根分别代入简即可. 5、解：将 3x   代入方程，左式= 2( 3) ( 3) 2 0     ，即左式  右式.故 3x   不是方 程 2 2 0x x   的根. 同理可得 2,0,1,3x   时,都不是方程 2 2 0x x   的根. 当 1,2x   时,左式=右式.故 1,2x   都是方程 2 2 0x x   的根. 6、解:由题意得， 2 1 0 1 0 m m       时，即 1m   时， 012)1( 22  mxxm 的常数项为 0. ●体验中考 1、A 将 2x  带入方程得 4 2 2 0m   ，∴ 3m   .故选 A. 2、D 将 x n 带入方程得 2 2 0n mn n   ，∵ 0n  ，∴ 2 0n m   ， ∴ 2m n   .故选 D. 22.2 二次函数与一元二次方程 第 1 课时 二次函数与一元二次方程 ●基础训练 1.已知二次函数 y=ax2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1) a=_______,c=______. (2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标 P__________. (3)该函数有最______值,当 x=______时,y 最值=________. (4)当 x_____时,y 随 x 的增大而减小. 当 x_____时,y 随 x 的增大而增大. (5)抛物线与 x 轴交点坐标 A_______,B________; 与 y 轴交点 C 的坐标为_______; ABCS =_________, ABPS =________. (6)当 y>0 时,x 的取值范围是_________;当 y<0 时,x 的取值范围是_________. (7)方程 ax2-5x+c=0 中△的符号为________.方程 ax2-5x+c=0 的两根分别为_____,____. (8)当 x=6 时,y______0;当 x=-2 时,y______0. 2.已知下表: x 0 1 2 ax2 1 ax2+bx+c 3 3 (1)求 a、b、c 的值，并在表内空格处填入正确的数； (2)请你根据上面的结果判断: ①是否存在实数 x,使二次三项式 ax2+bx+c 的值为 0?若存在,求出这个实数值;若不存在, 请说明理由. ②画出函数 y=ax2+bx+c 的图象示意图,由图象确定,当 x 取什么实数时,ax2+ bx+c>0? 1 4 B A x O y 3.请画出适当的函数图象,求方程 x2= 1 2 x+3 的解. 4.若二次函数 y=- 1 2 x2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A(-5,0),B(-1,0). (1)求这个二次函数的关系式; (2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与 x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移? 向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位? 5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表 所示的对应关系. (1)请你以汽车刹车时的车速 V 为自变量,刹车距离 s 为函数, 在图所示的坐标系中描点 连线,画出函数的图象; (2)观察所画的函数的图象,你发现了什么? (3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的 函数关系式; (4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确. 速度 V(km/h) 48 64 80 96 112 … 刹车距离 s(m) 22.5 36 52.5 72 94.5 … 50 100 150 150 100 50 s(m) v(km/h) O ●能力提升 6.如图所示,矩形 ABCD 的边 AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使 AB 在 x 轴上,点 C 在 直线 y=x-2 上. (1)求矩形各顶点坐标; (2)若直线 y=x-2 与 y 轴交于点 E,抛物线过 E、A、B 三点,求抛物线的关系式; (3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形 ABCD 内部,并说明理由. C B A x O D y E 7.已知一条抛物线经过 A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是 x= 5 3 . (1)求这条抛物线的关系式. (2)证明:这条抛物线与 x 轴的两个交点中,必存在点 C,使得对 x 轴上任意点 D 都有 AC+BC≤AD+BD. 8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为 4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球 运行的水平距离为 2.5m 时,达到最大高度 3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面 距离为 3.05m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式; (2)若该运动员身高 1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方 0.25m 处出手.问:球出手时,他跳离地 面多高? 9.某工厂生产 A 产品 x 吨所需费用为 P 元,而卖出 x 吨这种产品的售价为每吨 Q 元, 已知 P= 1 10 x2+5x+1000,Q=- 30 x +45. (1)该厂生产并售出 x 吨,写出这种产品所获利润 W(元)关于 x(吨)的函数关系式; (2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又 是多少元? 10.已知抛物线 y=2x2-kx-1 与 x 轴两交点的横坐标,一个大于 2,另一个小于 2,试求 k 的取值范 围. 11.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边 AB 所在直线为 x 轴,以斜边 AB 上的高所在 直线为 y 轴,建立直角坐标系,若 OA2+OB2= 17, 且线段 OA、OB 的长度是关于 x 的一元二次 方程 x2-mx+2(m-3)=0 的两个根. (1)求 C 点的坐标; 3.05m 4m 2.5m x O y (2)以斜边 AB 为直径作圆与 y 轴交于另一点 E,求过 A、B、E 三点的抛物线的关系式,并 画出此抛物线的草图. (3)在抛物线上是否存在点 P,使△ABP 与△ABC 全等?若存在,求出符合条件的 P 点的坐标; 若不存在,说明 理由. ●综合探究 12.已知抛物线 L;y=ax2+bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0), 它的顶点 P 的坐标是 24,2 4 b ac b a a     , 与 y 轴的交点是 M(0,c)我们称以 M 为顶点,对称轴是 y 轴且过点 P 的抛物线为抛物线 L 的 伴随抛物线,直线 PM 为 L 的伴随直线. (1)请直接写出抛物线 y=2x2-4x+1 的伴随抛物线和伴随直线的关系式: 伴随抛物线的关系式_________________ 伴随直线的关系式___________________ (2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 y=-x2-3 和 y=-x-3, 则这条抛物线的关 系是___________: (3)求抛物线 L:y=ax2+bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式; (4)若抛物线 L 与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点 x2>x1>0,它的伴随抛物线与 x 轴交于 C,D 两 点,且 AB=CD,请求出 a、b、c 应满足的条件. C B A E x O y E ' 答案： 1.(1)a=1;c=4 (2)直线 x= 5 2 , 5 9,2 4     (3)小; 5 2 ; 9 4  (4) 5 5;2 2   (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 27 8 ; (6)x<1 或 x>4;1;> 2.(1)由表知,当 x=0 时,ax2+bx+c=3;当 x=1 时,ax2=1;当 x=2 时,ax2+bx+c=3. ∴ 3 1 4 2 3 c a a b c        ,∴ 1 2 3 a b c       , ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入 0,4,2. (2)①在 x2-2x+3=0 中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, ∴不存在实数 x 能使 ax2+bx+c=0. ②函数 y=x2-2x+3 的图象示意图如答图所示, 观察图象得出,无论 x 取什么实数总有 ax2+bx+c>0. 3.:在同一坐标系中如答图所示, 画出函数 y=x2 的图象,画出函数 y= 1 2 x+3 的图象, 这两个图象的交点为 A,B,交点 A,B 的横坐标 3 2  和 2 就是方程 x2= 1 2 x+3 的解. 4.:(1)∵y= 1 2  x2+bx+c,把 A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得 ∴  2 2 1 ( 5) 5 02 1 ( 1) ( 1) 02 b c b c                       , 3 5 2 a b     , ∴y= 21 532 2x x   . (2)∵y= 21 532 2x x   = 21 ( 3) 22 x   ∴顶点坐标为(-3,2), ∴欲使函数的图象与 x 轴只有一个交点,应向下平移 2 个单位. 5.:(1)函数的图象如答图所示. (2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. 1 3 1 2 2 x=1 x y O 6 3 2 B A x y O (3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c, 把 v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72 分别代入 s=av2+bv+c, 得 2 2 2 48 48 22.5 64 64 36 96 96 72 a b c a b c a b c             , 解得 3 512 3 16 0 a b c        . ∴ 23 3 512 16s v v  (4)当 v=80 时, 2 23 3 3 380 80 52.5512 16 512 16v v      ∵s=52.5, ∴ 23 3 512 16s v v  当 v=112 时, 2 23 3 3 3112 112 94.5512 16 512 16v v      ∵s=94.5,∴ 23 3 512 16s v v  经检验,所得结论是正确的. 6.:(1)如答图所示. ∵y=x-2,AD=BC=2,设 C 点坐标为(m,2), 把 C(m,2)代入 y=x-2, 2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2). (2)∵y=x-2,∴令 x=0,得 y=-2,∴E(0,-2). 设经过 E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为 y=ax2+bx+c, ∴ 2 0 16 4 0 c a b c a b c           , 解得 1 2 5 2 2 a b c          ∴y= 21 5 22 2x x   . (3)抛物线顶点在矩形 ABCD 内部. ∵y= 21 5 22 2x x   , ∴顶点为 5 9,2 8      . ∵ 51 42   , ∴顶点 5 9,2 8      在矩形 ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为 y=ax2+bx+c, ∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线 x= 5 3 . ∴ 3 16 4 6 5 2 3 c a b c b a            , 解得 9 8 15 4 3 a b c         ∴y= 29 15 38 4x x  . (2)证明:令 y=0,得 29 15 38 4x x  =0, ∴ 1 2 4, 23x x  ∵A(0,3),取 A 点关于 x 轴的对称点 E,∴E(0,-3). 设直线 BE 的关系式为 y=kx-3,把 B(4,6)代入上式,得 6=4k-3, ∴k= 9 4 ,∴y= 9 4 x-3 . 由 9 4 x-3=0,得 x= 4 3 . 故 C 为 4,03      ,C 点与抛物线在 x 轴上的一个交点重合, 在 x 轴上任取一点 D,在△BED 中,BE< BD+DE. 又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC0, ∴无论 k 为何实数, 抛物线 y=2x2-kx-1 与 x 轴恒有两个交点. 设 y=2x2-kx-1 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1,x2,且规定 x1<2,x2> 2, ∴x1-2<0,x2-2>0. ∴(x1-2)(x2-2)<0,∴x1x2-2(x1+x2)+4<0. ∵x1,x2 亦是方程 2x2-kx-1=0 的两个根, ∴x1+x2= 2 k ,x1·x2=- 1 2 , ∴ 1 2 4 02 2 k     ,∴k> 7 2 . ∴k 的取值范围为 k> 7 2 . 法二:∵抛物线 y=2x2-kx-1 与 x 轴两交点横坐标一个大于 2,另一个小于 2, ∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当 x=2 时,y<0. 即 y=2×22-2k-1<0,∴k> 7 2 .∴k 的取值范围为 k> 7 2 . 11:(1)线段 OA,OB 的长度是关于 x 的一元二次方程 x2-mx+2(m-3)=0 的两个根, ∴ (1) 2( 3) (2) OA OB m OA OB m         又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③ 把①,②代入③,得 m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,得 m=-1 或 m=5. 又知 OA+OB=m>0,∴m=-1 应舍去. ∴当 m=5 时,得方程:x2-5x+4=0,解之,得 x=1 或 x=4. ∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4, x 2 x 1 2 x y O 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CO⊥AB, ∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2) (2)∵OA=1,OB=4,C,E 两点关于 x 轴对称, ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2). 设经过 A,B,E 三点的抛物线的关系式为 y=ax2+bx+c,则 0 16 4 0 2 a b c a b c c           ,解之,得 1 2 3 2 2 a b c          ∴所求抛物线关系式为 y= 21 3 22 2x x  . (3)存在.∵点 E 是抛物线与圆的交点. ∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件. ∵圆心的坐标( 3 2 ,0 )在抛物线的对称轴上. ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称. ∴点 E 关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意. ∴可求得 E′(3,-2). ∴抛物线上存在点 P 符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1. (2)y=x2-2x-3 (3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为 y=m(x-0)2+c(m≠0). ∴设抛物线过 P 24,2 4 b ac b a a     , ∴ 224 4 2 ac b bm ca a        解得 m=-a,∴伴随抛物线关系式为 y=-ax2+c. 设伴随直线关系式为 y=kx+c(k≠0). ∵P 24,2 4 b ac b a a     在此直线上,∴ 24 4 2 ac b bk ca a        , ∴k= 2 b . ∴伴随直线关系式为 y= 2 b x+c (4)∵抛物线 L 与 x 轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac. ∵x2>x1>0,∴x1+ x2= - b a >0,x1x2= c a >0,∴ab<0,ac>0. 对于伴随抛物线 y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得 x= c a  . ∴ ,0 , ,0c cC Da a              ,∴CD=2 c a . 又 AB=x2-x1= 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4( ) ( ) 4 4b c b acx x x x x x a a a             . 由 AB=CD ,得 2 4b ac a  =2 c a , 整理得 b2=8ac,综合 b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8 ac,得 a,b,c 满足的条件为 b2=8ac 且 ab<0,(或 b2=8ac 且 bc<0). 第 1 课时 二次函数与一元二次方程 ●基础练习 1.如果抛物线 y=－2x2+mx－3 的顶点在 x 轴正半轴上，则 m=______. 2.二次函数 y=－2x2+x－ 2 1 ，当 x=______时，y 有最______值，为______.它的图象与 x 轴______ 交点(填“有”或“没有”). 3.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 1 所示. ①这个二次函数的表达式是 y=______；②当 x=______时，y=3；③根据图象回答：当 x______时，y>0. x y 1 1 2 -1 O x y A B O 图 1 图 2 4.某一元二次方程的两个根分别为 x1=－2，x2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二 次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可) 5.不论自变量 x 取什么实数，二次函数 y=2x2－6x+m 的函数值总是正值，你认为 m 的取值范 围是______，此时关于一元二次方程 2x2－6x+m=0 的解的情况是______(填“有解”或“无 解”). 6.某一抛物线开口向下，且与 x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 ______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 7.如图 2，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分， 如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m，球路的最高点 B(8，9)，则这个二次函数的表 达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到 0.1 m). 8.若抛物线 y=x2－(2k+1)x+k2+2，与 x 轴有两个交点，则整数 k 的最小值是______. 9.已知二次函数 y=ax2+bx+ c(a≠0)的图象如图 1 所示，由抛物 线的特征你能得到含有 a、b、c 三个字母的等式或不等式为 ______(写出一个即可). 10.等腰梯形的周长为 60 cm，底角为 60°，当梯形腰 x=______ 时，梯形面积最大，等于______. x y 1-1 -1 O 11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______. (3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应 的图象是______. (4)在 220 V 电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______. x x xx y y yy A B C D O OO O 12.将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出 20 个.若这种商品的 零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加了 1 个，为了获得最大利润，则应降 价______元，最大利润为______元. 13.关于二次函数 y=ax2+bx+c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ） ①当 c=0 时，函数的图象经过原点; ②当 b=0 时，函数的图象关于 y 轴对称; ③函数的图象最高点的纵坐标是 a bac 4 4 2 ; ④当 c>0 且函数的图象开口向下时，方程 ax2+bx+c=0 必有两个不相等的实根( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 14.已知抛物线 y=ax2+bx+c 如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c－8=0 的根的情况是 A.有两个不相等的正实数根 ; B.有两个异号实数根; C.有两个相等的实数根 ; D.没有实数根. 15.抛物线 y=kx2－7x－7 的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( ) A.k>－ 4 7 ; B.k≥－ 4 7 且 k≠0; C.k≥－ 4 7 ; D.k>－ 4 7 且 k≠0 16.如图 6 所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形 A BCD，其中 AB 和 BC 分别在两直 角边上，设 AB=x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为( ) A. 4 24 m B.6 m C.15 m D. 2 5 m x y 8 O 5 m 12 m A B C D x y 2.4 12O 图 4 图 5 图 6 17.二次函数 y=x2－4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，△ABC 的面积为( ) A.1 B.3 C.4 D.6 18.无论 m 为任何实数，二次函数 y=x2+(2－m)x+m 的图象总过的点是( ) A.(－1，0); B.(1，0) C.(－1，3) ; D.(1，3) 19.为了备战 2008 奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门 12 米处的挑射， 正好从 2.4 米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线 y=ax2+bx+c(如图 5 所 示)，则下列结论正确的是( ) ①a<－ 60 1 ②－ 60 1 0 ④01 B.m>－1 C.m<－1 D.m<1 22.如图 7，一次函数 y=－2x+3 的图象与 x、y 轴分别相交于 A、C 两点，二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 c 且与一次函数在第二象限交于另一点 B，若 AC∶CB=1∶2，那么，这个二次 函数的顶点坐标为( ) A.(－ 2 1 ， 4 11 ) B.(－ 2 1 ， 4 5 ) C.( 2 1 ， 4 11 ) D.( 2 1 ，－ 4 11 ) 23.某乡镇企业现在年产值是 15 万元，如果每增加 100 元投资，一年增加 250 元产值，那么 总产值 y(万元)与新增加的投资额 x(万元)之间函数关系为( ) A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 D.y=25x+1.5 24.如图 8，铅球运动员掷铅球的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式是 y=－ 12 1 x2+ 3 2 x+ 3 5 ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A.6 m B.12 m C.8 m D.10 m x y A B C O x y O A B M O 图 7 图 8 图 9 25.某幢建筑物，从 10 m 高的窗口 A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在 的平面与墙面垂直，如图 9，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m，离地面 3 40 m，则水流落 地点 B 离墙的距离 OB 是( ) A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 26.求下列二次函数的图像与 x 轴的交点坐标,并作草图验证. (1)y= 1 2 x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4 27.一元二次方程 x2+7x+9=1 的根与二次函数 y=x2+7x+9 的图像有什么关系? 试把方程的根在 图像上表示出来. 28.利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根. (1)4x2-8x+1=0; (2)x2-2x-5=0; (3)2x2-6x+3=0; (3)x2-x-1=0. 29.已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图像与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于 A, C 两点. 求△ABC 的周长和 面积. ●能力提升 30.某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与 每件的销售价 x(元)满足关系：m=140－2x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销 售利润为多少？ 31.已知二次函数 y=(m2－2)x2－4mx+n 的图象的对称轴是 x=2，且最高点在直线 y= 2 1 x+1 上， 求这个二次函数的表达式. 32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道 篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x m. (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m？ (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多 少 m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ x 33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽 车的撞击影响可以用公式 I=2v2 来表示，其中 v(千米/分)表示汽车的速度; (1)列表表示 I 与 v 的关系. (2)当汽车的速度扩大为原来的 2 倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？ 34.如图 7，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线， 当球运行的水 平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离 为 3.05 米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式; (2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时， 他跳离地面的高度是多少. 4m (0,3.5) 3.05m x y O 35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程， 下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S(万元)与销售时间 t(月)之 间的关系(即前 t 个月的利润总和 S 与 t 之间的关系). (1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条) (2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流. 1 2 3 4 5 -1 -2 (万元) 月 份 ? S tO 36.把一个数 m 分解为两数之和，何时它们的乘积最大？你能得出一个一般性的结论吗？ ●综合探究 37.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活 时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一 经销商，按市场价收购这种活蟹 1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测 算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是，放养一天需支出各种费用为 400 元，且平均每天还有 10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克 20 元. (1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为 p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式; (2)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 kg 蟹的销售总额为 Q 元，写出 Q 关 于 x 的函数关系式. (3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？ 38.图中 a 是棱长为 a 的小正方体，图 b、图 c 由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法 继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层……，第 n 层，第 n 层的小正方形的个数记为 S，解答下列问题： a b c (1)按照要求填表： n 1 2 3 4 … S 1 3 6 … (2)写出当 n=10 时，S=______; (3)根据上表中的数据，把 S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应 的各点; (4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该 函数的表达式；若不在，说明理由. nO S 参考答案 1.2 6 2. 4 1 大 － 8 3 没有 3.①x2－2x ②3 或－1 ③<0 或>2 4. y=x2－3x－10 5. m> 2 9 无解 6.y=－x2+x－1 最大 7.y=－ 8 1 x2+2x+1 16.5 8. 2 9.b2－4ac>0(不唯一) 10 . 15 cm 2 3225 cm2 11.(1)A (2)D (3)C (4)B 12. 5 625 13.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B 20.B 21.B 22.A 23.C 24.D 25.B〔提示：设水流的解析式为 y=a(x－h)2+k, ∴A(0，10)，M(1， 3 40 ). ∴y=a(x－1)2+ 3 40 ，10=a+ 3 40 . ∴a=－ 3 10 . ∴y=－ 3 10 (x－1)2+ 3 40 . 令 y=0 得 x=－1 或 x=3 得 B(3，0), 即 B 点离墙的距离 OB 是 3 m 26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),( 4 3  ,0),草图略. 27.该方程的根是该函数的图像与直线 y=1 的交点的横坐标. 28.(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6 29.令 x=0,得 y=-3,故 B 点坐标为(0,-3). 解方程-x2+4x-3=0,得 x1=1,x2=3. 故 A、C 两点的坐标为(1,0),(3,0). 所以 AC=3-1=2,AB= 2 21 3 10  ,BC= 2 23 3 3 2  , OB=│-3│=3. C△ABC=AB+BC+AC= 2 10 3 2  . S△ABC= 1 2 AC·OB= 1 2 ×2×3=3. 30．(1)y=－2x2+180x－2800. (2)y=－2x2+180x－2800 =－2(x2－90x)－2800 =－2(x－45)2+1250. 当 x=45 时，y 最大=1250. ∴每件商品售价定为 45 元最合适，此销售利润最大，为 1250 元. 31．∵二次函数的对称轴 x=2，此图象顶点的横坐标为 2，此点在直线 y= 2 1 x+1 上. ∴y= 2 1 ×2+1=2. ∴y=(m2－2)x2－4mx+n 的图象顶点坐标为(2，2). ∴－ a b 2 =2.∴－ )2(2 4 2   m m =2. 解得 m=－1 或 m=2. ∵最高点在直线上，∴a<0, ∴m=－1. ∴y=－x2+4x+n 顶点为(2，2). ∴2=－4+8+n.∴n=－2. 则 y=－x2+4x+2. 32(1)依题意得 鸡场面积 y=－ .3 50 3 1 2 xx  ∵y=－ 3 1 x2+ 3 50 x= 3 1 (x2－50x) =－ 3 1 (x－25)2+ 3 625 , ∴当 x=25 时，y 最大= 3 625 , 即鸡场的长度为 25 m 时，其面积最大为 3 625 m2. (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为 n x50 m. ∴y= n x50 ·x=－ n 1 x2+ n 50 x =－ n 1 (x2－50x) =－ n 1 (x－25)2+ n 625 , 当 x=25 时，y 最大= n 625 , 即鸡场的长度为 25 m 时，鸡场面积为 n 625 m2. 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是 25 m. 33(1)如下表 v … －2 －1 － 2 1 0 2 1 1 2 3 … I … 8 2 2 1 0 2 1 2 8 18 … (2)I=2·(2v)2=4×2v2. 当汽车的速度扩大为原来的 2 倍时，撞击影响扩大为原来的 4 倍. 34(1)设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c. 由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).                 .5.3 ,0 ,2.0 ,5.15.105.3 ,5.3 ,02 2 c b a cba c a b 得 ∴抛物线的表达式为 y=－0.2x2+3.5. (2)设球出手时，他跳离地面的高度为 h m，则球出手时，球的高度为 h+1.8+0.25=(h+2.05) m, ∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5, ∴h=0.2(m). 35 (1)信息： ①1、2 月份亏损最多达 2 万元. ②前 4 月份亏盈吃平. ③前 5 月份盈利 2.5 万元. ④1~2 月份呈亏损增加趋势. ⑤2 月份以后开始回升.(盈利) ⑥4 月份以后纯获利 …… (2)问题：6 月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为 y= 2 1 (x－2)2－2, 当 x=6 时，y=6(万元)(问题不唯一). 36．设 m=a+b y=a·b, ∴y=a(m－a)=－a2+ma=－(a－ 2 m )2+ 4 2a , 当 a= 2 m 时，y 最大值为 4 2a . 结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大. 37．(1)由题意知：p=30+x, (2)由题意知 活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元, 死蟹的销售额为 200x 元. ∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000. (3)设总利润为 L=Q－30000－400x=－10x2+500x =－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250. 当 x=25 时，总利润最大，最大利润为 6250 元. 38．(1)10 (2)55 (3)(略). (4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上. 设函数的解析式为 S=an2+bn+c. 由题意知                  0.c ,2 1b ,2 1a ,639 ,324 ,1 解得 cba cba cba ∴S= .2 1 2 1 2 nn  22．2 降次---解一元二次方程（第五课时） 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 ◆随堂检测 1、已知一元二次方程 0132 2  xx 的两根为 1x 、 2x ，则  21 xx ______． 2、关于 x 的一元二次方程 2 0x bx c   的两个实数根分别为 1 和 2，则 b  ______， c  ______． 3、一元二次方程 2 1 0x ax   的两实数根相等，则 a 的值为（ ） A． 0a  B． 2a  或 2a   C． 2a  D． 2a  或 0a  4、已知方程 2 3 1 0x x   的两个根为 1x 、 2x ，求 1 2(1 )(1 )x x  的值. ◆典例分析 已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 0x m x m    有两个实数根 1x 和 2x ． （1）求实数 m 的取值范围； （2）当 2 2 1 2 0x x  时，求 m 的值． （提示：如果 1x 、 2x 是一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的两根，那么有 1 2 bx x a    ， 1 2 cx x a  ） 分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求 m 的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出 错的地方. 解:（1）∵一元二次方程 2 2(2 1) 0x m x m    有两个实数根, ∴△＝ 2 2(2 1) 4 1 4 1 0m m m        ,∴ 1 4m  . （2）当 2 2 1 2 0x x  时，即 1 2 1 2( )( ) 0x x x x   ,∴ 1 2 0x x  或 1 2 0x x  . 当 1 2 0x x  时，依据一元二次方程根与系数的关系可得 1 2 (2 1)x x m    , ∴ (2 1) 0m   ,∴ 1 2m  . 又∵由（1）一元二次方程 2 2(2 1) 0x m x m    有两个实数根时 m 的取值范围是 1 4m  ,∴ 1 2m  不成立,故 m 无解； 当 1 2 0x x  时， 1 2x x ,方程有两个相等的实数根, ∴△＝ 2 2(2 1) 4 1 4 1 0m m m        ,∴ 1 4m  . 综上所述,当 2 2 1 2 0x x  时， 1 4m  . ◆课下作业 ●拓展提高 1、关于 x 的方程 2 0x px q   的两根同为负数，则（ ） A． 0p > 且 q > 0 B． 0p > 且 q < 0 C． 0p < 且 q > 0 D． 0p < 且 q < 0 2、若关于 x 的一元二次方程 2 24 3 0x kx k    的两个实数根分别是 1 2,x x ,且满足 1 2 1 2x x x x   .则 k 的值为（ ） A、－1 或 3 4 B、－1 C、 3 4 D、不存在 (注意: k 的值不仅须满足 1 2 1 2x x x x   ,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即 k 的值必须使得△ 0 才可以.) 3、已知 1x 、 2x 是方程 2 6 3 0x x   的两实数根，求 2 1 1 2 x x x x  的值. 4、已知关于 x 的方程 2 3 0x x m   的一个根是另一个根的 2 倍，求 m 的值. 5、已知 1x ， 2x 是关于 x 的方程 ( 2)( ) ( 2)( )x x m p p m     的两个实数根． （1）求 1x ， 2x 的值； （2）若 1x ， 2x 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数 m，p 满足什么条件时，此直角 三角形的面积最大？并求出其最大值． ●体验中考 1、（2009 年，河北）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 22 8 7 0x x   的 两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A． 3 B．3 C．6 D．9 (提示：如果直接解方程 22 8 7 0x x   ，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用 勾股定理求出直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分 利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.) 2、（2008 年，黄石）已知 ,a b 是关于 x 的一元二次方程 2 1 0x nx   的两个实数根,则式子 b a a b  的值是（ ） A． 2 2n  B． 2 2n  C． 2 2n  D． 2 2n  参考答案： ◆随堂检测 1、 2 3 . 依据一元二次方程根与系数的关系可得 1 2 3 2x x  . 2、－3,2 依据一元二次方程根与系数的关系可得 1 2 1 2 x x b x x c      ， ∴ (1 2) 3, 1 2 2b c        . 3、B. △＝ 2 2( ) 4 1 1 4 0a a       ，∴ 2a  或 2a   ，故选 B. 4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 3 1 x x x x      ， ∴ 1 2 1 2 1 2(1 )(1 ) 1 ( ) 1 3 1 1x x x x x x           . ◆课下作业 ●拓展提高 1、A. 由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 x x p x x q      ，当方程 2 0x px q   的 两根 1 2,x x 同为负数时， 1 2 1 2 0 0 x x x x     ，∴ 0p > 且 q > 0 ，故选 A. 2、C. 由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 2 1 2 4 3 x x k x x k       ， ∵ 1 2 1 2x x x x   ，∴ 24 3k k   ，解得 1 1k   ， 2 3 4k  . 当 1 1k   时,△＝ 2 2 2 24 1 (4 3) 15 12 15 ( 1) 12 3 0k k k               , 此时 方程无实数根,故 1 1k   不合题意,舍去. 当 2 3 4k  时,△＝ 2 2 2 234 1 (4 3) 15 12 15 ( ) 12 04k k k            ,故 2 3 4k  符 合题意.综上所述, 2 3 4k  .故选 C. 3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 6 3 x x x x      ， ∴ 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 ( 6) 2 3 103 x x x x x x x x x x x x x x           . 4、解：设方程 2 3 0x x m   的两根为 1x 、 2x ，且不妨设 1 22x x . 则由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 2 1 2 3x x x x m     ， 代入 1 22x x ,得 2 2 2 3 3 2 x x m    ,∴ 2 1x  , 2m  . 5、解：（1）原方程变为： 2 2( 2) 2 ( 2) 2x m x m p m p m       ∴ 2 2 ( 2) ( 2) 0x p m x m p      ， ∴ ( )( ) ( 2)( ) 0x p x p m x p      ， 即 ( )( 2) 0x p x p m     ， ∴ 1x p ， 2 2x m p   ． （2）∵直角三角形的面积为 )2(2 1 2 1 21 pmpxx  = pmp )2(2 1 2 1 2  = )]4 )2(()2 2()2([2 1 2 22  mmpmp = 8 )2()2 2(2 1 2 2  mmp ， ∴当 2 2 mp 且 m＞－2 时，以 x1，x2 为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积 为 8 )2( 2m 或 2 2 1 p ． ●体验中考 1、B. 设 1x 和 2x 是方程 22 8 7 0x x   的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可 得： 1 2 1 2 4 7 2 x x x x    ∴ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 7( ) 2 4 2 92x x x x x x        ，∴这个直角三角形的 斜边长是 3，故选 B. 2、D 由一元二次方程根与系数的关系可得： 1 a b n ab       ， ∴ 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( )2 2 21 b a a b a b ab a b n na b ab ab ab               .故选 D. 22．2 降次--解一元二次方程（第一课时） 22.2.1 配方法(1) ◆随堂检测 1、方程 3 2x +9=0 的根为（ ） A、3 B、-3 C、±3 D、无实数根 2、下列方程中，一定有实数解的是（ ） A、 2 1 0x   B、 2(2 1) 0x   C、 2(2 1) 3 0x    D、 21( )2 x a a  3、若 2 24 ( )x x p x q    ，那么 p、q 的值分别是（ ） A、p=4，q=2 B、p=4，q=-2 C、p=-4，q=2 D、p=-4，q=-2 4、若 28 16 0x   ，则 x 的值是_________． 5、解一元二次方程是 22( 3) 72x   ． 6、解关于 x 的方程（x+m）2=n． ◆典例分析 已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求 2 2 2x y x y   的值． 分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定 x 、 y 的值．但观察到方程可配 方成两个完全平方式的和等于零，可以挖掘出隐含条件 x=-2 和 y=3，从而使问题顺利解决． 解：原方程可化为（x+2）2+（y-3）2=0， ∴（x+2）2=0，且（y-3）2=0， ∴x=-2，且 y=3， ∴原式= 2 6 8 13 13     ． ◆课下作业 ●拓展提高 1、已知一元二次方程 03 2  cx ，若方程有解，则 c ________． 2、方程 bax  2)( （b＞0）的根是（ ） A、 ba  B、 )( ba  C、 ba  D、 ba  3、填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2 4、若 2 2( 3) 49x m x   是完全平方式，则 m 的值等于________． 5、解下列方程：（1）(1+x)2-2=0；(2)9(x-1)2-4=0． 6、如果 x2-4x+y2+6y+ 2z  +13=0，求 ( )zxy 的值． ●体验中考 1、（2008 年，丽水）一元二次方程 2( 6) 5x   可转化为两个一次方程，其中一个一次方程 是 6 5x   ，则另一个一次方程是_____________. 2、（2009 年，太原）用配方法解方程 2 2 5 0x x   时，原方程应变形为（ ） A． 2( 1) 6x   B． 2( 1) 6x   C． 2( 2) 9x   D． 2( 2) 9x   参考答案： ◆随堂检测 1、D 依据方程的根的定义可判断此方程无实数根，故选 D． 2、B D 选项中当 0a  时方程无实数根，只有 B 正确． 3、B 依据完全平方公式可得 B 正确． 4、± 2 ． 5、解：方程两边同除以 2，得 2( 3) 36x   ， ∴ 3 6x    ，∴ 1 29, 3x x   ． 6、解：当 n≥0 时，x+m=± n ，∴x1= n -m，x2=- n -m．当 n<0 时，方程无解． ◆课下作业 ●拓展提高 1、 0 原方程可化为 2 3 cx   ，∴ 0c  ． 2、A 原方程可化为 x a b   ，∴ x a b  ． 3、根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2． 4、10 或-4 若 2 2( 3) 49x m x   是完全平方式，则 3 7m    ， ∴ 1 210, 4m m   ． 5、（1） 1 22 1, 2 1x x     ；（2） 1 2 5 1,3 3x x  ． 6、解：原方程可化为（x-2）2+（y+3）2+ 2z  =0， ∴x=2，y=-3，z=-2，∴ 2( ) ( 6)zxy   = 1 36 ． ●体验中考 1、 6 5x    原方程可化为 6 5x    ，∴另一个一次方程是 6 5x    ． 2、B 原方程可化为 2 2 1 6 0x x    ，∴ 2( 1) 6x   .故选 B. 22．2 降次--解一元二次方程（第三课时） 22.2.2 公式法 ◆随堂检测 1、一元二次方程 2 2 1 0x x   的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2、若关于 x 的一元二次方程 2 2 0x x m   没有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A． 1m  B． 1m   C． 1m  D． 1m   3 、 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 2 3 0x x m   有 实 数 根 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 _____________. 4、用公式法解下列方程. （1） 22 4 1 0x x   ；（2） 25 2 3x x  ；（3） 24 3 1 0x x   . 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式 2 1 4 2 b b acx a    ， 2x  2 4 2 b b ac a    即可. ◆典例分析 解方程： 22 4 3 2 2x x  ． 有一位同学解答如下： 这里， 2a  ， 4 3b  ， 2 2c  , ∴ 2 24 (4 3) 4 2 2 2 32b ac      , ∴ x  2 4 4 3 32 6 22 2 2 b b ac a         , ∴ 1 6 2x    ， 2 6 2x    ． 请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果． 分析：本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元 二次方程的一般形式才行. 解：这位同学的解答有错误,错误在 2 2c   ,而不是 2 2c  ,并且导致以后的计算都发 生相应的错误． 正确的解答是: 首先将方程化为一般形式 22 4 3 2 2 0x x   ， ∴ 2a  ， 4 3b  ， 2 2c   , ∴ 2 24 (4 3) 4 2 ( 2 2) 64b ac       , ∴ x  2 4 4 3 64 6 2 22 2 2 b b ac a         , ∴ 1 6 2 2x    ， 2 6 2 2x    ． ◆课下作业 ●拓展提高 1、下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A． 2 4 0x   B． 24 4 1 0x x   C． 2 3 0x x   D． 2 2 1 0x x   2、如果关于 x 的方程 022  kxx 没有实数根，则 k 的取值范围为_____________. 3、用公式法解下列方程. （1） 1)4(2 xx ；（2） ( 2)(3 5) 1x x   ；（3） 20.3 0.8y y  . 4、求证：关于 x 的方程 01)12(2  kxkx 有两个不相等的实数根． 5、若关于 x 的一元二次方程 2( 2) 2 1 0a x ax a     没有实数解，求 3 0ax   的解集（用 含 a 的式子表示）． 提示：不等式 3 0ax   中含有字母系数 a ，要想求 3 0ax   的解集，首先就要判定 a 的值是正、负或 0．利用条件一元二次方程 2( 2) 2 1 0a x ax a     没有实数根可以求出 a 的取值范围． ●体验中考 1、（2008 年，河南）如果关于 x 的一元二次方程 2 2 (2 1) 1 0k x k x    有两个不相等的实 数根，那么 k 的取值范围是（ ） A． 1 4k   B． 1 4k   且 0k  C． 1 4k   D． 1 4k   且 0k  注意:一元二次方程 2 2 (2 1) 1 0k x k x    的二次项系数含有字母 k . 2、（2009 年，湖南株洲）定义：如果一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    满足 0a b c   ， 那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知 2 0( 0)ax bx c a    是“凤凰”方程，且有两 个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． a c B． a b C．b c D． a b c  参考答案： ◆随堂检测 1、B ∵△＝ 2 24 ( 2) 4 1 ( 1) 8 0b ac         ，∴方程有两个不相等的实数根，故 选 B． 2、C ∵△＝ 2 24 ( 2) 4 1 4 4 0b ac m m         ，∴ 1m  ．故选 C． 3、 9 4m  ∵△＝ 2 24 ( 3) 4 1 9 4 0b ac m m         ，∴ 9 4m  ． 4、解：（1） 2a  ， 4b   ， 1c   , ∴ 2 24 ( 4) 4 2 ( 1) 24 0b ac         , ∴ x  ( 4) 24 4 2 6 2 6 2 2 4 2       , ∴ 1 2 6 2x  ， 2 2 6 2x  ． （2）将方程化为一般形式 23 5 2 0x x   ， ∴ 3a  ， 5b   ， 2c   , ∴ 2 24 ( 5) 4 3 ( 2) 49 0b ac         , ∴ x  ( 5) 49 5 7 2 3 6     ，∴ 1 2x  ， 2 1 3x   ． （3） 4a  ， 3b   ， 1c  , ∴ 2 24 ( 3) 4 4 1 7 0b ac         ， ∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根． ◆课下作业 ●拓展提高 1、D 只有选项 D 中△＝ 2 24 2 4 1 ( 1) 8 0b ac        ，方程有两个不相等的实数 根．故选 D． 2、 1k   ∵△＝ 2 24 ( 2) 4 1 ( ) 4 4 0b ac k k          ，∴ 1k   ． 3、（1）将方程化为一般形式 22 8 1 0x x   ， ∴ 2a  ， 8b  ， 1c   , ∴ 2 24 8 4 2 ( 1) 72 0b ac        , ∴ 8 72 4 3 2 2 2 2x      ，∴ 1 4 3 2 2x   ， 2 4 3 2 2x   ． （2）将方程化为一般形式 23 11 9 0x x   ， ∴ 3a  ， 11b   ， 9c  , ∴ 2 24 ( 11) 4 3 9 13 0b ac        , ∴ x  ( 11) 13 11 13 2 3 6     ，∴ 1 11 13 6x  ， 2 11 13 6x  ． （3）将方程化为一般形式 20.3 0.8 0y y   ， ∴ 0.3a  ， 1b  ， 0.8c   , ∴ 2 24 1 4 0.3 ( 0.8) 1.96 0b ac        , ∴ y  1 1.96 10 14 2 0.3 6     ，∴ 1 4y   ， 2 2 3y  ． 4、证明：∵△＝ 2 2 24 (2 1) 4 1 ( 1) 4 5 0b ac k k k          恒成立，∴方程有两个 不相等的实数根． 5、解：∵关于 x 的一元二次方程 2( 2) 2 1 0a x ax a     没有实数根， ∴ 2( 2 ) 4( 2)( 1) 4 8 0a a a a       ，∴ 2 0a    ． ∵ 3 0ax   即 3ax   ，∴ 3x a   ． ∴所求不等式的解集为． 3x a   . ●体验中考 1、B 依题意得, 2 2 2 0 (2 1) 4 1 0 k k k       ,解得 1 4k   且 0k  .故选 B． 2、A 依题意得, 2 0 4 0 a b c b ac       ,代入得 2( ) 4a c ac  , ∴ 2( ) 0a c  ,∴ a c .故选 A． 22．2 降次--解一元二次方程（第二课时） 22.2.1 配方法(2) ◆随堂检测 1、将二次三项式 x2-4x+1 配方后得（ ） A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3 2、已知 x2-8x+15=0，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中正确的是（ ） A、x2-8x+42=31 B、x2-8x+42=1 C、x2+8x+42=1 D、x2-4x+4=-11 3、代数式 2 2 2 1 x x x    的值为 0，求 x 的值． 4、解下列方程：（1）x2+6x+5=0；（2）2x2+6x-2=0；（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0. 点拨：上面的方程都能化成 x2=p 或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得 x=± p 或 mx+n=± p （p≥0）. ◆典例分析 用配方法解方程 22 2 30 0x x   ，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正． 解：方程两边都除以 2 并移项，得 2 2 152x x  ， 配方，得 2 22 1 1( ) 152 2 4x x    ， 即 21 61( )2 4x   ， 解得 1 61 2 2x    ， 即 1 2 1 61 1 61,2 2x x   ． 分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。本题中一次项系数 是 2 2  ，因此，等式两边应同时加上 22( )4  或 22( )4 才对 解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下： 配方，得 2 22 2 1( ) 152 4 8x x    ， 即 22 121( )4 8x   ， 解得 2 11 2 4 4x    ， 即 1 2 5 23 2, 2x x   ． ◆课下作业 ●拓展提高 1、配方法解方程 2x2- 4 3 x-2=0 应把它先变形为（ ） A、（x- 1 3 ）2= 8 9 B、（x- 2 3 ）2=0 C、（x- 1 3 ）2= 8 9 D、（x- 1 3 ）2=10 9 2、用配方法解方程 x2- 2 3 x+1=0 正确的解法是（ ） A、（x- 1 3 ）2= 8 9 ，x= 1 3 ± 2 2 3 B、（x- 1 3 ）2=- 8 9 ，原方程无解 C、（x- 2 3 ）2= 5 9 ，x1= 2 3 + 5 3 ，x2= 2 5 3  D、（x- 2 3 ）2=1，x1= 5 3 ，x2=- 1 3 3、无论 x、y 取任何实数，多项式 2 2 2 4 16x y x y    的值总是_______数． 4、如果 16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么 x 与 y 的关系是________． 5、用配方法解下列方程：（1）x2+4x+1=0；（2）2x2-4x-1=0； （3）9y2-18y-4=0；（4）x2+3=2 3 x. 6、如果 a、b 为实数，满足 3 4a  +b2-12b+36=0，求 ab 的值． ●体验中考 1、（2009 年山西太原）用配方法解方程 2 2 5 0x x   时，原方程应变形为（ ） A． 21 6x   B． 21 6x   C． 22 9x   D． 22 9x   2、（2009 年湖北仙桃）解方程： 2 4 2 0x x   ． 3、（2008 年，陕西）方程 2( 2) 9x   的解是（ ） A． 1 25, 1x x   B． 1 25, 1x x   C． 1 211, 7x x   D． 1 211, 7x x   4、（2008 年，青岛）用配方法解一元二次方程： 2 2 2 0x x   . 参考答案： ◆随堂检测 1、B. 2、B. 3、解:依题意,得 2 2 2 0 1 0 x x x       ,解得 2x  ． 4、解：（1）移项，得 x2+6x=-5， 配方，得 x2+6x+32=-5+32，即（x+3）2=4， 由此可得：x+3=±2，∴x1=-1，x2=-5 （2）移项，得 2x2+6x=-2， 二次项系数化为 1，得 x2+3x=-1， 配方 x2+3x+（ 3 2 ）2=-1+（ 3 2 ）2， 即（x+ 3 2 ）2= 5 4 ，由此可得 x+ 3 2 =± 5 2 ， ∴x1= 5 2 - 3 2 ，x2=- 5 2 - 3 2 （3）去括号整理，得 x2+4x-1=0， 移项，得 x2+4x=1， 配方，得（x+2）2=5， 由此可得 x+2=± 5 ，∴x1= 5 -2，x2=- 5 -2 ◆课下作业 ●拓展提高 1、D. 2、B. 3、正  22 2 22 4 16 1 ( 2) 11 11 0x y x y x y           . 4、x-y= 5 4 原方程可化为 24( ) 5 0x y   ，∴x-y= 5 4 . 5、解：（1）x1= 3 -2，x2=- 3 -2；（2）x1=1+ 6 2 ，x2=1- 6 2 ； （3）y1= 13 3 +1，y2=1- 13 3 ；（4）x1=x2= 3 . 6、解：原等式可化为 23 4 ( 6) 0a b    ，∴ 3 4 0 6 0 a b      ， ∴ 4 3a   ， 6b  ，∴ 8ab   . ●体验中考 1、 B.分析：本题考查配方， 2 2 5 0x x   ， 2 2 1 5 1x x    ， 21 6x   ，故选 B． 2、解： 2 4 2x x   ∴ 1 22 2, 2 2.x x     3、A ∵ 2( 2) 9x   ，∴ 2 3x    ,∴ 1 25, 1x x   .故选 A. 4、解得 1 21 3, 1 3x x    . 22．2 降次--解一元二次方程（第六课时） （习题课） ◆随堂检测 1、关于 x 的方程 0232  xax 是一元二次方程，则（ ） A、 0a B、 0a C、 1a D、 0a 2、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上 4 的是（ ） A、 522  xx B、 542 2  xx C、 542  xx D、 522  xx 3、方程 xxx  )1( 的根是（ ） A、 2x B、 2x C、 0,2 21  xx D、 0,2 21  xx 4 、 已 知 2 5 是 一 元 二 次 方 程 2 4 0x x c   的 一 个 根 ， 则 方 程 的 另 一 个 根 是 ______________． 5、用适当的方法解下列方程： （1） 0672  xx ；（2） )15(3)15( 2  xx ； （3） 0362  xx ；（4） 22 5 1 0x x   . ◆典例分析 解方程 022  xx . 分析:本题是含有绝对值的方程,可以转化为一元二次方程求解.转化的方法可以不同,请同 学们注意转化的技巧. 解法一:分类讨论 （1）当 0x 时，原方程化为 022  xx ， 解得： ,21 x 12 x （不合题意，舍去） （2）当 0x 时，原方程化为 022  xx 解得： 21 x ,12 x （不合题意，舍去） ∴原方程的解为 2,2 21  xx . 解法二:化归换元 原方程 022  xx 可化为 2 2 0x x   , 令 y x ，则 2 2 0y y   （ 0y  ），解得 1 2,y  2 1y   （舍去）， 当 1 2y  时, 2x  ,∴ 2x   , ∴原方程的解为 2,2 21  xx . ◆课下作业 ●拓展提高 1、方程 062  xx 的解是__________________． 2、已知 1x   是关于 x 的方程 2 22 0x ax a   的一个根，则 a  _______． 3、12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_________________． 4、当代数式 532  xx 的值为 7 时，代数式 293 2  xx 的值为（ ） A、4 B、2 C、-2 D、-4 5、已知 x 是一元二次方程 2 3 1 0x x   的实数根，求代数式 2 3 5( 2 )3 6 2 x xx x x      的 值． 6、阅读材料，解答问题： 材料：为解方程 2 2 2( 1) 5( 1) 4 0x x     ,我们可以视 2( 1)x  为一个整体. 然后设 2 1x y  ,原方程可化为 2 5 4 0y y   ①.解得 1 21, 4y y  . 当 1 1y  时， 2 1 1x   ,即 2 2x  ，∴ 2x   . 当 2 4y  时， 2 1 4x   ,即 2 5x  ，∴ 5x   . ∴原方程的解为 1 2 3 42, 2, 5, 5x x x x      . 解答问题：（1）填空：在由原方程得到①的过程中利用_______法，达到了降次的目的， 体现了_______的数学思想.（2）解方程 4 2 6 0x x   . ●体验中考 1、（2009 年山西）请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程： ． 2、（2009 年湖北襄樊）如图，在 ABCD 中，AE BC 于 E，AE EB EC a   ，且 a 是 一元二次方程 2 2 3 0x x   的根，则 ABCD 的周长为（ ） A． 4 2 2 B．12 6 2 C． 2 2 2 D． 2 2 12 6 2 或 3、（2008 年，凉山）已知反比例函数 aby x  ，当 0x  时，y 随 x 的增大而增大，则关于 x 的方程 2 2 0ax x b   的根的情况是（ ） A．有两个正根 B．有两个负根 A D CEB C．有一个正根一个负根 D．没有实数根 (提示：本题综合了反比例函数和一元二次方程根与系数的关系两个重要的知识点，请认真 思考，细心解答.) 4、（2008 年，齐齐哈尔）三角形的每条边的长都是方程 2 6 8 0x x   的根,则三角形的周长 是_________________． (点拨：本题综合考查了一元二次方程的解法和三角形的有关知识，特别要注意应用三角形 任意两边之和大于第三边这个定理.) 参考答案： ◆随堂检测 1、B. 依据一元二次方程的定义可得. 2、C. 3、D. 注意不能在等式两边同除以含有未知数的式子.本题用因式分解法好. 4、2 5 依据一元二次方程根与系数的关系可得 22 5 4x   ∴方程的另一个根是 2 2 5x   . 5、解：（1）用因式分解法解 0672  xx 得: 1 21, 6x x  ； （2）用因式分解法解 )15(3)15( 2  xx 得: 1 2 1 4,5 5x x  ； （3）用配方法解 0362  xx 得: 1 23 6, 3 6x x    ； （4）用公式法解 22 5 1 0x x   得: 1 2 5 33 5 33,4 4x x   . ◆课下作业 ●拓展提高 1、 1 23, 2x x   . 选用因式分解法较好. 2、 2 或1 将 1x   代入方程 2 22 0x ax a   得: 2 2 0a a   , 解得 1 22, 1a a   . 3、答案不唯一：如 2 2 3 0x x   . 4、A. 当 2 3 5 7x x   时，即 2 3 2x x  ， ∴代数式 2 23 9 2 3( 3 ) 2 3 2 2 4x x x x         .故选 A. 5、解：∵ 2 3 1 0x x   ，∴ 2 3 1x x  . 化简: 2 2 3 5 3 9( 2 )3 6 2 3 ( 2) 2 x x xxx x x x x x           3 2 1 3 ( 2) ( 3)( 3) 3 ( 3) x x x x x x x x        ∵∵∴ 2 1 1 1 3( 3 ) 3 1 3x x     ， ∴代数式 2 3 5( 2 )3 6 2 x xx x x      的值是 1 3 ． 6、解:（1）换元法,转化. （2）设 2x y ,原方程可化为 2 6 0y y   ①.解得 1 23, 2y y   . 当 1 3y  时，即 2 3x  ,∴ 3x   . 当 2 2y   时， 2 2x   无解. ∴原方程的解为 1 23, 3x x   . ●体验中考 1、答案不唯一，如 2 1x  2、A.解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵ a 是一元二次方程 2 2 3 0x x   的根，∴ 1a  ，∴AE=EB=EC=1，∴AB= 2 ，BC=2，∴ ABCD 的周长为 4 2 2 ，故选 A。 3、C ∵ aby x  ，当 0x  时， y 随 x 的增大而增大， ∴ 0ab  ，∴方程 2 2 0ax x b   中△＝ 4 4 0ab  ，方程有两个不相等的实数根.又 依据一元二次方程根与系数的关系可得 1 2 0bx x a   ，∴方程有一个正根一个负根.故选 C. 4、6 或 10 或 12. 解方程 2 6 8 0x x   ，得 1 4x  , 2 2x  .∴三角形的每条边的长可以 为 2、2、2 或 2、4、4 或 4、4、4（2、2、4 不能构成三角形，故舍去），∴三角形的周长 是 6 或 10 或 12. 22．2 降次--解一元二次方程（第四课时） 22.2.3 因式分解法 ◆随堂检测 1、下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ） A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= 2 5 ，x2= 3 5 C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以 x，得 x=1 2、x2-5x 因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______． 3、用因式分解法解方程:（1） 24 11x x ；（2） 2( 2) 2 4x x   ． 点拨：用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积，另一边为 0 的形式． 4、已知三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 2 4 3 0x x   的解，求这个三角形的 周长． ◆典例分析 方程 2 2009 2010 0x x   较大根为 m ，方程 2(2010 ) 2009 2011 1 0x x    较小 根为 n，求 nm  的值. 分析：本题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到 系数的特点，选用因式分解法最合适． 解：将方程 2 2009 2010 0x x   因式分解，得： ( 2010)( 1) 0x x   ， ∴ 2010 0x   或 1 0x   ，∴ 1 2010x   ， 2 1x  . ∴较大根为 1，即 1m  . 将方程 2(2010 ) 2009 2011 1 0x x    变形为： 2(2010 ) (2010 1) (2010 1) 1 0x x      ， ∴ 2 2(2010 ) 2010 1 0x x x    ， ∴ 22010 ( 1) ( 1) 0x x x    ，∴∴ ∴ 2(2010 1)( 1) 0x x   ， ∴ 22010 1 0x   或 1 0x   ， ∴ 1 2 1 2010x  ， 2 1x   . ∴较小根为-1，即 1n   .∴ 1 ( 1) 0m n     . ◆课下作业 ●拓展提高 1、二次三项式 x2+20x+96 分解因式的结果为________；如果令 x2+20x+96=0，那么它的两个 根是_________． 2、下列命题:①方程 kx2-x-2=0 是一元二次方程；②x=1 与方程 x2=1 是同解方程；③方程 x2=x 与方程 x=1 是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3 可得 x+1=3 或 x-1=3.其中正确的命题有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3、已知 ( )( 2) 8 0x y x y     ，求 x y 的值. 点拨:将 x y 看作一个整体,不妨设 x y z  ，则求出 z 的值即为 x y 的值. 4、我们知道 2 ( ) ( )( )x a b x ab x a x b      ，那么 2 ( ) 0x a b x ab    就可转化为 ( )( ) 0x a x b   ，请你用上面的方法解下列方程： （1） 2 3 4 0x x   ；（2） 2 7 6 0x x   ；（3） 2 4 5 0x x   . 5、已知 2 29 4 0a b  ，求代数式 2 2a b a b b a ab   的值． 分析：要求 2 2a b a b b a ab   的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出 a 与b 的关系后代入即可． 6、已知 1x  是一元二次方程 2 40 0ax bx   的一个解，且 a b ，求 2 2 2 2 a b a b   的值. ●体验中考 1、（2009 年，河南）方程 2x x 的解是（ ） A． 1x  B． 0x  C． 1 1x  ， 2 0x  D． 1 1x   ， 2 0x  2、（2008 年，淮安）小华在解一元二次方程 2 4 0x x  时，只得出一个根是 4x  ，则被 他漏掉的一个根是________. （提示：方程两边不能同除以含有未知数的式子，否则会失根的.） 参考答案： ◆随堂检测 1、B 用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于 0 的形 式．只有 B 是正确的. 2、x（x-5）；（x-3）（2x-5）. 3、解：（1）移项，得： 24 11 0x x  ， 因式分解，得： (4 11) 0x x   于是，得： 0x  或 4 11 0x   ，∴ 1 0x  ， 2 11 4x  . （2）移项，得 2( 2) 2 4 0x x    ，即 2( 2) 2( 2) 0x x    ， 因式分解，得： ( 2)( 2 2) 0x x    ，整理，得： ( 2)( 4) 0x x   ， 于是，得 2 0x   或 4 0x   ，∴ 1 2x  ， 2 4x  . 4、解方程: 2 4 3 0x x   ，得 ( 3)( 1) 0x x   ，∴ 1 3x  ， 2 1x  . ∵三角形两边长分别为 2 和 4，∴第三边只能是 3.∴三角形周长为 9. ◆课下作业 ●拓展提高 1、（x+12）（x+8）；x1=-12，x2=-8. 2、A ①中方程当 k=0 时不是一元二次方程；②中 x=1 比方程 x2=1 少一个解 x=-1；③中 方程 x2=x 比方程 x=1 多一个解 x=0；④中由（x+1）（x-1）=3 不能必然地得到 x+1=3 或 x-1=3. 因此没有正确的命题，故选 A. 3、解：设 x y z  ，则方程可化为 ( 2) 8 0z z    ,∴ 2 2 8 0z z   , ∴ ( 4)( 2) 0z z   ,∴ 1 4z   ， 2 2z  .∴ x y 的值是 4 或 2. 4、解（1）∵ 2 3 4 ( 4)( 1)x x x x     ，∴ ( 4)( 1) 0x x   ， ∴ 4 0x   或 1 0x   ，∴ 1 4x  ， 2 1x   . （2）∵ 2 7 6 ( 6)( 1)x x x x     ，∴ ( 6)( 1) 0x x   ， ∴ 6 0x   或 1 0x   ，∴ 1 6x  ， 2 1x  . （3）∵ 2 4 5 ( 5)( 1)x x x x     ，∴ ( 5)( 1) 0x x   ， ∴ 5 0x   或 1 0x   ，∴ 1 5x   ， 2 1x  . 5、解：原式= 2 2 2 2 2a b a b b ab a      ∵ 2 29 4 0a b  ，∴ (3 2 )(3 2 ) 0a b a b   ， ∴ 3 2 0a b  或3 2 0a b  ，∴ 2 3a b  或 2 3a b ， ∴当 2 3a b  时，原式=- 2 2 3 b b =3；当 2 3a b 时，原式=-3． 6、解：把 1x  代入方程，得： a ＋b ＝40，又∵ a b ， ∴ 2 2 2 2 a b a b   ＝ ( )( ) 2( ) a b a b a b    ＝ 2 a b ＝20. ●体验中考 1、C 先移项，得 2 0x x  ，因式分解，得： ( 1) 0x x   ，∴ 1 0x  ， 2 1x  . 故选 C. 2、 0x  将方程因式分解，得 ( 4) 0x x   ，∴ 1 0x  ， 2 4x  .∴被他漏掉的根是 0x  . 22．3 实际问题与一元二次方程（第一课时） ◆随堂检测 1、一台电视机成本价为 a 元，销售价比成本价增加 25%，因库存积压，所以就按销售价的 70%出售，那么每台售价为（ ） A．（1+25%）（1+70%） a 元 B．70%（1+25%） a 元 C．（1+25%）（1-70%） a 元 D．（1+25%+70%） a 元 2、某商品原价 200 元，连续两次降价 a ％后售价为 148 元，下列所列方程正确的是（ ） A．200 2(1 %)a =148 B．200 2(1 %)a =148 C．200(1 2 %)a =148 D．200 2(1 %)a =148 3、某商场的标价比成本高 p %，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即 降低的百分数）不得超过 d %，则 d 可用 p 表示为（ ） A． 100 p p B．p C． 100 1000 p p D． 100 100 p p 4、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为 x ，第一年的产量为 m 千克，第二年的产量 为_______千克，第三年的产量为_______千克，三年总产量为_______千克． 5、据报道，我国农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，某地区 2006 年的利用率 只有 30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定该地区每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理 利用量的增长率相同，要使 2008 年的利用率提高到 60%，求每年的增长率.(取 2 ≈1.41) ◆典例分析 某商场于第一年初投入 50 万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年 年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营． （1）如果第一年的年获利率为 p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（用代数式来表 示）（注：年获利率= 年利润 年初投入资金 ×100%） （2）如果第二年的年获利率多 10 个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与 10%的和），第二年年终的总资金为 66 万元，求第一年的年获利率． 分析:列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审题，（2）设设出未知数，（3） 找等量关系列出方程，（4）用适当方法解方程，（5）检验方程的解是否符合题意，将不符合 题意的解舍去，（6）答题.要注意各个环节的准确性. 解:（1）∵年获利率= 年利润 年初投入资金 ×100%, ∴第一年年终的总资金是 (50 50 )p 万元，即50(1 )p 万元. （2）则依题意得：50(1 )(1 10%) 66p p    把（1+ p ）看成一个整体，整理得： 2(1 ) 0.1(1 ) 1.32 0p p     ， 解得:1 1.2p  或1 1.1p   ， ∴ 1 20.2, 2.1p p   (不合题意舍去). ∴ p =0.2=20%. ∴第一年的年获利率是 20%. ◆课下作业 ●拓展提高 1、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共有（ ）人. A．12 B．10 C．9 D．8 2、县化肥厂第一季度增产 a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产 %x ，则第三季度化肥增 产的吨数为（ ） A． 2)1( xa  B． 2%)1( xa  C． 2%)1( x D． 2%)(xaa  3、某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共 生产化工原料 60 万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为 x ，则可列出方程为 ________________________． 4、甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利 10%，乙而后又 将这手股票返卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出， 在上述股票交易中，甲盈了_________元． 5、某公司一月份营业额为 10 万元，第一季度总营业额为 33.1 万元，求该公司二、三月份 营业额平均增长率是多少？ （分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x ，那么二月份的营业额就应该是 10(1 )x ，三月份的营业额应是 10 2(1 )x ．） 6、上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利润为 121 万元，乙商场七月份利润为 200 万元，九月份的利润为 288 万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大? ●体验中考 1、（2009 年，太原）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由 3200 元降 到 了 2500 元 . 设 平 均 每 月 降 价 的 百 分 率 为 x , 根 据 题 意 列 出 的 方 程 是 ________________________． （注意:要理解增长率或降低率问题中的数量关系.） 2、（2009 年，广东）某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会 有 81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若 病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台? 参考答案： ◆随堂检测 1、B． 2、B. 3、A． 由题意得： (1 %)(1 %) 1p d   ，解得 100 pd p   .故选 A. 4、第二年的产量为 (1 )m x 千克，第三年的产量为 2(1 )m x 千克，三年总产量为 2(1 ) (1 )m m x m x      千克． 5、解：设该地区每年产出的农作物秸杆总量为 a ，合理利用量的增长率是 x . 由题意得：30% a 2(1 )x =60% a ，即 2(1 )x =2, ∴ 1x ≈0.41， 2x ≈－2.41(不合题意舍去). ∴ x ≈0.41. 答:该地区每年秸秆合理利用量的增长率约为 41%. ◆课下作业 ●拓展提高 1、C 设这个小组共有 x 个人.由题意得： ( 1) 72x x   ,解得 1 29, 8x x   (不合题意, 舍去).故选 C. 2、B. 3、 215(1 ) 60x  . 4、199 甲第一次将这手股票转卖给乙，获利 10%为 100 元；乙而后又将这手股票返卖给 甲时乙损失了 10%，返卖的价格为 1100（1-10%）=990；最后甲按 9900.9 的价格将这手股 票卖出，甲又盈了 9900.1=99(元).故在上述股票交易中，甲共盈了 199 元． 5、解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x ． 则依题意得： 210 10(1 ) 10(1 )x x     33.1 把（1+ x ）看成一个整体，配方得： 21(1 )2x  =2.56，即 23( )2x  =2．56, ∴ x + 3 2 =±1.6，即 x + 3 2 =1.6 或 x + 3 2 =-1.6. ∴ 1x =0.1=10%， 2x =-3.1 ∵因为增长率为正数，∴取 x =10%. 答:该公司二、三月份营业额平均增长率为 10%． 6、解：设甲商场的月平均上升率为 x .乙商场的月平均上升率为 y . 则依题意得： 2100(1 ) 121x  解得: 1 20.1, 2.1x x   (不合题意舍去). ∴ x =0.1=10%. 设乙商场的月平均上升率为 y . 则依题意得： 2200(1 ) 288y  解得: 1 20.2, 2.2y y   (不合题意舍去). ∴ y =0.2=20%. ∵0.1 0.2，∴乙商场的月平均上升率较大. 答:乙商场的月平均上升率较大. ●体验中考 1、 23200(1 ) 2500x  . 2、解:设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑． 则依题意得： (1 ) (1 ) 81x x x    整理,得： 2( 1) 81x   解得: 1 28, 10x x   (不合题意舍去). ∴ x =8. 3 轮感染后,被感染的电脑有81 81 8 729 700    . 答:每轮感染中平均一台电脑会感染 8 台电脑；若病毒得不到有效控制,3 轮感染后,被感染 的电脑会超过 700 台. 22．3 实际问题与一元二次方程（第三课时） ◆随堂检测 1、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为（ ） A．25 B．36 C．25 或 36 D．-25 或-36 2、一个多边形有 9 条对角线，则这个多边形有多少条边（ ） A、6 B、7 C、8 D、9 3、为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007 年用于绿化投资 20 万元，2009 年用于绿 化投资 25 万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为 x ，根据题意所列方程为（ ） A． 220 25x  B． 20(1 ) 25x  C． 220(1 ) 25x  D． 220(1 ) 20(1 ) 25x x    4、某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 s（m）和时间t（s）之间的关系为：s= 210 3t t ， 那么行驶 200m 需要多长时间? (分析：这是一个加速运动，根据已知的路程求时间.因此，只要把 s=200代入求关于t 的 一元二次方程即可．) ◆典例分析 一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 25m 后 停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 分析:本题涉及到物理学中的运动知识,具体分析如下: （1）刚刹车时时速还是 20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为 0．因为刹车以后，其速度 的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为 20 0 2  =10m/s， 那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．（2）刚要刹车时车速为 20m/s，停车 车速为 0，车速减少值为 20-0=20，因为车速减少值 20，是在从刹车到停车所用的时间内完 成的，所以 20 除以从刹车到停车的时间即可．（3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs． 由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到 15 米的车速，从而可求出刹车 到滑行到 15m 的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出 x 的值． 解:（1）从刹车到停车所用的路程是 25m； 从刹车到停车的平均车速是 20 0 2  =10（m/s）. 那么从刹车到停车所用的时间是 25 10 =2.5（s）. （2）从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20. 从刹车到停车每秒平均车速减少值是 20 2.5 =8（m/s）. （3）设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 x s，这时车速为（20-8 x ）m/s. 则这段路程内的平均车速为 20 (20 8 ) 2 x  =（20-4 x ）m/s. ∴ x （20-4 x ）=15,整理得： 24 20 15 0x x   , 解方程：得 x = 5 10 2  ,∴ 1x ≈4.08（不合题意，舍去）， 2x ≈0.9（s）. ∴刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 0.9s. ◆课下作业 ●拓展提高 1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的 人均约为 210m 提高到 212.1m ，若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ） A．9% B．10% C．11% D．12% 2、如图，在△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度移动， 点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 AB=6cm，BC=12cm，P、Q 都从 B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于 8cm2？ 3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增 加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 一元，商场平均每天可多售出 2 件． （1）若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 4、有一批图形计算器，原售价为每台 800 元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法 PA B Q C 促销：买一台单价为 780 元，买两台每台都为 760 元．依此类推，即每多买一台则所买各台 单价均再减 20 元，但最低不能低于每台 440 元；乙公司一律按原售价的 75%促销．某单位 需购买一批图形计算器： （1）若此单位需购买 6 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？ （2）若此单位恰好花费 7500 元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪 家公司购买的，数量是多少？ ●体验中考 1、(2009 年，甘肃定西)在实数范围内定义运算“  ”，其法则为： 2 2a b a b   ，求方 程（4  3）  24x  的解． （点拨：本题是新定义运算，将一元二次方程的求解问题应用到了新定义运算的领域，具有 一定的综合性.） 2、(2009 年，湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统 计，某小区 2006 年底拥有家庭轿车 64 辆，2008 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆. （1）若该小区 2006 年底到 2009 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到 2009 年底家庭轿车将达到多少辆？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用 分别为室内车位 5000 元/个，露天车位 1000 元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量 不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？ 试写出所有可能的方案. (提示:本题综合了二元一次方程及不等式的有关知识解决问题.) 参考答案： ◆随堂检测 1、C． 设这个两位数的十位数字为 x ，则个位数字为 3x  . 依题意得： 210 3 ( 3)x x x    解得: 1 22, 3x x  .∴这个两位数为 25 或 36.故选 C. 2、A． 设这个多边形有 n 条边. 依题意,得： ( 3) 92 n n   , 解得: 1 26, 3n n   (不合题意,舍去).∴这个多边形有 6 条边.故选 A. 3、C. 4、解：当 s=200 时， 210 3 200t t  ， 整理，得 23 10 200 0t t   ，解得: 1 2 20 , 103t t   (不合题意,舍去). ∴t = 20 3 （s） 答：行驶 200m 需 20 3 s． ◆课下作业 ●拓展提高 1、B. 设年增长率 x ，可列方程  210 1 12.1x  ，解得 1 0.1 10%x   ， 2 2.1x   （不合 题意，舍去），所以年增长率 10%，故选 B. 2、解：设 x 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 这时 PB= x ，BQ=2 x 依题意，得： 1 2 82 x x  ， 解得 2 2x   ，即 1 22 2, 2 2x x   ， ∵移动时间不能是负值，∴ 2 2 2x   不合题意，舍去．∴ 2 2x  . 答：2 2 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2． 3、解：（1）设每件衬衫应降价 x 元. 则依题意，得：（40- x ）（20+2 x ）=1200， 整理，得 2 30 200 0x x   ，解得: 1 210, 20x x  . ∴若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价 10 元或 20 元． （2）设每件衬衫降价 x 元时，商场平均每天赢利最多为 y， 则 y=（40- x ）（20+2 x ）= 2 22 60 800 2( 30 ) 800x x x x       22( 15) 1250x    ∵ 22( 15) 0x   ，∴ x =15 时，赢利最多，此时 y=1250 元． ∴每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天赢利最多. 4、解：（1）在甲公司购买 6 台图形计算器需要用 6 (800 20 6) 4 080    （元）；在乙公 司购买需要用 75% 800 6 3 600   （元） 4 080 （元）．应去乙公司购买.（2）设该单 位买 x 台，若在甲公司购买则需要花费 (800 20 )x x 元；若在乙公司购买则需要花费 75% 800 600x x  元. ①若该单位是在甲公司花费 7500 元购买的图形计算器， 则有 (800 20 )x x 7 500 ，解之得 15 25x x ， ． 当 15x  时，每台单价为800 20 15 500 440    ，符合题意. 当 25x  时，每台单价为800 20 25 300 440    ，不符合题意，舍去． ②若该单位是在乙公司花费 7500 元购买的图形计算器，则有 600 7 500x  ，解之得 12.5x  ，不符合题意，舍去． 故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了 15 台． ●体验中考 1、解：∵ 2 2a b a b   ， ∴ 2 2 2 2(4 3) (4 3 ) 7 7x x x x         ． ∴ 2 27 24x  ．∴ 2 25x  ．∴ 5x   ． 2、解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 x . 则依题意得：  264 1 100x  ， 解得： 1 1 254x   %， 2 9 4x   （不合题意，舍去）. ∴  100 1 25% 125  . 答：该小区到 2009 年底家庭轿车将达到 125 辆． (2)设该小区可建室内车位 a 个，露天车位b 个. 则： 0.5 0.1 15 2 2.5 a b a b a     ① ≤ ≤ ② 由①得：b =150-5 a 代入②得： 20 a  150 7 ， a 是正整数，∴ a =20 或 21. 当 20a  时 50b  ，当 21a  时 45b  . ∴方案一：建室内车位 20 个，露天车位 50 个；方案二：室内车位 21 个，露天车位 45 个. 22．3 实际问题与一元二次方程（第二课时） ◆随堂检测 1、长方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm2，则它的周长为________． 2、有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长是第一块宽的 3 倍，宽比第一块的长少 2 米，已知第二块木板的面积比第一块大 108 2米 ，这两块木板的长和宽分别是（ ） A、第一块木板长 18 米，宽 9 米，第二块木板长 27 米，宽 16 米 B、第一块木板长 12 米，宽 6 米，第二块木板长 18 米，宽 10 米 C、第一块木板长 9 米，宽 4.5m，第二块木板长 13.5m，宽 7 米 D、以上都不对 3、从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2，求原来的正方形铁片的 面积是多少？ 4、如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s，几秒后△PCQ的面积为 Rt△ACB 面积 的一半． （点拨：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．） ◆典例分析 如图①，要设计一幅宽 20cm，长 30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的 宽度比为 2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每 个彩条的宽度？ 20cm 20cm 30cm D C A B 图②图① 30cm BC A Q P 分析:由横、竖彩条的宽度比为 2∶3，可设每个横彩条的宽为 2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为 更好地寻找题目中的等量关系，通过平移可将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图② 的情况，得到矩形 ABCD ． 解:设每个横彩条的宽为 2x ，则每个竖彩条的宽为 3x ． ∴ 20 6AB x  ， 30 4AD x  ， ∴矩形 ABCD 的面积为 2(20 6 )(30 4 ) 24 260 600x x x x     （cm 2 ）. 根据题意，得 2 124 260 600 1 20 303x x          . 整理，得 26 65 50 0x x   . 解方程，得 1 2 5 106x x ， , ∵ 2 10x  不合题意，舍去.∴ 5 6x  . 则 5 52 33 2x x ， ． 答：每个横、竖彩条的宽度分别为 5 3 cm， 5 2 cm. ◆课下作业 ●拓展提高 1、矩形的周长为 8 2 ，面积为 1，则矩形的长和宽分别为________． 2、如图，在 ABCD 中， AE BC 于 E，AE EB EC a   ，且 a 是一元二次方程 2 2 3 0x x   的根，则 ABCD 的周长为（ ） A、 4 2 2 B、12 6 2 C、 2 2 2 D、 2 2 12 6 2 或 A D CEB 3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m），另三边用木栏围成， 木栏长 40m． （1）鸡场的面积能达到 180m2 吗？能达到 200m2 吗？ （2）鸡场的面积能达到 210m2 吗？ 4、某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2，上口宽比渠深 多 2m，渠底比渠深多 0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ (分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 x m.) 5、如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方 向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头：小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一般补给船同时 从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么 相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到 0.1 海里） B A C E D www.czsx.com.cn F (分析：（1）因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形，△DFC 也是等腰直角三角形，AC 可 求，CD 就可求，因此由勾股定理便可求 DF 的长． （2）要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度，DF 已求，因此，只要在 Rt△DEF 中，由勾 股定理即可求．) ●体验中考 1、（2009 年，青海）在一幅长为 80cm，宽为 50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金 色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边 的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ） A、 2 130 1400 0x x   B、 2 65 350 0x x   C、 2 130 1400 0x x   D、 2 65 350 0x x   2、（2009 年，甘肃庆阳）如图，在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上 修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要 551 米 2， 则修建的路宽应为（ ） A、1 米 B、1.5 米 C、2 米 D、2.5 米 3、（2008 年，庆阳）张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁 皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15 立方 米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多 2 米，现已知购买这种铁皮每平方米 需 20 元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？ 参考答案： ◆随堂检测 1、32cm. 设长方形铁片的宽是 x cm，则长是 ( 4)x  cm． 根据题意，得： ( 4) 60x x   ， 解得， 1 26, 10x x   . ∵ 2 10x   不合题意，舍去．∴ 6x  .∴长方形铁片的长是 10cm，宽是 6cm，则它的周长 为 32cm. 2、B. 设第一块木板的宽是 x 米，则长是 2x 米，第二块木板的长是3x 米，宽是 2x （2 ） 米． 根据题意，得：3 (2 2) 2 108x x x x    整理，得： 22 3 54 0x x   ， 因式分解得， ( 6)(2 9) 0x x   ， 解得， 1 2 96, 2x x   . ∵ 2 9 2x   不合题意，舍去．∴ 6x  . ∴第一块木板的宽是 6 米，则长是 12 米，第二块木板的长是 18 米，宽是 10 米．故选 B. 3、解：原来的正方形铁片的边长是 x cm，则面积是 2x cm2． 根据题意，得： ( 2) 48x x   ， 整理，得： 2 2 48 0x x   ， 因式分解得， ( 8)( 6) 0x x   ， 解得， 1 28, 6x x   . ∵ 2 6x   不合题意，舍去．∴ 8x  .∴ 2 64x  . 答：原来的正方形铁片的面积是 64cm2． 4、解：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半． 根据题意，得： 1 2 （8- x ）（6- x ）= 1 2 × 1 2 ×8×6 整理，得： 2 14 24 0x x   ， 配方得， 2( 7) 25x   ， 解得， 1 212, 2x x  . ∵ 1 12x  不合题意，舍去．∴ 2x  . 答：2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半． ◆课下作业 ●拓展提高 1、 2 2 7 , 2 2 7 . 设矩形的长 x ，则宽为 4 2 x ． 根据题意，得 (4 2 ) 1x x  . 整理，得 2 4 2 1 0x x   . 用公式法解方程，得 1 22 2 2 2 7x x  + 7， , 当长为 1 2 2x  + 7 时,则宽为 2 2 7 . 当长为 2 2 2 7x   时,则宽为 1 2 2x  + 7 ,不合题意，舍去. ∴矩形的长和宽分别为 2 2 7 和 2 2 7 . 2、A. ∵ a 是一元二次方程 2 2 3 0x x   的根，∴ 1a  ，∴AE=EB=EC=1，∴AB= 2 ， BC=2.∴ ABCD 的周长为 4 2 2 ，故选 A。 3、解：（1）都能达到． 设宽为 x m，则长为（40-2 x ）m， 依题意，得： x （40-2 x ）=180 整理，得： x 2-20 x +90=0， x 1=10+ 10 ， x 2=10- 10 ； 同理 x （40-2 x ）=200， x 1= x 2=10． （2）不能达到 210m2．∵依题意， x （40-2 x ）=210，整理得， x 2-20 x +105=0， b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到． 4、解：（1）设渠深为 x m，则上口宽为( x +2)m，渠底为( x +0.4)m. 根据梯形的面积公式可得: 1 2 （ x +2+ x +0.4） x =1.6, 整理，得：5 x 2+6 x -8=0, 解得： x 1= 4 5 =0.8， x 2=-2（舍） ∴上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m． （2）如果计划每天挖土 48m3，需要1.6 750 48  =25(天)才能把这条渠道挖完. 答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道． 5、解：（1）连结 DF，则 DF⊥BC. ∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里． ∴AC= 2 AB=200 2 海里，∠C=45°. ∴CD= 1 2 AC=100 2 海里. DF=CF， 2 DF=CD. ∴DF=CF= 2 2 CD= 2 2 ×100 2 =100（海里）. ∴小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里． （2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE= x 海里，AB+BE=2 x 海里. EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2 x ）海里. 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x 2=1002+（300-2 x ）2 整理，得 3 x 2-1200 x +100000=0. 解这个方程，得： x 1=200-100 6 3 , x 2=200+100 6 3 . ∵ x 2=200+100 6 3 不合题意，舍去. ∴ x =200-100 6 3 ≈118.4. ∴相遇时补给船大约航行了 118.4 海里． ●体验中考 1、B. 依题意, x 满足的方程是 (50 2 )(80 2 ) 5400x x   , 整理得 2 65 350 0x x   .故选 B. 2、A. 设修建的路宽应为 x 米． 根据题意，得： (30 )(20 ) 551x x   ， 整理，得： 2 50 49 0x x   ， 因式分解得， ( 1)( 49) 0x x   ， 解得， 1 21, 49x x  . ∵ 2 49x  不合题意，舍去．∴ 1x  . ∴则修建的路宽应为 1 米.故选 A. 3、解：设此长方体箱子的底面宽是 x 米，则长是 ( 2)x  米． 根据题意，得： ( 2) 15x x   ， 整理，得： 2 2 15 0x x   ， 因式分解得， ( 3)( 5) 0x x   ， 解得， 1 23, 5x x   . ∵ 2 5x   不合题意，舍去．∴ 3x  . ∴此矩形铁皮的面积是 ( 2)( 2 2) 5 7 35x x      （平方米），∴购回这张矩形铁皮共 化了35 20 700  （元）. 答：张大叔购回这张矩形铁皮共化了 700 元. 22.1 二次函数的图象与性质 一、填空题: 1.已知函数 y=(k+2) 2 4k kx   是关于 x 的二次函数,则 k=________. 2.已知正方形的周长是 acm,面积为 Scm2,则 S 与 a 之间的函数关系式为_____. 3.填表: c 2 6 21 16s c 1 4 4.在边长为 4m 的正方形中间挖去一个长为 xm 的小正方 形, 剩下的四方框形的面积为 y, 则 y 与 x 间的函数关系式为_________ 5.用一根长为 8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为 xm,则该窗户的面积 y(m2)与 x(m)之 间的函数关系 式为________. 二、选择题: 6.下列结论正确的是( ) A.二次函数中两个变量的值是非零实数; B.二次函数中变量 x 的值是所有实数; C.形如 y= ax2 +bx+c 的函数叫二次函数;D.二次函数 y=ax2+bx+c 中 a,b,c 的值均不能为零 7.下列函数中,不是二次函数的是( ) A.y=1- 2 x 2 B.y=2(x-1)2+4; C.y= 1 2 (x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x2 8.在半径为 4cm 的圆中, 挖去一个半径为 xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为 ycm2,则 y 与 x 的函数关系式为( ) A.y= x2-4 B.y= (2-x)2; C.y=-(x2+4) D.y=- x2+16 9.若 y=(2-m) 2 2mx  是二次函数,则 m 等于( ) A.±2 B.2 C.-2 D.不能确定 三、解答题 10.分别说出下列函数的名称： (1)y=2x-1 (2)y=-3x2, (3)y= x 2 (4)y=3x-x 2 (5)y=x 11、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)d= 2 1 n2- 2 3 n , (2)y=1-x2, (3)y=-x(x-3) 12、 二次函数 y=ax2+c 中，当 x=3 时，y=26 ;当 x=2 时，y=11 ;则当 x=5 时， y= ＿＿ . 13、已知一个直角三角形的两条直角边的和为 10cm。 （1）求这个直角三角形的面积 S 与其中一条直角边长 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围； （2）求当 x=5cm 时直角三角形的面积。 14、函数 y=ax2+bx+c (a、b、c 是常数)，问当 a、b、c 满足什么条件时， （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？ 15、若   mmxmmy  22 是二次函数，求 m 的值。 16、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离 s（米） 与时间 t（秒）的数据如下表： 时间 t（秒） 1 2 3 4 … 距离 s（米） 2 8 18 32 … 写出用 t 表示 s 的函数关 系式。 17、已知 y 与 x2 成正比例,并且当 x=1 时,y=2,求函数 y 与 x 的函数关系式,并求当 x=-3 时,y 的 值.当 y=8 时,求 x 的值. 18、富根老伯想利用一边长为 a 米的旧墙及可以围成 24 米长的旧木料，建造猪舍三间，如 图，它们的平面图是一排大小相等的长方形。 如果设猪舍的宽 AB 为 x 米，则猪舍的总面积 S（米 2）与 x 有怎样的函数关系？ 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总 面积为 32 米 2，应该如何安排猪舍的长 BC 和 宽 AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？ 答案：一、填空 1.2 或-3 2.S= 1 16 a2 3. 1 1, 4,2 , 84 4   4.y=16-x2 5.y=-x2+4x 二、选择 6.B 7.D 8.D 9.C 三、解答题 10⑴一次函数；⑵二次函数；⑶反比例函数；⑷二次函数；⑸正比例函数 11、⑴ 2 1 ，- 2 3 ⑵-1，1 ⑶-1，3 12、74 13、⑴S= 2 1 x(10-x),0＜x＜10；⑵S= 2 25 cm2 14、 ⑴当 a≠0 时；⑵当 a=0 且 b≠0 时；⑶当 a=0，c=0，b≠0 时。 15、m=2 16、s=2x2 17、y=2x2;y=18; x=±2 18、⑴s=-4x2+24x ⑵当 AB=2 时 BC=16；当 AB=4 时 BC=8 22.1 二次函数的图象和性质 1．抛物线 y=－3x2 上两点 A（x，－27），B（2，y），则 x= ，y= ． 2．抛物线 y=－4x2－4 的开口向 ，当 x= 时，y 有最 值，y= ． 3．当 m= 时，y=（m－1）x mm 2 －3m 是关于 x 的二次函数． 4．当 m= 时，抛物线 y=（m＋1）x mm 2 ＋9 开口向下，对称轴是 ．[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 ． 5．抛物线 y=3x2 与直线 y=kx＋3 的交点为（2，b），则 k= ，b= ． 6．已知抛物线的顶 点在原点，对称轴为 y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式 为 ． 7．在同一坐标系中，图象与 y=2x2 的图象关于 x 轴对称的是（ ） A．y= 2 1 x2 B．y=－ 2 1 x2 C．y=－2x2 D．y=－x2 8．抛物线，y=4 x2，y=－2x2 的图象，开口最大的是（ ） A．y= 4 1 x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定 9．对于抛物线 y= 3 1 x2 和 y=－ 3 1 x2 在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）[来源:学*科*网] A．两条抛物线关于 x 轴对称 B．两条抛物线关于原点对称 C．两条抛物线关于 y 轴对称 D．两条抛物线的交点为原点 10．二次函数 y=ax2 与一次函数 y=ax＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ） 11．已知函数 y=ax2 的图象与直线 y=－x＋4 在第一象限内的交点和它与直线 y=x 在第一 象限内的交点相同，则 a 的值为（ ）A．4 B．2 C． 2 1 D． 4 1 [来源:学科网 ZXXK] 12．求符合下列条件的抛物线 y=ax2 的表达式：[来源:学科网 ZXXK] （1）y=ax2 经过（1，2）； （2）y=ax2 与 y= 2 1 x2 的开口大小相等，开口方向相反；[来源:Z#xx#k.Com] （3）y=ax2 与直线 y= 2 1 x＋3 交于点（2，m）． 13 已知 42 )2(  kkxky 是二次函数，且当 0x  时，y 随 x 的增大而增大． （1）求 k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴． 14、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线 21 4y x  (1) 作出这条抛物线； (2) 利用图象，当水面与抛物线 顶点的距离为 4m 时，求水面的宽； (3）当水面宽为 6m 时，水面与抛物线顶点的距离是多少？ 15．如图，直线ι经过 A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数 y=x2＋1 的图象，在第一 象限内相交于点 C．求：（1）△AOC 的面积； （2）二次函数图象顶点与点 A、B 组成的三角形的面积． 16、某汽车销售公司 6 月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆 汽车的进价与销售 量有如下关系，若当月仅售出 1 辆汽车，则该汽车的近价为 27 万元；每多售出 1 辆，所有 售出的汽车的进价均降低 0.1 万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售 量在 10 辆以内（含 10 辆），每辆返利 0.5 万元，销售量在 10 辆以上，每辆返利 1 万. （1）若该公司当月售出 3 辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？ （2）如果汽车的售价为 28 万元/辆，该公司计划当月盈利 12 万元，那么需要售出多少辆汽 车？（盈利=销售利润+返利） 17、已知关于 x 的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0． （1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若 x1，x2 是原方程的两根，且 1 2 2 2x x  ，求 m 的值，并求出此时方程的两根． 1．抛物线 y=－3x2 上两点 A（x，－27），B（2，y），则 x= ，y= ． 2．抛物线 y=－4x2－4 的开口向 ，当 x= 时，y 有最 值，y= ． 3．当 m= 时，y=（m－1）x mm 2 －3m 是关于 x 的二次函数． 4．当 m= 时，抛物线 y=（m＋1）x mm 2 ＋9 开口向下，对称轴是 ．[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 ． 5．抛物线 y=3x2 与直线 y=kx＋3 的交点为（2，b），则 k= ，b= ． 6．已知抛物线的顶 点在原点，对称轴为 y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式 为 ． 7．在同一坐标系中，图象与 y=2x2 的图象关于 x 轴对称的是（ ） A．y= 2 1 x2 B．y=－ 2 1 x2 C．y=－2x2 D．y=－x2 8．抛物线，y=4 x2，y=－2x2 的图象，开口最大的是（ ） A．y= 4 1 x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定 9．对于抛物线 y= 3 1 x2 和 y=－ 3 1 x2 在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）[来源:学*科*网] A．两条抛物线关于 x 轴对称 B．两条抛物线关于原点对称 C．两条抛物线关于 y 轴对称 D．两条抛物线的交点为原点 10．二次函数 y=ax2 与一次函数 y=ax＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ） 11．已知函数 y=ax2 的图象与直线 y=－x＋4 在第一象限内的交点和它与直线 y=x 在第一 象限内的交点相同，则 a 的值为（ ）A．4 B．2 C． 2 1 D． 4 1 [来源:学科网 ZXXK] 12．求符合下列条件的抛物线 y=ax2 的表达式：[来源:学科网 ZXXK] （1）y=ax2 经过（1，2）； （2）y=ax2 与 y= 2 1 x2 的开口大小相等，开口方向相反；[来源:Z#xx#k.Com] （3）y=ax2 与直线 y= 2 1 x＋3 交于点（2，m）． 13 已知 42 )2(  kkxky 是二次函数，且当 0x  时，y 随 x 的增大而增大． （1）求 k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴． 14、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线 21 4y x  (1) 作出这条抛物线； (2) 利用图象，当水面与抛物线 顶点的距离为 4m 时，求水面的宽； (3）当水面宽为 6m 时，水面与抛物线顶点的距离是多少？ 15．如图，直线ι经过 A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数 y=x2＋1 的图象，在第一 象限内相交于点 C．求：（1）△AOC 的面积； （2）二次函数图象顶点与点 A、B 组成的三角形的面积． 16、某汽车销售公司 6 月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆 汽车的进价与销售 量有如下关系，若当月仅售出 1 辆汽车，则该汽车的近价为 27 万元；每多售出 1 辆，所有 售出的汽车的进价均降低 0.1 万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售 量在 10 辆以内（含 10 辆），每辆返利 0.5 万元，销售量在 10 辆以上，每辆返利 1 万. （1）若该公司当月售出 3 辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？ （2）如果汽车的售价为 28 万元/辆，该公司计划当月盈利 12 万元，那么需要售出多少辆汽 车？（盈利=销售利润+返利） 17、已知关于 x 的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0． （1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若 x1，x2 是原方程的两根，且 1 2 2 2x x  ，求 m 的值，并求出此时方程的两根． 22.1.1 二次函数 1、分别说出下列函数的名称： (1) y= 2 1 x-1, (2)y=-3x2, (3)y= x 2 (4)y=3x-x 2 (5)y=x 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)d= 2 1 n2- 2 3 n , (2)y=1-x2, (3)y=-x(x-3) 3、 二次函数 y=ax2+c 中，当 x=3 时，y=26 ;当 x=2 时，y=11 ;则当 x=5 时， y= . 4、已知一个直角三角形的两条直角边的和为 10cm。 （1）求这个直角三角形的面积 S 与其中一条直角边长 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围； （2）求当 x=5cm 时直角三角形的面积。 5、函数 y=ax2+bx+c (a、b、c 是常数)，问当 a、b、c 满足什么条件时， （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？ 6、若   mmxmmy  22 是二次函数，求 m 的值。 7、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离 s（米） 与时间 t（秒）的数据如下表： 时间 t（秒） 1 2 3 4 … 距离 s（米） 2 8 18 32 … 写出用 t 表示 s 的函数关 系式。 8、 富根老伯想利用一边长为 a 米的旧墙及可以围成 24 米长的旧木料 ，建造猪舍三间，如 图，它们的平面图是一排大小相等的长方形。 （1） 如果设猪舍的宽 AB 为 x 米，则猪舍的总面积 S（米 2）与 x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总 面积为 32 米 2，应该如何安排猪舍的长 BC 和宽 AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？ 答案： 1、 ⑴一次函数；⑵二次函数；⑶反比例函数；⑷二次函数；⑸正比例函数 2、 ⑴ 2 1 ，- 2 3 ⑵-1，1 ⑶-1，3 3、 74 4、 ⑴S= 2 1 x(10-x),0＜x＜10；⑵S= 2 25 cm2 5、 ⑴当 a≠0 时；⑵当 a=0 且 b≠0 时；⑶当 a=0，c=0，b≠0 时。 6、 m=2 7、 s=2x2 8、 ⑴s=-4x2+24x ⑵当 AB=2 时 BC=16；当 AB=4 时 BC=8 22.1.1 二次函数 ◆基础练习 1. 下列函数中,不是二次函数的是( ) A、 21 2y x  B 、 22( 1) 4y x   C、 1 ( 1)( 4)2y x x   D、 2 2( 2) 1y x x    2．在半径为 4 的圆中，挖去一个边长为 xcm 的正方形，剩下部分面积为 2ycm ，则关于 y 与 x 之间函数关系式为（ ） A、 2 4y x  B、 216y x  C、 216y x  D、 2 4y x   3.在二次函数 2 1y x   中,二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ． 4.边长为 2 的正方形，如果边长增加 x ，则面积 S 与 x 之间的函数关系是 . 5 .已知 2 2 1( 3) 2a ay a x     是二次函数,则 a = ． ◆能力拓展 6．某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多 0.5 m.如果 长方体的长和宽用 x(m)表示, 油 漆每平方米所需 费用是 5 元,油漆每个长方体所 需费用 为 y 元.求 y 与 x 之间函数关系式. 7.如图,矩形 ABCD 中,AB=10cm,BC=5cm,点 M 以 1cm／s 的速度从点 B 向点 C 运 动,同时,点 N 以2cm／s的速度从点C向点D运动.设运动开始第t秒钟时,五边形ABMND的面积为 2Scm , 求出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量 t 的取值范围. [来源: 学科 网] [来源:Z+xx+k.Com] ◆创新学习 8．已知函数 2y ax bx c   是二次函数，函数 y ax b  是一次函数且其图象不经过第一 象限．请你给出符合上述条件的 a 、b 的值． [来源:学科网 ZXXK] [来源:学科网] [来源:学科网] [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 参考答案 1．D 2．B 3． 0 4． 2 4 4S x x   5． 1a   6． 230 10y x x  7．由题意得 BM= t ，CN＝2 t ， 所以 MC＝5 t ，得 MCNABCDS S S 矩形 110 5 5 ) 22 t t     （ ， 即 2 5 50S t t ＝ ，自变量的取值范围是 0＜t ＜5． [来源:学科网 ZXXK ] 8．当 1, 1a b    时， 2y x x c    是二次函数， 1y x   的图形不经过第一象限（答案不唯一）． 22.1.2 二次函数 y=ax2 的图象和性质 1．在同一直角坐标系中作出函数 y＝x2，y＝2x2 和 y＝3x2 的图象， 然后根据图象填 空： 抛物线 y＝x2 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________； 抛物线 y＝2x2 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________； 抛物线 y＝3x2 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________． 可以发现，抛物线 y＝x2，y＝2x2，y＝3x2 的开口大小由二次项系数决定，二次项系数 的绝对值越大，抛物线的开口越________． 2．在同一直角坐标系中作出函数 y＝－x2，y＝－2x2 和y＝－3x2 的图象，然后根据图 象填空： 抛物线 y＝－x2 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________； 抛物线 y＝－2x2 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________； 抛物线 y＝－3x2 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________． 可以发现，抛物线 y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3x2 的开口大小由二次项系数决定，二次 项系数的绝对值越大，抛物线的开口越________．[来源:Zxxk.Com] 3．(1)抛物线 y＝ax2 的开口方向和开口大小由________决定，当 a________0 时，抛 物线的开口向上；当 a_____ ___0 时，抛物线的开口向下； (2)抛物线 y＝ax2 的顶点坐标是( )，当 a________0 时，它是抛物线的最低点，即 当 x＝________时，函数取得最小值为________；当 a________0 时，它是抛物线的最高点， 即当 x＝________时，函数取得最大值为________； (3)抛物线 y＝ax2 的对称轴是________． 4．在同一直角坐标系中作出函数 y＝－x2，y＝－x2＋2，y＝－x2－3 的图象，然后根 据图象填空： [来源:Z#xx#k.Com] 抛物线 y＝－x2 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________； 抛物线 y＝－x2＋2 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________； 抛物线 y＝－x2－3 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________． 可以发现，抛物线 y＝－x2＋2，y＝－x2－3 与抛物线 y＝－x2 的形状、开口大小相 同，只是抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线 y＝－x 2 沿 y 轴向________平移________ 个单位即可得到抛物线 y＝－x2＋2；把抛物线 y＝－x2 沿 y 轴向________平移________个 单位即可得到抛物线 y＝－x2－3． 5．填空(如果需要可作草图)： (1)抛物线 y＝x2 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________； (2)抛物线 y=x2＋2 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________； (3)抛物线 y＝x2－3 的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________． 可以发现，抛物线 y＝x2＋2，y＝x2－3 与抛物线 y＝x2 的形状、开口大小相同，只是 抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线 y＝x2 沿 y 轴向________平移________个单位即可 得到抛物线 y＝x2＋2；把抛物线 y＝x2 沿 y 轴向________平移________个单位即可得到抛 物线 y＝x2－3． 答案： 1． (0，0) ，y 轴，上； (0，0) ，y 轴，上； (0，0) ，y 轴，上；小． 2． (0，0) ，y 轴，下； (0，0) ，y 轴，下； (0，0) ，y 轴，下；小．[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 3． (1) a，＞，＜； (2) (0，0) ，＞，0，0；＜，0，0； (3) y 轴． 4． (0，0) ，y 轴，下； (0，2) ，y 轴，下； (0，－3) ，y 轴，下； 上，2；下，3． 5． (1) (0，0) ，y 轴，上； (2) (0，2) ，y 轴，上； (3) (0，－3) ，y 轴，上；上，2；下，3．[来源:学科网] 思考·探索·交流 1．把抛物线 y＝x2 沿 y 轴向上平移 3 个单位能得到抛物线 y＝3x2 吗？把抛物线 y＝－ x2 沿 y 轴向下平移 3 个单位能得到抛物线 y＝－3x2 吗？ 答案： 1．不能，不能．[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 第 1 课时 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质 ◆基础练习 xxk.Com ] 1．抛物线 2 2 22 , 2 , 2 1y x y x y x     共有的性质是（ ） A．开口向上 B．对称轴都是 y 轴 C．都有最高点 D．顶点都是原点 2．已知 a ＜ 1 ，点 1( 1, )a y 、 2( , )a y 、 3( 1, )a y 都在函数 2y x 的图象上，则（ ） A． 1y ＜ 2y ＜ 3y B． 1y ＜ 3y ＜ 2y C． 3y ＜ 2y ＜ 1y D． 2y ＜ 1y ＜ 3y 3．抛物线 21 12y x   的开口 ，对称轴是 ，顶点 坐标是 . 4.把抛物线 23y x 向下平移 3 个单位得到抛物线 . 5.将抛物线 2 1y x  的图象绕原点 O 旋转 180°，则旋转后的抛物线解析式是 ． ◆能力拓展[来源:Z&xx&k.Com] 6.已知正方形的对角线长 xcm,面积为 2ycm .请写出 y 与 x 之间的函数关系式,并画出其图象. 7. 如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位 AB 时,宽 20 m ,水位上升 3 m 就达到警 戒线 CD,这时水面宽度为 10 m . (1)在如图所示的坐标系中求抛物 线的解析式; (2)若洪水到来时,水位以每小时 0.2 m 的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到 达拱桥顶? [来源:学科 ◆创新学习 8. 如图，直线l 经过点 A（4，0）和点 B（0，4），且与二 次函数 2y ax 的图象在第一象限内相交于点 P，若△AOP 的面积为 9 2 ，求二次函 数的 解析式。 [来源:学§科§网 Z§X§X§K] [来源:学*科*网] 参考答案 1．B 2．C 3．向下 y 轴 （0，1） 4． 23 3y x  5． 2 1y x   6． 21 2y x 7．（1）设所求抛物线 的解析式为 2y ax ，设 D (5, )b ，则 B (10, 3)b  ， 所以 25 100 3 a b a b     解得 1 25 1 a b       故 21 25y x  （2）因为 1b   ，所以 1 50.2  小时，即再持续 5 小时到达拱桥顶。 8．因为直线l 与两坐标轴分别交于点 A（4，0），B（0，4）， 所以直线l 的函数表达式为 4y x   ，设点 P 的坐标为 ( , )m n ， 因为△AOP 的面积为 9 2 ，所以 1 942 2n   ，所以 9 4n  。 因为点 P 再直线l 上，所以 94 4m   ，得 7 4m  ， 所以 P 7 9( , )4 4 .因为点 P 在抛物线 2y ax 上， 所以 29 7( )4 4 a ，得 36 49a  ， 所以二次函数的解析式为 236 49y x ． 第 2 课时 二次函数 y=a（x-h）2 的图象和性质 ◆基础练习 1.抛物线 22( 3)y x  的顶点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C． x 轴上 D． y 轴上 2．二次函数 2y ax 与一次函数 y ax a  在同一坐标 系中的大致图象为（ ） [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 3．把抛物线 21 2y x  向左平移 2 个单位得到抛物线 ；若将它向下平移 2 个单 位,得到抛物线 . 4. 已知抛物线 2( 2)y x   ,当 x 时,y 随 x 的增大而增大;当 x 时,y 随 x 的增 大而减小. 5. 若点 P ( 1, )a 和 Q（1，b ）都在抛物线 2 1y x   上，则线段 PQ的长为 。 ◆能力拓展 6.已知抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别是 2 、2，且与 y 轴的交点的纵坐标是 3 ，求该 抛物线的解析式。 [来源:Z_xx_k [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 7．某年7 月某地区遭受严重的自然灾害，空军某部队奉命赴灾区空投物资，已知空投物资 离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线顶点为机舱舱口 A。如图所示。如果空投物资 离开 A 处后下落的垂直高度 AB=160 米，它到 A 处的水平距离 BC=200 米，那么要使飞机 在垂直高度 AO=1000 米的高度进行空投，物资恰好准确地落在居民点 P 处，飞机到 P 处 的水平距离 OP 应为多少米？ ◆创新学习 8．已知抛物线 2( 2)y x  的顶点为 C,直线 2 4y x  与抛物线交于 A、B 两点. 试求 ABCS . [来源:Z.xx.k.Com] [ 来源:Z*xx*k.Com] 参考答案 1．C 2．C 3． 21 ( 2)2y x   21 22y x   4． x ＜－2 x ＞－2 [来源: Z.xx.k.Com] 5． PQ＝2 6． 23 34y x  7．由题意得 A（0，1000），C（200，840）． 设抛物线的表达式为 2 1000y ax  ， 把C（200，840）代入，得 2840 200 1000a  ， 解得 1 250a   ， 所以 21 1000250y x   ． 当 0y  时， 21 1000 0250 x   ， 解得 1 2500, 500x x   （舍去）， 所以飞机应在距 P 处的水平距离 OP 应为 500 米的上空空投物资． 8．根据题意可知抛物线 2( 2)y x  的顶点 C 的坐标为(2,0), 由 ｛ 2 2 4 ( 2) y x y x     解得｛ 1 1 0 4 x y   ｛ 2 2 6 16 x y   . 所以 A(6,16) ,B(0,4). 画出草图. 过 A 作 AD ⊥x 轴,垂足为 D, 则 ABCS = S梯形ABOD - ACDS - BOCS = 1 2 (OB+AD)·OD - 1 2 OC ·OB - 1 2 CD·AD = 1 2 (4+16)×6 - 1 2 ×2×4 - 1 2 ×4×16 = 24.[来源:学科网] 第 3 课时 二次函数 y=a（x-h）2+k 的图象和性质 ◆基础练习 1. 抛物线 2( 8) 2y x    的顶点坐标是 （ ） A、（2，8） B、（8，2） C、（—8，2） D、（—8，—2） 2. 抛物线的顶点坐标为 P(1,3),且开口向下,则函数 y 随自变量 x 的增大而减小,那么 x 的取值 范围为( ) A. x＜3 B. x＜3 C.x＞1 D.x＜1 3.二次函数 22( 1) 3y x   的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位,所得到抛物线的 解析式为 。 4. 写出一个经过点（1，－1）的函数的表达式 。 5.已知抛物线 21 ( 4) 33y x   的部分图象如图所示,则图象再次与 x 轴相交时的坐标是 . ◆能力拓展 6.已知点 A(1, a )在抛物线 2y x 上. (1)求 A 点的坐标;[来源:学§科§网] (2)在 x 轴上是否存在点 P,使得△OAP 是等腰三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在, 说明理由.[来源:学科网 ZXXK] [来源:学科网 ZXXK][来源:学|科|网] 7. 某农场种植一种蔬菜，销售员张华根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进 行了预测，预测情况如图所示，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份的关 系。观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？ 答题 要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数解析式。 ◆创新学习 8．某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次,生产第一档次(即最低档次)的产品一天生 产 76 件,每件利润 10 元,每提高一个档次,利润每件增加 2 元. (1)当每件利润为 16 元时,此产品质量在第几档次? (2)由于生产工序不同,此产品每提高一个档次,一天产量减少 4 件.若生产第 x 档次产品 一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数,且 1≤ x ≤10),求出 y 关于 x 的函数关系式;若生产某 挡次产品一天的总利润为 1080 元,该工厂生产的是第几档次的产品? [来源:学,科,网 Z,X,X,K] 参考答案 1．B 2．C 3． 22y x 4． 2y x  等（答案不唯一） 5．（7，0） 6．(1)把 A(1, a )代入 2y x 得 1a  ∴A(1,1) (2)存 在.这样的点 P 有四个,即 1 2 3 4( 2,0), ( 2,0), (2,0), (1,0)P P P P 7．此题答案不唯一，以下答案仅供参考： （1）2 月份每千克销售价是3.5 元； （2）7 月份每千克销售价是 0.5 元； （3）1 月到 7 月的销售价逐月下降； （4）7 月到 12月的销售价逐月上升； （5）2 月与 7 月的销售差价是每千克 3 元； （6）7 月份销售价最低，1 月份销售价最高；等． 8．(1)当每件利润是 16 元时,此产品的质量档次是在第四档次. (2) 根据题意可得    10 2 1 76 4 1y x x           整理,得 28 128 640y x x    . 当利润是 1080 元时,即 28 128 640 1080x x    解得 1 25, 11x x  因为 11x  >10,不符合题意,舍去.因此取 5x  , 答: 当生产产品的质量档次是在第 5 档次时,一天的总利润为 1080 元． 22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第 1 课时 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 ◆基础扫描 1. 函数 2 2 3y x x   的图象顶点坐标是（ ） A. (1, 4) B. ( 1,2) C. (1,2) D. (0,3) 2. 已知二次函数 2y ax bx c   的图象如图 1 所示,则下列关于 a ，b ，c 间的关系判断正 确的是（ ） A． ab ＜0 B. bc ＜0 C. 0a b c   D. 0a b c   [来源:学科网 ZXXK] 图 1 图 2 图 3 3.二次函数 2 2 3y x x    ,当 x= 时,y 有最 值为 . 4. 如图 2 所示的抛物线是二次函数 2 23 1y ax x a    的图象，那么 a 的值是 ． 5. 已知二次函数 2y ax bx c   （ a b c， ， 是常数），x 与 y 的部分对应值如下表，则当 x 满足的条件是 时， 0y  ；当 x 满足的条件是 时， 0y  ． x 2 1 0 1[来源:Z。xx。k.Com] 2[来源:Zxxk.Com] 3 y 16 6 0 2 0 6 ◆能力拓展 6. 如图 3,二次函数图象过 A、C、B 三点，点 A 的坐标为（－1，0），点B 的坐标为（4，0）， 点 C 在 y 轴正半轴上，且 AB=OC. （1）求 C 的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。 7.某产品每件成本 10 元,试销阶段每件产品的销售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关 系如下表: X(元) 15 20 30 … y(件)[ 来源 :学 科网] 25 20 10 … O y x 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. (1)求出日销售量 y(件)是销售价 x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? 此时每日的销售利润是多 少元? [来源:学科网] ◆创新学习 8．如图，对称轴为直线 x＝ 2 7 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且 位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对 角线的平行四边形，求四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取 值范围； （3）①当四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断 OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点 E，使四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明 理由． 参考答案 1．C 2．D 3． 1x  大 4 4．－1 5．0 或 2 0＜ x ＜2 6．(1)C(0,5) (2) 5 ( 1)( 4)4y x x    25 3 125( )4 2 16x    7．(1)设此一次函数关系式为 y kx b  , 则{ 15 25 20 20 k b k b      ,解得 1, 40k b   故一次函数的关系式为 40y x   . (2)设所获利润为W 元, 则 2 2( 10)(40 ) 50 400 ( 25) 225W x x x x x           所以产品的销售价应定为 25 元,此时每日的销售利润为 225 元． 8．（1）由抛物线的对称轴是 7 2x  ，可设解析式为 27( )2y a x k   ． 把 A、B 两点坐标代入上式，得 2 2 7(6 ) 0,2 7(0 ) 4.2 a k a k         解之，得 2 25, .3 6a k   故抛物线解析式为 22 7 25( )3 2 6y x   ，顶点为 7 25( , ).2 6  （2）∵点 ( , )E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合. 22 7 25( )3 2 6y x   ， ∴y<0，即 －y>0,－y 表示点 E 到 OA 的距离． ∵OA 是 OEAF 的对角线， ∴ 21 72 2 6 4( ) 252 2OAES S OA y y           ． 因为抛物线与 x轴的两个交点是（1，0）的（6，0）， 所以，自变量 x的取值范围是 1＜ x＜6．[来源:学科网 ZXXK] ①根据题意，当 S = 24 时，即 274( ) 25 242x    ． 化简，得 27 1( ) .2 4x   解之，得 1 23, 4.x x  故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，－4），E2（4，－4）． 点 E1（3，－4）满足 OE = AE，所以 OEAF 是菱形； 点 E2（4，－4）不满足 OE = AE，所以 OEAF 不是菱形． ②当 OA⊥EF，且 OA = EF 时， OEAF 是正方形， 此时点E 的坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上， 故不存在这样的点 E，使 OEAF 为正方形． 第 2 课时 用待定系数法确定二次函数的表达式 一、选择题 1.函数 y= 2 1 x2+2x+1 写成 y=a(x－h)2+k 的形式是 A.y= 2 1 (x－1)2+2 B.y= 2 1 (x－1)2 + 2 1 C.y= 2 1 (x－1)2－3 D.y= 2 1 (x+2)2－1 2.抛物线 y=－2x2－x+1 的顶点在第_____象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.不论 m 取任何实数，抛物线 y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都[来源:Z,xx,k.Com][来源:学科网] A.在 y=x 直线上 B.在直线 y=－x 上 C.在 x 轴上 D.在 y 轴上 4.任给一些不同的实数 n，得到不同的抛物线 y=2x2+n，如当 n=0，±2 时，关于这些抛物线 有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判 断正确的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.二次函数 y=x2+px+q 中，若 p+q=0，则它的图象必经过下列四点中 A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1) 6.下列说法错误的是 A.二次函数 y=－2x2 中，当 x=0 时，y 有最大值是 0 B.二次函数 y=4x2 中，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大 C.在三条抛物线 y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2 中，y=2x2 的图象开口最大，y=－x2 的图象开 口最小 D.不论a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数 y=x2+(2k+1)x+k2－1 的最小值是 0，则 k 的值是 A. 4 3 B.－ 4 3 C. 4 5 D.－ 4 5 8.小颖在二次函数 y=2x2+4x+5 的图象上，依横坐标找到三点(－1，y1)，( 2 1 ，y 2)， (－ 3 2 1 ，y3)，则你认为 y1，y2，y3 的大小关系应为 A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 二、填空题 9.抛物线 y= 2 1 (x+3)2 的顶点坐标是______. 10.将抛物线 y=3x2 向上平移 3 个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.[来源:学科网 ZXXK] 11.函数 y= 3 4 x－2－3x2 有最_____值为_____. 12.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______. 13.二次函数 y=mx2+2x+m－4m2 的图 象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______. 三、解答题 14.根据已知条件确定二次函数的表达式 （1）图象的顶点为（2，3），且经过点（3，6）； （2）图象经过点（1，0），（3，0）和（0，9）； （3）图象经过点（1，0），（0，-3），且对称轴是直线 x=2。 15.(8 分)请写出一个二次函数，此二次函数具备顶 点在 x 轴上，且过点(0，1)两个条件，并 说明你的理由. 16.(10 分)把抛物线 y=－3(x－1)2 向上平移 k 个单位，所得的抛物线与 x 轴交于点 A(x1，0)， B(x2，0)，若 x12+x22= 9 26 ，请你求出 k 的值. 17.(10 分)如图 6 是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立 适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明 理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式. 6 m 40m 图 6 18.(12 分)有这样一道题：“已知二次函数 y=ax2+bx+c 图象过 P(1，－4)，且有 c=－3a，…… 求证这个二次函数的图象必过定点 A(－1，0).”题中“……”部分是一段被墨水污染了无法 辨认的文字. (1)你能根据题中信息求这个二次函数表达式吗？若能，请求出；若不能，请说明理由. (2)请你根据已有信息，在原题“……”处添上一个适当的条件，把原题补充完整. 第 2 课时 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）中的不等关系 ●基础练习 1.已知二次函数 y=ax2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1) a=_______,c=______. (2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标 P__________. (3)该函数有最______值,当 x=______时,y 最值=________. (4)当 x_____时,y 随 x 的增大而减小. 当 x_____时,y 随 x 的增大而增大. (5)抛物线与 x 轴交点坐标 A_______,B________; 与 y 轴交点 C 的坐标为_______; ABCS =_________, ABPS =________. (6)当 y>0 时,x 的取值范围是_________;当 y<0 时,x 的取值范围是_________. (7)方程 ax2-5x+c=0 中△的符号为________.方程 ax2-5x+c=0 的两根分别为_____,____. (8)当 x=6 时,y______0;当 x=-2 时,y______0. 2.已知下表: x 0 1 2 ax2 1 ax2+bx+c 3 3 (1)求 a、b、c 的值，并在表内空格处填入正确的数； (2)请你根据上面的结果判断: ①是否存在实数 x,使二次三项式 ax2+bx+c 的值为 0?若存在,求出这个实数值;若不存在, 请说明理由. ②画出函数 y=ax2+bx+c 的图象示意图,由图象确定,当 x 取什么实数时,ax2+ bx+c>0? 3.请画出适当的函数图象,求方程 x2= 1 2 x+3 的解. 1 4 B A x O y 4.若二次函数 y=- 1 2 x2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A(-5,0),B(-1,0). (1)求这个二次函数的关系式; (2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与 x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移? 向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位? 5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表 所示的对应关系. (1)请你以汽车刹车时的车速 V 为自变量,刹车距离 s 为函数, 在图所示的坐标系中描点 连线,画出函数的图象; (2)观察所画的函数的图象,你发现了什么? (3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的 函数关系式; (4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确. 50 100 150 150 100 50 s(m) v(km/h) O ●能力提升 6.如图所示,矩形 ABCD 的边 AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使 AB 在 x 轴上,点 C 在 速度 V(km/h) 48 64 80 96 112 … 刹车距离 s(m) 22.5 36 52.5 72 94.5 … 直线 y=x-2 上. (1)求矩形各顶点坐标; (2)若直线 y=x-2 与 y 轴交于点 E,抛物线过 E、A、B 三点,求抛物线的关系式; (3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形 ABCD 内部,并说明理由. C B A x O D y E 7.已知一条抛物线经过 A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是 x= 5 3 . (1)求这条抛物线的关系式. (2)证明:这条抛物线与 x 轴的两个交点中,必存在点 C,使得对 x 轴上任意点 D 都有 AC+BC≤AD+BD. 8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为 4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球 运行的水平距离为 2.5m 时,达到最大高度 3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面 距离为 3.05m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式; (2)若该运动员身高 1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方 0.25m 处出手.问:球出手时,他跳离地 面多高? 3.05m 4m 2.5m x O y 9.某工厂生产 A 产品 x 吨所需费用为 P 元,而卖出 x 吨这种产品的售价为每吨 Q 元, 已知 P= 1 10 x2+5x+1000,Q=- 30 x +45. (1)该厂生产并售出 x 吨,写出这种产品所获利润 W(元)关于 x(吨)的函数关系式; (2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又 是多少元? 10.已知抛物线 y=2x2-kx-1 与 x 轴两交点的横坐标,一个大于 2,另一个小于 2,试求 k 的取值范 围. ●综合探究 11.已知抛物线 L;y=ax2+bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0), 它的顶点 P 的坐标是 24,2 4 b ac b a a     , 与 y 轴的交点是 M(0,c)我们称以 M 为顶点,对称轴是 y 轴且过点 P 的抛物线为抛物线 L 的 伴随抛物线,直线 PM 为 L 的伴随直线. (1)请直接写出抛物线 y=2x2-4x+1 的伴随抛物线和伴随直线的关系式: 伴随抛物线的关系式_________________ 伴随直线的关系式___________________ (2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 y=-x2-3 和 y=-x-3, 则这条抛物线的关 系是___________: (3)求抛物线 L:y=ax2+bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式; (4)若抛物线 L 与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点 x2>x1>0,它的伴随抛物线与 x 轴交于 C,D 两 点,且 AB=CD,请求出 a、b、c 应满足的条件. 答案： 1.(1)a=1;c=4 (2)直线 x= 5 2 , 5 9,2 4     (3)小; 5 2 ; 9 4  (4) 5 5;2 2   (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 27 8 ; (6)x<1 或 x>4;1;> 2.(1)由表知,当 x=0 时,ax2+bx+c=3;当 x=1 时,ax2=1;当 x=2 时,ax2+bx+c=3. ∴ 3 1 4 2 3 c a a b c        ,∴ 1 2 3 a b c       , ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入 0,4,2. (2)①在 x2-2x+3=0 中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, 1 3 1 2 2 x=1 x y O ∴不存在实数 x 能使 ax2+bx+c=0. ②函数 y=x2-2x+3 的图象示意图如答图所示, 观察图象得出,无论 x 取什么实数总有 ax2+bx+c>0. 3.:在同一坐标系中如答图所示, 画出函数 y=x2 的图象,画出函数 y= 1 2 x+3 的图象, 这两个图象的交点为 A,B,交点 A,B 的横坐标 3 2  和 2 就是方程 x2= 1 2 x+3 的解. 4.:(1)∵y= 1 2  x2+bx+c,把 A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得 ∴  2 2 1 ( 5) 5 02 1 ( 1) ( 1) 02 b c b c                       , 3 5 2 a b     , ∴y= 21 532 2x x   . (2)∵y= 21 532 2x x   = 21 ( 3) 22 x   ∴顶点坐标为(-3,2), ∴欲使函数的图象与 x 轴只有一个交点,应向下平移 2 个单位. 5.:(1)函数的图象如答图所示. (2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c, 把 v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72 分别代入 s=av2+bv+c, 得 2 2 2 48 48 22.5 64 64 36 96 96 72 a b c a b c a b c             , 解得 3 512 3 16 0 a b c        . ∴ 23 3 512 16s v v  (4)当 v=80 时, 2 23 3 3 380 80 52.5512 16 512 16v v      ∵s=52.5, ∴ 23 3 512 16s v v  当 v=112 时, 2 23 3 3 3112 112 94.5512 16 512 16v v      6 3 2 B A x y O ∵s=94.5,∴ 23 3 512 16s v v  经检验,所得结论是正确的. 6.:(1)如答图所示. ∵y=x-2,AD=BC=2,设 C 点坐标为(m,2), 把 C(m,2)代入 y=x-2, 2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2). (2)∵y=x-2,∴令 x=0,得 y=-2,∴E(0,-2). 设经过 E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为 y=ax2+bx+c, ∴ 2 0 16 4 0 c a b c a b c           , 解得 1 2 5 2 2 a b c          ∴y= 21 5 22 2x x   . (3)抛物线顶点在矩形 ABCD 内部. ∵y= 21 5 22 2x x   , ∴顶点为 5 9,2 8      . ∵ 51 42   , ∴顶点 5 9,2 8      在矩形 ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为 y=ax2+bx+c, ∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线 x= 5 3 . ∴ 3 16 4 6 5 2 3 c a b c b a            , 解得 9 8 15 4 3 a b c         ∴y= 29 15 38 4x x  . (2)证明:令 y=0,得 29 15 38 4x x  =0, ∴ 1 2 4, 23x x  ∵A(0,3),取 A 点关于 x 轴的对称点 E,∴E(0,-3). 设直线 BE 的关系式为 y=kx-3,把 B(4,6)代入上式,得 6=4k-3, ∴k= 9 4 ,∴y= 9 4 x-3 . 由 9 4 x-3=0,得 x= 4 3 . 故 C 为 4,03      ,C 点与抛物线在 x 轴上的一个交点重合, 在 x 轴上任取一点 D,在△BED 中,BE< BD+DE. 又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC0, ∴无论 k 为何实数, 抛物线 y=2x2-kx-1 与 x 轴恒有两个交点. 设 y=2x2-kx-1 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1,x2,且规定 x1<2,x2> 2, 3.05m 4m 2.5m x O y B D A ∴x1-2<0,x2-2>0. ∴(x1-2)(x2-2)<0,∴x1x2-2(x1+x2)+4<0. ∵x1,x2 亦是方程 2x2-kx-1=0 的两个根, ∴x1+x2= 2 k ,x1·x2=- 1 2 , ∴ 1 2 4 02 2 k     ,∴k> 7 2 . ∴k 的取值范围为 k> 7 2 . 法二:∵抛物线 y=2x2-kx-1 与 x 轴两交点横坐标一个大于 2,另一个小于 2, ∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当 x=2 时,y<0. 即 y=2×22-2k-1<0,∴k> 7 2 .∴k 的取值范围为 k> 7 2 . 11.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1. (2)y=x2-2x-3 (3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为 y=m(x-0)2+c(m≠0). ∴设抛物线过 P 24,2 4 b ac b a a     , ∴ 224 4 2 ac b bm ca a        解得 m=-a,∴伴随抛物线关系式为 y=-ax2+c. 设伴随直线关系式为 y=kx+c(k≠0). ∵P 24,2 4 b ac b a a     在此直线上,∴ 24 4 2 ac b bk ca a        , ∴k= 2 b . ∴伴随直线关系式为 y= 2 b x+c (4)∵抛物线 L 与 x 轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac. ∵x2>x1>0,∴x1+ x2= - b a >0,x1x2= c a >0,∴ab<0,ac>0. 对于伴随抛物线 y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得 x= c a  . ∴ ,0 , ,0c cC Da a              ,∴CD=2 c a . x 2 x 1 2 x y O 又 AB=x2-x1= 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4( ) ( ) 4 4b c b acx x x x x x a a a             . 由 AB=CD ,得 2 4b ac a  =2 c a , 整理得 b2=8ac,综合 b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8 ac,得 a,b,c 满足的条件为 b2=8ac 且 ab<0,(或 b2=8ac 且 bc<0). 第 2 课时 商品利润最大问题 知识点 1、二次函数常用来解决最优化的问题，这个问题实质是求函数的最大（小）值。 2、抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    的顶点是它的最高（低）点，当 x= 2 b a  时，二次函数 有最大（小）值 y= 24 4 ac b a  。 一、选择题 1、进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价。若设平均每次 降价的百分率是 x，降价后的价格为 y 元，原价为 a 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为（ ） A、 2 ( 1)y a x  B、 2 (1 )y a x  C、 2(1 )y a x  D、 2(1 )y a x  2、某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价。若每件商品的售 价为 x 元，则可卖处(350-10x)件商品。商品所获得的利润 y 元与售价 x 的函数关系为（ ） A、 210 560 7350y x x    B、 210 560 7350y x x    C、 210 350y x x   D、 210 350 7350y x x    3、某产品的进货价格为 90 元，按 100 元一个售出时，能售 500 个，如果这种商品每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为了获得最大利润，其定价应定为（ ）[来源:学_科_网] A、130 元 B、120 元 C、110 元 D、100 元 4、小明在跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数 23.5 4.9h t t  （t 单位 s，h 单位 m）可用 来描述她的重心的高度变化，则她从起跳后到重心处于最高位置时所用的时间是（ ） A、0.71s B、0.70s C、0.63s D、0.36s 5、如图，正△ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 A→B→C 的 方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒）， 2y PC ，则 y 关于 x 的函数图像大 致为（ ）[来源:学*科*网] A B 第 5 题 C D 6、已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图像如图所示，现有下列结论： ①abc＞0； ② 2 4b ac ＜0；③c＜4b；④a+b＞0.则其中正确的结论的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 7、如图，已知：正方形 ABCD 边长为 1，E、F、G、H 分别为各边上的点，且 AE=BF=CG=DH， 设小正方形 EFGH 的面积为 s，AE 为 x，则 s 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C 第 7 题 D 8、某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些 边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x、y 应分 别为（ ） A、x=10,y=14 B、x=14,y=10 C、x=12,y=15 D、x=15,y=12 第 6 题 第 8 题 二、填空题 1、已知卖出盒饭的盒数 x（盒）与所获利润 y（元）满足关系式： 2 1200 357 600y x x    ， 则卖出盒饭数量为 盒时，获得最大利润为 元。 2、人民币存款一年期的年利率为 x，一年到期后，银行会将本金和利息自动按一年期定期 存款储蓄转存。如果存款额是 a 元，那 么两年后的本息和 y 元的表达式为 [来 源:学科网 ZXXK] (不考虑利息税)。 11、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售，增 加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现：若这种衬衫每降价 2 元，商场平均每天可多售出 4 件，则商场降价后每天的盈利 y（元）与降价 x（元）的函数 关系式 。 3、已知正方形 ABCD 的边长是 1，E 为 CD 边的中点，P 为正方形 ABCD 边上的一个动点，动 点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C→E 运动，到达 E 点．若点 P 经过的路程为自变量 x，△APE 的面积为函数 y，则当 1 3y  时，x 的值= . 4、如图 ，抛物线 y=ax2-4 和 y=-ax2+4 都经过 x 轴上的 A、B 两点，两条抛 物线的 顶点分别为 C、D．当四边形 ACBD 的面积为 40 时，a 的值为 14、如 图 ， 点 P 在 抛 物 线 y=x2-4x+3 上 运 动 ， 若 以 P 为 圆 心 ， 为 半 径 的 ⊙ P 与 x 轴相切，则点 P 的坐标为 。 5、如图 ，在△ABC 中，∠B=90° ，AB=12mm，BC=24mm，动点 P 从点 A 开始 沿 边 AB 向 B 以 2mm/s 的 速 度 移 动 （ 不 与 点 B 重 合 ）， 动 点 Q 从 点 B 开 始 沿 边 BC 向 C 以 4mm/s 的速度移动（不与点 C 重合）．如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发， 那么经过 秒，四边形 APQC 的面积最小． 三、解答题[来源:学*科*网] 1、某旅馆有 30 个房间供旅客住宿。据测算，若每个房间的定价为 60 元/天，房间将会住满； 若每个房间的定价每增加 5 元/天，就会有一个房间空闲。该旅馆对旅客住宿的房间每间要 支出各种费用 20 元/天（没住宿的不支出）。当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？ 2、最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销 一种农副产品，已知这种产品的成本价为 20 元每千克。经市场调查发现，该产品每天的销 售量 w（千克）与销售量 x（元）有如下的关系：w=-2x+80。设这种产品每天的销售利润为 y（元）。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元每千克，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少？ 3、与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就 停产。经调查分析，该厂每月获得的利润 y（万元）和月份 x 之间满足函数关系式 2y x ax b    ，已知 3 月份、4 月份的利润分别是 9 万元、16 万元。问 （1）该厂每月获得的利润 y（万元）和月份 x 之间的函数关系式； （2）该厂在第几个月份获得最大利润？最大利润为多少？ （3）该厂一年中应停产的是哪几个月份？通过计算说明。 4、（黄冈）某技术开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定 为 3000 元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买这种新型产品，公司决定商家 一次性购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次性购买该种产品超过 10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600 元。 （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元？[来源:Z,xx,k.Com] （2）设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获得的利润为 y 元，求 y（元）与 x（元） 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）该公司的销售人员发现：当商家一次性购买产品的件数超过某一数量时，，会出现随着 一次购买数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况。为使商家一次购买的数量越来 越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其他销售条件不变） 5、（长沙）在长株潭建设两型社会的过程中。为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司 以 25 万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入 100 万元购买生产设备 ，进行该产品的 生产加工。已知生产这种产品的成本价为每件 20 元。经过市场调查发现，该产品的销售单 价定为 25 元到 30 元之间较为合理，并且该产品的年销售量 y（万件）与销售单价 x（元） 之间的函数关系式为： 40 (25 30) 25 0.5 (30 35) x xy x x       ＜ 。（年获利=年销售收入-生产成本-投 资成本） （1）当销售单价定为 28 元时，该产品的年销售量为多少万件？ （2）求该公司第一年的年获利 W（万元）与销售单价 x（件）之间的函数关系式，并说明 投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利,最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多 少？ （3）第二年，该公司决定给希望工程捐款 Z 万元，该项捐款由两部分组成：一部分是 10 万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款。若出去第一年的最 大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于 67.5 万 元，请你确定此时销售单价的单位。（选 作） 参考答案 选择题 1、D 2、B 3、B 4、D 5、D 6、B 7、B 8、D 二.填空题 1、600 240000 2、  21y a x  3、 22 60 80y x x    4、 2 5 3 3 或 5、0.16 6、（-2,1）  2 2,1  2 2,1 7、3 三．解答题 1、解：设每天的房价为 60+5x 元， 则有 x 个房间空闲，已住宿了 30-x 个房间． ∴度假村的利润 y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中 0≤x≤30． ∴y=（30-x）•5•（8+x） =5（240+22x-x2） =-5（x-11）2+1805． 因此，当 x=11 时，y 取得最大值 1805 元， 即每天房价定为 115 元∕间时，度假村的利润最大。 2、解：（1）y=（x-20）w =（x-20）（-2x+80） =-2x2+120x-1600， ∴y 与 x 的函数关系式为： y=-2x2+120x-1600；（3 分） （2）y=-2x2+120x-1600 =-2（x-30）2+200， ∴当 x=30 时，y 有最大值 200， ∴当销售价定为 30 元/千克时，每天可获最大销售利润 200 元；（6 分） （3）当 y=150 时，可得方程： -2（x-30）2+200=150， 解这个方程，得 x1=25，x2=35，（8 分） 根据题意，x2=35 不合题意，应舍去， ∴当销售价定为 25 元/千克时，该农户每天可获得销售利润 150 元． 3、解：（1）把点（3，9），（4，16）代入函数关系式： 9 9 3 16 16 4 a b a b          解得： 14 24 a b     ∴y=-x2+14x-24 （2）当 14 72 ( 1)x     时， =25y最大 ∴7 月份获得最大利润，最大利润是 25 万元． （3）当 y=0 时，有方程： x2-14x+24=0 解得：x1=2，x2=12． 所以第二月和第十二月份无利润，根据二次函数的性质，第一月份的利润为负数， 因此一年中应停产的是第一月份，第二月份和第十二月份． 4、解：（1）设件数为 x，依题意，得 3000-10（x-10）=2600，解得 x=50， 答：商家一次购买这种产品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元； （2）当 0≤x≤10 时，y=（3000-2400）x=600x， 当 10＜x≤50 时，y=[3000-10（x-10）-2400]x，即 y=-10x2+700x 当 x＞50 时，y=（2600-2400）x=200x ∴y=    600x(0≤x≤10，且 x 为整数) −10x2+700x(10＜x≤50，且 x 为整数) 200x(x＞50，且 x 为整数) （3）由 y=-10x2+700x 可知抛物线开口向下，当 x=35 时，利润 y 有最大值， 此时，销售单价为 3000-10（x-10）=2750 元， 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元． 5、解：（1）∵25＜28＜30， y＝    40−x(25≤x≤30) 25−0.5x(30＜x≤35) ∴把 x=28 代入 y=40-x 得， ∴y=12（万件）， 答：当销售单价定为 28 元时，该产品的年销售量为 12 万件； （2）①当 25≤x≤30 时，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25， 故当 x=30 时，W 最大为-25，即公司最少亏损 25 万； ②当 30＜x≤35 时， W=（25-0.5x）（x-20）-25-100= 21 35 6252 x x   = 21 ( 35) 12.52 x   故当 x=35 时，W 最大为-12.5，即公司最少亏损 12.5 万； 对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是 12.5 万； 答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是 12.5 万； （3）①当 25≤x≤30 时，W=（40-x）（x-20-1）-12.5-10=-x2+61x-862.5≥67.5， -x2+61x-862.5≥67.5， 化简得：x2-61x+930≤0 解得：30≤x≤31， 当两年的总盈利不低于 67.5 万元时，x=30； ②当 30＜x≤35 时，W=（25-0.5x）（x-20-1）-12.5-10= 21 35.5 547.5 67.52 x x    - 化简得：x2-71x+1230≤0 解得：30≤x≤41， 当两年的总盈利不低于 67.5 万元时，30≤x≤35， 答：到第二年年底，两年的总盈利不低于 67.5 万元，此时销售 单价的范围是 30≤x≤35． 第 3 课时 拱桥问题和运动中的抛物线 知识点： 利用二次函数解决抛物线的问题，如隧道、大桥和拱门等，要恰当地建立平面直角坐标 系，从而确定抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质解决实际问题。 一、选择 1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离 水面 2m，水面宽 4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A．y=-2x2 B．y=2x2 C、 21 2y x  D 、 21 2y x 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 2、有长 24m 的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有 一道篱笆的矩形花圃，设 花圃的垂直 于墙的一边长为 xm，面积是 sm2，则 s 与 x 的关系式是（ ） [ 来 源 : 学 + 科 + 网 ] A、 23 24s x x   B、 22 24s x x   C、 23 24s x x   D、 22 24s x x   3、 如 图 ， 铅 球 的 出 手 点 C 距 地 面 1 米 ， 出 手 后 的 运 动 路线 是 抛 物 线 ， 出 手 后 4 秒钟达到最大高度 3 米， 则铅球运行路线的解析式为（ ） A、 23 16h t  B、 23 16h t t   C、 21 18h t t    D、 21 2 13h t t    4、在一 幅长 60cm，宽 40cm 的矩 形风 景画 的四 周镶 一条 金色 纸边 ，制 成一 幅矩 形挂图，如图所示，如果要使整个挂 图的面积是 ycm2，设金色纸边的宽 度为 xcm2， 那么 y 关于 x 的函数是（ ） A、y=（60+2x）（40+2x） B、y=（60+x）（40+x） C、y=（60+2x）（40+x） D、y=（60+x）（40+2x） 5、如 图 所 示是 一 个 抛 物 线 形桥 拱 的 示 意 图 ，在 所 给 出 的 平 面直 角 坐 标 系 中 ，当 水 位 在 AB 位 置 时 ， 水 面 宽 度 为 10m， 此 时 水 面 到 桥 拱 的 距 离 是 4m， 则 抛 物 线 的函数关系式为（ ） A、 225 4y x B、 225 4y x  C、 24 25y x  D、 24 25y x 6、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为 x，该药品 原价为 18 元，降价后的价格为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（ ） A、y=36（1-x） B、y=36（1+x） C、 218(1 )y x  D、 218(1 )y x  7、 如图 ， 正 方形 ABCD 的 边长 为 1， E、 F 分 别是 边 BC 和 CD 上 的动 点 （ 不与 正 方 形 的 顶 点 重 合 ）， 不 管 E、 F 怎 样 动 ， 始 终 保 持 AE⊥ EF． 设 BE=x， DF=y， 则 y 是 x 的函数，函数关系式是（ ） A、 1y x  B、 1y x  C、 2 1y x x   D、 2 1y x x   第 5 题 第 7 题 第 8 题 8、某 广场 有一 喷水 池， 水从 地面 喷出 ，如 图， 以水 平地 面为 x 轴， 出水 点为 原 点，建立平面直角 坐标系，水在空中划出的曲线是抛 物线 y=-x2+4x（单位：米） 的一部分，则水喷出的最大高度是（ ） A、4 米 B、3 米 C、2 米 D、1 米 二、填空题[来源:学&科&网] 1、一个 边长 为 3 厘米 的正 方形， 若它 的边 长增加 x 厘米 ，面 积随 之增 加 y 平 方 厘米，则 y 关于 x 的函数解析式是 2、有一个抛物线形拱桥，其最大高度为 16 米，跨度为 40 米，现把它 的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为 第 10 题 第 13 题 第 14 题 第 15 题 3、二次函数 2y ax bx c   中， 2b ac ，且 x=0 时 y=4,则 y 的最 （大或小） 值= 4、将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则 这两个正方形的面积之和的最小值是 5、如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分， 如果他的出手处 A 距地面 OA 为 1m，球路的最高点为 B（8,9），则这个二次函数的表达式 为 ，小孩将球抛出约 米。 6、如图，某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为 2 4 2y x x    ，则 水柱的最大高度是 米。 7、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，建立如下图所 示的坐标系，如果喷头所在处 A(0,1.25)，水流路线最高处 M（1，2.25），则该抛物的解析式 为 。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要 m， 才能使喷出的水流不至落到池外。 8、某文具店出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售（6-x）个，则当 x= 时，一天出售这种文具盒的总利润 y 最大。 9、某一型号的飞机着陆后滑行的距离 y（米）与滑行时间 x（秒）之间的函数关系式是 260 1.5y x x  ，该型号飞机着陆后需滑行 米才能停下来。 10、如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC,BC 为斜边在的同侧作两个等 要 直 角 三 角 形 △ ACD 和 △ BCE ， 那 么 DE 长 的 最 小 值 是 。 第 18 题 三、解答题 1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长度为 xcm 的边与这条边上的高 之和为 40cm，这个三角形的面积 Scm2 随 x 的变化而变化。 （1）请直写出 S与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）； （2）当 x 是多少时，这个三角形面积 S 最大？最大面积是多少？ [来源:Z+xx+k.Com] 2、如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度 OM 为 12 米，现以 O 为原点米，OM 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系。 （1）直接写出点 M 的坐标及抛物线顶点 P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式； （3）若有搭建一个矩形的“支撑架”AD-DC-CB,使 C,D点在抛物线上，A,B 点在地面 OM 上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 3、大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为 40 元的小家电，通 过试营销发现，当销售单价在 40 元至 90 元之间（含 40 元和 90 元）时，每月的销售量 y（件） 与销售单价 x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，其图像如图所示。 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）设王强每月获利为 P 元，求 P 与 x 之间函数关系式；要想销售利润最大，那么销售单 价应定为多少？ 4、杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（看作 一个点）的路线是抛物线 23 3 15y x x    的一部分，如图所示。 （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高 BC=3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表 演是否成功？请说明理由。 5、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓有抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边 AE,ED,DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED=16 米，AE=8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离 是 11 米，以 ED 所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系。 （1）求抛物线的解析式； （2）已知从某时刻开始的 40 个小时内，水面与河底 ED 的距离 h（米）随时间（时）的变 化满足函数关系： 21 ( 19) 8(0 40)128h t t      ，且当顶点 C 到水面的距离不大于 5 米时，需禁止船只通行。请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通过？ 参考答案 一．选择题 1、C 2、A 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、A 二．填空题 1、 2 6y x x  2、  221 20 1625y x x    3、小， 3 4、12.5 5、 21 2 18y x x    ，16.5 6、6 7、 2( 1) 1.8y x    8、3 9、600 10、1 三．解答题 1、[来源:Z*xx*k.Com] 2、 3、 4、 5、 [来源:学科网] 22.2 二次函数与一元二次方程综合练习 一、填空题 1.如果抛物线 y=－2x2+mx－3 的顶点在 x 轴正半轴上，则 m=______. 2.二次函数 y=－2x2+x－ 2 1 ，当 x=______时，y 有最______值，为______.它的图象与 x 轴______ 交点(填“有”或“没有”). 3.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 1 所示. ①这个二次函数的表达式是 y=______；②当 x=______时，y=3；③根据图象回答：当 x______ 时，y>0. x y 1 1 2 -1 O x y A B O 图 1 图 2 4.某一元二次方程的两个根分别为 x1=－2，x2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二 次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可) 5.不论自变量 x 取什么实数，二次函数 y=2x2－6x+m 的函数值总是正值，你认为 m 的取值范 围是______，此时关于一元二次方程 2x2－6x+m=0 的解的情况是______(填“有解”或“无 解”). 6.某一抛物线开口向下，且与 x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 ______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 7.如图 2，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分， 如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m，球路的最高点 B(8，9)，则这个二次函数的表达 式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到 0.1 m). 8.若抛物线 y=x2－(2k+1)x+k2+2，与 x 轴有两个交点，则整数 k 的最小值是______. 9.已知二次函数 y=ax2+bx+ c(a≠0)的图象如图 1 所示，由抛物 线的特征你能得到含有 a、b、c 三个字母的等式或不等式为 ______(写出一个即可). 10.等腰梯形的周长为 60 cm，底角为 60°，当梯形腰 x=______ 时，梯形面积最大，等于______. 11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代 号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______. (3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图 象是______. (4)在 220 V 电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______. x y 1-1 -1 O x x xx y y yy A B C D O OO O 12.将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出 20 个.若这种商品的 零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加了 1 个，为了获得最大利润，则应降 价______元，最大利润为______元. 二、选择题 13.关于二次函数 y=ax2+bx+c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ） ①当 c=0 时，函数的图象经过原点; ②当 b=0 时，函数的图象关于y 轴对称; ③函数的图象最高点的纵坐标是 a bac 4 4 2 ; ④当 c>0 且函数的图象开口向下时，方程 ax2+bx+c=0 必有两个不相等的实根( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 14.已知抛物线 y=ax2+bx+c 如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c－8=0 的根的情况是 A.有两个不相等的正实数根 ; B.有两个异号实数根; C.有两个相等的实数根 ; D.没有实数根. 15.抛物线 y=kx2－7x－7 的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( ) A.k>－ 4 7 ; B.k≥－ 4 7 且 k≠0; C.k≥－ 4 7 ; D.k>－ 4 7 且 k≠0 16.如图 6 所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形 A BCD，其中 AB 和 BC 分别在两直 角边上，设 AB=x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为( ) A. 4 24 m B.6 m C.15 m D. 2 5 m x y 8 O 5 m 12 m A B C D x y 2.4 12O 图 4 图 5 图 6 17.二次函数 y=x2－4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，△ABC 的面积为( ) A.1 B.3 C.4 D.6 18.无论 m 为任何实数，二次函数 y=x2+(2－m)x+m 的图象总过的点是( ) A.(－1，0); B.(1，0) C.(－1，3) ; D.(1，3) 19.为了备战 2012 英国伦敦奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门 12 米处 的挑射，正好从 2.4 米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线 y=ax2+bx+c(如图 5 所示)，则下列结论正确的是( ) ①a<－ 60 1 ②－ 60 1 0 ④01 B.m>－1 C.m<－1 D.m<1 22.如图 7，一次函数 y=－2x+3 的图象与 x、y 轴分别相交于 A、C 两点，二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 c 且与一次函数在第二象限交于另一点 B，若 AC∶CB=1∶2，那么，这个二次函 数的顶点坐标为( ) A.(－ 2 1 ， 4 11 ) B.(－ 2 1 ， 4 5 ) C.( 2 1 ， 4 11 ) D.( 2 1 ，－ 4 11 ) 23.某乡镇企业现在年产值是 15 万元，如果每增加 100 元投资，一年增加 250 元产值，那么 总产值 y(万元)与新增加的投资额 x(万元)之间函数关系为( ) A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 D.y=25x+1.5 24.如图 8，铅球运动员掷铅球的高度 y(m)与水平距离 x(m)之 间的函数关系式是 y=－ 12 1 x2+ 3 2 x+ 3 5 ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A.6 m B.12 m C.8 m D.10 m x y A B C O x y O A B M O 图 7 图 8 图 9 25.某幢建筑物，从 10 m 高的窗口 A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在 的平面与墙面垂直，如图 9，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m，离地面 3 40 m，则水流落地 点 B 离墙的距离 OB 是( ) A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 三、解答题 26.求下列二次函数的图像与 x 轴的交点坐标,并作草图验证. (1)y= 1 2 x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4 27 若二次函数 y=- 1 2 x2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A(-5,0),B(-1,0). (1)求这个二次函数的关系式; (2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与 x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移? 向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位? 28. 已知抛物线 L;y=ax2+bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0), 它的顶点 P 的坐标是 24,2 4 b ac b a a     , 与 y 轴的交点是 M(0,c)我们称以 M 为顶点,对称轴是 y 轴且过点 P 的抛物线为抛物线 L 的伴 随抛物线,直线 PM 为 L 的伴随直线. (1)请直接写出抛物线 y=2x2-4x+1 的伴随抛物线和伴随直线的关系式: 伴随抛物线的关系式_________________ 伴随直线的关系式___________________ (2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 y=-x2-3 和 y=-x-3, 则这条抛物线的关 系是___________: (3)求抛物线 L:y=ax2+bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式; (4)若抛物线 L 与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点 x2>x1>0,它的伴随抛物线与 x 轴交于 C,D 两 点,且 AB=CD,请求出 a、b、c 应满足的条件. 29.已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图像与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于 A, C 两点. 求△ABC 的周长和 面积. ●能力提升 30.某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与 每件的销售价 x(元)满足关系：m=140－2x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利 润为多少？ 31.现有铝合金窗框材料 8 米,准备用它做一个如图所示的长方形窗架( 窗架宽度 AB必须小于 窗户的高度 BC).已知窗台距离房屋天花板 2.2 米.设 AB 为 x 米,窗户的总面积为 S(平方米). (1)试写出 S 与 x 的函数关系式; (2)求自变量 x 的取值范围. F D B C A E 32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道 篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x m. (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m？ (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少 m？ 比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ x 33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽 车的撞击影响可以用公式 I=2v2 来表示，其中 v(千米/分)表示汽车的速度; (1)列表表示 I 与 v 的关系. (2)当汽车的速度扩大为原来的 2 倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？ 34.如图 7，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线， 当球运行的水 平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式; (2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他 跳离地面的高度是多少. 4m (0,3.5) 3.05m x y O 35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程， 下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S(万元)与销售时间 t(月)之间 的关系(即前 t 个月的利润总和 S 与 t 之间的关系). (1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条) (2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流. 1 2 3 4 5 -1 -2 (万元) 月 份 ? S tO 参考答案 1.2 6 2. 4 1 大 － 8 3 没有 3.①x2－2x ②3 或－1 ③<0或>2 4. y=x2－3x－10 5. m> 2 9 无解 6.y=－x2+x－1 最大 7.y=－ 8 1 x2+2x+1 16.5 8. 2 9.b2－4ac>0(不唯一) 10 . 15 cm 2 3225 cm2 11.(1)A (2)D (3)C (4)B 12. 5 625 13.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B 20.B 21.B 22.A 23.C 24.D 25.B〔提示：设水流的解析式为 y=a(x－h)2+k, ∴A(0，10)，M(1， 3 40 ). ∴y=a(x－1)2+ 3 40 ，10=a+ 3 40 . ∴a=－ 3 10 . ∴y=－ 3 10 (x－1)2+ 3 40 . 令 y=0 得 x=－1 或 x=3 得 B(3，0), 即 B 点离墙的距离 OB 是 3 m 26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),( 4 3  ,0),草图略. 27(1)∵y= 1 2  x2+bx+c,把 A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得 ∴  2 2 1 ( 5) 5 02 1 ( 1) ( 1) 02 b c b c                       , 3 5 2 a b     , ∴y= 21 532 2x x   . (2)∵y= 21 532 2x x   = 21 ( 3) 22 x   ∴顶点坐标为(-3,2), ∴欲使函数的图象与 x 轴只有一个交点,应向下平移 2 个单位. 28(1)y=-2x2+1,y=-2x+1. (2)y=x2-2x-3 (3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为 y=m(x-0)2+c(m≠0). ∴设抛物线过 P 24,2 4 b ac b a a     , ∴ 224 4 2 ac b bm ca a        解得 m=-a,∴伴随抛物线关系式为 y=-ax2+c. 设伴随直线关系式为 y=kx+c(k≠0). ∵P 24,2 4 b ac b a a     在此直线上,∴ 24 4 2 ac b bk ca a        , ∴k= 2 b . ∴伴随直线关系式为 y= 2 b x+c (4)∵抛物线 L 与 x 轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac. ∵x2>x1>0,∴x1+ x2= - b a >0,x1x2= c a >0,∴ab<0,ac>0. 对于伴随抛物线 y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得 x= c a  . ∴ ,0 , ,0c cC Da a              ,∴CD=2 c a . 又 AB=x2-x1= 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4( ) ( ) 4 4b c b acx x x x x x a a a             . 由 AB=CD ,得 2 4b ac a  =2 c a , 整理得 b2=8ac,综合 b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8 ac,得 a,b,c 满足的条件为 b2=8ac 且 ab<0,(或 b2=8ac 且 bc<0). 29.令 x=0,得 y=-3,故 B 点坐标为(0,-3). 解方程-x2+4x-3=0,得 x1=1,x2=3. 故 A、C 两点的坐标为(1,0),(3,0). 所以 AC=3-1=2,AB= 2 21 3 10  ,BC= 2 23 3 3 2  , OB=│-3│=3. C△ABC=AB+BC+AC= 2 10 3 2  . S△ABC= 1 2 AC·OB= 1 2 ×2×3=3. 30．(1)y=－2x2+180x－2800. (2)y=－2x2+180x－2800 =－2(x2－90x)－2800 =－2(x－45)2+1250. 当 x=45 时，y 最大=1250. ∴每件商品售价定为 45 元最合适，此销售利润最大，为 1250 元. 31．(1)S=4x- 3 2 x2;(2)1.2≤x<1.6 32(1)依题意得 鸡场面积 y=－ .3 50 3 1 2 xx  ∵y=－ 3 1 x2+ 3 50 x= 3 1 (x2－50x) =－ 3 1 (x－25)2+ 3 625 , ∴当 x=25 时，y 最大= 3 625 , 即鸡场的长度为 25 m 时，其面积最大为 3 625 m2. (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为 n x50 m. ∴y= n x50 ·x=－ n 1 x2+ n 50 x =－ n 1 (x2－50x ) =－ n 1 (x－25)2+ n 625 , 当 x=25 时，y 最大= n 625 , 即鸡场的长度为 25 m 时，鸡场面积为 n 625 m2. 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是 25 m. 33(1)如下表 v … －2 －1 － 2 1 0 2 1 1 2 3 … I … 8 2 2 1 0 2 1 2 8 18 … (2)I=2·(2v)2=4×2v2. 当汽车的速度扩大为原来的 2 倍时，撞击影响扩大为原来的 4 倍. 34(1)设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c. 由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).                 .5.3 ,0 ,2.0 ,5.15.105.3 ,5.3 ,02 2 c b a cba c a b 得 ∴抛物线的表达式为 y= －0.2x2+3.5. (2)设球出手时，他跳离地面的高度为 h m，则球出手时，球的高度为 h+1.8+0.25=(h+2.05) m, ∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5, ∴h=0.2(m). 22.2 二次函数与一元二次方程 一、填空题 1.如果抛物线 y=－2x2+mx－3 的顶点在 x 轴正半轴上，则 m=______. 2.二次函数 y=－2x2+x－ 2 1 ，当 x=______时，y 有最______值，为______.它的图象与 x 轴______ 交点(填“有”或“没有”). 3.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 1 所示. ①这个二次函数的表达式是 y=______；②当 x=______时，y=3；③根据图象回答：当 x______ 时，y>0. x y 1 1 2 -1 O x y A B O 图 1 图 2 4.某一元二次方程的两个根分别为 x1=－2，x2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二 次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可) 5.不论自变量 x 取什么实数，二次函数 y=2x2－6x+m 的函数值总是正值，你认为 m 的取值范 围是______，此时关于一元二次方程 2x2－6x+m=0 的解的情况是______(填“有解”或“无 解”). 6.某一抛物线开口向下，且与 x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 ______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 7.如图 2，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分， 如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m，球路的最高点 B(8，9)，则这个二次函数的表达 式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到 0.1 m). 8.若抛物线 y=x2－(2k+1)x+k2+2，与 x 轴有两个交点，则整数 k 的最小值是______. 9.已知二次函数 y=ax2+bx+ c(a≠0)的图象如图 1 所示，由抛物 线的特征你能得到含有 a、b、c 三个字母的等式或不等式为 ______(写出一个即可). 10.等腰梯形的周长为 60 cm，底角为 60°，当梯形腰 x=______ 时，梯形面积最大，等于______. 11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代 号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______. (3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图 象是______. (4)在 220 V 电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______. x y 1-1 -1 O x x xx y y yy A B C D O OO O 12.将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出 20 个.若这种商品的 零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加了 1 个，为了获得最大利润，则应降 价______元，最大利润为______元. 二、选择题 13.关于二次函数 y=ax2+bx+c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ） ①当 c=0 时，函数的图象经过原点; ②当 b=0 时，函数的图象关于y 轴对称; ③函数的图象最高点的纵坐标是 a bac 4 4 2 ; ④当 c>0 且函数的图象开口向下时，方程 ax2+bx+c=0 必有两个不相等的实根( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 14.已知抛物线 y=ax2+bx+c 如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c－8=0 的根的情况是 A.有两个不相等的正实数根 ; B.有两个异号实数根; C.有两个相等的实数根 ; D.没有实数根. 15.抛物线 y=kx2－7x－7 的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( ) A.k>－ 4 7 ; B.k≥－ 4 7 且 k≠0; C.k≥－ 4 7 ; D.k>－ 4 7 且 k≠0 16.如图 6 所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形 A BCD，其中 AB 和 BC 分别在两直 角边上，设 AB=x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为( ) A. 4 24 m B.6 m C.15 m D. 2 5 m x y 8 O 5 m 12 m A B C D x y 2.4 12O 图 4 图 5 图 6 17.二次函数 y=x2－4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，△ABC 的面积为( ) A.1 B.3 C.4 D.6 18.无论 m 为任何实数，二次函数 y=x2+(2－m)x+m 的图象总过的点是( ) A.(－1，0); B.(1，0) C.(－1，3) ; D.(1，3) 19.为了备战 2012 英国伦敦奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门 12 米处 的挑射，正好从 2.4 米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线 y=ax2+bx+c(如图 5 所示)，则下列结论正确的是( ) ①a<－ 60 1 ②－ 60 1 0 ④01 B.m>－1 C.m<－1 D.m<1 22.如图 7，一次函数 y=－2x+3 的图象与 x、y 轴分别相交于 A、C 两点，二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 c 且与一次函数在第二象限交于另一点 B，若 AC∶CB=1∶2，那么，这个二次函 数的顶点坐标为( ) A.(－ 2 1 ， 4 11 ) B.(－ 2 1 ， 4 5 ) C.( 2 1 ， 4 11 ) D.( 2 1 ，－ 4 11 ) 23.某乡镇企业现在年产值是 15 万元，如果每增加 100 元投资，一年增加 250 元产值，那么 总产值 y(万元)与新增加的投资额 x(万元)之间函数关系为( ) A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 D.y=25x+1.5 24.如图 8，铅球运动员掷铅球的高度 y(m)与水平距离 x(m)之 间的函数关系式是 y=－ 12 1 x2+ 3 2 x+ 3 5 ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A.6 m B.12 m C.8 m D.10 m x y A B C O x y O A B M O 图 7 图 8 图 9 25.某幢建筑物，从 10 m 高的窗口 A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在 的平面与墙面垂直，如图 9，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m，离地面 3 40 m，则水流落地 点 B 离墙的距离 OB 是( ) A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 三、解答题 26.求下列二次函数的图像与 x 轴的交点坐标,并作草图验证. (1)y= 1 2 x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4 27 若二次函数 y=- 1 2 x2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A(-5,0),B(-1,0). (1)求这个二次函数的关系式; (2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与 x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移? 向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位? 28. 已知抛物线 L;y=ax2+bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0), 它的顶点 P 的坐标是 24,2 4 b ac b a a     , 与 y 轴的交点是 M(0,c)我们称以 M 为顶点,对称轴是 y 轴且过点 P 的抛物线为抛物线 L 的伴 随抛物线,直线 PM 为 L 的伴随直线. (1)请直接写出抛物线 y=2x2-4x+1 的伴随抛物线和伴随直线的关系式: 伴随抛物线的关系式_________________ 伴随直线的关系式___________________ (2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 y=-x2-3 和 y=-x-3, 则这条抛物线的关 系是___________: (3)求抛物线 L:y=ax2+bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式; (4)若抛物线 L 与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点 x2>x1>0,它的伴随抛物线与 x 轴交于 C,D 两 点,且 AB=CD,请求出 a、b、c 应满足的条件. 29.已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图像与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于 A, C 两点. 求△ABC 的周长和 面积. ●能力提升 30.某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与 每件的销售价 x(元)满足关系：m=140－2x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利 润为多少？ 31.现有铝合金窗框材料 8 米,准备用它做一个如图所示的长方形窗架( 窗架宽度 AB必须小于 窗户的高度 BC).已知窗台距离房屋天花板 2.2 米.设 AB 为 x 米,窗户的总面积为 S(平方米). (1)试写出 S 与 x 的函数关系式; (2)求自变量 x 的取值范围. F D B C A E 32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道 篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x m. (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m？ (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少 m？ 比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ x 33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽 车的撞击影响可以用公式 I=2v2 来表示，其中 v(千米/分)表示汽车的速度; (1)列表表示 I 与 v 的关系. (2)当汽车的速度扩大为原来的 2 倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？ 34.如图 7，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线， 当球运行的水 平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式; (2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他 跳离地面的高度是多少. 4m (0,3.5) 3.05m x y O 35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程， 下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S(万元)与销售时间 t(月)之间 的关系(即前 t 个月的利润总和 S 与 t 之间的关系). (1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条) (2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流. 1 2 3 4 5 -1 -2 (万元) 月 份 ? S tO 参考答案 1.2 6 2. 4 1 大 － 8 3 没有 3.①x2－2x ②3 或－1 ③<0或>2 4. y=x2－3x－10 5. m> 2 9 无解 6.y=－x2+x－1 最大 7.y=－ 8 1 x2+2x+1 16.5 8. 2 9.b2－4ac>0(不唯一) 10 . 15 cm 2 3225 cm2 11.(1)A (2)D (3)C (4)B 12. 5 625 13.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B 20.B 21.B 22.A 23.C 24.D 25.B〔提示：设水流的解析式为 y=a(x－h)2+k, ∴A(0，10)，M(1， 3 40 ). ∴y=a(x－1)2+ 3 40 ，10=a+ 3 40 . ∴a=－ 3 10 . ∴y=－ 3 10 (x－1)2+ 3 40 . 令 y=0 得 x=－1 或 x=3 得 B(3，0), 即 B 点离墙的距离 OB 是 3 m 26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),( 4 3  ,0),草图略. 27(1)∵y= 1 2  x2+bx+c,把 A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得 ∴  2 2 1 ( 5) 5 02 1 ( 1) ( 1) 02 b c b c                       , 3 5 2 a b     , ∴y= 21 532 2x x   . (2)∵y= 21 532 2x x   = 21 ( 3) 22 x   ∴顶点坐标为(-3,2), ∴欲使函数的图象与 x 轴只有一个交点,应向下平移 2 个单位. 28(1)y=-2x2+1,y=-2x+1. (2)y=x2-2x-3 (3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为 y=m(x-0)2+c(m≠0). ∴设抛物线过 P 24,2 4 b ac b a a     , ∴ 224 4 2 ac b bm ca a        解得 m=-a,∴伴随抛物线关系式为 y=-ax2+c. 设伴随直线关系式为 y=kx+c(k≠0). ∵P 24,2 4 b ac b a a     在此直线上,∴ 24 4 2 ac b bk ca a        , ∴k= 2 b . ∴伴随直线关系式为 y= 2 b x+c (4)∵抛物线 L 与 x 轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac. ∵x2>x1>0,∴x1+ x2= - b a >0,x1x2= c a >0,∴ab<0,ac>0. 对于伴随抛物线 y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得 x= c a  . ∴ ,0 , ,0c cC Da a              ,∴CD=2 c a . 又 AB=x2-x1= 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4( ) ( ) 4 4b c b acx x x x x x a a a             . 由 AB=CD ,得 2 4b ac a  =2 c a , 整理得 b2=8ac,综合 b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8 ac,得 a,b,c 满足的条件为 b2=8ac 且 ab<0,(或 b2=8ac 且 bc<0). 29.令 x=0,得 y=-3,故 B 点坐标为(0,-3). 解方程-x2+4x-3=0,得 x1=1,x2=3. 故 A、C 两点的坐标为(1,0),(3,0). 所以 AC=3-1=2,AB= 2 21 3 10  ,BC= 2 23 3 3 2  , OB=│-3│=3. C△ABC=AB+BC+AC= 2 10 3 2  . S△ABC= 1 2 AC·OB= 1 2 ×2×3=3. 30．(1)y=－2x2+180x－2800. (2)y=－2x2+180x－2800 =－2(x2－90x)－2800 =－2(x－45)2+1250. 当 x=45 时，y 最大=1250. ∴每件商品售价定为 45 元最合适，此销售利润最大，为 1250 元. 31．(1)S=4x- 3 2 x2;(2)1.2≤x<1.6 32(1)依题意得 鸡场面积 y=－ .3 50 3 1 2 xx  ∵y=－ 3 1 x2+ 3 50 x= 3 1 (x2－50x) =－ 3 1 (x－25)2+ 3 625 , ∴当 x=25 时，y 最大= 3 625 , 即鸡场的长度为 25 m 时，其面积最大为 3 625 m2. (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为 n x50 m. ∴y= n x50 ·x=－ n 1 x2+ n 50 x =－ n 1 (x2－50x ) =－ n 1 (x－25)2+ n 625 , 当 x=25 时，y 最大= n 625 , 即鸡场的长度为 25 m 时，鸡场面积为 n 625 m2. 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是 25 m. 33(1)如下表 v … －2 －1 － 2 1 0 2 1 1 2 3 … I … 8 2 2 1 0 2 1 2 8 18 … (2)I=2·(2v)2=4×2v2. 当汽车的速度扩大为原来的 2 倍时，撞击影响扩大为原来的 4 倍. 34(1)设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c. 由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).                 .5.3 ,0 ,2.0 ,5.15.105.3 ,5.3 ,02 2 c b a cba c a b 得 ∴抛物线的表达式为 y= －0.2x2+3.5. (2)设球出手时，他跳离地面的高度为 h m，则球出手时，球的高度为 h+1.8+0.25=(h+2.05) m, ∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5, ∴h=0.2(m). 二次函数复习题 一、二次函数的图象及性质复习： 1、抛物线 21 ( 2) 43y x   可以通过将抛物线 y＝ 向 平移 个单位、再向 平移 个单位得到。 2、抛物线 21 ( 4) 72y x   的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，它的开 口向 ，在对称轴的左侧，即当 x< 时，y 随 x 的增大而 ；在对称轴的 右侧，即当 x> 时，y 随 x 的增大而 ；当 x= 时，y 的值最 ， 最 值是 。 3 、将抛物线 y=3x2 向左平移 6 个单位，再向下平移 7 个单位所 得新抛物线的解析式 为 。 4、若抛物线 21 32y x mx   的对称轴是直线 x=4，则 m 的值为 。 5、抛物线与 x 轴的公共点是（－1,0），（3,0），则这条抛物线的对称轴是 。 6、若抛物线经过点（－6,5）（2,5），则其对称轴是 。 7、通过配方将下列函数写成 y=a(x－h)2+k 的形式： （1）y=4x2―24x+26 （2） 21 44y x x    (3) y=(x+2)(1－2x) [来源:学科网 ZXXK][来源:学科网 ZXXK] 二、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式。[来源:学科网] 1、已知y=x2+x－6，当 x=0 时，y= ；当 y=0 时，x= 。 2、直线 y=2x+4 与 y 轴交点的坐标为 ，与 x 轴交点的坐标为 。 3、抛物线 21 732 2y x x   与 y 轴交点的坐标为 ，与 x 轴交点的坐标 为 。 4、抛物线 y=(x+3)2－25 与 y 轴交点的坐标为 ，与 x 轴 交点的坐标 为 。 5、已知函数 y = x2+bx- 1 的图像经过（3,2).(l）求这个函数的解析式； (2）画出它的图像， 并指出图像的顶点坐标；(3）当 x>0 时，求使 y  2 的 x 的取值范围． [来源:Z#xx#k.Com] [来源:学#科#网] 二次函数单元测试题 时间：45 分 满分：100 分 一、选择题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分) 1、抛物线 1)3(2 2  xy 的顶点坐标是（ ） A.（3,1） B.（3，-1) C.(-3,1) D.(-3,-1) 2、抛物线 442  xxy 的对称轴是( ) A. 2x B. 2x C. 4x D. 4x 3、抛物线 23y x 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是 ( ) （Ａ） 23( 1) 2y x   （Ｂ） 23( 1) 2y x   （C） 23( 1) 2y x   （D） 23( 1) 2y x   6、 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称 轴为直线 x=-1，P1(x1，y1 )，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线 上的点，且-10,b<0 时,它的图象经过( ) A.一、二、三象限; B.一、二、四象限;C．一、三、四象限; D.一、二、三、四象限. 9、若 0b ，则二次函数 12  bxxy 的图象的顶点在 （ ） （A）第一象限;（B）第二象限;（C）第三象限;（D）第四象限 10、已知二次函数 222 )(22 baxbaxy  ， ba, 为常数，当 y 达到最小值时，x 的 值为（ ） （A） ba  ; （B） 2 ba  ; （C） ab2 ; （D） 2 ba  11、当 a>0, b<0,c>0 时,下列图象有可能是抛物线 y=ax2+bx+c 的是（ ） 12、不论 x 为何值,函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的值恒大于 0 的条件是( ) A.a>0,△>0; B.a>0, △<0; C.a<0, △<0; D.a<0, △<0 二、填空题： 13、如图，已知点 M（p，q）在抛物线 y＝x2－1 上，以 M 为圆心的圆与 x 轴交于 A、B 两 点，且 A、B两点的横坐标是关于 x 的方程 x2－2px＋q＝0 的两根，则弦 AB 的长等于_______。 14、设 x、y、z 满足关系式 x－1＝ 2 1y ＝ 3 2z ，则 x2＋y2＋z2 的最小值为＿＿ 。 15、已知二次函数 y＝ax2（a≥1）的图像上两点 A、B 的横坐标分别是－1、2，点 O 是坐标 原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为 ＿＿ 。 16、已知二次函数 y＝－4x2－ 2mx＋m2 与反比例函数 y＝ x m 42  的图像在第二象限内的一 个交点的横坐标是－2，则 m 的值是＿＿ 。 17、已知二次函数 22 )3()1(  xxy ，当 x＝_________时，函数达到最小值。 18、有一个抛物线形拱桥，其最大高度为 16m，跨度为 40 m，现把它的示意图放在平面直 角坐标系中如 图（4），求抛物线的解析式是_______________。 19、如图（5），A、B、C 是二次函数 y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像上三点,根据图中给出的 三点的位置,可得 a_______0，c________0, ⊿________0. · y B xM AO 20、老师给出一个函数,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质: 甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。 丙：当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小。丁：当 x＜2 时，y＞0， 已 知 这 四 位 同 学 叙 述 都 正 确 ， 请 构 造 出 满 足 上 述 所 有 性 质 的 一 个 函 数 ___________________。 21、已知二次函数 y=x2＋bx＋c 的图像过点 A（c，0），且关于直线 x=2 对称，则这个二次函 数的解析式可能是_____________________________________.（只要写出一个可能的解析 式） 22、炮弹从炮口射出后,飞行的高度 h（m）与飞行的时间 t（s）之间的函数关系是 h=v0tsin α—5t2,其中 v0 是炮弹发射的初速度, α是炮弹的发射角,当 v0=300（ sm ）, sinα= 2 1 时， 炮弹飞行的最大高度是___________。 23、抛物线 y=-（x-L）(x-3-k)+L 与抛物线 y=(x-3)2+4 关于原点对称，则 L+k=________。 三、解答题： 23、已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1、x2，一元二次 方程 x2＋b2x＋20＝0 的两实根为 x3、x4，且 x2－x3＝x1－x4＝3，求二次函数的解析式，并写 出顶点坐标。 24、2010 年度东风公司神鹰汽车改装厂开发出 A 型农用车，其成本价为每辆 2 万元，出厂 价为每辆 2.4 万元,年销售价为 10000辆,2011 年为了支援西部大开发的生态农业建设,该厂抓 住机遇,发展企业,全面提高 A 型农用车的科技含量,每辆农用车的成本价增长率为 x，出厂价 增长率为 0.75x，预测年销售增长率为0.6x.（年利润=（出厂价－成本价）×年销售量） (1)求 2011 年度该厂销售 A 型农用车的年利润 y（万元）与 x 之间的函数关系。 (2)该厂要是 2001 年度销售 A 型农用车的年利润达到 4028 万元，该年度 A 型农用车的年销 售量应该是多少辆？ 25、如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是 AB 宽 20m，水位上升 3m 就达到警戒 线 CD，这是水面宽度为 10m。 （1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式。 (2)若洪水到来时，水位以每小时 0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到 拱桥顶？ 26、二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程 2 0ax bx c   的两个根； （2）写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围； 29、某商场将进价为 30 元的书包以 40 元售出， 平均每月能售出 600 个，调查表明：这种 书包的售价每上涨 1 元，其销售量就减少 10 个。 （1）请写出每月售出书包的利润 y 元与每个书包涨价 x 元间的函数关系式； （2）设每月的利润为 10000 的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是， 请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元。 （3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润。 x y 3 3 2 2 1 1 41 1 2 O 参考答案 一、选择题： AABAC,CDBDB,AB 二、填空题： 13.2; 14. 59 14 15. 5224  ; 16.-7; 17.2; 18. Y=0.04x2+1.6x; 19. <、<、>; 20.略; 21. 只要写出一个可能的解析式; 22. 1125m 23.-9. 三、解答题： 24. y=x2+3x+2 (-3/2,- 1/4) 25. y=-1200x2+400x+4000;11400,10600; 28.(1)X=1 或 X=3;(2)X>2 29.略. 第 1 课时 图形的旋转 第 1 课时 1.填空：如图，钟表的时针在不停地旋转， 从 3 时到 5 时，时针的旋转中心是点 ， 旋转角等于 °，点 B 的对应点是点 . 2.填空：如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠 杆的旋转中心是点 ，旋转角是 ∠ ，点 A 的对应点是点 . 3.如图，扎西坐在旋转的秋千上，请在图中画出点 A，B，C 的对应点 A′，B′，C′. 第 2 课时 （一）基本训练，巩固旧知 1.填空：把一个平面图形绕着平 面内某一点 O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点 O 叫 做旋转 ，转动的角叫做旋转 .如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这 两个点叫做旋转的 . 2.填空： (1)如图，△ABC 绕点 A 旋转得到△ADE，旋转中心 是点 ，点 B 的对应点是点 ，点 C A B C E D A C B 的对应点是点 ，∠ 等于 于旋转角； (2)如图，△ABC 绕点 O 旋 转得到△DEF，旋转中心是 点 ，点 A 的对应点是 点 ，点 B 的对应点是 点 ，点 C 的对应点是 点 ，∠ 等于 于旋转角. 3.利用“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”，画出下图中的旋转角，并用量角 器量出旋转角的度数. 4.如图，四边形 ABCD 是正方形，以点 A 为中心，把△ ADE 顺时针 旋转 90°，利用图形 旋 转的性质，画出旋转后的图形. （先让生做 4 题，然后师出示旋转后的图形，并利用性质解释点 D 转到了点 B，点 E 转到 了点 F） 第 3 课时 （一）基本训练，巩固旧知 1.填空：图形旋转的性质是： (1)旋转前后的图形 ； (2 )对应点到旋转中心的距离 ； O . F E D A B C E D C B A (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 . 2.如图，以点 O 为中心，把点 P 顺时针旋转 45°. 3.如图，以点 O 为中心，把线段 AB 逆时针旋转 90°. 4.如图，以点 O 为中心，把△ABC 顺时针旋转 120°. 5.如图， 以点 B 为中心，把△ABC 旋转 180°. B A C B A C . O A B O . . O P . 第 2 课时 旋转作图及变换 知识点 1.图形旋转的性质是：(1)旋转前后的图形 ；(2 )对应点到旋转中心的距离 ； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 2.简单的旋转作图---旋转作图的步骤 （1）确定旋转 ； （2）找出图形的关键点； （3）将图形的关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个角，得到 此关键点的对应点； (4)按图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形。 一、选择题 1．在图形旋转中，下列说法错误的是（ ） A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B．图形上每一点移动的角度相同[来源:Zxxk.Com] C．图形上可能存在不动的点 D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等 2．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（ ） 3.如 图所示的图案绕旋转中 心旋转后能够与自身重合，那么它的旋转角可能是（ ）。 A.60° B.90° C.72° D.120° 4．如图，摆放有五杂梅花，下列说法错误的是（以中心梅花为初始位置）（ ） A．左上角的梅花只需沿对角线平移即可 B．右上角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转 45° C．右下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转 180[来源:学科 网 ZXXK] D．左下角的梅花需先沿对角线平移后，再顺时针旋转 90° 5 △ABC 绕着 A 点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等 于（ ） A．50° B．210° C．50°或 210° D．130° 二、填空题 6．图形的平移、旋转、轴对称中，其相同的性质是_________. 7．如图，△ABC 和△ADE 均是顶角为 42°的等腰三角形，BC、DE 分别是底边，图中的△ ABD 绕 A 旋 转 42 ° 后 得 到 的 图 形 是________ ， 它 们 之 间 的 关 系 是 ______ ， 其 中 BD=_________． 8、如图，将△OAB 绕点 0 按逆时针方面旋转至△0A′B′，使点 B 恰好落在边 A′B′上．已知 AB=4cm，BB′=lcm，则 A′B 长是_______cm． 9、如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(1，4)，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 90°得 到 线 段 OA′ ， 则 点 A′ 的 坐 标 是 ___________. 10．如图，自正方形 ABCD 的顶点 A 引两条射线分别交 BC、CD 于 E、F，∠EAF=45°，在 保持∠EAF=45°的前提下，当点 E、F 分别在边 BC、CD 上移动时，BE+DF与 EF 的关系 是________． 11.如图，在直角坐标系中，已知点 )0,3(A 、 )4,0(B ，对△ OAB 连续作旋转变换，依次得到 三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的 坐标为__________． 三、综合提高题 12.观察下列图形，它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到的？ 13.如图：若∠AOD=∠BOC=60°,A、O、C 三点在同一条线上，△AOB 与△COD 是能够重合 的图形。 求：（1）旋转中心; （2）旋转角度数; （3）图中经过旋转后能重合的三 角形共有几对？若 A、O、C 三点不共线，结论还成立 吗？为什么？ （4）求当△BOC 为等腰直角三角形 时的旋转角度 （5）若∠A=15°，则求当 A、C、B 在同一条线上时的旋 转角度 14 作图⑴.如图，以点 O 为中心，把点P 顺时针旋转 45°. ⑵如图，以点 O 为中心，把线段 AB 逆时针旋转 90°. ⑶.如图，以点 O 为中心，把△ABC 顺时针旋转 120°. ⑷.如图， 以点 B 为中心，把△ABC 旋转 180°. 15．如图，K 是正方形 ABCD 内一点，以 AK 为一边作正方形 AKLM，使 L、M在 AK 的同旁， 连接 BK 和 DM，试用旋转的思想说明线段 BK 与 DM 的关系． FE CA O B D B A C B A C . O A B O . . O P . B 1 A O B A 1 16、如图，已知 A、B 是线段 MN 上的两点， 4MN ， 1MA ， 1MB ．以 A 为中心顺时 针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成△ABC，设 xAB  ． （1）求 x 的取值范围； （2）若△ABC 为直角三角形，求 x 的值.[来源:学|科|网 Z|X|X|K] [来源:学。科。网] [来源:Z_xx_k.Com] 17.如图，在 Rt OAB 中， 90OAB   ， 6OA AB  ，将 OAB 绕点O 沿逆时针方向 旋转90 得到 1 1OA B ． （1）线段 1OA 的长是_____________， 1AOB 的度数是_____________； （2）连结 1AA ，求证：四边形 1 1OAA B 是平行四边形． C A B NM C A B NM D B 1 A O B A 1 23.1.2 知识点 1 形状与大小不变， 相等，旋转角 2.（1）转中心、旋转方向、旋转角 1-5ADC BC 6.图形变换前后大小与形状不变 7. △ACE,全等，CE 8. 3CM 9.(-4,1) 10. BE+DF=EF 11.（36，0）. ∵每三次变换为一个循环，直角顶点的横坐标为12 3 36  . 12---14 略 15．解：∵四边形 ABCD、四边形 AKLM 是正方形 ∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM 为旋转角且为 90° ∴△ADM 是以 A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角由△ABK 旋转而成的 ∴BK=DM 16.解：（1）在△ABC 中，∵ 1AC ， xAB  ， xBC  3 ． ∴      xx xx 31 31 ，解得 21  x ． （2）①若 AC 为斜边，则 22 )3(1 xx  ，即 0432  xx ，无解． ②若 AB 为斜边，则 1)3( 22  xx ，解得 3 5x ，满足 21  x ． ③若 BC 为斜边，则 22 1)3( xx  ，解得 3 4x ，满足 21  x ． ∴ 3 5x 或 3 4x ． 17.、解：（1）6，135°；（2） 1 1 1 90AOA OA B     ， ∴ 1 1//OA A B ． 又 1 1OA AB A B  ，∴四边形 1 1OAA B 是平行四边形． 23.2 中心对称(A 卷) （教材针对性训练题 50 分 40 分钟） 一、选择题（每题 3 分，共 18 分） 1．关于中心对称的描述不正确的是（ ） A．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形对 称; B．关于中心对称的两个图形是全等的; C．关于中心对称的两个图形，对称点的连线必过对称中心; D．如果两个图形关于点 O 对称，点 A 与 A′是对称点，那么 OA=OA′ 2．下面关于中心对称图形的描述，正确的是（ ） A．中心对称图形与中心对称是同一个概念; B．中心对称描述的是两个图形的位置关系，中心对称图形是一个图形的性质; C．一个图形绕着某一点旋转的过程中，只要能与原来的图形重合，那么这个图形就叫 做中心对称图形; D．中心对称图形的对称中心可能有两个 3．关于平行四边形的对称性的描述，错误的是（ ） A．平行四边形一定是中心对称图形; B．平行四边形一定是轴对称图形; C．平行四边形的对称中心是两条对角线的交点; D．平行四边形的对称中心只有一个 4．下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A．长方形 B．圆 C．线段 D．五角星 5．我国香港特别行政区的区徽图案是一朵紫荆花，如图所示，这个图形（ ） A．是中心对称图形而不是轴对称图形; B．是轴对称图形而不是中心对称图形; C．既是中心对称图形，又是轴对称图形; D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形 6．在平面直角坐 标系中，点 A 的坐标是（2，-3），若点 B 与点 A 关于原点 O 对称，则点 B 的坐标是（ ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（-2，-3） D．（2，-3） 二、填空题（每题 3 分，共15 分） 7．ABCD 的对角线交于点 O，则关于点 O 对称的三角形有______对，它们是______． 8．在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（3，a），点 B 的坐标是（b，-1），若点 A 与点 B 关于原点 O 对称，则 a=_____，b=______． 9．如图所示，图中的四个图形，两两成中心对称图形的是_______． 10．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这些图形中，是中心对称图形但不是 轴对称图形的是_________． 11．请你写出一个是轴对称图形而不是中心对称图形的例子，它可以是_______． 三、作图题（12 题 5 分，其余各 6 分，共 17 分） 12．如图所示，作出△ABC关于点 O 对称的△A′B′C′． 13．如图所示，已知线 AB 和点 P，求作平行四边形 ABCD，使点 P 是它的对称中心． 14．如图所示，作出四边形 ABCD 关于点 A 中心对称的四边形 AEFG． 参考答案 一、 1．A 点拨：中心对称的定义在于旋转 180°能与原图形重合，必须是 180°． 2．B 点拨：选项 B 中的描述是区别中心对称和中心对称图形的根本点，其他几个选项都 是错误的． 3．B 点拨：由平行四边形的性质可以知道，平行四边形绕着它的对角线的交点旋转 180° 能与原来的图形重合，那么它是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，特 殊的平行四边形是轴对称图形，一般的平行四边形不是轴对称图形． 4．D 点拨：五角星在绕着它的中心旋转 180°后，不能与原来的图形重合，故不是中心 对称图形． 5．D 点拨：先把这个紫荆花图案绕它的中心旋转 180°后，不能与原来的图形重合，所以 不是中心对称图形，它也不是轴对称图形． 6．B 点拨：关于原点对称的两个点，它们的横、纵坐标均互为相反数． 二、 7．四 △ACD 与△CAB；△AOB 与△COD ；△ABD 与△CDB；△AOD 与△COB 点拨：画出图形，认真观察． 8．1；-3 9．①和③，②和③ 点拨：容易漏掉①和③这一组． 10．平行四边形 点拨：矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，而等 腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形． 11．等边三角形 点拨：这样的图形不止一个，任写一个满足条件的即可． 三、 12．解：如答图所示． 作法：①连接 AO 并延长至 A′，使 OA′=OA． ②连接 BO 并延长至 B′，使 OB′=O B． ③连接 CO 并延长至 C′，使 OC′=OC． ④连接 A′B′、B′C′、C′A′． △ A′B′C′即为所求． 点拨：首先应掌握对称点的作法，这是作中心对称图形的基础．作一个图形的中心对 称图形，只要作出各顶点的对称点，然后再顺次连接即可． 13．解：如答图所示． 作法：①连接 AP 并延长至 C，使 PC=PA． ②连接 BP 并延长至 D，使 PD=P B．③连接 BC、CD、DA． 四边形 ABCD 即为所求． 点拨：由于 PA=PC，PB=PD．所以四边形 ABCD 是平行四边形，且 P 为对称中心． 14．解：如答图所示，作法同 12 题． 23.2 中心对称(B 卷) （综合应用创新能力提升训练题 100 分 80 分钟） 一、学科内综合题（3 题 10 分，其余各 7 分，共 31 分） 1．若点 A 的坐标是（a，b）且 a、b 满足 3a  +b2+4b+4=0，求点 A 关于原点 O 的对称点 A′的坐标． 2．若 x1、x2 是方程 5x2-4x-1=0 的两个根，且点 A（x1，x2）在第二象限，点 B（m，n）和点 A 关于原点 O 对称，求 2 2m n m n   的值． 3．把下列图形的序号填在相应的横线上: ①线段;②角;③等边三角形;④等腰三角形（底边和腰不等）; ⑤平行四边形; ⑥矩形; ⑦ 菱形; ⑧正方形. （1）轴对称图形：__________． （2）中心对称图形：________． （3）既是轴对称图 形，又是中心对称图形：________． （4）是轴对称图形，而不是中心对称图形：_________． （5）不是轴对称图形，而中心对称图形：________． 4．在等腰直角三角形 ABC 中，∠C=90°，BC=2cm，以 AC 的中点 O 为旋转中心，把这个三 角形旋转 180°，点 B 旋转至 B′处，求 B′与 B 之间的距离． 二、实际应用题（6 分） 5．华丰木器加工厂需加工一批矩形木门，为了安装的需要，在木门的中心要钻一个小孔， 假如你是工人师傅，你应该如何确定小孔的位置． 三、创新题（6 题 10 分，7 题 9 分，其余每题 12 分，共 43 分） 6．（巧解妙解）如图所示，△ABC 中，M、N 是边 BC 的三等分点，BE 是 AC 边上的中线， 连接 AM、AN，分别交 BE 于 F、G，求 BF：FG：CE 的值． 7．（新情境新信息题）魔术师把四张扑克牌放在桌子上，如图 23 -2-7 所示，然后蒙住眼睛， 请一位观众上台把其中的一张处牌旋转 180°放好，魔术师解开蒙着的眼睛的布后，看到 四张牌如图 23-2-8 所示，他很快确定了被旋转的那一张牌，聪明的同学们，你知道哪一张 牌被观众旋转过吗？说说你的理由． 8．（一题多解）如图所示，△ABC 与△A′B′C′关于点 O 中心对称，但点 O 不慎被涂掉了， 请你帮排版工人找到对称中心 O 的位置． 9．（多变题）如图所示，点 P1 在四边形 ABCD 的内部，点 P2 在边 CD 上，直线 L在四边形 ABCD 外．作出四边形 ABCD 关于点 P1 对称的四边形 A 1B1C1D1（不写作法）． （1）一变：作出四边形 ABCD 关于点 P 对称的四边形 A2B2C2D2． （2）二变：作出四边形 ABCD 关于直线 L 对称的四边形 A3B3C3D3． 四、经典中考题（20 分） 10．如图所示，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=2CD ．AC，BD 交于点 O，且点 E、F 分 别为 OA、OB 的中点，则下列关于点 O成中心对称的一组三角形是（ ） A．△ABO 与△CDO; B．△AOD 与△BOC; C．△CDO 与△EFO; D．△ACD 与△BCD 11．如图所示，图中不是中心对称图形的是（ ） 12．如图所示，图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 13．下面的平面图形中，不是中心对称图形的是（ ） A．圆 B．菱形 C．矩形 D．等边三角形 14．如图所示，图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 15．如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 参考答案 一、 1．解：因为 3a  +b2+4b+4=0， 所以 3a  +（b+2）2=0． 因为 3a  ≥0，（b+2）2≥0， 所以 a-3=0，b+2=0．即 a=3，b=-2， 所以点 A 的坐标是（3，-2）． 又因为点 A 和点 A′关于点 O 对称，所以 A′（-3，2）． 点拨：解题的关键在于求出 a、b 的值． 2．解：因为点 A（x1，x2）在第二象限，所以 x1<0，x2>0． 方程 5x2-4x-1=0 的两个根是 x1=- 1 5 ，x=1． 又因为点 B 和点 A 关于原点对称，所以 m= 1 5 ，n=-1． 所以 2 2m n m n   = 2 21 26( ) ( 1) 13 1955 25 1 6 15 1515 5       ． 点拨：依据各象限中点的符号特征区分清楚 x1 和 x2 是解决本题的关键． 3．解：（1）①②③④⑤⑥⑦⑧ （2）①⑤⑥⑦⑧ （3）①⑥⑦⑧ （4）②③④ （5）⑤ 点拨：此题的综合性很强，综合了我们在七、八、九年级所学的平面图形，关于对称的 知识要全面掌握． 4．解：如答图所示． 因为 AC=BC=2cm，所以 OC=1cm． 在 Rt△BOC 中，OB= 2 2BC OC = 2 22 1 = 5 （cm）， 又因为 OB′=OB= 5 cm，所以 BB′=2 5 cm． 点拨：画出符合题意的图形后，由勾股定理可求出 OB 的长，根据中心 对称图形的性 质可求出 OB′，则 BB′=BO+OB′． 二、 5．解：只要画出矩形木门的两条对角线，两对角线的交点即为 小孔的位置（如答图所示的 O 点）． 点拨：矩形的两条对角线可以看作是两对对应点的连线．中 心对称图形上的每一对对应点所连成的线段，都过对称中心， 且被对称中心平分，而矩形的两条对角线互相平分，故两条对 角线的交点，必为对称中心． 三、6．解：如答图所示． 作已知图形的中心对称图形，以 E 为对称中心．令 BF=a，FG=b，GE=c． 因为 M′C∥AM，N′C∥AN 所以 a：（2b+2c）=BM：MC=1：2 所以 a=b+c，而（a+b）：2c=BN：NC=2：1 所以：a+b=4c，所以 a= 5 2 c，b= 3 2 c． 所以 BF：FG：GE=5：3：2． 点拨：要求线段的比，通过作平行线构造比例线段是一种重要的方法． 7．解：第一张扑克牌即方块 4 被观众旋转过． 理由是：这四张扑克牌中后三张上的图案，都不是中心对称图形．若它们被旋转过， 则与原来的图案是不同的，魔术师通过观察发现后三张扑克牌没有变化，那么变化的自然 是第一张扑克牌了．由于方块 4 的图案是中心对称图形，旋转过的图案与原图案完全一样， 故选方块 4． 点拨：不认真观察和思考是不行的，由于左边这四张牌与右边的牌完全相同．似乎没 有牌被动过，所以旋转后的图形与原图形完全一样，那么被动过的这张牌上的图案一定是中 心对称图形． 8．解法一：连接 CC′，取线段 CC′的中点，即为对称中心 O． 解法二：连接 BB′、CC′，两线段相交于 O 点，则 O 点即为对称中心． 点拨：解法一中连接 AA′或 BB′，然后取其中点也可得到对称中心．由定义知，对称 中心即为对应点连线的中点．对所学的知识要活学活用，理解透彻． 9．解：四边形 ABCD 关于点 P1 对称的四边形 A1B1C1D2 如答图所示． （1）四边形 ABCD 关于点 P2 对称的四边形 A2B2C2D2 如答图所示． （2）四边形 ABCD 关于直线 L 对称的四边形 A3B3C3D3，如答图所示． 点拨：注意区别中心对称与轴对称的作图方法． 四、 10．C 点拨：图中△DOC 与△EOF 全等，OC=OE，且 OD=OF． 11．B 点拨：把图案绕着中心旋转 180°，不能与原来的图案重合的只有 B． 12．C 点拨：选项 A 是中心对称图形而不是轴对称 图形，选项 B 和选项 D是轴对称图形 而不是中心对称图形，故选 C． 13．D 14．D 点拨：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 15．D 点拨：第一个图案是轴对称图形，而不是中心对称图形．其余三个图案既是中心 对称图形，又是轴对称图形． 23.2 中心对称 第 1 课时 （一）基本训练，巩固旧知 1.如图，以点 O 为中心，把△OAB 旋转 180°. 2.如图，以点 O 为中心，画出点 P 关于点 O 的对称点 P′. 3.如图，以点 O 为中心，画出与线段 AB 关于点 O 对称的线段 A′B′. 4.如图，以点 O 为中心，画出与△ABC 关于点 O 对称的△A′B′C′. 第 2 课时 1.填空： (1)把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这 两个图形关于这个点对称或中心 ，这个点叫做 中心，这两个图 形中的 对应点叫做关于中心的 点. A B O . O P . A B . O O . C A B (2)中心对称的性质有：中心对称的两个图形是 图形；中心对称的两个图形，对 称点所连线段 都 对称中心，而且被对称中心所 . 2.画出下面图形关于点 O 对称的图形： 3.下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点 O 标出对称中心. 4.下列汽车标志中，哪些是中心对称图形？. 第 3 课时 （一）基本训练，巩固旧知 1.如图， (1)画出点 A 关于 x 轴的对称点 A′； (2)画出点 B 关于 x 轴的对称点 B′； (3)画出点 C 关于 y轴的对称点 C′； (4)画出点 A 关于 y 轴的对称点 D′. O . 2.填空： (1)点 A(-2，1)关于 x 轴的对称点为 A′( ， )； (2)点 B(0，-3）关于 x 轴的对称点为 B′( ， )； (3)点 C(-4，-2）关于 y 轴的对称点为C′( ， )； (4)点 D(5，0）关于 y 轴的对称点为 D′( ， ). 3.探究题 如图，A(3，2)，B(-3，2)， C(3，0)， (1)在直角坐标系中，画出点 A，B，C 关于原点的对称点 A′，B′，C′； (2)点 A(3，2)关于原点的对称点为 A′( ， )， 点 B(-3，2)关于原点的对称点为 B′( ， )， 点 C(3，0)关于原点的对称点为 C′( ， )； (3)你发现点P(x，y)关于原点的对称点 P′( ， ). 4.填空： (1)点 A(8，-6)关于原点的对称点是 A′( ， )； (2)点 B(0，5)关于原点的对称点是 B′( ， )； (3)点 C( ， )关于原点的对称点是 C′(4，7)； (4)点 D( ， )关于原点的对称点是 D′(0，0). 23.2.1 中心对称 知识点 1．中心对称的概念 把一个图形绕着某一个点旋转 度，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个 图形关于这个点对称，也称 。这个点叫做 ，这两个图形中的对应点叫做关于中 心的 。 2．成中心对称的两个图形的特征 （1）关于中心对称的两个图形是 。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，且被 平分。 （3）成中心对称的两个图形，其对应线段位置关系是 或 ，数量关系是 。 3.画已知图形关于某点成中心对称的图形 (1) 画一个点关于某点(对称中心)的对称点的画法是： ①先连接 与 。[来源:Zxxk.Com] ②延长取 。 (2) 画一个图形关于某点的对称图形的画法是： ①先找出图形中的几个特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心 等）。 ②画出各点关于某点 的点。 ③顺次连接各 。 一．选择 1．下列两个电子数字成中心对称的是（ ） 2.下列命题中正确的命题的个数有 （ ） ①在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分； ②关于某一点成中心对称的两个三角形能重合； ③两个能重合的图形一定关于某点中心对称； ④如果两个三角形的对应点连线都经过同一点，那么这两个三角形成中心对称； ⑤成中心对称的两个图形中，对应线段互相平行或共线。 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.下列说法中，正确的的是 （ ） A.形状和大小完全相同的两个图形成中心对称； B.成中心对称的两个图形一定重合； C.成中心对称的两个图形的形状和大小完全重合； D.旋转后能重合的两个图形成中心对称 。 4.下列描述中心对称的特征语句中正确的是 （ ） A、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心。 B、成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段。 C、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段经过对称中心，但不一定被对称中心平 分。 D、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中 心，且被对称中心平分。 5.如图（1），将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形 是图（2）中的哪一个 （ ） （1） . （2） 6.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 120° 的菱 形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ） A. 15°或 30° B. 30°或 45° C. 45° 或 60°D. 30°或 60° 7.如图，将△ABC 绕点 C（0，1）旋转 180°得到△A'B'C，设点 A'的坐标为 ( , )a b ，则点 A 的坐标为（ ） （A） ( , )a b  （B） ( , 1)a b   （C） ( , 1)a b   （D） ( , 2)a b   二 填空 8.下列图形中符合中心对称的意义的是＿＿ ①矩形 ②菱形 ③平行四边形 ④等腰梯形 ⑤等边三角形 9.上图中的△A′B′C′是由△ABC 绕点 P 旋转 180°后得到的图形， 根据旋转的性质回答下列问题： （1） PA 与 PA′的数量关系是＿＿。 （2） ∠A PA′的度数为＿＿。 （3） 线段 A A′经过点 P ，且被其＿＿。 （4）△A′B′C′与△ABC ＿＿。 10.在等腰三角形 ABC 中，∠C=90°，BC=2 ㎝，如果以 AC 的中点 O 为旋转中心，将这个三角 形旋转 180°，点 B 落在点 B′处，那么点 B′与点 B 的位置相距＿＿。 三、作图 11..作出图中△ABC 关于点 P 成中心对称的图形△A′B′C′. A' y C A B O B' x 12.如图（1），已知四边形 ABCD 和一点 O，求作四边形 A′B′C′D′，使它与四边形 ABCD 关 于点 O 对称；如果把 O 点移至如图（2）所示位置,又该怎么作图呢? （1） （2）[来源:学科网 ZXXK] [来源:学科网] 13.如图，已知四边形 ABCD 和一点 O，O 与 C 重合,求作四边形 A′ B′C′D′，使它与四边形 ABCD 关于点 O 对称. . 14.如图，△ABC 与△A′B′C′关于某一点成中心对称，画出对称中心. 四．解答 15.如图，已知四边形 ABCD 关于 O 点成中心 对称,求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 16、如图已知 A（3，-3），B（-2，-1）， C（-1，-2）是直角坐标平面上三 点， （1）请画出△ABC 关于原点 O 对称 的△A 1 B 1 C 1 （2）请写出点 B 关于 y 轴对称的点 B 2 的坐标，若将点 B 2 向上平移 h 个单位，使其落在 △A 1 B 1 C 1 的内部，指出 h 的取值范围。 23.2.1 一、1、A 2、D 3、C 4、D 5、D 6、D 7、D 二．8、①②③ 9、（1）相等、(2)180°、（3）平分、（4）全等 10、 2 5 11、 12、 （1） （2） 13、[来源:学科网] 14、 15、由中心对称的性质可得 OB=OD,OA=OC.所以四边形 ABCD 是平行四边形. 16、解、⑴如下图所示[来源:学科网 ZXXK] （2）点 B 2 的坐标为（2，-1）。h 的取值范围是 2＜h＜3.5 23.2.2 中心对称图形 知识点 在平面内，一个图形绕某个点旋转 ，如果旋转前后的图形互相重合，那么这 个图形叫做中心对称图形，这个点叫做 。 一．选择 1.下.图中，是中心对称图形的是( ) 2.图中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) [来源:学科网 ZXXK] 3、下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4.如图(1)，把 4 张扑克牌放在桌上，然后把其中 三张扑克牌绕自身中心旋转 180°后，得到 如图(2).你知道哪一张扑克牌没被旋转过吗？（ ） [来源:学。科。网 Z。X。X。K] (1) （2） A B C D 5、单词 NAME 的四个字母中，是中心对称图形的是（ ） A．N B．A Ｃ．M D．E 6.下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）. A. B. C. D. 7、如图，点 A，B，C 的坐标分别为 (0 1) (0 2) (3 0)， ，，，， ．从下面四个点 (3 3)M ， ， (3 3)N ， ， ( 3 0)P  ， ， ( 31)Q  ， 中选择一个点，以 A，B，C 与该点为顶点的四边形不是中心对称图形， 则该点是（ ） A ． M B ． N C ． P D．Q 二、填空 8..中心对称是＿＿个图形的特殊位置关系，中心对称图形是＿＿个具有特殊性质的图形； 把中心对称的＿＿个图形看成＿＿，就是一个＿＿，把中心对称图形被过对称中心的 任意直线分成的两部分看成＿＿，这两个图形就＿＿。 9.对于正 n 边形，当边数 n 为奇数时，它是＿＿图 形，但不是＿＿图形；当边数 n 为偶 数时，它既是＿＿图形，又是＿＿图形。正 n 边形有＿＿条对称轴。 10.下图中哪些图形绕其上的一点旋转 180°，旋转前后的图形能完全重合？ 图____________是. 11. 在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯形、⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧ 正 方 形 和 ⑨ 圆 中 ， 是 轴 对 称 图 形 的 有 ______________ 是 中 心 对 称 图 形 的 有 _____ __________ ， 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 有 ____________. 12.写出符合下列要求的汉字。 ⑴成轴对称图形的汉字 10 个 _______________________________________________________； [来源:学_科_网] ⑵成中心对称图形的汉字 5 个 ______________________________________________________； [来源:学科网 ZXXK] ⑶既成轴对称图形，又成中心对称图形汉字 5 个 _______________________________________； 三、作图及解答 13、如图所示，请在网格中作出 △ABC 关于点 O 对称的△A1B1C1，再作出△A1B1C1 绕点 B1 逆时针旋转 90°后的△A2B1C2. 14.在图 15-3-7 的两个圆中，按要求分别画出与图 15-3-6 中不重复的图案（用尺规画、徒手 画均可，但要尽可能准确、美观） a ．是轴对称图形但不是中心对称图形； b ．既是 轴对称图形又是中心对称图形． 15、.已知:如图 AD 是△ABC 中∠A 的平分线,DE//AC 交 AB 于 E.DF//AB 交 AC 于 E. 求证：点 E，F 关于直线 AD 对称. b a 23.2.2 一、 1.A 2. C 3.A 4.A 5.A 6.A 7.C 二、8、两、一、两、一个整体、中心对称图形、两个图形、中心对称 9、轴对称、中心对称图形、轴对称、中心对称图形、n 10、②⑤ 11、_①②③④⑥⑦⑧⑨ _①⑤⑥⑦⑧⑨_ __①⑥⑦⑧⑨ 12、略 13、略[来源:学.科.网] 14、略 15、证明：∵DE//AC DF//AB ∴四边形 AEDF 是平行四边形 ∵ DF//AB ∴∠1=∠3 ∵AD 平分 ∠BAC,∴∠1=∠2 ∵∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴AF=DF ∴ AEDF 是菱形 ∴AD 垂直平分 EF 则：E, F 关于 AD 对称 23.2.3 关于原点对称的点的坐标 知识点 1．对称点的点的坐标特点： 在平面坐标系中，两个点关于原点对称时，横坐标 ,纵坐标 。两个点关于x轴对称 时，横坐标 ,纵坐标 。两个点关于y轴对称时，横坐标 , 纵坐标 。 2.在平面直角坐标系中,作关于原点的中心对称的图形的步骤： （1）写出各点关于原点的对称的点的坐标; （2）在坐标平面内描出这些对称点的位置; （3）顺次连接各点即为所求作的对称图形. 一、选择 1、已知 0a  ，则点P( 2 , 1a a   )关于原点的对称点P′在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、设点A与点B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C( ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C关于原点对称． D．既关于x轴对称，又关于 y轴对称 3、将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A’, 点A’关于y轴对称的点的坐标为 （ ） A．(-3,2) B．(-1,2) C.(1,2) D.(1,-2) 4、已知反比例函数和正比例函数在第一象限的交点为A（1，3），则在第三象限的交点B为 （ ） A．(-1,-3) B．(-3,- 1) C.(-2,-6) D.(-6,-2) 5.已知点 A 的坐标为（-2，3）,点 B 的坐 标为（0，1）,则点 A 关于点 B 的坐标为（ ） A．（ -2,2 ） B.（2,-3 ） C.（ 2,-1 ） D.（2,3 ） 二、填空 6、点P（x，y）关于x轴对称的点P 1 为______；关于y轴对称的点P 2 为______；关于原点 的对称点P 3 为______。 7. 已知点 M 的坐标为(3,-5),则关于 x 轴对称的点的坐标点 M’的坐标为 ,关于 y 轴对称的点 M’的坐标为 ,关于原点对称的点的坐标为 . 8.点 M(-2,3）与 点 N（2,3）关于______对称；点 A(-2,-4）与点 B（2,4）关于______对称； 点 G(4,0）与点 H（-4,0）关于____ _____对称. 9、直线 3y x  上有一点P(3, n )，则点P关于原点的对称点P′为________. 10.已知点 P(a,3)和 P’(-4,b)关于原点对称,则(a+b)的值为 . 11.已知点 M(－ 2 1 ,3m)关于原点对称的点在第一象限，那么 m 的取值范围是____________. 三、解答 12.如下图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与四边形 ABCD 关于原点对称的图 形. 13.直角坐标系中,已知点 P(－2,－1),点 T(t,0)是 x 轴上的一个动点. (1)求点 P 关于原点的对称点 P′的坐标; (2)当 t 取何值时,△P′TO 是等腰三角形? 14.已知点 A(2m，－3)与 B(6，1－n)关于原点对称,求出 m 和 n 的值. 15.如果点 A(－3，2m+1)关于原点对称的点在第四象限，求 m 的取值范围. [来源:Z&xx&k.Com] 16. 正比例函数 y=x 与反比例函数 y=1/x 的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，CD 垂直 x 轴于 D，则四边形 ABCD 的面积是多少 [来源:学科网 ZXXK] 23.2.3 一、1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 二 6.（x，-y）（-x，y） （-x，-y） 7.(3,5) 、(-3,-5)、(-3,-5) 8. x轴、原点、y轴 9.P′为（-3，-6） 10.1 11.m<0 12.A、B、C、D 关于原点对称的点的坐标分别为(2,－3)、(4,－1) 、(3,1) (1,0)，图略 13.(1) 点 P 关于原点的对称点 P′的坐标为(2,1).[来源:学.科.网] (2)OP′= 5 .[来源:学科网 ZXXK] (a)动点 T 在原点左侧. 当 T1O=P′O= 5 时,△P′TO 是等腰三角形, ∴点 T1(－ 5 ,0). (b)动点 T 在原点右侧. ①当 T2O=T2P′时,△P′TO 是等腰三角形,得 T2( 4 5 ,0). ②当 T3O=P′O 时,△P′TO 是等腰三角形,得点 T3( 5 ,0). ③当 T4P′=P′O 时,△P′TO 是等腰三角形,得点 T4(4,0). 综上所述,符合条件的 t 的值为－ 5 , 4 5 , 5 ,4. 14.因为点 A、B 关于原点对称，所以      ).1(3 62 n m 解得 m＝－3，n＝－2. 15.解：∵A(－3，2m+1)关于原点对称的点在第四象限, ∴A(－3，2m+1)在第二象限.∴A 点的纵坐标 2m+1＞0.∴m＞－ 2 1 .[来源:Zxxk.Com] 16.由 y=x=1/x 可知 A 坐标为（1,1） C 坐标为（-1，-1） ，所以 DB=2 ，AB=1，△ ABD 面积为 1/2×2×1＝1 。同理△ DBC 面积＝1 ， 所以 ABCD 面积为 2 23.3 课题学习—图案设计 一、仔仔细细，记录自信 1．下列这些美丽的图案都是在“几何画板”软件中利用旋转的知识在一个图案的基础上加 工而成的，每一个图案都可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转 的角度正确的为（ ） A．30 B． 60 C．120 D．180 2．将一张正方形纸片沿如图 1 所示的虚线剪开后，能拼成下列四个图形，其中是中心对称 图形的是（ ） 3．某正方形园地是由边长为 1 的四个小正方形组成的，现要在园地上建 一个花坛（阴影部 分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是（ ） 二、拓广探索，游刃有 余 4．用 4 块如所示的瓷砖拼成一个正方形，使所得正方形（包括色彩因素）分别是具有如下 对称性的美术图案：（1）只是轴对称图形 而不是中心对称图形；（2）既是轴对称图形又是 中心对称图形．画出符合要求的图形各两个． 5．请你为班级设计一个具有中心对称特征的漂亮的班徽，并对你的设计方案加以解释． 6．观察下列图案，你能利用图 2 来分析图 3 和图 4是如何形成的吗？ 参考答案 一、1． D 2．D 3．B 二、4．答案不惟一，例如： 5．略． 6．解：图 3 是将 图2 进行连续的平移得到的；图 4 是将 图 2 进行连续的平移、旋转再平移 得到的． O B A P D C O A B E 第6题 P A B C 24·1 圆 一、填选 1、如图 1，M 是⊙O 内一点，已知过点 M 的⊙O 最长的弦为 10 cm，最短的弦长为 8 cm， 则 OM= _____ cm. 2、如图 2，⊙O 的直径 AC=2，∠BAD=75°，∠ACD=45°，则四边形 ABCD 的周长为_____(结 果取准确值). 3、如图 3，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上一动点，那么 OP 长的取值范围是_____. O M O A B C D O A B P 图 1 图 2 图 3 4、如图 4，AB 是⊙O 的直径，C、D、E 都是⊙O 上的点，则∠1+∠2=_____. A B C D O 1 2 E NM O CA B O P A B C O x y ' O D 5、如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门 MN 进攻，当甲带球冲到 A 点时，乙已跟随冲到 B 点，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙 射门好？ 答： ，简述理由： . 6、点 P 是半径为 5 的⊙O 内一点，且 OP=4，在过 P 点的所有⊙O 的弦中，你认为弦长为整 数的弦的条数为（ ） A.6 条 B.5 条 C.4 条 D.2 条 7、如图，在平面直角坐标系中，⊙O′与两坐标分别交于 A、B、C、D 四点，已知：A(6， 0)，B(0，－3)，C(－2，0)，则点 D 的坐标为（ ） A.(0，2) B.(0，3) C.(0，4) D.(0，5) 8、下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴 对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等 弧 A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.以上都不对 9、如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，那 么①OP 长的取值范围是___________________________________。 ② 若 OP 长 度 为 整 数 ， 则 满 足 条 件 的 点 P 有 _______________________个。 10、如图，在半径为 6 的⊙O 中，两弦 AB⊥CD，垂足为 E，CE=3， DE=7，则 AB 的长是__________________。 11、圆内一条弦与直径相交成 300 的角，且分直径 1cm 和 5cm 两 段，则这条弦的长为_________________。 12、已知：如图 Rt⊿ABC 中∠C=90 度，AC= 2 ，BC=1，以 C 为圆心，以 CB 的长为半径的圆交 AB 于 P，则 AP=_____________。 13、已知：如图⊙M 交 x 轴于 A（-1，0），B（3，0）交 y 轴于 C （0，3）则 M 点的坐标是__________。 14、某圆弧拱桥的跨度为 40m，拱高 10m，则圆弧的半径是__________。 15、已知等腰⊿ABC 内接于半径为 5 的⊙O 中，如果底边 BC 的长为 8，则 BC 边上的高为 ____________________。 16、已知：⊙O 半径 OA=1，弦 AB、AC 长分别为 2 、 3 则∠ BAC=________________。 17、如图，已知在⊙O 中，直径 MN=10，正方形 ABCD 的四个顶点分 别在半径 OM，OP 以及⊙O 上，并且∠POM=45 度，则 AB 的长是 _____________。 18、一点到圆的最小距离为 6 cm，最大距离为 8 cm，则此圆 的半径是_______________cm。 19、已知⊙O 的半径为 2cm，弦 AB 长为 2 3 cm，则弦的中 点到这条弦所对弧的中点的距离为_______________cm。 20、在半径为 5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为 8cm，另一条弦长为 6cm，则两弦之间的距离为___________。 21、如图，△ABC 中，∠A＝700，⊙O 截△ABC 的三条边所截得的弦长都 相等，则∠BOC＝ 。 22、如图，⊙O 中，半径 CO 垂直于直径 AB，D 为 OC 的中点，过 D 作弦 EF∥AB，则∠CBE＝ 。 23、如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上 半圆上一点 C 作弦 CD⊥AB，∠OCD 的平分线交⊙O 于点 P，当点 C 在上 半圆（不包括 A、B 两点）上移动时，点 P（ ） A、到 CD 的距离保持不变 B、位置不变 C、等分  DB D、随 C 点移动而移动 二、解答题 1、有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽 AB=60 米，水面到拱顶距 离 CD=18 米，当洪水泛滥，水面宽 MN=32 米时是否需要采取紧急措施？请说明理由（当水 面距拱顶 3 米以内时需采取紧急措施）。 C E D N A B M 2、如下图，AB、CD 为⊙O 两弦，且 AB=CD，M、N 分别为 AB、CD 的中点，求证：∠AMN= ∠CNM 第51题图 P M N A O B D C 例 2 图 OF E D CB A 第 4 题图 F O E D C BA 第 4 题图 P O D C BA N M D O A B C 3、已知：如图，∠AOB=900，D、C 将 ⌒AB 三等分，弦 AB 与半径 OD、OC 交于点 F、E，求 证：AE=DC=BF。 C D E F B O A 4、如图，AB 是⊙0 的直径，BC 是弦，OD⊥BC 于 E，交 ⌒BC 于 D。 （1）请写出四个不同类型的正确结论； （2）连结 CD，设∠CDB＝α，∠ABC＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明。 5、如图，⊿ABC 的三个顶点在⊙0 上，AD⊥BC，D 为垂足，E 是 ⌒BC 的中点，求证：∠OAE= ∠EAD。（写出两种以上的证明方法） D E O A B C 6、已知多边形 ABDEC 是由边长为 2 的等边三角形 ABC 和正方形 BDEC 组成，一圆过 A、D、 E 三点，求该圆半径的长． 7、如图，⊙O 中两条不平行弦 AB 和 CD 的中点 M，N.且 AB＝CD， 求证：∠AMN＝∠CNM 8、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ADC＝90°，B 是弧 AC 的中点，AD＝20，CD＝15, 求 AB、BD 的长。 9、已知，如图 O 为圆心，∠AOB＝120°，弓形高 ND＝2cm，矩形 EFGH 的两顶点 E，F 在 弦 AB 上，H，G 在弦 AB 上，且 EF＝4HE，求 HE 的长。 10、已知，用圆形剪一个梯形 ABCD，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O 的半径为 13，剪下梯 形的面积是多少？写出你的求解过程. 11、如图 11，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD. (1)P 是 上一点(不与 C、D 重合)，求证：∠CPD=∠COB. (2)点 P′在劣弧 CD 上(不与 C、D 重合)时，∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论. B A C D O P 图 11 12、已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，点 C 为⌒AB 的中点，CD 是⊙O 的直径，过 C 点的直线 l 交 AB 所在直线于点 E，交⊙O 于点 F. (1)判断图中∠CEB 与∠FDC 的数量关系，并写出结论； (2)将直线 l 绕 C 点旋转(与 CD 不重合)，在旋转过程中，E 点、F 点的位置也随之变化，请你 在下面两个备用图中分别画出 l 在不同位置时，使(1)的结论仍然成立的图形，标上相应字母， 选其中一个图形给予证明. 13、如图，已知 A、B、C、D 四点顺次在⊙O 上，且   BDAB ，BM⊥AC 于 M，求证：AM ＝DC＋CM。 14、如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，交⊙O 于 E，且 AC＝6，AB＝8，求 CE 的长。  第 4 题图 M O D C B A  第 3 题图 O E D CB A 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 1.下列说法中，正确的是（ ） A、弦是直径 B、半圆是弧 C、过圆心的线段是直径 D、圆心相同半径相同的两个圆是同心圆 2、如图，在⊙O 中，点 B、O、C 和点 A、O、D 分别在同一条直线上，则图中 有（ ）条弦。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3、过圆内一点可以做圆的最长弦（ ） A. 1 条 B.2 条 C. 3 条 D. 4 条 4、设⊙O 的半径为 r，P 到圆心的距离为 d 不大于 r，则点 P 在（ ） A. 在⊙O 内 B. 在⊙O 外 C. 不在⊙O 内 D.不在⊙O 外 5、设⊙O 的半径为 5，圆心的坐标为（0，0），点 P 的坐标为（4，-3），则点 P 在（ ）。 A. 在⊙O 内 B. 在⊙O 外 C. 在⊙O 上 D.在⊙O 内或外 6、如图点 A、D、G、B 在半圆上，四边形 ABOC,DEOF,HMNO 均为矩形，设 BC=a,EF=b,NH=c,则下列说法正确的是（ ） A. a＞b＞c B. a＝b＝c C. c＞a＞b D. b＞c＞a 7、在⊿ABC 中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点 A 为圆心，以 2.5cm 为半径作圆，则点 C 和⊙A 的位置关系 是（ ） A.C 在⊙A 上 B.C 在⊙A 外 C.C 在⊙A 内 D.C 在⊙A 位置不能确定。 8、一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距离为 5cm,则圆的半径为( ) A.16cm 或 6cm, B.3cm 或 8cm C.3cm D.8cm 9、下列说法正确的是( ) A、两个半圆是等弧 B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧 C、长度相等的弧是等弧 D、同圆中优弧与劣弧的差必是优弧 10、（2008 四川省资阳市）已知矩形 ABCD 的边 AB＝15，BC＝20，以点 B 为圆心作圆，使 A、 C、D 三点至少有一点在⊙B 内，且至少有一点在⊙B 外，则⊙B 的半径 r 的取值范围是 A．r＞15 B．15＜r＜20C．15＜r＜25D．20＜r＜25 11、如图，在 Rt ABC△ 中， 90ACB  ∠ ， 6AC  ， 10AB  ， CD 是斜边 AB 上的中 线，以 AC 为直径作⊙O，设线段CD 的中点为 P ，则点 P 与⊙O 的位置关系是（ ） Ａ．点 P 在⊙O 内 Ｂ．点 P 在⊙O 上Ｃ．点 P 在⊙O 外 Ｄ．无法确定 12、⊙O 直径为 8cm，有 M、N、P 三点，OM=4cm，ON=8cm，OP=2cm， 则 M 点在 ，N 点在圆 ，P 点在圆 。 13、以矩形 ABCD 的顶点 A 为圆心画⊙A，使得 B、C、D 中至少有一点在⊙ A 内，且至少有一点在⊙A 外，若 BC=12,CD=5.求⊙A 的半径 r 的取值范围。 14、如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD=84°，AE 交⊙O 于点 B，且 AB=OC， 求∠A 的度数． E A O D B C A D B PO C 15、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°；以 C 为圆心、CB 为半径的圆交 AB于点 D，求∠ACD 的度数． 16、如图，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过 C 作弦 DE，使 DC=OC，∠AOD=40°，求∠BOE 的 度数． 17、已知：如图，OA、OB 为⊙O 的半径，C、D 分别为 OA、OB 的中点， 求证：AD=BC． 18、已知：如图点 O 是∠EPF 的角平分线上的一点，以点 O 为圆心的圆和∠EPF 的两边交于 点 A、B、C、D，求证：∠OBA=∠OCD B A C E D O B A C E D O B A C D F A B C D E P O 24．1．2 垂直于弦的直径 一、课前预习 (5 分钟训练) 1.如图 24-1-2-1，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为 E，则可推出的相 等关系是___________. 图 24-1-2-1 图 24-1-2-2 图 24-1-2-3 2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成 3 cm 和 4 cm 两部分，则这条弦弦长为__________. 3.判断正误. (1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦. 4.圆 O 的半径 OA=6,OA 的垂直平分线交圆 O 于 B、C,那么弦 BC 的长等于___________. 二、课中强化(10 分钟训练) 1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________. 2.如图 24-1-2-2，在⊙O 中，直径 MN 垂直于弦 AB，垂足为 C，图中相等的线段有__________， 相等的劣弧有______________. 3.在图 24-1-2-3 中，弦 AB 的长为 24 cm，弦心距 OC=5 cm，则⊙O 的半径 R=__________ cm. 4.如图 24-1-2-4 所示，直径为 10 cm 的圆中，圆心到弦 AB 的距离为 4 cm.求弦 AB 的长. 图 24-1-2-4 三、课后巩固(30 分钟训练) 1.如图 24-1-2-5,⊙O 的半径 OA=3,以点 A 为圆心,OA 的长为半径画弧交⊙O 于 B、C,则 BC 等于( ) A.3 2 B.3 3 C. 2 23 D. 2 33 图 24-1-2-5 图 24-1-2-6 2.如图 24-1-2-6，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，且 AB=8 cm，OC=5 cm，则 OD 的长是( ) A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm 3.⊙O 半径为 10，弦 AB=12，CD=16，且 AB∥CD.求 AB 与 CD 之间的距离. 4.如图 24-1-2-7 所示，秋千链子的长度为 3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面 0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为 60°，则秋千踏板 与地面的最大距离约为多少？ 图 24-1-2-7 5 . “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图 24-1-2-8(1) 已于今年 5 月 12 日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图 24-1-2-8(1).最高的 圆拱的跨度为 110 米，拱高为 22 米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________ 米. 图 24-1-2-8 6.如图 24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点 A、B、C. (1)用尺规作图法，找出弧 BAC 所在圆的圆心 O；(保留作图痕迹，不写作法) (2)设△ABC 为等腰三角形，底边 BC=10 cm，腰 AB=6 cm，求圆片的半径 R；(结果保 留根号) (3)若在(2)题中的 R 满足 n＜R＜m(m、n 为正整数)，试估算 m 和 n的值. 图 24-1-2-9 7.⊙O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 长的取值范围. 思路分析：求出 OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题 创新点在于把线段 OP 看作是一个变量，在动态中确定 OP 的最大值和最小值.事实上只 需作 OM⊥AB，求得 OM 即可. 24.1.3 弧、弦、圆心角 一、课内练习： 1．下列命题中，正确的有（ ） A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．下列说法中，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 3．下列命题中，不正确的是（ ） A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形 C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．以上都不对 4．如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对 5．如图 1，半圆的直径 AB=4，O 为圆心，半径 OE⊥AB，F 为 OE 的中点，CD∥AB，则 弦 CD 的长为（ ） A．2 3 B． 3 C． 5 D．2 5 6．已知：如图 2，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AB，垂足为 P，且 AP=4cm，PD=2cm，则⊙ O 的半径为（ ） A．4cm B．5cm C．4 2 cm D．2 3 cm 7．如图 3，同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D，已知 AB=4，CD=2，AB 的弦心距 等于 1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A．3：2 B． 5 ：2 C． 5 ： 2 D．5：4 8．在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ） A．4 2 B．8 2 C．24 D．16 9．如果两条弦相等，那么（ ） A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对 10．半径为 5 的⊙O 内有一点 P，且 OP=4，则过点 P 的最短的弦长是 ，最长 的弦长是 ． 11．弓形的弦长 6cm，高为 1cm，则弓形所在圆的半径为 cm． 12．一条弦把圆分成 1：3 两部分，则弦所对的圆心角为 ． 13．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是 ，弦所对的圆心角是 ． 14．如图，∠AOB=90°，C、D 是弧 AB 的三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F， 求证：AE=BF=CD． O B A C E D www.czsx.com.cn F 24.1.4 圆周角 第 1 课时 圆周角定理及推论 一、选择题 1．如图 1，A、B、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）． A．140° B．110° C．120° D．130° O B A C www.czsx.com.cn 2 1 4 3 O B A C D (1) (2) (3) 2．如图 2，∠1、∠2、∠3、∠4 的大小关系是（ ） A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2 C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2 3．如图 3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB⊥AD，若 OB=5，且∠CAD=30°， 则 BC 等于（ ）． A．3 B．3+ 3 C．5- 1 2 3 D．5 二、填空题 1．半径为 2a 的⊙O 中，弦 AB 的长为 2 3 a，则弦 AB 所对的圆周角的度数 是________． 2．如图 4，A、B 是⊙O 的直径，C、D、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______． O B A C 2 1 E D O B A C www.czsx.com.cn (4) (5) 3．如图 5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O 半径为_______． 三、综合提高题 1．如图，弦 AB 把圆周分成 1：2 的两部分，已知⊙O 半径为 1，求弦长 AB． 2．如图，已知 AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形． （2）若 BC=4cm，求⊙O 的面积． 3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的 坐 标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心 C 的坐标． O B A O B A C P O B A C y x M 参考答案 一、1．D 2．B 3．D 二、1．120°或 60° 2．90° 3． 3 3 三、1． 3 2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°， 又  AB AC ，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形． （2）解：连结 OC，过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D， 在 Rt△ODC 中，DC=2，∠OCD=30°， 设 OD=x，则 OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC= 4 3 3 3．（1）略 （2）4，（-2 3 ，2） 24.1.4 圆周角 第 2 课时 圆内角四边形的性质及圆周角定理的综合运用 一. 选择题。 1. 如图，圆心角∠AOB＝120°，C、D、E 是 的四等分点，则弦 OE 和半 径 OA 的关系是（ ） A. OA＜DE B. DE＜OA C. DE＝OA D. 以上均不对 2. 在下列语句中，叙述正确的个数为（ ） ①相等的圆周角所对弧相等 ②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等 ③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 ④等弧所对圆周角相等 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 在半径等于 7cm 的圆内有长为 的弦，则此弦所对圆周角为（ ） A. 60°或 120° B. 30°或 150° C. 60° D. 120° 4. 下列命题中不正确的是（ ） A. 圆内接平行四边形是矩形 B. 圆内接菱形是正方形 C. 圆内接梯形是等腰梯形 D. 圆内接矩形是正方形 5. 如图，∠E＝30°，AB＝BC＝CD，则∠ACD 的度数为（ ） A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5° 6. 四边形 ABCD 内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D 的度数比可能是（ ） A. 1∶3∶2∶4 B. 7∶5∶10∶8 C. 13∶1∶5∶17 D. 1∶2∶3∶4 7. 圆内接四边形 ABCD 的一组对边 AD、BC 的延长线交于 P，对角线 AC、B D 交于点 Q，则图中共有相似三角形（ ） A. 4 对 B. 2 对 C. 1 对 D. 3 对 二. 填空题。 8. 一弦分圆周为 5∶7，这弦所对的两圆周角分别为__________。 9. 如图，OA、OB、OC 都是⊙O 的半径， ，∠AOB＝80°，则∠ BOC＝__________，∠ABC＝__________，∠ACB＝_____∠CAB。 10. 如图，△ABC 内接于⊙O，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝__ ________， ＝__________，∠BOC＝___________， ＝___________ ＝___________。 第 9 题图 第 10 题图 11. 圆内接四边形 ABCD 中，AC 垂直平分 BD，若∠BCD＝80°，则∠BAC＝ __________。 12. 四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶4∶m，则 m ＝__________，这个四边形最大内角是__________度，最小内角__________ 度，对角线 AC 是⊙O 的__________。 三. 解答题。 13. 已知：如图，P 是 的中点，弦 PC 的延长线交 AB 的延长线于点 D。 求证： 14. 已知：如图，⊙O 和⊙O'交于 A、B，过 A 引直线 CD、EF，分别交两圆于 C、D、E、F，EC、DF 的延长线交于 P。 求证：∠P＋∠CBD＝180° 【试题答案】 一. 选择题。 1. C 2. B 3. A 4. D 5. D 6. C 7. A 二. 填空题。 8. 105°和 75° 9. 40°，120°，2 10. 60°，120°，120°，140°，100° 11. 50° 12. 3，120，60，直径 三. 解答题。 13. 连结 AC ∵P 是 的中点 ∴ ∴∠PAB＝∠PCA 又∵∠P＝∠P ∴△PAD∽△PCA 14. 连结 AB，则∠E＝∠ABC ∵四边形 AFDB 内接于圆 ∴∠PFE＝∠ABD 24.2.1 点和圆的位置关系 一、课前预习 (5 分钟训练) 1.已知圆的半径等于 5 cm，根据下列点 P 到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定 点 P 与圆的位置关系，并说明理由. 2.点 A 在以 O 为圆心，3 cm 为半径的⊙O 内，则点 A 到圆心 O 的距离 d 的范围是________. 3.若⊙A 的半径为 5，点 A 的坐标为(3，4)，点 P 的坐标为(5，8)，则点 P 的位置为( ) A.在⊙A 内 B.在⊙A 上 C.在⊙A 外 D.不确定 4.两个圆心为 O 的甲、乙两圆，半径分别为 r1 和 r2，且 r1＜OA＜r2，那么点 A 在( ) A.甲圆内 B.乙圆外 C.甲圆外，乙圆内 D.甲圆内，乙圆外 二、课中强化(10 分钟训练) 1.已知⊙O 的半径为 3.6 cm，线段 OA= 7 25 cm，则点 A 与⊙O 的位置关系是( ) A.A 点在圆外 B.A 点在⊙O 上 C.A 点在⊙O 内 D.不能确定 2.⊙O 的半径为 5，圆心 O 的坐标为(0，0)，点 P 的坐标为(4，2)，则点 P 与⊙O 的位置关 系是( ) A.点 P 在⊙O 内 B.点 P 在⊙O 上 C.点 P 在⊙O 外 D.点 P 在⊙O 上或⊙O 外 3.在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4 cm，D 是 AB 边的中点，以 C 为圆心，4 cm 长为半径 作圆，则 A、B、C、D 四点中在圆内的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.如图 24-2-1-1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM 为中线，以 C 为圆 心， 5 cm 为半径作圆，则 A、B、C、M 四点在圆外的有_________，在圆上的有_________， 在圆内的有_________. 图 24-2-1-1 三、课后巩固(30 分钟训练) 1.已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是( ) A.a=15，b=12，c=1 B.a=5，b=12，c=12 C.a=5，b=12，c=13 D.a=5，b=12，c=14 2.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则它的外心与顶点 C 的距离为( ) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 3.如图 24-2-1-2，点 A、B、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送 水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由. 图 24-2-1-2 4.阅读下面材料：对于平面图形 A，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离 都不大于这个圆的半径，则称图形 A 被这个圆所覆盖. 如图 24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图 24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖. 图 24-2-1-3 回答下列问题： (1)边长为 1 cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm; (2)边长为 1 cm 的等边三角形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm; (3)边长为 2 cm，1 cm 的矩形被两个半径都为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm， 这两个圆的圆心距是________ cm. 5.已知 Rt△ABC 的两直角边为 a 和 b，且 a、b 是方程 x2-3x＋1=0 的两根，求 Rt△ABC 的 外接圆面积. 6.有一个未知圆心的圆形工件(如图 24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角 板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画 法. 图 24-2-1-4 7.某公园有一个边长为 4 米的正三角形花坛，三角形的顶点 A、B、C 上各有一棵古树.现决 定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树 位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限. (1)按圆形设计，利用图 24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图; (2)按平行四边形设计，利用图 24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图; (3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由. 图 24-2-1-5 8.电脑 CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片， 叫“晶圆片”.现在为了生产某种 CPU 芯片，需要长、宽都是 1 cm 的正方形小硅片若干.如果 晶圆片的直径为 10.05 cm，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片 66 张？请说明 你的方法和理由.(不计切割损耗) 图 24-2-1-6 参考答案 一、课前预习 (5 分钟训练) 1.已知圆的半径等于 5 cm，根据下列点 P 到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定 点 P 与圆的位置关系，并说明理由. 思路分析：利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较. 解：（1）当 d=4 cm 时，∵d＜r，∴点 P 在圆内； （2）当 d= 5 cm 时，∵d=r，∴点 P 在圆上； （3）当 d=6 cm 时，∵d＞r，∴点 P 在圆外. 2.点 A 在以 O 为圆心，3 cm 为半径的⊙O 内，则点 A 到圆心 O 的距离 d 的范围是________. 思路解析：根据点和圆的位置关系判定. 答案：0≤d＜3 3.若⊙A 的半径为 5，点 A 的坐标为(3，4)，点 P 的坐标为(5，8)，则点 P 的位置为( ) A.在⊙A 内 B.在⊙A 上 C.在⊙A 外 D.不确定 思路解析：本题有两种方法，既可以画图，也可以计算 AP 的长,再与半径进行比较. ∵AP= 22 )48()35(  = 22 42  = 20 ＜5，所以点 P 在圆内. 答案：A 4.两个圆心为 O 的甲、乙两圆，半径分别为 r1 和 r2，且 r1＜OA＜r2，那么点 A 在( ) A.甲圆内 B.乙圆外 C.甲圆外，乙圆内 D.甲圆内，乙圆外 思路解析：点 A 在两圆组成的圆环内. 答案：C 二、课中强化(10 分钟训练) 1.已知⊙O 的半径为 3.6 cm，线段 OA= 7 25 cm，则点 A 与⊙O 的位置关系是( ) A.A 点在圆外 B.A 点在⊙O 上 C.A 点在⊙O 内 D.不能确定 思路解析：用“点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系”来判定点与圆的位置关系. 答案：C 2.⊙O 的半径为 5，圆心 O 的坐标为(0，0)，点 P 的坐标为(4，2)，则点 P 与⊙O 的位置关 系是( ) A.点 P 在⊙O 内 B.点 P 在⊙O 上 C.点 P 在⊙O 外 D.点 P 在⊙O 上或⊙O 外 思路解析：比较 OP 与半径 r 的关系.∵OP= 22 24  =2 5 ，OP2=20,r2=25， ∴OP＜r. ∴点 P 在⊙O 内. 答案：A 3.在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4 cm，D 是 AB 边的中点，以 C 为圆心，4 cm 长为半径 作圆，则 A、B、C、D 四点中在圆内的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 思路解析：如图，连结 CD.∵D 为 AB 的中点， ∴CD= 2 1 AB. ∵AB= 22 BCAC  =4 2 ，∴CD=2 2 ＜4. ∵AC=BC=4，∴点 C 和点 D 在以 C 为圆心，4 cm 为半径的圆的内部. 答案：B 4.如图 24-2-1-1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM 为中线，以 C 为圆 心， 5 cm 为半径作圆，则 A、B、C、M 四点在圆外的有_________，在圆上的有_________， 在圆内的有_________. 思路解析：AB=2 5 cm，CM= 5 cm. 答案：点 B 点 M 点 A、C 图 24-2-1-1 三、课后巩固(30 分钟训练) 1.已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是( ) A.a=15，b=12，c=1 B.a=5，b=12，c=12 C.a=5，b=12，c=13 D.a=5，b=12，c=14 思路解析：只有直角三角形的外心在边上（斜边中点）. 答案：C 2.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则它的外心与顶点 C 的距离为( ) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 思路解析：AB= 22 86  =10，它的外心是斜边中点，外心与顶点 C 的距离是斜边的中 线长为 2 1 AB=5 cm. 答案：A 3.如图 24-2-1-2，点 A、B、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送 水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由. 图 24-2-1-2 思路分 析：设水泵站处为 O，则 O 到 A、B、C 三点的距离相等，可得点 O 为△ABC 的外心. 作法：连结 AB、AC，分别作 AB、AC 的中垂线 l、l′，直线 l 与 l′相交于 O，则水泵站 建在点 O 处，由以上作法知，点 O 为△ABC 的外心，则有 OA=OB=OC. 4.阅读下面材料：对于平面图形 A，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离 都不大于这个圆的半径，则称图形 A 被这个圆所覆盖. 如图 24-2-1-3(1)中的三角形被一个圆所覆盖，图 24-2-1-3(2)中的四边形被两个圆所覆盖. 图 24-2-1-3 回答下列问题： (1)边长为 1 cm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm; (2)边长为 1 cm 的等边三角形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm; (3)边长为 2 cm，1 cm 的矩形被两个半径都为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm， 这两个圆的圆心距是________ cm. 思路解析：图形被圆覆盖，圆一定大于图形的外接圆，它的最小半径就是外接圆半径. （1）正方形的外接圆半径，是对角线的一半，因此 r 的最小值是 2 2 cm. （2）等边三角形的外接圆半径是其高的 3 2 ，故 r 的最小值是 3 3 cm. （3）r 的最小值是 2 2 cm，圆心距是 1 cm. 答案:(1) 2 2 (2) 3 3 (3) 2 2 1 点拨：注意应用“90°的圆周角所对的弦是直径”和勾股定理解题. 5.已知 Rt△ABC 的两直角边为 a 和 b，且 a、b 是方程 x2-3x＋1=0 的两根，求 Rt△ABC 的 外接圆面积. 思路分析：由 a、b 是直角三角形的两直角边，所以可求出斜边是 22 ba  ，这样就得 外接圆半径.根据直角三角形的外心是斜边中点，因此，其外接圆直径就是直角三角形的 斜边.[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 解：设 Rt△ABC 的斜边为 c，∵a、b 为方程 x2－3x＋1=0 的两根，∴a＋b=3，ab=1. 由勾股定理，得 c2=a2＋b2=（a＋b）2－2ab=9－2=7. ∴△ABC 的外接圆面积 S=π·（ 2 c ）2=π 4 2c = 4  c2= 4  ×7= 4 7 . 6.有一个未知圆心的圆形工件(如图 24-2-1-4).现只允许用一块直角三角板(注：不允许用三角 板上的刻度)画出该工件表面上的一根直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画 法. 图 24-2-1-4 思路解析：因为三角板有一个角是直角，所以可利用直角画 90°的圆周角，由此可得直 径.再画一个 90°的圆周角，也能得到一直径，两直径的交点为圆心. 作法：如图,(1)用三角板的直角画圆周角∠BDC=90°，∠EFH=90°. (2)连结 BC、EH，它们交于点 O. 则 BC 为直径，点 O 为圆心. 7.某公园有一个边长为 4 米的正三角形花坛，三角形的顶点 A、B、C 上各有一棵古树.现决 定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树 位于圆周上或平行四边形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限. (1)按圆形设计，利用图 24-2-1-5(1)画出你所设计的圆形花坛示意图; 图 24-2-1-5 (2)按平行四边形设计，利用图 24-2-1-5(2)画出你所设计的平行四边形花坛示意图; (3)若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由. 思路分析：过 A、B、C 三点画圆，以△ABC 为平行四边形的一半，画出另一半，得平 行四边形.[来源:Z+xx+k.Com] 解：（1）作图工具不限，只要点 A、B、C 在同一圆上,图(1). (2)作图工具不限，只要点 A、B、C 在同一平行四边形顶点上,图(2). （3）如图(3)，∵r=OB= 3 34 ， ∴S⊙O=πr2= 3 16 ≈16.75， 又 S 平行四边形=2S△ABC=2× 2 1 ×4×2× 2 3 =8 3 ≈13.86, ∵S⊙O>S 平行四边形,∴选择建圆形花坛面积较大. 8.电脑 CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄圆形片， 叫“晶圆片”.现在为了生产某种 CPU 芯片，需要长、宽都是 1 cm 的正方形小硅片若干.如 果晶圆片的直径为 10.05 cm，问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片 66 张？请 说明你的方法和理由.(不计切割损耗) 图 24-2-1-6 解：可以切割出 66 个小正方形. 方法一：（1）我们把 10 个小正方形排成一排，看成一个长方形的矩形，这个矩形刚好 能放入直径为 10.05 m 的圆内.如图中的矩形 ABCD. ∵AB=1，BC=10，∴对角线 AC2=100＋1=101＜（10.05）2. （2）我们在矩形 ABCD 的上方和下方可以分别放入 9 个小正方形. ∵新加入的两排小正方形连同 ABCD 的一部分可看成矩形 EFGH， 矩形 EFGH 的长为 9，高为 3，对角线 EG2=92＋32=81＋9＜（10.05）2，但是新加入的 这两排小正方形不能每排 10 个，因为：102＋32=100＋9＞（10.05）2. （3）同理，∵82＋52=64＋25＜（10.05）2，92＋52=81＋25=106＞（10.05）2，∴可以在 矩形 EFGH 的上面和下面分别再排下 8 个小正方形，那么现在小正方形已有了 5 层. （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共 7 层，新矩形的高可以看成是 7，那么新加 入的这两排，每排可以是 7 个，但不能是 8 个. ∵72＋72=49＋49=98＜（10.05）2，82＋72=64＋49=113＞（10.05）2. （5）在第 7 层的基础上，上下再加一层，新矩形的高可以看成是 9，这两层每排可以是 4 个，但不能是 5 个. ∵42＋92=16＋81=97＜（10.05）2，52＋92=25＋81=106＞（10.05）2. 现在总共排了 9 层，高度达到了 9，上下各剩下约 0.5 cm 的空间，因为矩形 ABCD 的位 置不能调整，故再也放不下一个小正方形了.所以 10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4=66（个）. 方法二：可以按 9 个正方形排成一排，叠 4 层，先放入圆内.然后 （1）上下再加一层，每层 8 个，现在共 6 层. （2）在前面的基础上，上下各加 6 个，现在共有 8 层. （3）最后上下还可加一层，但每层只能有一个，共 10 层，这样共有 4×9＋2×8＋2×6＋2×1=66（个）. 24.2.2 直线与圆的位置关系 第 1 课时 直线与圆的位置关系 1．填表： 直线与圆的 位置关系 图形 公共点 个数 公共点 名称 圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系 直线的 名称 相交 相切 相离 2．若直线 a 与⊙O 交于 A，B 两点，O 到直线 a的距离为 6，AB=16，则⊙O的半径为 _____． 3．在△ABC 中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以 C 为圆心，分别以 5，5 2 ，8 为半径作 图，那么直线 AB 与圆的位置关系分别是______，_______，_______． 4．⊙O 的半径是 6，点 O 到直线 a 的距离为 5，则直线 a 与⊙O 的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．内含 5．下列判断正确的是（ ） ①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等 于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交． A．①②③ B．①② C．②③ D．③ 6．OA 平分∠BOC，P 是 OA 上任一点（O 除外），若以 P 为圆心的⊙P 与 OC 相离，那么⊙ P 与 OB 的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 7．如图所示，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以 C 为圆心，r 为半径作⊙C，当 r 为多少时，⊙C 与 AB 相切？ 8．如图，⊙O 的半径为 3cm，弦 AC=4 2 cm，AB=4cm，若以 O 为圆心，再作一个圆与 AC 相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与 AB 的位置关系如何？ 9．如图所示，在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为（m，0），半径为 2，如果⊙M 与 y 轴 所在直线相切，那么 m=______，如果⊙M 与 y 轴所在直线相交，那么 m的取值范围是 _______． 10．如图，△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以 A 为圆心，3cm长为半径的圆与直线 BC 的位置关系是_______． 11．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，AC 和 BD 相交于点 O，过 O 作 EF∥AB，交 BC 于 E， 交 AD 于 F，则以点 B 为圆心， 2 长为半径的圆与直线 AC，EF，CD 的位置关系分别是 什么？ 12．已知⊙O 的半径为 5cm，点 O 到直线 L 的距离 OP 为 7cm，如图所示． （1）怎样平移直线 L，才能使 L 与⊙O 相切？ （2）要使直线 L 与⊙O 相交，应把直线 L 向上平移多少 cm？ 13．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以 C 为圆心，r 为半径作圆，那么: （1）当直线 AB 与⊙C 相切时，求 r 的取值范围； （2）当直线 AB 与⊙C 相离时，求 r 的取值范围； （3）当直线 AB 与⊙C 相交时，求 r 的取值范围． 14．在南部沿海某气象站 A 测得一热带风暴从 A 的南偏东 30°的方向迎着气象站袭来，已 知该风暴速度为每小时 20 千米，风暴周围 50 千米范围内将受到影响，若该风暴不改 变速度与方向，问气象站正南方 60 千米处的沿海城市 B 是否会受这次风暴的影响？若 不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间． 答案: 1．略 2．10 3．相离，相切，相交 4．C 5．C 6．A 7．r= 24 5 8．r=1cm，这个圆与 AB 相离 9．±2，－22.4 14．B市受影响，影响时间为 4 时 15．（1）2 （2）8 （3）①08 时，4 个 第 2 课时 切线的判定与性质 1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；过圆内一 点的圆的切线______． 2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______． 3．下列直线是圆的切线的是（ ） A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线 4．OA 平分∠BOC，P 是 OA 上任意一点（O 除外），若以 P 为圆心的⊙P 与 OC 相切，那么 ⊙P 与 OB 的位置位置是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 5．△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以 B 为圆心，5 为半径的圆与直线 AC 的位置关 系是（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定 6．如图，AB 是半径⊙O 的直径，弦 AC 与 AB 成 30°角，且 AC=CD． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若 OA=2，求 AC 的长． 7．如图，AB 是半圆 O 的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC 是半圆 O 的切线； （2）若 OC∥AD，OC 交 BD 于 E，BD=6，CE=4，求 AD 的长． 8．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 M，过点 B 作 BE∥CD，交 AC的延长线于点 E， 连结 BC． （1）求证：BE 为⊙O 的切线； （2）如果 CD=6，tan∠BCD= 1 2 ，求⊙O 的直径． 9．在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标为 M（a，0），半径为 2，如果⊙M 与 y 轴相离，那么 a 的取值范围是______． 10．菱形的对角线相交于 O，以 O 为圆心，以点 O 到菱形一边的距离为半径的⊙O与菱形 其它三边的位置关系是（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 11．平面直角坐标系中，点 A（3，4），以点 A 为圆心，5 为半径的圆与直线 y=－x 的位置 关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 12．如图，已知：△ABC 内接于⊙O，点 D 在 OC 的延长线上，sin= 1 2 ，∠D=30°． （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若 AC=6，求 AD 的长． 13．已知：如图，A 是⊙O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 A 的直线交于 B点，OC=BC， AC= 1 2 OB． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦 CD 的长． 14．如图，P 为⊙O 外一点，PO 交⊙O 于 C，过⊙O 上一点 A 作弦 AB⊥PO 于 E，若 ∠EAC=∠CAP，求证：PA 是⊙O 的切线． 15．如图，A 是以 BC 为直径的⊙O 上一点，AD⊥BC 于点 D，过点 B 作⊙O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E，G 是 AD 的中点，连结 OG 并延长与 BE 相交于点 F，延长 AF与 CB 的延长线相交于点 P． （1）求证：BF=EF； （2）求证：PA 是⊙O 的切线； （3）若 FG=BF，且⊙O 的半径长为 3 2 ，求 BD 和 FG 的长度． 答案: 1．1，2，不存在 2．直角三角形 3．B 4．B 5．A 6．（1）略 （2）2 3 7．（1）略 （2） 9 2 8．（1）略 （2）15 2 9．a>2 或 a<－2 10．C 11．C 12．（1）略 （2）6 3 13．（1）略 （2） 6 + 2 14．提示：连结 OA，证 OA⊥AP 15．（1）略 （2）略 （3）BD=2 2 ，FG=3 第 3 课时 切线长定理 一、选择题 1.下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3. 一个直角三角形的斜边长为 8，内切圆半径为 1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4. 如图，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，AC 是⊙O 的直径，连结 AB、BC、OP， 则与∠PAB 相等的角(不包括∠PAB 本身)有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4 题图 5 题图 6 题图 5． 如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边相切于点 D、E、F，则点 O 是△DEF 的 ( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 6. 一个直角三角形的斜边长为 8，内切圆半径为 1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18 P B A O 二、填空题 6．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点 D、E、F，若∠DEF=52o， 则∠A 的度为________． 6 题图 7 题图 8 题图 7．如图，一圆内切于四边形 ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形 ABCD 的周长为________． 8．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度． 三、解答题 9. 如图，AE、AD、BC 分别切⊙O 于点 E、D、F，若 AD=20，求△ABC 的周长． 10. 如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点 A、B，若直径 AC= 12，∠P=60o，求弦 AB 的长． 11. 如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当 OA＝3 时，求 AP 的长． 12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求 BC、AC 的 长． 13．已知：如图，△ABC 三边 BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆 O 的半径长为 r．求△ABC 的面积 S． 14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o，在 AB 上取一点 E，以 BE 为直径的⊙O 恰与 AC 相 切于点 D，若 AE=2 cm，AD=4 cm． (1)求⊙O 的直径 BE 的长； (2)计算△ABC 的面积． 15．已知：如图，⊙O 是 Rt△ABC 的内切圆，∠C=90°． (1)若 AC=12cm，BC=9cm，求⊙O 的半径 r； (2)若 AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O 的半径 r． 四、体验中考 16.（2011 年安徽）△ABC 中，AB＝AC，∠A 为锐角，CD 为 AB 边上的高，I 为△ACD 的内切 圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ） A．120° B．125° C．135° D．150° 17.（2011 年绵阳）一个钢管放在 V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管 的半径为 25 cm，∠MPN = 60，则 OP =( ) A．50 cm B．25 3 cm C． 3 350 cm D．50 3 cm 18. (2011 年甘肃定西)如图，在△ABC 中， 5cmAB AC  ，cosB 3 5  ．如果⊙O 的半径为 10 cm，且经过点 B、C，那么线段 AO= cm． 17 题图 18 题图 19 题图 19. （2011 年湖南怀化）如图， PA、 PB 分别切⊙ O 于点 A 、 B ，点 E 是⊙O 上一点， 且 60AEB ，则 P __ ___度． 参考答案 ◆随堂检测 1. C 2. B (提示：②④错误) 3. 760 （提示：连接 ID,IF ∵∠DEF=520 ∴∠DIF=1040 ∵D、F 是切点 ∴DI⊥ AB,IF⊥AC ∴∠ADI=∠AFI=900 ∴∠A=1800-1040=760） 4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC) P B A O 5. 1150 (提示：∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=1300 ∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650 ∴∠BOC=1800-650=1150) ◆课下作业 ●拓展提高 1. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=8 2 1 2 18    ） 2. C 3. D 4. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于 D,E ∴ AD=AE=20 ∵ AD,BF 切 于 ⊙ O 于 D,F ∴ BD=BF 同理：CF=CE ∴C△ABC=AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=40 5. 解：连接 BC ∵PA,PB 切⊙O 于 A,B ∴PA=PB ∵∠P=600 ∴△ABC 是正三角 形 ∵∠PAB=600 ∵PA 是⊙O 切线 ∴CA⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300 ∵直径 AC ∴∠ABC=900 ∴cos300= AB AC ∴AB= 6 3 6. 解：（1）∵在△ABO 中，OA＝OB，∠OAB＝30° ∴∠AOB＝180°－2×30°＝120° ∵PA、PB 是⊙O 的切线 ∴OA⊥PA，OB⊥PB．即∠OAP＝∠OBP＝90° ∴在四边形 OAPB 中， ∠APB＝360°－120°－90°－90°＝60°． （2）如图①，连结 OP ∵PA、PB 是⊙O 的切线 ∴PO 平分∠APB，即∠APO＝ 1 2 ∠APB＝30° 又∵在 Rt△OAP 中，OA＝3， ∠APO＝30° ∴AP＝ tan 30 OA ° ＝3 3 ． 7. 解：（1）连接 OD ∴OD⊥AC ∴△ODA 是 Rt△ P B A O 设半径为 r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r2=16 解之得：r=3 ∴BE=6 (2) ∵∠ABC=900 ∴OB⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于 D ∴CB=CD 令 CB=x ∴AC=x+4，BC=4，AB=x，AB=8 ∵ 2 2 28 ( 4)x x   ∴ 6x  ∴S△ABC= 1 8 6 242    ●体验中考 1. C 2. A（提示：∠MPN=600 可得∠OPM=300 可得 OP=2OM=50） 3. 5 10 3 （提示：连接 OB，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos∠AOB=cos∠ 3 5 = 10OB OA AO  ） 4. ∠P=600 24.3 正多边形和圆 1．下列边长为 a 的正多边形与边长为 a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( ) (1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形 A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4) 2．以下说法正确的是 A．每个内角都是 120°的六边形一定是正六边形． B．正n 边形的对称轴不一定有 n 条． C．正 n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数． D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形． (3)(2006 年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为 r3，r4， r6，则 r3：r4：r6 等于( ) A．1: 2 : 3 B． 3 : 2 :1 C．1: 2:3 D． 3: 2:1 4． 已知正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，图中阴影部分的面积为 312 ，则⊙O 的半径为 ______________________． 5．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，点 E 在 AD 上，则∠BEC= ． 6．将一块正六边形硬纸片（图 1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂 直于底面，见图 2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形 AGA/H，那么∠GA/H 的大小是 度． 7．（200 6 年威海市）如图，若正方形 A1B1C1D1 内接于正方形 ABCD 的内接圆，则 AB BA 11 的 值为（ ） A． 2 1 B． 2 2 C． 4 1 D． 4 2 8．从一个半径为 10 ㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则 O B C DA E O D E C B A 此正方形的边长为 ． 9．如图五边形 ABCDE 内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E． 求证：五边形 ABCDE 是正五边形 10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三 角形 ABC，正四边形 ABCD、正五边形 ABCDE、…、正 n 边形 ABCD…，点 M、N 分别从点 B、C 开始以相同的速 度在⊙O 上逆时针运动。 (1)求图 10－1 中∠APN 的度数； (2)图 10－2 中，∠APN 的度数是_______，图 10－3 中∠APN 的度数是________。 (3)试探索∠APN 的度数与正多边形边数 n 的关系（直接写答案） 24．3 正多边形和圆： 1．B． 2．C． 3．A 4．2． 5． 45° 6． 60° 7．B． 8． 10 2cm ． 9．∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A 对着圆弧 BDE，∠B 对着圆弧 CDA，∴圆弧 BDE=圆弧 CDA ∴圆弧 BDE-圆弧 CDE=圆弧 CDA-圆弧 CDE，即圆弧 BC=圆弧 AE ∴BC=AE．．同理可证其余各边都相等 ∴五边形 ABCDE 是正五边形． 10．(1)∵圆弧 BM=圆弧 CN ∴∠BAM=∠CBN ∵∠APN 为△ABP 的外角 ∴∠APN=∠ABP+∠BAM=∠ABP+∠CBN=∠ABC=60°． (2)∠APN=90°, ∠APN=108°． (3)∠APN= 0( 2) 180n n   ． A B M C P NO. 图 10－1 .O A B C D M NP 图 10－2 E A B C DM NP .O 图 10－3 . M NP O 图 10－4 A B C 图（1） A B C O A B C （第 8 题） 24.4 弧长和扇形面积 第 1 课时 弧长和扇形面积 1．在半径为4 π 的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 ． 2. 已知扇形的弧长为 6πcm，圆心角为 60°，则扇形的面积为_________． 3．母线长为 2，底面圆的半径为 1 的圆锥的侧面积为__________． 4．一个圆锥的侧面展开图是半径为 4，圆心角为 90°的扇形，则此圆锥的底面半径为 ． 5．一圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，则该圆锥的全面积是（ ） A.．5π B．4π C．3π D．2π 6、如图 1，有一直径为 4 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为 60°的扇形 ABC.那么剪 下的扇形 ABC（阴影部分）的面积为 ； 用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥， 该圆锥的底面圆的半径 r= . 7．如图（2），将 ABC△ 绕点 B 逆时针旋转到 A BC △ 使 A、B、C’在同一直线上，若 90BCA  °， 30 4cmBAC AB  °， ，则图中阴影部分面积为 cm2． 8、如图，菱形OABC 中， 120A  ∠ ， 1OA  ，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转 90 ，则图中由 BB ， B A  ， A C ，CB 围成的阴影部分的面积是 ． 9、如图，将半径为 1、圆心角为 60 的扇形纸片 AOB ，在直线l 上向右作无滑动的滚动至 扇形 BOA  处，则顶点O 经过的路线总长为 10、如图，半圆的直径 AB=10，P 为 AB 上一点，点 CD 为半圆的三等分点，求得阴影部分 的面积为 11、如图，AC 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果 AO=65，CO=15，当 AC 绕点 O 旋转 90° 时，则刮雨刷 AC 扫过的面积为 cm2？ 图（2） ′ O B A B A O 60 C D A P O B 10 题图 A O C′ C A′ （第 11 题图） CB A2 A1 A ╮30° C B AO 剪去 12、如图，王虎使一长为 4 cm ，宽为 3 cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时 针方向）木板上点 A 位置变化为 1 2A A A  ，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住， 使木板与桌面成 30°角，则点 A 翻滚到 A2 位置时共走过的路径长为（ ） A．10 cm B． 4 cm C． 7 2 cm D． 5 2 cm 13．图 1 是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的 一部分，其展开图是矩形．图 2 是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为 O．车棚顶部 是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积 14、一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为 10cm 的圆盘，如图 所示，AB 与 C D 是水平的，BC 与水平面的夹角为 600，其中 AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm， 请你作出该小朋友将园盘从 A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线 的长度。 15.如图 2，AB 切⊙O 于点 B，OA=2 3，AB=3，弦 BC∥OA，则劣弧 ⌒BC的弧长为（ ）． A． 3 3 π B． 3 2 π C．π D．3 2 π O BA · 图 2图 1 A B 2 米 4 3 米 O O O O l 图 7 第 15 题图 第 16 题图 第 17 题图 16.如图.在△ABC 中,∠B=90°, ∠A=30°，AC=4cm，将△ABC 绕顶点 C 顺时针方向旋转至△ A′B′C′的位置，且 A、C、B′三点在同一条直线上,则点 A 所经过的最短路线的长为 ( ) A. 4 3cm B. 8cm C. 16 3 cm D. 8 3 cm 17.如图，如果从半径为 9cm 的圆形纸片剪去 1 3 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆 锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A．6cm B． 3 5 cm C．8cm D．5 3 cm 18.如图，在正方形铁皮上剪下一个半径为 r 的圆形和一个半径为 R 的扇形，使 之恰好围成图（2）所示的一个圆锥，则 r 与 R 之间存在什么关系？( ) A.R=1.5r B.R=2r C.R=3r D.R=4r 19.如图，⊙A，⊙B，⊙C 两两不相交，且半径都是 0.5cm，则图中三个阴影部分 面积之和为 （ ） A、 2 12 cm B、 2 8 cm C、 2 6 cm D、 2 4 cm 20．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧 部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平 移 50m，半圆的直径为 4m，则圆心 O 所经过的路线长是 m。（结果用π表示） 21 如图，圆锥的底面半径 OB 为 10cm，它的展开图扇形的半径 AB 为 30cm，则这个扇形的 圆心角 a 的度数为____________． 22.如果圆锥的底面周长是 20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为 120°，则圆锥的母线 长是 ． 23. 如图 7，在⊙O 中，弦 BC 垂直于半径 OA，垂足为 E，D 是优弧 ⌒BC上一点，连接 BD，AD， OC，∠ ADB＝30°. （1）求∠AOC 的度数； （2）若弦 BC＝6cm，求图中阴影部分的面积. 24. 如图，已知点 A、B、C、D 均在已知圆上，AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠BAD=120 ，四 边形 ABCD 的周长为 15.（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积。 25 如图，点 D 在 O⊙ 的直径 AB 的延长线上，点C 在 O⊙ 上，且 AC=CD，∠ACD=120°. （1）求证：CD 是 O⊙ 的切线； （2）若 O⊙ 的半径为 2，求图中阴影部分的面积. 26、已知∠AOB=60º,半径为 3cm 的⊙P 沿边 OA 从右向左平行移动,与边 OA 相切的切点记为 点 C. (1)⊙P 移动到与边 OB 相切时(如图),切点为 D,求劣弧 CD 的长; (2)⊙P 移动到与边 OB 相交于点 E,F,若 EF= 4 2 cm,求 OC 的长. 第 2 课时 圆锥的侧面积和全面积 一、课前预习 (5 分钟训练) 1.圆锥的底面积为 25π，母线长为 13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为 ________ cm，侧面积为________ cm2. 2.圆锥的轴截面是一个边长为 10 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm2，锥 角为_________，高为________ cm. 3.已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=5 cm，BC=12 cm，则以 BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积 为_________ cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________ cm，面积为_________ cm2. 4.如图 24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为 4，母线长为 6，则它的全面积为__________. 图 24-4-2-1 图 24-4-2-2 二、课中强化(10 分钟训练) 1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是 4 m，母线长为 3 m，为防雨需在粮仓的顶 部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( ) A.6 m2 B.6π m2 C.12 m2 D.12π m2 2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为 a 的半圆，则圆锥的高为( ) A.a B. 3 3 a C.3a D. 2 3 a 3.用一张半径为 9 cm、圆心角为 120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)， 那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm. 4.如图 24-4-2-2，已知圆锥的母线长 OA=8，地面圆的半径 r=2.若一只小虫从 A 点出发，绕 圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是______(结果保留根式). 5.一个圆锥的高为 3 3 cm，侧面展开图是半圆， 求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积. 三、课后巩固(30 分钟训练) 1.已知圆锥的母线与高的夹角为 30°，母线长为 4 cm，则它的侧面积为_________ cm2(结果 保留π). 2.如图 24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为 6 m 的正三角形 ABC，母线 AC 的中 点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从 B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短 路程是___________ m.(结果不取近似数) 图 24-4-2-3 图 24-4-2-4 3.若圆锥的底面直径为 6 cm，母线长为 5 cm，则它的侧面积为___________.(结果保留π) 4.在 Rt△ABC 中，已知 AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把 Rt△ABC 绕直线 AC 旋转一周得到 一个圆锥，其全面积为 S1；把 Rt△ABC 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积 为 S2.那么 S1∶S2 等于( ) A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12 5.如图 24-4-2-4 是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面 积为____________ cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示). 6.制作一个底面直径为 30 cm、高为 40 cm 的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( ) A.1 425π cm2 B.1 650π cm2 C.2 100π cm2 D.2 625π cm2 7.在半径为 27 m 的广场中央，点 O 的上空安装了一 个照明光源 S，S 射向地面的光束呈圆 锥形，其轴截面 SAB 的顶角为 120°(如图 24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度 SO.(精确 到 0.1 m； 2 =1.414， 3 =1.732， 5 =2.236，以上数据供参考) 参考答案 一、课前预习 (5 分钟训练) 1.圆锥的底面积为 25π，母线长为 13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为 ________ cm，侧面积为________ cm2. 思路解析：圆的面积为 S=πr2，所以 r=  25 =5(cm)；圆锥的高为 22 513  =12(cm)； 侧面积为 2 1 ×10π·13=65π(cm2). 答案：5 12 65π 2.圆锥的轴截面是一个边长为 10 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm2，锥 角为_________，高为________ cm. 思路解析：S 侧面积= 2 1 ×10π×10=50π(cm2)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高. 答案：50π 60° 5 3 3.已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=5 cm，BC=12 cm，则以 BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积 为__________ cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为__________ cm，面积为___________ cm2. 思路解析：以 BC 为轴旋转所得圆锥的底面半径为 5 cm，高为 12 cm，母线长为 13 cm. 利用公式计算. 答案：65π 10π 65π 4.如图 24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为 4，母线长为 6，则它的全面积为__________. 图 24-4-2-1 思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积. 答案：16π 二、课中强化(10 分钟训练) 1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是 4 m，母线长为 3 m，为防雨需在粮仓的顶 部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( ) A.6 m2 B.6π m2 C.12 m2 D.12π m2 思路解析：侧面积= 2 1 底面直径·π·母线长= 2 1 ×4×π×3=6π(m2). 答案：B 2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为 a 的半圆，则圆锥的高为( ) A.a B. 3 3 a C.3a D. 2 3 a 思路解析：展开图的弧长是 aπ，故底面半径是 2 a ，这时母线长、底面半径和高构成直角 三角形. 答案：D 3.用一张半径为 9 cm、圆心角为 120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)， 那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm. 思路解析：扇形的弧长为 180 9120  =6π(cm)，所以圆锥底面圆的半径为   2 6 =3(cm). 答案：3 4.如图 24-4-2-2，已知圆锥的母线长 OA=8，地面圆的半径 r=2.若一只小虫从 A 点出发，绕 圆锥的侧面爬行一周 后又回到 A 点，则小虫爬行的最短路线的长是_________(结果保留 根式). 图 24-4-2-2 思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是   8 18022  =90°，连结 AB，则△AOB 是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以 AB= 22 88  =8 2 . 答案：8 2 5.一个圆锥的高为 3 3 cm，侧面展开图是半圆， 求：(1)圆锥母线与底面半径的比； (2)锥角的大小； (3)圆锥的全面积. 思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长.锥角 是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面 积，底面积加侧面积就得圆锥全面积. 解：如图，AO 为圆锥的高，经过 AO 的截面是等腰△ABC，则 AB 为圆锥母线 l，BO 为底面半径 r. (1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以 2πr=πl，则 r l =2. (2)因 r l =2，则有 AB=2OB，∠BAO=30°，所以∠BAC=60°，即锥角为 60°. (3)因圆锥的母线 l，高 h 和底面半径 r 构成直角三角形，所以 l2=h2＋r2；又 l=2r，h=3 3 cm，则 r=3 cm，l=6 cm. 所以 S 表=S 侧＋S 底=πrl＋πr2=3·6π＋32π=27π(cm2). 三、课后巩固(30 分钟训练) 1.已知圆锥的母线与高的夹角为 30°，母线长为 4 cm，则它的侧面积为_________ cm2(结果 保留π). 思路解析：S 圆锥侧= 2 1 ×2×π× 2 1 ×4×4=8π. 答案：8π 2.如图 24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为 6 m 的正三角形 ABC，母线 AC 的中 点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从 B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短 路程是___________ m.(结果不取近似数) 图 24-4-2-3 思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的 PB(如图). 则扇形的圆心角为 6 6180     =180°,因为 P 在 AC 的中点上， 所以∠PAB=90°.在 Rt△PAB 中，PA=3，AB=6， 则 PB= 22 36  =3 5 . 答案：3 5 3.若圆锥的底面直径为 6 cm，母线长为 5 cm，则它的侧面积为___________.(结果保留π) 思路解析：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可. 设圆锥底面半径为 r，母线为 l，则 r=3 cm，l=5 cm，∴S 侧=πr·l=π×3×5=15π(cm2). 答案：15π cm2 4.在 Rt△ABC 中，已知 AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把 Rt△ABC 绕直线 AC 旋转一周得到 一个圆锥，其全面积为 S1；把 Rt△ABC 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积 为 S2.那么 S1∶S2 等于( ) A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12 思路解析：根据题意分别计算出 S1 和 S2 即得答案.在求 S1 和 S2 时，应分清圆锥侧面展 开图(扇形)的半径是斜边 BC，弧长是以 AB(或 AC)为半径的圆的周长. ∵∠A=90°，AC=8，AB=6，∴BC= 22 ABAC  = 22 68  =10. 当以 AC 为轴时，AB 为底面半径，S1=S 侧＋S 底=πAB·BC＋πAB2=π×6×10＋π×36=96π. 当以 AB 为轴时，AC 为底面半径，S2=S 侧＋S 底=80π＋π×82=144π. ∴S1∶S2=96π∶144π=2∶3，故选 A. 答案:A 5.如图 24-4-2-4 是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面 积为____________ cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示). 图 24-4-2-4 思路解析：由题意知：S 侧面积= 2 1 ×30π×20=300π(cm2). 答案：300π 6.制作一个底面直径为 30 cm、高为 40 cm 的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( ) A.1 425π cm2 B.1 650π cm2 C.2 100π cm2 D.2 625π cm2 思路解析:由题意知 S 铁皮=底面积+侧面积=π×152+40×2π×15=15×95π=1 425π. 答案:A 7.在半径为 27 m 的广场中央，点 O 的上空安装了一 个照明光源 S，S 射向地面的光束呈圆 锥形，其轴截面 SAB 的顶角为 120°(如图 24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度 SO.(精确 到 0.1 m； 2 =1.414， 3 =1.732， 5 =2.236，以上数据供参考) 图 24-4-2-5 思路分析：利用勾股定理和 30°的角所对的直角边等于斜边的一半解题. 解：在△SAB 中，SA=SB，∠ASB=120°. ∵SO⊥AB，∴O 为 AB 的中点，且∠ASO=∠BSO=60°，∠SAO=30°. 在 Rt△ASO 中，OA=27 m，设 SO=x，则 AS=2x，∴272+x2=(2x)2.∴x=9 3 ≈15.6(m). 答：光源离地面的垂直高度 SO 为 15.6 m. 第二十五 概率初步 25.1 随机事件与概率 25.1.1 随机事件 一、选择题 1．（3 分）（2007•遂宁）下列事件中，哪一个是确定事件？（ ） A.明日有雷阵雨 B.小胆的自行车轮胎被钉扎环 C.小红买体彩中奖 D.抛掷一枚正方体骰子，出现 7 点朝上 2．（3 分）（2009•朝阳）下列事件中，属于不确定事件的有（ ） ①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 3．（3 分）（2010•三明）下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．画饼充饥 4．（3 分）（2011•凉山州）下列说法正确的是（ ） A．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上 B．从 1，2，3，4，5 中随机取一个数，取得奇数的可能性较大 C．某彩票中奖率为 36%，说明买 100 张彩票，有 36 张中奖 D．打开电视，中央一套正在播放新闻联播 A.事件 A、B 都是随机事件 B.事件 A、B 都是必然事件 C.事件 A 是随机事件，事件 B 是必然事件 D.事件 A 是必然事件，事件 B 是随机事件 5．（3 分）（2012•泰州）有两个事件，事件 A：367 人中至少有 2 人生日相同；事件 B：抛 掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（ ） 6．（3 分）（2012•龙岩）一个不透明的布袋里有 30 个球，每次摸一个，摸一次就一定摸到 红球，则红球有（ ） A．15 个 B．20 个 C．29 个 D．30 个 二、填空题 7．（3 分）从数 1、2、3、4、5 中任取两个数字，得到的都是偶数，这一事件是 ． 8．（3 分）一个口袋中装有红、黄、蓝三个大小和形状都相同的三个球，从中任取一球得 到红球与得到蓝球的可能性 ． 9．（3 分）小明参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个， 今从中任选一个，选中 的可能性较小． 10．（3 分）3 张飞机票 2 张火车票分别放在五个相同的盒子中，小亮从中任取一个盒子决 定出游方式，则取到 票的可能性较大． 11．（3 分）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的 9 名增加到 14 人，其中任取 7 名裁判的评分作为有效分，这样做的目的是 ． 12．（3 分）在线段 AB 上任三点 x1、x2、x3，则 x2 位于 x1 与 x3 之间的可能性 （填 写“大于”、“小于”或“等于”）x2 位于两端的可能性． 13．（3 分）（2012•崇左）“明天的太阳从西方升起”这个事件属于 事件（用“必 然”、“不可能”、“不确定”填空）． 三、解答题 14．应用题：在一个不透明的口袋中，装着 10 个大小和外形完全相同的小球，其中有 5 个红球，3 个蓝球，2 个黑球，把它们搅匀以后，请问：下列哪些事件是必然事件，哪些是 不可能事件，哪些是不确定事件． （1）从口袋中任意取出一个球，它刚好是黑球．（不确定事件） （2）从口袋中一次取出 3 个球，它们恰好全是蓝球．（不确定事件） （3）从口袋中一次取出 9 个球，恰好红，蓝，黑三种颜色全齐．（必然事件） （4）从口袋中一次取出 6 个球，它们恰好是 1 个红球，2 个蓝球，3 个黑球．（ 不可能事件 ） 15．（2013•昆山市一模）（1）已知：甲篮球队投 3 分球命中的概率为 ，投 2 分球命中的 概率为 ，某场篮球比赛在离比赛结束还有 1min，时，甲队落后乙队 5 分，估计在最后的 1min，内全部投 3 分球还有 6 次机会，如果全部投 2 分球还有 3 次机会，请问选择上述哪 一种投篮方式，甲队获胜的可能性大？说明理由． （2）现在“校园手机”越来越受到社会的关注，为此某校九年级（1）班随机抽查了本校若干 名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了统计图（如图所示，图②表 示家长的三种态度的扇形图） 1）求这次调查的家长人数，并补全图①； 2）求图②表示家长“赞成”的圆心角的度数； 3）从这次接受调查的家长来看，若该校的家长为 2500 名，则有多少名家长持反对态度？ 参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．B 5．D 6．D 二、填空题 7．随机事件 8．相等 9．判断题 10．飞机 11．减少有效分中有受贿裁判评分的 可能性 12．小于 13．不可能 随机事件 1．在下列事件中：①投掷一枚均匀的硬币，正面朝上；②投掷一枚均匀的骰子，6 点朝上； ③任意找 367 人中，至少有 2 人的生日相同；④打开电视，正在播放广告；⑤小红买体 育彩票中奖；⑥北京明年的元旦将下雪；⑦买一张电影票，座位号正好是偶数；⑧到 2020 年世界上将没有饥荒和战争；⑨抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大 于等于 2；⑩在标准大气压下，温度低于 0℃时冰融化；⑾如果 a，b 为实数，那么 a＋b ＝b＋a；⑿抛掷一枚图钉，钉尖朝上． 确定的事件有______；随机事件有______，在随机事件中，你认为发生的可能性最小的 是______，发生的可能性最大的是______．(只填序号) 2．下列事件中是必然事件的是( )． A．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球 B．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C．小红期末考试数学成绩一定得满分 D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上 3．同时投掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数．下列事 件中是不可能事件的是( )． A．点数之和为 12 B．点数之和小于 3 C．点数之和大于 4 且小于 8 D．点数之和为 13 4．下列事件中，是确定事件的是( )． A．明年元旦北京会下雪 B．成人会骑摩托车 C．地球总是绕着太阳转 D．从北京去天津要乘火车 5．下列说法中，正确的是( )． A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生 B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件 C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生 D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生 6．“有位从不买彩票的人，在别人的劝说下用 2 元买了一随机号码，居然中了 500 万”，你 认为这样的事情可能发生吗?请简述理由． 7．一张写有密码的纸片被随意地埋在如图所示的矩形区域内，图中的四个正方形大小一样， 则纸片埋在几号区域的可能性最大?为什么? 8．在如图所示的图案中，黑白两色的直角三角形都全等．甲、乙两人将它作为一个游戏盘， 游戏规则是：按一定距离向盘中投镖一次，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜．你 认为这个游戏公平吗?为什么? 9．用力旋转如图所示的甲转盘和乙转盘的指针，如果指针停在蓝色区域就称为成功． A 同学说：“乙转盘大，相应的蓝色部分的面积也大，所以选乙转盘成功的机会比较大．” B 同学说：“转盘上只有两种颜色，指针不是停在红色上就是停在蓝色上，因此两个转盘 成功的机会都是 50％．” 你同意两人的说法吗?如果不同意，请你预言旋转两个转盘成功的机会有多大? 10．分别列出下列各项操作的所有可能结果，并分别指出在各项操作中出现可能性最大的结 果． (1)旋转各图中的转盘，指针所处的位置． (2)投掷各图中的骰子，朝上一面的数字． (3)投掷一枚均匀的硬币，朝上的一面． 25.1.2 概率 1．在大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的______总是会稳定在某个常数的附近， 这个常数就叫做事件 A 的______． 2．在一篇英文短文中，共使用了 6000 个英文字母(含重复使用)，其中“正”共使用了 900 次，则字母“正”在这篇短文中的使用频率是______． 3．下表是一个机器人做 9999 次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率． 抛掷结果 5 次 50 次 300 次 800 次 3200 次 6000 次 9999 次 出现正面的频数 1 31 135 408 1580 2980 5006 出现正面的频率 20％ 62％ 45％ 51％ 49.4％ 49.7％ 50.1％ (1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完 5 次时，得到 1 次正面，正面出现的频率是 20％，那么，也就是说机器人抛掷完 5 次后，得到______次反面，反面出现的频率是 ______； (2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完 9999 次时，得到______次正面，正面出现 的频率是______；那么，也就是说机器人抛掷完 9999 次时，得到______次反面，反面 出现的频率是______； (3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是______． 4．某个事件发生的概率是 2 1 ，这意味着( )． A．在两次重复实验中该事件必有一次发生 B．在一次实验中没有发生，下次肯定发生 C．在一次实验中已经发生，下次肯定不发生 D．每次实验中事件发生的可能性是 50％ 5．在生产的 100 件产品中，有 95 件正品，5 件次品．从中任抽一件是次品的概率为( )． A．0.05 B．0.5 C．0.95 D．95 6．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数 n 8 10 12 9 16 10 进球次数 m 6 8 9 7 12 7 进球频率 n m (1)计算表中各次比赛进球的频率； (2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 7．下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做 n 次随机试验，事件 A 发生 m 次，则事件 A 发生的概率一定等于 n m ；③频率是不能脱 离具体的 n 次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频 率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是______(填序号)． 8．某市元宵节期间举行了“即开式社会福利彩票”销售活动，印制彩票 3000 万张(每张彩 票 2 元)．在这些彩票中，设置了如下的奖项： 奖金/万元 50 15 8 4 … 数量/个 20 20 20 180 … 如果花 2 元钱购买 1 张彩票，那么能得到 8 万元以上(包括 8 万元)大奖的概率是______ 9．下列说法中正确的是( )． A．抛一枚均匀的硬币，出现正面、反面的机会不能确定 B．抛一枚均匀的硬币，出现正面的机会比较大 C．抛一枚均匀的硬币，出现反面的机会比较大 D．抛一枚均匀的硬币，出现正面与反面的机会相等 10．从不透明的口袋中摸出红球的概率为 5 1 ，若袋中红球有 3 个，则袋中共有球( )． A．5 个 B．8 个 C．10 个 D．15 个 11．柜子里有 5 双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是( )． A． 2 1 B． 3 1 C． 5 1 D． 10 1 12．某储蓄卡上的密码是一组四位数字号码，每一位上的数字可在 0～9 这 10 个数字中选 取．某人未记准储蓄卡密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时，如果随意地 按一下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率有多少? 13．某地区近 5 年出生婴儿性别的调查表如下： 出生年份 出生数 共计 n＝m1＋m2 出生频率 男孩 m1 女孩 m2 男孩 P1 女孩 P2 1996 52807 49473 102280 1997 51365 47733 99098 1998 49698 46758 96456 1999 49654 46218 95872 2000 48243 45223 93466 5 年共计 251767 235405 487172 完成该地区近 5 年出生婴儿性别的调查表，并分别求出出生男孩和女孩概率的近似 值．(精确到 0.001) 14．小明在课堂做摸牌实验，从两张数字分别为 1，2 的牌(除数字外都相同)中任意摸出一 张，共实验 10 次，恰好都摸到 1，小明高兴地说：“我摸到数字为 1 的牌的概率为 100％”， 你同意他的结论吗?若不同意，你将怎样纠正他的结论． 15．小刚做掷硬币的游戏，得到结论：掷均匀的硬币两次，会出现三种情况：两正，一正一 反，两反，所以出现一正一反的概率是 3 1 ．他的结论对吗?说说你的理由． 16．袋子中装有 3 个白球和 2 个红球，共 5 个球，每个球除颜色外都相同，从袋子中任意摸 出一个球，则：(1)摸到白球的概率等于______；(2)摸到红球的概率等于______； (3)摸到绿球的概率等于______；(4)摸到白球或红球的概率等于______； (5)摸到红球的机会______于摸到白球的机会(填“大”或“小”)． 25.2 用列举法求概率 第 1 课时 用列表法求概率 １．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的 5 个红球和 3 个黄球，从中随机摸出一个， 则摸到黄球的概率是( ) A、 1 8 B、 1 3 C、 3 8 D、 3 5 ２.有 2 名男生和 2 名女生，王老师要随机地、两两一对地为他们排座位，一男一女排在一 起的概率是( ) A、1 4 B、1 3 C、1 2 D、2 3 ３．一辆汽车在一笔直的公路上行驶，途中要经过两个十字路口．那么在两个十字路口都能 直接通过（都是绿灯）的概率是_____________． ４．袋子内装有除颜色外其余都相同的３个小球，其中一个红球，两个黄球．现连续从中摸 两次（不放回），则两次都摸到黄球的概率是____________． ５． A、B两个口袋中均有3个分别标有数字1、2、3的相同的球，甲、乙两人进行玩球游戏．游 戏规则是：甲从A袋中随机摸一个球，乙从B袋中随机摸一个球，当两个球上所标数字之和 为奇数时，则甲赢，否则乙赢．问这个游戏公平吗?为什么? ６．妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏．每次用一只手可以出锤子、剪刀、布三种手 势之一，规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子，若两人出相同手势，则算打平． (1)你帮妞妞算算爸爸出“锤子”手势的概率是多少? (2)妞妞决定这次出“布”手势，妞妞赢的概率有多大? (3)妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少? ７．一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字 3、4、5．从袋子中随机 取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回；再取出一个小球，用小球上 的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数．试问：按这种方法能组成哪些两位数？十 位上的数字与个位上的数字之和为 9 的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以 说明． ８．桌面上放有 4 张卡片，正面分别标有数字 1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同， 把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中随机抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反 面朝上放回洗匀，乙从中随机抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加； （1）请用列表或画树形图的方法求两数和为 5 的概率； （2）若甲与乙按上述方式作游戏，当两数之和为 5 时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得 12 分，那么乙胜一次得多少分，才能使这个游戏对双方公平？ ９．小明为了检验两枚六个面分别刻有点数 1、2、3、4、5、6 的正六面体骰子的质量是否 都合格，在相同的条件下，同时抛两枚骰子 20 000 次，结果发现两个朝上面的点数和是 7 的次数为 20 次．你认为这两枚骰子质量是否都合格(合格标准为：在相同条件下抛骰子时， 骰子各个面朝上的机会相等)？并说明理由． 用列举法求概率 １．Ｃ ２．Ｄ ３． 1 9 ４． 1 3 ５．不公平 下面列举所有可能出现的结果： 由此可知，和为奇数有4种，和为偶数有5种 ∴甲赢的概率为4/9，乙赢的概率为5/9 ∴不公平 ６．(1) 1 3 ，(2) 1 3 ，(3) 1 3 ７．(1) 列表： 十位 个位 ３ ４ ５ ３ 33 43 53 ４ 34 44 54 ５ 35 45 55 由表中可知，得到的两位数共有９种 (2) 2 9 ８．（1）列表如下： 由列表可得：P（数字之和为 5）= 4 1 （2）因为 P（甲胜）= 4 1 ，P（乙胜）= 4 3 ∴甲胜一次得 12 分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为： 4312  （分） ９．列表如下： １ ２ ３ ４ ５ ６ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 ５ 6 7 8 9 10 11 ６ 7 8 9 10 11 12 由表中可知，和为７的概率为 1 6 ， 120000 33336   ．而 20 远远小于 3333 因而这两个骰 子不可能都合格． 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 第 2 课时 用树状图求概率 1．在一个暗箱里放入除颜色外其他都相同的 3 个红球和 11 个黄球，搅拌均匀后随机任取一 个球，取到红球．．的概率是( )． A． 11 3 B． 11 8 C． 14 11 D． 14 3 2．号码锁上有 3 个拨盘，每个拨盘上有 0～9 共 10 个数字，能打开锁的号码只有一个．任 意拨一个号码，能打开锁的概率是( )． A．1 B． 10 1 C． 100 1 D． 1000 1 3．在一个布口袋中装着只有颜色不同，其他都相同的白、红、黑三种颜色的小球各 1 只， 甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球． (1)试用树状图(或列表法)表示摸球游戏所有可能的结果； (2)如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中获胜的概率． 4．一个袋子中装有红、黄、蓝三个小球，它们除颜色外均相同． (1)如果从中随机摸出一个小球，那么摸到蓝色小球的概率是多少? (2)小王和小李玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小王随机摸出一个小球，记下颜色后放 回，小李再随机摸出一个小球，记下颜色．当两个小球的颜色相同时，小王赢；当两 个小球的颜色不同时，小李赢．请你分析这个游戏规则对双方是否公平?并用列表法 或画树状图法加以说明． 5．如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动 A、B 两个转盘，停止 后，指针各指向一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则 小力胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗?请你利用列举法说明理由． 6．“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时比赛各方做“石头”、“剪刀”、“布”手势 中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势或三 种手势循环不分胜负继续比赛，假定甲、乙、丙三人都是等可能地做这三种手势，那么： (1)一次比赛中三人不分胜负的概率是多少? (2)比赛中一人胜，二人负的概率是多少? 7．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性 大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： (1)三辆车全部直行；(2)两辆车向右转，一辆车向左转；(3)至少有两辆车向左转． 8．“五一”期间，梁先生驾驶汽车从甲地经过乙地到丙地游玩．甲地到乙地有两条公路，乙 地到丙地有三条公路．每一条公路的长度如图所示(单位：km)，梁先生任选一条从甲地 到丙地的路线，这条路线正好是最短路线的概率是______． 9．同时掷两枚普通的骰子，“出现数字之积为奇数”与“出现数字之积为偶数”的概率分别 是______，______． 10．银行为储户提供的储蓄卡的密码由 0，1，2，…，9 中的 6 个数字组成．某储户的储蓄 卡被盗，盗贼如果随意按下 6 个数字，可以取出钱的概率是______． 11．小明和小颖做游戏：桌面上放有 5 支铅笔，每次取 1 支或 2 支，由小明先取，最后取完 铅笔的人获胜．如果小明获胜的概率为 1，那么小明第一次应取走______支． 12．有三条带子，第一条的一头是黑色，另一头是黄色，第二条的一头是黄色，另一头是白 色，第三条的一头是白色，另一头是黑色．若任意选取这三条带子的一头，颜色各不相 同的概率是( )． A． 3 1 B． 4 1 C． 5 1 D． 6 1 13．某校九年级学生中有 5 人在省数学竞赛中获奖，其中 3 人获一等奖，2 人获二等奖．老 师从 5 人中选 2 人向全校学生介绍学好数学的经验，则选出的 2 人中恰好一人是一等奖 获得者，一人是二等奖获得者的概率是( )． A． 5 1 B． 5 2 C． 5 3 D． 5 4 14．口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外其余都相同．其中有红球 4 个，绿球 5 个，任意摸出 1 个绿球的概率是  3 1 求：(1)口袋里黄球的个数；(2)任意摸出 1 个红球的概率． 15．小明走进迷宫，迷宫中的每一个门都相同，第一道关口有四个门，只有第三个门有开关， 第二道关口有两个门，只有第一个门有开关，他一次就能走出迷宫的概率是______． 16．请你设计一种均匀的正方体骰子，使得它掷出后满足下列所有条件： (1)奇数点朝上的概率为 ;3 1 (2)大于 6 的点数与小于 3 的点数朝上的概率相同． 25.3 用频率估计概率 1．当实验次数很大时，同一事件发生的频率稳定在相应的______附近，所以我们可以通过 多次实验，用同一个事件发生的______来估计这事件发生的概率．(填“频率”或“概率”) 2．50 张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色后放回，洗匀后再抽，抽到红桃、黑桃、梅 花、方片的频率依次是 16％、24％、8％、52％，估计四种花色分别有______张． 3．在一个 8 万人的小镇，随机调查了 1000 人，其中有 250 人有订报纸的习惯，则该镇有 订报纸习惯的人大约为______万人． 4．为估计某天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉 10 只，全部做上记号后放飞．过了一段时间后， 重新捕捉 40 只，其中带有标记的天鹅有 2 只．据此可估算出该地区大约有天鹅______ 只． 5．如果手头没有硬币，用来模拟实验的替代物可用( )． A．汽水瓶盖 B．骰子 C．锥体 D．两个红球 6．在“抛硬币”的游戏中，如果抛了 10000 次，则出现正面的概率是 50％，这是( )． A．确定的 B．可能的 C．不可能的 D．不太可能的 7．对某厂生产的直径为 4cm 的乒乓球进行产品质量检查，结果如下： (1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中； 抽取球数 n 50 100 500 1000 5000 优等品数 m 45 92 455 890 4500 优等品频率 n m (2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少? 8．某封闭的纸箱中有红色、黄色的玻璃球若干，为了估计出纸箱中红色、黄色球的数目， 小亮向纸箱中放入 25 个白球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率为 25％，摸 到黄球的频率为 40％，试估计出原纸箱中红球、黄球的数目． 9．一口袋中有 6 个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜 色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共 300 次，其中 120 次摸到红球，则口袋中 大约有______个白球． 10．某班级有学生 40 人，其中共青团员 15 人，全班分成 4 个小组，第一小组有学生 10 人， 其中共青团员 4 人．如果要在班内任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组 内的概率为______；现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第 一小组内的概率是______． 11．在 5 瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期，从 5 瓶饮料中任取 2 瓶，则取到的 2 瓶都过了保质 期的可能性是多少?请你用替代物进行模拟实验，估计问题的答案． 12．某笔芯厂生产圆珠笔芯，每箱可装 2000 支．一位质检员误把一些已做标记的不合格产 品也放入箱子里，若随机拿出 100 支，共做 10 次实验，这 100 支中不合格笔芯的平均数是 5，你能估计箱子里有多少支不合格品吗?若每支合格品的利润为 0.5 元，如果顾客发现不合 格品，需双倍赔偿(即每支赔 1 元)，如果让这箱含不合格品的笔芯走上市场，根据你的估算 这箱笔芯是赚是赔?赚多少或赔多少? 13．为估计某一池塘中鱼的总数目，小英将 100 尾做了标记的鱼投入池塘中，几天后，随机 捕捞，每次捕捞后做好记录，然后将鱼放回，如此进行 20 次，记录数据如下： 总条数 50 45 60 48 10 30 42 38 15 10 标记数 2 1 3 2 0 1 1 2 0 1 总条数 53 36 27 34 43 26 18 22 25 47 标记数 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 (1)估计池塘中鱼的总数．根据这种方法估算是否准确? (2)请设计另一种标记的方法，使得估计更加精准． 14．小明在乒乓球馆训练完后，不慎将若干白球放入了装有 30 个橙色球的袋子中，已知两 种球除颜色外都相同，你能帮他设计一个方案来估计放进多少白球吗? 15．北京联通公司市场部经理小张想了解市内移动公司等对手的市场占有率及用户数量，你 能帮他设计一种方案估计出其他公司用户的数量吗? 16．一口袋中只有若干粒白色围棋子，没有其他颜色的棋子；而且不许将棋子倒出来数，请 你设计一个方案估计出其中白色棋子的数目． 参考答案 1．概率，频率． 2．8，12，4，26． 3．2． 4．200． 5．A． 6．B． 7．(1)频率依次为 0.90，0.92，0.91，0.89，0.90；(2)概率是 0.9． 8．可估计三色球总数为 100%25 25  个，则黄球约为 40 个，红球约为 100－40－25＝35 个． 9．9． 10．  15 4;4 1 11．可能性是 ;10 1 可取 3 个白球和两个红球，用红球代表过了保质期的饮料，从这 5 个球中 任取两个，这两个均为红球的概率即为所求． 12．(1) 100 100 52000  (支)，估计箱子里有 100 支不合格产品； (2)0.5×(2000－100)－1×100＝850(元)，这箱笔芯能赚钱，赚了 850 元． 13．(1)先求有标记数与总条数的比 ,679 28 得池塘鱼数 2425 679 28100  条，估计可能不太准 确，因为实验次数太少． (2)可以先捞出一定数目的鱼(比如 30 条)，做上标记再放回，一天后，在池塘里随机捞 取，每次捞 50 条，求带有标记和不带有标记鱼的数目比．重复实验 100 次，求出平 均值，然后用 30 除以平均比值，即可估计池塘里的鱼数． 14．从袋中随机摸取一球，记下颜色放回摇匀，摸 20 次为一次实验，若摸出 n 个橙球，则 摸到橙球的频率为 ;20 n 重复多次实验，用实验频率估计理论概率；用 2030 n 求出袋中 球的总数，再用总数减去 30 个橙球数，就得出放进去的白球数． 15．首先统计出联通用户数量 m，然后随机调查 1000 名手机用户，如果其中有 n 名中国联 通用户，则可估计对手的市场占有率为 ,10001 n 对手用户数量为 mn m 1000 名． 16．方案一：从口袋中摸出 10 粒棋子做上标记，然后放回口袋．拌匀后从中摸出 20 粒棋子， 求出标记的棋子与 20 的比值，不断重复上述过程 30 次，有标记的棋子与 20 的比值的平均数为 ,1 m 则估计袋中棋子有 10m 粒． 方案二：另拿 10 粒黑色棋子放到袋中，拌匀后，重复方案一中的过程．黑棋子与 20 的比值平均数为 ,1 n 估计袋中原有白棋子(10n－10)粒． 25.3 用频率估计概率 1．用频率来估计概率的值，得到的只是______，但随实验的次数增多，频率值与实际概率 值的差会越来越趋近于______，此时对这个事件发生概率值估计的准确性也就越大． 2．某单位共有 30 名员工，现有 6 张音乐会门票，领导决定分给 6 名员工，为了公平起见， 他将员工们按 1～30 进行编号，用计算器随机产生______～______之间的整数，随机产 生的______个整数对应的编号去听音乐会． 3．为了解某城市的空气质量，小明由于时间的限制，只随机记录了一年中 73 天空气质量情 况，其中空气质量为优的有 60 天，请你估计该城市一年中空气质量为优的有______天． 4．利用计算器产生 1～5 的随机数(整数)，连续两次随机数相同的概率是______． 5．某口袋放有编号 1～6 的 6 个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次 摸到的球相同的概率是( ) A． 36 1 B． 18 1 C． 6 1 D． 2 1 6．某科研小组，为了考查某河流野生鱼的数量，从中捕捞 200 条，作上标记后，放回河里， 经过一段时间，再从中捕捞 300 条，发现有标记的鱼有 15 条，则估计该河流中有野生鱼 ( ) A．8000 条 B．4000 条 C．2000 条 D．1000 条 7．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 只，某学习小组做 摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下 表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 n m 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近______； (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______； (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只? (4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了．这个问 题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如 何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)?请你应用统计与概率的思想和方法解 决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法． 8．某学校有 50 位女教师，但不知其校男教师的人数，一位同学为了弄清该校男教师的人数， 他对每天进校时的第一位老师的性别进行了记录，他一共记录了 200 次，记录到女教师 有 80 次．你能根据这位同学的记录估计出该校男教师的人数吗?请说明理由． 9．均匀的正四面体各面分别标有 1，2，3，4 四个数字，同时抛掷两个这样的四面体，它们 着地一面数字相同的概率是______．如果没有正四面体，设计一个模拟实验用来替代此 实验：______________________________． 10．有 4 根完全相同的绳子放在盒子中，然后分别将它们的两端相接连成一条绳子，问一根 绳子的两端刚好都接有绳子的概率是______． 11．某数学兴趣小组为了估计π的值设计了投针实验．平行线间的距离α＝0.5m，针长为 0.1m， 向地面随机投了 150 次，经统计有 19 次针与平行线相交．试求出针与平行线相交的概 率的近似值，并估计出π的值． 12．小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形 ABC．为了知道它的面积， 小明在封闭图形内划出了一个半径为 1m 的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下： 掷子次数 50 次 150 次 300 次 石子落在⊙O 内 (含⊙O 上)的次数 m 14 43 93 石子落在图形内的次数 n 19 85 186 你能否求出封闭图形 ABC 的面积?试试看． 13．地面上铺满了正方形的地砖(40cm×40cm)．现在向其上抛掷半径为 5cm 的圆碟，圆碟 与地砖间的间隙相交的概率大约是多少? 14．设计一个方案，估计 10 个人中有 2 个人生日相同的概率是多少?写出你的方案设计． 15．一次战争期间，参战的一方的一名间谍深入敌国内部，他侦察到的情报如下： (1)该国参战部队有 220 个班建制； (2)他在敌国参战部队的不同地点侦察了 22 个班；22 个班中有 20 个班严重缺员，另外 2 个班只是基本满员； (3)敌国的士气不振． 因此，他向本国发回消息：“敌国已基本失去战斗力”． 你认为这名间谍的消息正确吗? 参考答案 1．近似值，0． 2．1，30，6． 3．300． 4．  5 1 5．C． 6．B． 7．(1)0.6；(2)0.6，0.4；(3)白球 12，黑球 8； (4)尝试自己设计出一种方案与同学交流． 8．能．设男教师人数为 x，则 ,200 80 50 50  x 解得 x＝75，估计该校约有 75 位男教师． 9． ,4 1 略． 10．  2 1 11．估计 ,127.0 150 19  N nP 又 .149.35.0127.0 1.022π,π 2   Pa l a lP 12．随实验次数的增加，可以看出石子落在⊙O 内(含⊙O 上)的频率趋近 0.5，有理由相信⊙ O 面积会占封闭图形 ABC 面积的一半，所以求出封闭图形 ABC 的面积为 2π. 13．如图，当所抛圆碟的圆心在图中边框内(宽为 5cm)部分时，圆碟将与地砖间的间隙相交， 因此所求概率等于一块正方形地砖内的边框部分和该正方形的面积比，结果为  16 7 14．用计算器设定 1～365(一年按 365 天计)共 365 个随机数，每组取 10 个随机数，有两个 数相同的记为 1，否则记为 0，做 10 组实验，求出现两个数相同的频率，用此数据来估 计概率． 15．由于间谍侦查到的班是随机的，设敌国有 x 个班严重缺员，那么 ,22022 20 x 解得 x＝200， 可见敌国有 200 个班严重缺员，仅有的 20 个班基本满员，又加上士气不振，可以说“敌 国已基本上无战斗力了”．