2019年山东德州中考数学试题（解析版） 17页

‎{来源}2019年德州中考数学 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年德州市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，合计48分． ‎ ‎{题目}1．（2019年德州）－的倒数是（ ）‎ ‎ A．－2 B． C．1 D．1‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，由于－×(－2)＝1，因此本题选A．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}‎ ‎{考点:倒数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019年德州）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了轴对称和中心对称图形的识别，A．轴对称图形；B．中心对称图形；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本题选D．‎ ‎{分值}4‎ ‎{考点:轴对称图形}‎ ‎{考点:中心对称图形}‎ ‎{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019年德州）据国家统计局统计，我国 2018 年国民生产总值（GDP）为 900300 亿元．用科学记数法表示900300亿是 A．9.003´1012 B．90.03´1012 C．0.9003´1014 D．9.003´1013‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此先将“900300亿”改写成90 030 000 000 000，再根据科学记数法的要求表示为9.003´1013．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}4．（2019年德州）下列运算正确的是（ ）‎ ‎ A．(－2a)2＝－4a2 B．(a＋b)2＝a2＋b2 ‎ C．(a5)2＝a7 D．(－a＋2)(－a－2)＝a2－4‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了整式乘法公式，A项考查了积的乘方公式，正确结果应该是4a2；B项考查的是完全平方公式，正确的结果应该是a2＋2ab＋b2；C项考查的是幂的乘方，正确的结果应该是a10；D项考查了平方差公式，结果正确．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-14-2]乘法公式}‎ ‎{考点:完全平方公式}‎ ‎{考点:积的乘方}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{考点:完全平方公式}‎ ‎{考点:平方差公式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019年德州）若函数与 y＝ax2＋bx＋c 的图象如下图所示，则函数 y＝kx＋b 的大致图象为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数图象的性质，由于双曲线过二、四象限，因此k＜0，又由于抛物线开口向上，因此a＞0，又由于对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可知a，b异号，所以b＜0．所以直线应该呈下降趋势，与y轴交于负半轴，因此本题选C．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质}‎ ‎{考点:反比例函数的图象}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{题目}6．（2019年德州）不等式组 的所有非负整数解的和是（ ）‎ A． 10 B． 7 C． 6 D． 0‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了一元一次不等式不等式组的非负整数解，解答过程如下：‎ 解不等式①，得x＞－；‎ 解不等式②，得x≤4；‎ ‎∴不等式组的解集为－＜x≤4．‎ ‎∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，这些非负整数解的和为10．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:一元一次不等式组的整数解}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{题目}7．（2019•德州）下列命题是真命题的是（　　）‎ A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 ‎ B．平分弦的直径垂直于弦 C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 ‎ D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 ‎{答案}C ‎{解析} A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；‎ B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；‎ C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；‎ D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角}‎ ‎{考点:垂径定理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8．（2019•德州）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题的等量关系是：绳长－木长＝4.5；木长－绳长＝1，据此可列方程组求解．‎ 解：设绳长x尺，长木为y尺，‎ 依题意得．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组}‎ ‎{考点:简单的列二元一次方程组应用题}‎ ‎{考点:代入消元法有关的实际问题}‎ ‎{类别:数学文化}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．（2019•德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．130° B．140° C．150° D．160°‎ ‎{答案}B ‎{解析}解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，‎ ‎∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，‎ ‎∴∠ABC＋∠ADC＝180°，‎ ‎∵∠ABC＝40°，‎ ‎∴∠ADC＝140°，‎ 故选：B．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{考点: {考点:圆内接四边形的性质}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}10．（2019•德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字‎1‎‎4‎，‎1‎‎2‎，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（　　）‎ A．‎2‎‎3‎ B．‎5‎‎9‎ C．‎4‎‎9‎ D．‎‎1‎‎3‎ ‎{答案}C ‎{解析}（1）画树状图如下：‎ 由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，‎ ‎∴乙获胜的概率为‎4‎‎9‎，‎ 故选：C．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}11．在下列函数图象上任取不同两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使y‎2‎‎-‎y‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎‎＜‎0成立的是（　　）‎ A．y＝3x－1（x＜0） B．y＝－x2+2x－1（x＞0） ‎ C．y‎=-‎‎3‎x（x＞0） D．y＝x2－4x－1（x＜0）‎ ‎{答案}D ‎{解析}解：A、∵k＝3＞0‎ ‎∴y随x的增大而增大，即当x1＞x2时，必有y1＞y2‎ ‎∴当x＜0时，y‎2‎‎-‎y‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎＞0，‎ 故A选项不符合；‎ B、∵对称轴为直线x＝1，‎ ‎∴当0＜x＜1时y随x的增大而增大，当x＞1时y随x的增大而减小，‎ ‎∴当0＜x＜1时：当x1＞x2时，必有y1＞y2‎ 此时y‎2‎‎-‎y‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎＞0，‎ 故B选项不符合；‎ C、当x＞0时，y随x的增大而增大，‎ 即当x1＞x2时，必有y1＞y2‎ 此时y‎2‎‎-‎y‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎＞0，‎ 故C选项不符合；‎ D、∵对称轴为直线x＝2，‎ ‎∴当x＜0时y随x的增大而减小，‎ 即当x1＞x2时，必有y1＜y2‎ 此时y‎2‎‎-‎y‎1‎x‎2‎‎-‎x‎1‎＜0，‎ 故D选项符合．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:一次函数的性质}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:反比例函数的性质}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}12．（2019年德州）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF∶FB＝1∶2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接GM．有如下结论：①DE＝AF；②AN＝AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF∶S四边形CNFB＝1∶8．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）‎ A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④‎ ‎{答案}C ‎{解析}①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．‎ ‎②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．‎ ‎③正确．作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，通过计算证明MH＝CH即可解决问题．‎ ‎④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出＝＝，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:相似三角形面积的性质}‎ ‎{考点:几何选择压轴}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ 二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.‎ ‎{题目}13．（2019•德州）|x－3|＝3－x，则x的取值范围是　 　．‎ ‎{答案} x≤3‎ ‎{解析}根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以3－x≥0，即可求解；‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值}‎ ‎{考点:绝对值的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎14．（2019•德州）方程‎6‎‎(x+1)(x-1)‎‎-‎3‎x-1‎=‎1的解为　 　．‎ ‎{答案} x＝－4‎ ‎{解析}解∶‎6‎‎(x+1)(x-1)‎‎-‎3‎x-1‎=‎1，‎ ‎6‎‎(x+1)(x-1)‎‎-‎3(x+1)‎‎(x-1)(x+1)‎=‎‎1，‎ ‎3-3x‎(x+1)(x-1)‎‎=‎‎1，‎ ‎-3‎x+1‎‎=‎‎1，‎ x＋1＝－3，‎ x＝－4，‎ 经检验x＝－4是原方程的根．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{考点:解含两个分式的分式方程}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15．（2019•德州）如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为　 　米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）‎ ‎{答案}1.02‎ ‎{解析}解：由题意可得：‎ ‎∵∠ABO＝70°，AB＝6m，‎ ‎∴sin70°＝＝≈0.94，‎ 解得：AO＝5.64（m），‎ ‎∵∠CDO＝50°，DC＝6m，‎ ‎∴sin50°＝≈0.77，‎ 解得：CO＝4.62（m），‎ 则AC＝5.64－4.62＝1.02（m），‎ 答：AC的长度约为1.02米．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-28-2-2]非特殊角}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}16．（2019•德州）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1．现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝　 　．‎ ‎{答案}0.7‎ ‎{解析}解：根据题意可得：{3.9}＋{－1.8}－{1}＝3.9－3－1.8＋2－1＋1＝0.7．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-1-3-2]有理数的减法}‎ ‎{考点:省略加号的代数和}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}17．（2019•德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为　　 ．‎ ‎{答案}9.6‎ ‎{解析}连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r－1，OA＝r，根据勾股定理得到32＋（r－1）2＝r2，解得r＝5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG＝FG，则AG2＋OG2＝52，AG2＋（5－OG）2＝62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}‎ ‎{考点:垂径定理}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}18．（2019•德州）如图，点A1、A3、A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2、A4、A6……在反比例函数y＝－（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则An（n为正整数）的纵坐标为　 　．（用含n的式子表示）‎ ‎{答案}(－1)n＋1(－) ‎ ‎{解析}先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x，－），根据OD2＝2＋＝x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1、A3、A5…在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用(－1)n＋1来解决这个问题．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎{考点:规律－图形变化类}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ 三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎{题目}19．（8分）（2019•德州） 先化简，再求值：（‎2‎m‎-‎‎1‎n）÷（m‎2‎‎＋‎n‎2‎mn‎-‎‎5nm）•（m‎2n‎＋‎2nm＋‎2），其中m＋1‎‎＋‎(n－3)2＝0．‎ ‎{解析}先通分，再利用因式分解，把可以分解的分解，然后统一化成乘法运算，约分化简，再将所给等式化简，得出m和n的值，最后代回化简后的分式即可．‎ ‎{答案}解∶（‎2‎m‎-‎‎1‎n）÷（m‎2‎‎＋‎n‎2‎mn‎-‎‎5nm）•（m‎2n‎＋‎2nm＋‎2）‎ ‎＝‎2n-mmn÷‎m‎2‎‎＋n‎2‎-5‎n‎2‎mn‎•m‎2‎‎＋4n‎2‎＋4mn‎2mn ‎ ‎＝‎‎2n-mmn‎•mn‎(m＋2n)(m-2n)‎•‎(m＋2n‎)‎‎2‎‎2mn ‎ ‎＝-‎m＋2n‎2mn‎．‎ ‎∵m＋1‎‎＋‎（n﹣3）2＝0．‎ ‎∴m＋1＝0，n﹣3＝0，‎ ‎∴m＝﹣1，n＝3．‎ ‎∴‎-m＋2n‎2mn＝-‎-1＋2×3‎‎2×(-1)×3‎＝‎‎5‎‎6‎．‎ ‎∴原式的值为‎5‎‎6‎．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}20．（2019•德州）《中学生体质健康标准》规定的等级标准为：90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．某校为了解七、八年级学生的体质健康情况，现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测，并对成绩进行分析．成绩如下：‎ 七年级 ‎80‎ ‎74‎ ‎83‎ ‎63‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎74‎ ‎61‎ ‎82‎ ‎62‎ 八年级 ‎74‎ ‎61‎ ‎83‎ ‎91‎ ‎60‎ ‎85‎ ‎46‎ ‎84‎ ‎74‎ ‎82‎ ‎（1）根据上述数据，补充完成下列表格．‎ 整理数据：‎ 优秀 良好 及格 不及格 七年级 ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎0‎ 八年级 ‎1‎ ‎4‎ ‎　 　‎ ‎1‎ 分析数据：‎ 年级 平均数 众数 中位数 七年级 ‎76‎ ‎74‎ ‎77‎ 八年级 ‎　 　‎ ‎74‎ ‎　　‎ ‎（2）该校目前七年级有200人，八年级有300人，试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人？‎ ‎（3）结合上述数据信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好，并说明理由．‎ ‎{解析}（1）根据平均数和中位数的概念解答即可；‎ ‎（2）根据样本估计总体解答即可；‎ ‎（3）根据数据调查信息解答即可 ‎{答案}解∶（1）八年级及格的人数是4，平均数‎＝‎74＋61＋83＋91＋60＋85＋46＋84＋74＋82‎‎10‎＝74‎，中位数‎＝‎74＋82‎‎2‎＝78‎；‎ 故答案为∶4；74；78；‎ ‎（2）计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有200‎×‎2‎‎10‎＋300×‎1‎‎10‎＝40＋30＝70‎人；‎ ‎（3）根据以上数据可得∶七年级学生的体质健康情况更好．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:算术平均数}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}21．（2019年德州）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人字样浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆． 据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．‎ ‎（1）求进馆人次的月平均增长率；‎ ‎（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力补超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．‎ ‎{解析}本题考查了一元二次方程的应用问题（增长率）．‎ ‎（1）套用公式a(1＋x)2＝b即可；（2）根据第（1）小题算出的增长率，算出第四个月的进馆人数，然后与608进行比较得出结果． ‎ ‎{答案}解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意，得：‎ ‎ 128＋128 (1＋x)＋128 (1＋x)2＝608‎ ‎ 解得 x1＝0.5；x2＝－3.5（舍去）．‎ ‎ 答：进馆人次的月平均增长率为50%．‎ ‎（2）第四个月进馆人数为128(1＋)3＝432（人次）‎ ‎ ∵432＜500‎ ‎ ∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}‎ ‎{题目}22．（12分）（2019•德州）如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2‎3‎．‎ ‎（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；‎ ‎（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；‎ ‎（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．‎ ‎{解析}（1）过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，然后以OA为半径作⊙O即可；‎ ‎（2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明Rt△PAO≌Rt△PCO，然后根据切线的判定方法判断PB、PC为⊙O的切线；‎ ‎（3）先证明△OAC为等边三角形得到OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，再计算出AP＝2，然后根据扇形的面积公式，利用劣弧AC与线段PA、PC围成 的封闭图形的面积进行计算．‎ ‎{答案}解∶（1）如图，‎ ‎（2）已知∶如图，∠BPD＝120°，点A、C分别在射线PB、PD上，∠PAC＝30°，AC＝2‎3‎，过A、C分别作PB、PD的垂线，它们相交于O，以OA为半径作⊙O，OA⊥PB，‎ 求证∶PB、PC为⊙O的切线；‎ 证明∶∵∠BPD＝120°，PAC＝30°，‎ ‎∴∠PCA＝30°，‎ ‎∴PA＝PC，‎ 连接OP，‎ ‎∵OA⊥PA，PC⊥OC，‎ ‎∴∠PAO＝∠PCO＝90°，‎ ‎∵OP＝OP，‎ ‎∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL）‎ ‎∴OA＝OC，‎ ‎∴PB、PC为⊙O的切线；‎ ‎（3）∵∠OAP＝∠OCP＝90°－30°＝60°，‎ ‎∴△OAC为等边三角形，‎ ‎∴OA＝AC＝2‎3‎，∠AOC＝60°，‎ ‎∵OP平分∠APC，‎ ‎∴∠APO＝60°，‎ ‎∴AP‎＝‎3‎‎3‎×‎2‎3‎‎＝‎2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO－S扇形AOC＝2‎×‎1‎‎2‎×‎2‎ ‎3‎‎×‎‎2‎-‎60⋅π⋅(2‎‎3‎‎)‎‎2‎‎360‎＝‎4‎3‎‎-‎2π．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:扇形的面积}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:与圆有关的作图问题}‎ ‎{类别:北京作图}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}23．（12分）（2019•德州）下表中给出A，B，C三种手机通话的收费方式． ‎ 收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/min）‎ A ‎30‎ ‎25‎ ‎0.1‎ B ‎50‎ ‎50‎ ‎0.1‎ C ‎100‎ 不限时 ‎（1）设月通话时间为x小时，则方案A，B，C的收费金额y1，y2，y3都是x的函数，请分别求出这三个函数解析式．‎ ‎（2）填空：‎ 若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；‎ 若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；‎ 若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为　 　；‎ ‎（3）小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．‎ ‎{解析}（1）根据题意可以分别写出y1、y2、y3关于x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围；‎ ‎（2）根据题意作出图象，结合图象即可作答；‎ ‎（3）结合图象可得：小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，将y＝81代入y2关于x的函数关系式，解方程即可得出小王该月的通话时间．‎ ‎{答案}解：（1）∵0.1元/min＝6元/h，‎ ‎∴由题意可得，‎ y1‎＝‎‎30(0≤x≤25)‎‎6x-120(x＞25)‎，‎ y2‎＝‎‎50(0≤x≤50)‎‎6x-250(x＞50)‎，‎ y3＝100（x≥0）；‎ ‎（2）作出函数图象如图∶‎ 结合图象可得∶‎ 若选择方式A最省钱，则月通话时间x的取值范围为∶0≤x‎≤‎‎85‎‎3‎，‎ 若选择方式B最省钱，则月通话时间x的取值范围为∶‎85‎‎3‎‎≤‎x‎≤‎‎175‎‎3‎，‎ 若选择方式C最省钱，则月通话时间x的取值范围为∶x‎＞‎‎175‎‎3‎．‎ 故答案为∶0≤x‎≤‎‎85‎‎3‎，‎85‎‎3‎‎≤‎x‎≤‎‎175‎‎3‎，x‎＞‎‎175‎‎3‎．‎ ‎（3）∵小王、小张今年5月份通话费均为80元，但小王比小张通话时间长，‎ ‎∴结合图象可得∶小张选择的是方式A，小王选择的是方式B，‎ 将y＝80分别代入y2‎＝‎‎50(0≤x≤50)‎‎6x-250(x＞50)‎，可得 ‎6x－250＝80，‎ 解得∶x＝55，‎ ‎∴小王该月的通话时间为55小时．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}‎ ‎{考点:分段函数的应用}‎ ‎{考点:方案比较}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}24．（12分）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD∶GC∶EB的结果（不必写计算过程）‎ ‎（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD∶GC∶EB；‎ ‎（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，此时HD∶GC∶EB的结果与（2‎ ‎）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．‎ ‎{解析}（1）连接AG，由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，易得A，G，C共线，延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；‎ ‎（2）连接AG，AC，由△ADC和△AHG都是等腰三角形，易证△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；‎ ‎（3）连接AG，AC，易证△ADC∽△AHG和△ADH∽△ABE，利用相似三角形的性质可得结论．‎ ‎{答案}解∶（1）连接AG，‎ ‎∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，‎ ‎∴∠GAE＝∠CAB＝30°，AE＝AH，AB＝AD，‎ ‎∴A，G，C共线，AB－AE＝AD－AH，‎ ‎∴HD＝EB，‎ 延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，‎ ‎∴GC⊥MN，∠NGO＝∠AGE＝30°，‎ ‎∴OGGN‎＝‎cos30°‎＝‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∵GC＝2OG，‎ ‎∴GNGC‎＝‎‎1‎‎3‎，‎ ‎∵HGND为平行四边形，‎ ‎∴HD＝GN，‎ ‎∴HD∶GC∶EB＝1∶‎3‎∶1．‎ ‎（2）如图2，连接AG，AC，‎ ‎∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，‎ ‎∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶‎3‎，∠DAC＝∠HAG＝30°，‎ ‎∴∠DAH＝∠CAG，‎ ‎∴△DAH∽△CAG，‎ ‎∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶‎3‎，‎ ‎∵∠DAB＝∠HAE＝60°，‎ ‎∴∠DAH＝∠BAE，‎ 在△DAH和△BAE中，‎ AD＝AB‎∠DAH＝∠BAEAH＝AE‎ ‎ ‎∴△DAH≌△BAE（SAS）‎ ‎∴HD＝EB，‎ ‎∴HD∶GC∶EB＝1∶‎3‎∶1．‎ ‎（3）有变化．‎ 如图3，连接AG，AC，‎ ‎∵AD∶AB＝AH∶AE＝1∶2，∠ADC＝∠AHG＝90°，‎ ‎∴△ADC∽△AHG，‎ ‎∴AD∶AC＝AH∶AG＝1∶‎5‎，‎ ‎∵∠DAC＝∠HAG，‎ ‎∴∠DAH＝∠CAG，‎ ‎∴△DAH∽△CAG，‎ ‎∴HD∶GC＝AD∶AC＝1∶‎5‎，‎ ‎∵∠DAB＝∠HAE＝90°，‎ ‎∴∠DAH＝∠BAE，‎ ‎∵DA∶AB＝HA∶AE＝1∶2，‎ ‎∴△ADH∽△ABE，‎ ‎∴DH∶BE＝AD∶AB＝1∶2，‎ ‎∴HD∶GC∶EB＝1∶‎5‎∶2‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两边夹角）}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题目}25．（14分）如图，抛物线y＝mx2‎-‎‎5‎‎2‎mx－4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2－x1‎＝‎‎11‎‎2‎．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a＋2，x2‎≥‎‎9‎‎2‎时，均有y1≤y2，求a的取值范围；‎ ‎（3）抛物线上一点D（1，－5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时，求点M的坐标．‎ ‎{解析}（1）函数的对称轴为：x‎＝-b‎2a＝‎5‎‎4‎＝‎x‎1‎‎＋‎x‎2‎‎2‎，而且x2－x1‎＝‎‎11‎‎2‎，将上述两式联立并解得：x1‎＝-‎‎3‎‎2‎，x2＝4，即可求解；‎ ‎（2）分a≤a＋2‎≤‎‎5‎‎4‎、‎5‎‎4‎‎≤‎a≤a＋2两种情况，分别求解即可；‎ ‎（3）取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件的点，即可求解．‎ ‎{答案}解：（1）函数的对称轴为：x‎＝-b‎2a＝‎5‎‎4‎＝‎x‎1‎‎＋‎x‎2‎‎2‎，而且x2－x1‎＝‎‎11‎‎2‎，‎ 将上述两式联立并解得：x1‎＝-‎‎3‎‎2‎，x2＝4，‎ 则函数的表达式为：y＝a（x‎＋‎‎3‎‎2‎）（x－4）＝a（x2－4x‎＋‎‎3‎‎2‎x－6），‎ 即：－6a＝－4，解得：a‎＝‎‎2‎‎3‎，‎ 故抛物线的表达式为：y‎＝‎‎2‎‎3‎x2‎-‎‎5‎‎3‎x－4；‎ ‎（2）当x2‎＝‎‎9‎‎4‎时，y2＝2，‎ ‎①当a≤a＋2‎≤‎‎5‎‎4‎时（即：a‎≤-‎‎3‎‎4‎），‎ y1≤y2，则‎2‎‎3‎a2‎-‎‎5‎‎3‎a－4≤2，‎ 解得：－2≤a‎≤-‎‎9‎‎2‎，而a‎≤-‎‎3‎‎4‎，‎ 故：－2≤a‎≤-‎‎3‎‎4‎；‎ ‎②当‎5‎‎4‎‎≤‎a≤a＋2（即a‎≥‎‎5‎‎4‎）时，‎ 则‎2‎‎3‎（a＋2）2‎-‎‎5‎‎3‎（a＋2）－4≤2，‎ 同理可得：‎-‎3‎‎4‎≤‎a‎≤‎‎5‎‎4‎，‎ 故a的取值范围为：－2≤a‎≤‎‎5‎‎4‎；‎ ‎（3）∵当∠BDC＝∠MCE，△MDC为等腰三角形，‎ 故取DC的中点H，过点H作线段CD的中垂线交直线BD与点M，则点M为符合条件的点，‎ 点H（‎1‎‎2‎，‎-‎‎9‎‎2‎），‎ 将点C、D坐标代入一次函数表达式：y＝mx＋n并解得：‎ 直线CD的表达式为：y＝－x－4，‎ 同理可得：直线BD的表达式为：y‎＝‎‎5‎‎3‎x‎-‎20‎‎3‎⋯‎①，‎ 直线DC⊥MH，则直线MH表达式中的k值为1，‎ 同理可得直线HM的表达式为：y＝x－5…②，‎ 联立①②并解得：x‎＝‎‎5‎‎2‎，‎ 故点M（‎5‎‎2‎，‎-‎‎5‎‎2‎）．‎ ‎{分值}14‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{考点:二次函数中讨论等腰三角形}‎ ‎{类别:高度原创} ‎ ‎{难度:5-高难度} ‎