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- 2021-11-10 发布
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2012年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.﹣2的倒数是( )
A.
2
B.
﹣2
C.
D.
2.如图,已知a∥b,∠1=65°,则∠2的度数为( )
A.
65°
B.
125°
C.
115°
D.
25°
3.在一个不透明的口袋中,装有3个红球,2个白球,除颜色不同外,其余都相同,则随机从口袋中摸出一个球为红色的概率是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列各因式分解正确的是( )
A.
﹣x2+(﹣2)2=(x﹣2)(x+2)
B.
x2+2x﹣1=(x﹣1)2
C.
4x2﹣4x+1=(2x﹣1)2
D.
x2﹣4x=x(x+2)(x﹣2)
5.已知:x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是( )
A.
a=﹣3,b=1
B.
a=3,b=1
C.
,b=﹣1
D.
,b=1
6.如图,在一长方形内有对角线长分别为2和3的菱形,边长为1的正六边形和半径为1的圆,则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是( )
A.
落在菱形内
B.
落在圆内
C.
落在正六边形内
D.
一样大
7.下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知:在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD=3,BC=7,则梯形的面积是( )
A.
25
B.
50
C.
D.
9.已知:M,N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y=﹣abx2+(a+b)x( )
A.
有最大值,最大值为
B.
有最大值,最大值为
C.
有最小值,最小值为
D.
有最小值,最小值为
10.下列命题中,真命题的个数有( )
①一个图形无论经过平移还是旋转,变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行
②函数图象上的点P(x,y)一定在第二象限
③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面
④使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为.
A.
3个
B.
1个
C.
4个
D.
2个
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上,不需要解答过程)
11.函数y=中,自变量x的取值范围是 _________ .
12.太阳的半径约为696 000千米,用科学记数法表示为 _________ 千米.
13.如图,在△ABC中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= _________ .
14.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则的化简结果为 _________ .
15.一组数据﹣1,0,2,3,x,其中这组数据的极差是5,那么这组数据的平均数是 _________ .
16.如图是某几何体的三视图及相关数据(单位:cm),则该几何体的侧面积为 _________ cm.
三、解答题(本大题包括9个小题,共72分,解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明)
17.(1)计算:.
(2)先化简,再求值:,其中.
18.(1)解不等式:5(x﹣2)+8<6(x﹣1)+7;
(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x﹣ax=3的解,求a的值.
19.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A(m,6),B(n,3)两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出时x的取值范围.
20.如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点,DE⊥AG于E,BF∥DE,交AG于F.
(1)求证:AF﹣BF=EF;
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,若正方形边长为3,求点F′与旋转前的图中点E之间的距离.
21.如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况(单位:千米/时)
(1)找出该样本数据的众数和中位数;
(2)计算这些车的平均速度;(结果精确到0.1)
(3)若某车以50.5千米/时的速度经过该路口,能否说该车的速度要比一半以上车的速度快?并说明判断理由.
22.如图,线段AB,DC分别表示甲、乙两建筑物的高.某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高,用自制测角仪在B外测得D点的仰角为α,在A处测得D点的仰角为β.已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m.请你通过计算用含α、β、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度.
23.如图,某化工厂与A,B两地有公路和铁路相连,这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨•千米),铁路运价为1.2元/(吨•千米),这两次运输共支出公路运费15 000元,铁路运费97 200元,请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元?
(1)根据题意,甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下:
甲:
乙:
根据甲,乙两名同学所列方程组,请你分别指出未知数x,y表示的意义,然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组.
甲:x表示 _________ ,y表示 _________
乙:x表示 _________ ,y表示 _________
(2)甲同学根据他所列方程组解得x=300,请你帮他解出y的值,并解决该实际问题.
24.如图,已知AB为⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,线段OP与弦AC垂直并相交于点D,OP与弧AC相交于点E,连接BC.
(1)求证:∠PAC=∠B,且PA•BC=AB•CD;
(2)若PA=10,sinP=,求PE的长.
25.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线相交于点A,B,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(﹣2,2),点B在第四象限内,过点B作直线BC∥x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍,记抛物线顶点为E.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC与△ABE的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
2012年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)﹣2的倒数是( )
A.
2
B.
﹣2
C.
D.
考点:
倒数。1444826
分析:[来源:Z|xx|k.Com]
根据倒数的定义,若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.
解答:
解:∵﹣2×()=1,∴﹣2的倒数是﹣.
故选D.
点评:
主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数,属于基础题.
2.(3分)如图,已知a∥b,∠1=65°,则∠2的度数为( )
A.
65°
B.
125°
C.
115°
D.
25°
考点:
平行线的性质。1444826
分析:
先根据平行线的性质求出∠3的度数,再由平角的定义即可得出结论.
解答:
解:∵a∥b,∠1=65°,
∴∠3=∠1=65°,
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣65°=115°.
故选C.
点评:
本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,内错角相等.
3.(3分)在一个不透明的口袋中,装有3个红球,2个白球,除颜色不同外,其余都相同,则随机从口袋中摸出一个球为红色的概率是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
概率公式。1444826
分析:
让红球的个数除以球的总数即为所求的概率.
解答:
解:袋子中球的总数为2+3=5,红球有3个,则摸出红球的概率为,
故选A.
点评:
本题主要考查概率公式的知识点,解答本题的关键是熟练掌握概率公式:概率=所求情况数与总情况数之比.
4.(3分)下列各因式分解正确的是( )
A.
﹣x2+(﹣2)2=(x﹣2)(x+2)
B.
x2+2x﹣1=(x﹣1)2
C.
4x2﹣4x+1=(2x﹣1)2
D.
x2﹣4x=x(x+2)(x﹣2)
考点:
因式分解-运用公式法;因式分解-提公因式法。1444826
分析:
根据完全平方公式与平方差公式分解因式,提公因式法分解因式,对各选项分析判断后利用排除法求解.
解答:
解:A、﹣x2+(﹣2)2=﹣x2+4=(2﹣x)(2+x),故本选项错误;
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式,不能利用公式分解,故本选项错误;
C、4x2﹣4x+1=(2x﹣1)2,故本选项正确;
D、x2﹣4x=x(x﹣4),故本选项错误.
故选C.
点评:
本题考查了公式法分解因式,提公因式法分解因式,熟记平方差公式与完全平方公式的结构式解题的关键.
5.(3分)已知:x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是( )
A.
a=﹣3,b=1
B.
a=3,b=1
C.
,b=﹣1
D.
,b=1
考点:
根与系数的关系。1444826
专题:
计算题。
分析:
先根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣2a,x1x2=b,而x1+x2=3,x1x2=1,那么﹣2a=3,b=1,解即可.
解答:
解:∵x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,
∴x1+x2=﹣2a,x1x2=b,
∵x1+x2=3,x1x2=1,
∴﹣2a=3,b=1,
即a=﹣,b=1,
故选D.
点评:[来源:学_科_网Z_X_X_K]
本题考查了根与系数的关系,解题的关键是掌握根与系数的等量关系的公式.
6.(3分)如图,在一长方形内有对角线长分别为2和3的菱形,边长为1的正六边形和半径为1的圆,则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是( )
A.
落在菱形内
B.
落在圆内
C.
落在正六边形内
D.
一样大
考点:
几何概率。1444826
分析:
分别求得三个图形的面积,则面积最大的就是所求的图形.
解答:
解:菱形的面积是:×2×3=3;
正六边形的面积是:6×=;
圆的面积是:π.
∵π>>3,
∴圆的面积最大.
∴一点随机落在这三个图形内的概率较大的是:圆.
故选B.
点评:
本题考查了几何概率,正确求得三个图形的面积是关键.
7.(3分)下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
一次函数与二元一次方程(组)。1444826
分析:
根据两点确定一条直线,当x=0,求出y的值,再利用y=0,求出x的值,即可得出一次函数图象与坐标轴交点,即可得出图象.
解答:
解:∵x﹣2y=2,
∴y=x﹣1,
∴当x=0,y=﹣1,当y=0,x=2,
∴一次函数y=x﹣1,与y轴交于点(0,﹣1),与x轴交于点(2,0),
即可得出C符合要求,
故选:C.
点评:
此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系,将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键.
8.(3分)已知:在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD=3,BC=7,则梯形的面积是( )
A.
25
B.
50
C.
D.
考点:
等腰梯形的性质。1444826
分析:
过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,作DF⊥BC于F,证平行四边形ADEC,推出AC=DE=BD,∠BDE=90°,根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF=BE,求出DF,根据梯形的面积公式求出即可.
解答:
解:过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,
∵AD∥BC(已知),
即AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形,
∴AD=CE=3,AC=DE,
在等腰梯形ABCD中,AC=DB,
∴DB=DE(等量代换),
∵AC⊥BD,AC∥DE,
∴DB⊥DE,
∴△BDE是等腰直角三角形,
作DF⊥BC于F,
则DF=BE=5,
S梯形ABCD=(AD+BC)•DF=(3+7)×5=25,
故选A.
点评:
本题主要考查对等腰三角形性质,平行四边形的性质和判定,等腰梯形的性质,等腰直角三角形等知识点的理解和掌握,能求出高DF的长是解此题的关键.
9.(3分)已知:M,N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y=﹣abx2+(a+b)x( )
A.
有最大值,最大值为
B.
有最大值,最大值为
C.
有最小值,最小值为
D.
有最小值,最小值为
考点:
二次函数的最值;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数图象上点的坐标特征;关于x轴、y轴对称的点的坐标。1444826
分析:
先用待定系数法求出二次函数的解析式,再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可.
解答:
解:∵M,N两点关于y轴对称,点M的坐标为(a,b),
∴N点的坐标为(﹣a,b),
又∵点M在反比例函数的图象上,点N在一次函数y=x+3的图象上,
∴,
整理得,
故二次函数y=﹣abx2+(a+b)x为y=﹣x2+3x,
∴二次项系数为﹣<0,故函数有最大值,最大值为y==,
故选:B.
点评:
本题考查的是二次函数的最值.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.本题是利用公式法求得的最值.
10.(3分)下列命题中,真命题的个数有( )
①一个图形无论经过平移还是旋转,变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行
②函数图象上的点P(x,y)一定在第二象限
③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面
④使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为.
A.
3个
B.
1个
C.
4个
D.
2个
考点:
命题与定理;非负数的性质:绝对值;二次根式有意义的条件;解一元二次方程-公式法;二次函数图象上点的坐标特征;平移的性质;旋转的性质;平行投影。1444826
分析:
①根据平移的性质以及旋转的性质得出答案即可;②根据二次根式的性质以及点的坐标性质,得出答案;③根据正投影的定义得出答案;
④根据使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立,即y=|x|﹣3,y=﹣x2,故|x|﹣3=﹣x2,进而利用绝对值得性质,解方程即可得出答案.
解答:
解:①平移后对应线段平行;对应线段相等;对应角相等;图形的形状和大小没有发生变化.
旋转后对应线段不平行;对应线段相等;对应角相等;图形的形状和大小没有发生变化,故此选项错误;
②根据二次根式的意义得出x<0,y>0,故函数图象上的点P(x,y)一定在第二象限,故此选项正确;
③根据正投影的定义得出,正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面,故此选项正确;
④使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立,即y=|x|﹣3,y=﹣x2,故|x|﹣3=﹣x2,
x2﹣|x|﹣3=0,
当x>0,则x2﹣x﹣3=0,
解得:x1=,x2=(不合题意舍去),
当x<0,则x2+x﹣3=0,
解得:x1=(不合题意舍去),x2=,
故使得|x|﹣y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为:,,故此选项错误,
故正确的有2个,
故选:D.
点评:
此题主要考查了平移的性质以及旋转的性质和二次根式的性质、正投影、解一元二次方程等知识,熟练根据绝对值性质整理出一元二次方程是解题关键.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上,不需要解答过程)
11.(3分)函数y=中,自变量x的取值范围是 x≠2 .
考点:
函数自变量的取值范围;分式有意义的条件。1444826
专题:
计算题。
分析:
求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,分式有意义的条件是:分母不为0.
解答:
解:x﹣2≠0,解得x≠2.
点评:
本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为0.
12.(3分)太阳的半径约为696 000千米,用科学记数法表示为 6.96×105 千米.
考点:
科学记数法—表示较大的数。1444826
分析:[来源:Z&xx&k.Com]
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答:
解:将696 000千米用科学记数法表示为6.96×105千米.
点评:
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
13.(3分)如图,在△ABC中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= 66.5° .
考点:
三角形内角和定理;三角形的外角性质。1444826
分析:
根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+ACF=(∠B+∠B+∠BAC+∠BCA)=;最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数.
解答:
解:∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,
∴∠EAC=∠DAC,∠ECA=∠ACF;
又∵∠B=47°(已知),∠B+∠BAC+∠BCA=180°(三角形内角和定理),
∴∠DAC+ACF=(∠B+∠ACB)+(∠B+∠BAC)=(∠B+∠B+∠BAC+∠BCA)=(外角定理),
∴∠AEC=180°﹣(∠DAC+ACF)=66.5°;
故答案是:66.5°.
点评:
本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质.解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”.
14.(3分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则的化简结果为 ﹣b .
考点:
二次根式的性质与化简;实数与数轴。1444826
专题:
计算题。
分析:
由数轴得出b<0<a,|b|>|a|,原式化简为|a+b|+a,去掉绝对值符号得出﹣a﹣b+a,合并同类项即可.
解答:
解:∵由数轴可知:b<0<a,|b|>|a|,
∴+a,
=|a+b|+a,
=﹣a﹣b+a,
=﹣b,
故答案为:﹣b.
点评:
本题考查了二次根式的性质与化简和实数与数轴的应用,解此题的关键是根据数轴得出b<0<a和|b|>|a|,题目比较典型,是一道比较好的题目.
15.(3分)一组数据﹣1,0,2,3,x,其中这组数据的极差是5,那么这组数据的平均数是 1.6或0.4 .
考点:
算术平均数;极差。1444826
分析:
根据极差的定义求解.分两种情况:x为最大值或最小值.再根据平均数的公式求解即可.
解答:
解:一组数据﹣1,0,2,3,x的极差是5,
当x为最大值时,x﹣(﹣1)=5,x=4,平均数是:(﹣1+0+2+3+4)÷5=1.6;
当x是最小值时,3﹣x=5,解得:x=﹣2,平均数是:(﹣1+0+2+3﹣2)÷5=0.4.
故答案为:1.6或0.4.
点评:
考查了极差的定义和算术平均数,正确理解极差的定义,能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题的关键.
16.(3分)如图是某几何体的三视图及相关数据(单位:cm),则该几何体的侧面积为 2π cm.
考点:
圆锥的计算;由三视图判断几何体。1444826
分析:
根据三视图易得此几何体为圆锥,再根据圆锥侧面积公式=(底面周长×母线长)÷2 可计算出结果.
解答:
解:由题意得底面直径为2,母线长为2,
∴几何体的侧面积为×2×2π=2π,
故答案为:2π.
点评:
此题主要考查了由三视图判断几何体,以及圆锥的侧面积公式的应用,关键是找到等量关系里相应的量.
三、解答题(本大题包括9个小题,共72分,解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明)
17.(10分)(1)计算:.
(2)先化简,再求值:,其中.
考点:
分式的化简求值;实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值。1444826
分析:
(1)根据特殊角的三角函数值,绝对值,负整数指数幂进行计算;
(2)先通分,将除法转化为乘法,约分,再代值计算.
解答:
解:(1)原式=+(﹣1)+=2﹣;
(2)原式=(x+1)÷=,
当x=﹣时,原式=﹣×(﹣+1)÷(﹣×3+1)=﹣.
点评:
本题考查了分式的化简求值,实数的运算,负整数指数幂,特殊角的三角函数值.关键是熟练掌握每一个运算法则.
18.(6分)(1)解不等式:5(x﹣2)+8<6(x﹣1)+7;
(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x﹣ax=3的解,求a的值.
考点:
解一元一次不等式;一元一次方程的解;一元一次不等式的整数解。1444826
分析:
(1)根据不等式的基本性质先去括号,然后通过移项、合并同类项即可求得原不等式的解集;
(2)根据(1)中的x的取值范围来确定x的最小整数解;然后将x的值代入已知方程列出关于系数a的一元一次方程2×(﹣2)﹣a×(﹣2)=3,通过解该方程即可求得a的值.
解答:
解:(1)5(x﹣2)+8<6(x﹣1)+7
5x﹣10+8<6x﹣6+7
5x﹣2<6x+1
﹣x<3
x>﹣3
(2)由(1)得,最小整数解为x=﹣2,
∴2×(﹣2)﹣a×(﹣2)=3
∴a=.
点评:
本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程的解以及一元一次不等式的整数解.解不等式要依据不等式的基本性质:
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;
(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;
(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
19.(6分)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A(m,6),B(n,3)两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出时x的取值范围.
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题。1444826
分析:
(1)先把(m,6)、B(n,3)代入反比例函数,可求m、n的值,即可得A、B的坐标,然后把AB两点坐标代入一次函数,可得关于k、b的二元一次方程组,解可得k、b的值,进而可得一次函数的解析式;
(2)根据图象可知当1<x<2时,一次函数y的值大于反比例函数y的值.
解答:
解:(1)∵点A(m,6)、B(n,3)在函数y=图象上,
∴m=1,n=2,
∴A点坐标是(1,6),B点坐标是(2,3),
把(1,6)、(2,3)代入一次函数y=kx+b中,得
,
解得,
∴一次函数的解析式为y=﹣3x+9;
(2)由图象知:1<x<2.
点评:
本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题,解题的关键是先求出m、n的值,并注意待定系数法的使用.
20.(7分)如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点,DE⊥AG于E,BF∥DE,交AG于F.
(1)求证:AF﹣BF=EF;
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,若正方形边长为3,求点F′与旋转前的图中点E之间的距离.
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定与性质;旋转的性质。1444826
专题:
几何综合题。
分析:
(1)由四边形ABCD为正方形,可得出∠BAD为90°,AB=AD,进而得到∠BAG与∠EAD互余,又DE垂直于AG,得到∠EAD与∠ADE互余,根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF,利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等,利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE,由AF﹣AE=EF,等量代换可得证;
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转,使得AB与AD重合,记此时点F的对应点为点F′,连接EF′,如图所示,由旋转的性质可得出∠FAF′为直角,AF=AF′,由第一问的全等可得出AF=DE,等量代换可得出DE=AF′=AF,再利用同旁内角互补两直线平行得到AF′与DE平行,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AEDF′为平行四边形,再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF′为矩形,根据矩形的对角线相等可得出EF′=AD,由AD的长即可求出EF′的长.
解答:
(1)证明:如图,∵正方形ABCD,
∴AB=AD,∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°,
∵DE⊥AG,
∴∠AED=90°,
∴∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠BAF,
又∵BF∥DE,
∴∠AEB=∠AED=90°,
在△AED和△BFA中,
∵,
∴△AED≌△BDA(AAS),
∴BF=AE,
∵AF﹣AE=EF,
∴AF﹣BF=EF;
(2)解:如图,
根据题意知:∠FAF′=90°,DE=AF′=AF,
∴∠F′AE=∠AED=90°,即∠F′AE+∠AED=180°,
∴AF′∥ED,
∴四边形AEDF′为平行四边形,又∠AED=90°,
∴四边形AEDF′是矩形,
∴EF′=AD=3.
点评:
此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,以及旋转的性质,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
21.(9分)如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况(单位:千米/时)
(1)找出该样本数据的众数和中位数;
(2)计算这些车的平均速度;(结果精确到0.1)
(3)若某车以50.5千米/时的速度经过该路口,能否说该车的速度要比一半以上车的速度快?并说明判断理由.
考点:
条形统计图;加权平均数;中位数;众数。1444826
专题:
图表型。
分析:
(1)根据众数的定义,找出车辆数最多的即为众数,先求出车辆数的总数,再根据中位数的定义解答;
(2)根据加权平均数的计算方法列式计算即可得解;
(3)与中位数相比较,大于中位数则是比一半以上车的速度快,否则不是.
解答:
解:(1)该样本数据中车速是52的有8辆,最多,
所以,该样本数据的众数为52,
样本容量为:2+5+8+6+4+2=27,
按照车速从小到大的顺序排列,第13辆车的车速是52,
所以,中位数为52;
(2)≈52.4千米/时;
(3)不能,
因为由(1)知样本的中位数为52,所以可以估计该路段的车辆大约有一半的车速要快于52千米/时,
该车的速度是50.5千米/时,小于52千米/时,所以不能说该车的速度要比一半以上车的速度快.
点评:
本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据,也考查了平均数、中位数、众数的认识.
22.(6分)如图,线段AB,DC分别表示甲、乙两建筑物的高.某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高,用自制测角仪在B外测得D点的仰角为α,在A处测得D点的仰角为β.已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m.请你通过计算用含α、β、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度.
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题。1444826
分析:
首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及到两个直角三角形△ADM、△DBC,应借助AE=BC,求出DC,DM,从而求出AB即可.
解答:
解:过点A作AM⊥CD,垂足为M,
在Rt△BCD中,tanα=,
∴CD=BC•tanα=mtanα,
在Rt△AMD中,tanβ=,
∴DM=AM•tanβ=mtanβ,
∴AB=CD﹣DM=m(tanα﹣tanβ).
故甲建筑物的高度为mtanα,乙建筑物的高度为m(tanα﹣tanβ).
点评:
此题主要考查了解直角三角形的应用,借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键.
23.(8分)如图,某化工厂与A,B两地有公路和铁路相连,这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨•千米),铁路运价为1.2元/(吨•千米),这两次运输共支出公路运费15 000元,铁路运费97 200元,请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元?
(1)根据题意,甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下:
甲:
乙:
根据甲,乙两名同学所列方程组,请你分别指出未知数x,y表示的意义,然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组.
甲:x表示 产品的重量 ,y表示 原料的重量
乙:x表示 产品销售额 ,y表示 原料费
(2)甲同学根据他所列方程组解得x=300,请你帮他解出y的值,并解决该实际问题.
考点:
二元一次方程组的应用。1444826
分析:
(1)仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出x,y的值并补全方程组即可;
(2)将x的值代入方程组即可得到结论.
解答:
解:(1)甲:x表示产品的重量,y表示原料的重量,
乙:x表示产品销售额,y表示原料费,
甲方程组右边方框内的数分别为:15000,97200,乙同甲;
(2)将x=300代入原方程组解得y=400
∴产品销售额为300×8000=2400000元
原料费为400×1000=400000元
又∵运费为15000+97200=112200元
∴这批产品的销售额比原料费和运费的和多2400000﹣(400000+112200)=1887800元
点评:
本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是从题目中找到等量关系并写出表示出x、y所表示的实际意义.
24.(8分)如图,已知AB为⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,线段OP与弦AC垂直并相交于点D,OP与弧AC相交于点E,连接BC.
(1)求证:∠PAC=∠B,且PA•BC=AB•CD;
(2)若PA=10,sinP=,求PE的长.
考点:
切线的性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形。1444826
专题:
几何综合题。
分析:
(1)由PA为圆O的切线,利用切线的性质得到AP垂直于AB,可得出∠PAO为直角,得到∠PAD与∠DAO互余,再由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角,可得出∠ACB为直角,得到∠DAO与∠B互余,根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形APD与三角形ABC相似,由相似得比例,再由OD垂直于AC,利用垂径定理得到AD=CD,等量代换可得证;
(2)在直角三角形APD中,由PA及sinP的值求出AD的长,再利用勾股定理求出PD的长,进而确定出AC的长,由第一问两三角形相似得到的比例式,将各自的值代入求出AB的上,求出半径AO的长,在直角三角形APO中,由AP及AO的长,利用勾股定理求出OP的长,用OP﹣OE即可求出PE的长.
解答:
(1)证明:∵PA是⊙O的切线,AB是直径,
∴∠PAO=90°,∠C=90°,
∴∠PAC+∠BAC=90°,∠B+∠BAC=90°,
∴∠PAC=∠B,
又∵OP⊥AC,
∴∠ADP=∠C=90°,
∴△PAD∽△ABC,
∴AP:AB=AD:BC,
∵在⊙O中,AD⊥OD,
∴AD=CD,
∴AP:AB=CD:BC,
∴PA•BC=AB•CD;
(2)解:∵sinP=,且AP=10,
∴=,
∴AD=6,
∴AC=2AD=12,
∵在Rt△ADP中,PD==8,
又∵△PAD∽△ABC,
∴AP:AB=PD:AC,
∴AB==15,
∴A0=,
在Rt△APO中,根据勾股定理得:OP==,
∴PE=OP﹣OE=﹣=5.
点评:
此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,圆周角定理,勾股定理,垂径定理,以及锐角三角函数定义,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
25.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线相交于点A,B,且抛物线经过坐标原点,点A的坐标为(﹣2,2),点B在第四象限内,过点B作直线BC∥x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点,已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍,记抛物线顶点为E.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC与△ABE的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题。1444826
专题:
综合题。
分析:
(1)将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值,设B点坐标为(m,﹣4m)(m>0),根据双曲线方程可得出m的值,然后分别得出了A、B、O的坐标,利用待定系数法求解二次函数解析式即可;
(2)根据点B的坐标,结合抛物线方程可求出点C的坐标,继而可得出三角形ABC的面积,先求出AB的解析式,然后求出点F的坐标,及EF的长,继而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得出答案.
(3)先确定符合题意的三角形ABD的面积,继而可得出当点D与点C重合时,满足条件,过点C作AB的平行线CD,则可求出其解析式,求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标.
解答:
解:(1)∵点A(﹣2,2)在双曲线y=上,
∴k=﹣4,
∴双曲线的解析式为y=﹣,
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍,
∴设B点坐标为(m,﹣4m)(m>0)代入双曲线解析式得m=1,
∴抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过点A(﹣2,2)、B(1,﹣4)、O(0,0),
∴,
解得:,
故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x;
(2)∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x,
∴顶点E(﹣,),对称轴为x=﹣,
∵B(1,﹣4),
∴﹣x2﹣3x=﹣4,
解得:x1=1,x2=﹣4,
∴C(﹣4,﹣4),
∴S△ABC=5×6×=15,
由A、B两点坐标为(﹣2,2),(1,﹣4)可求得直线AB的解析式为:y=﹣2x﹣2,
设抛物线的对称轴与AB交于点F,则F点的坐标为(﹣,1),
∴EF=﹣1=,
∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=;
(3)S△ABE=,
∴8S△ABE=15,
∴当点D与点C重合时,显然满足条件;
当点D与点C不重合时,过点C作AB的平行线CD,其对应的一次函数解析式为y=﹣2x﹣12,[来源:Zxxk.Com]
令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x,
解得x1=3,x2=﹣4(舍去),
当x=3时,y=﹣18,
故存在另一点D(3,﹣18)满足条件.
综上可得点D的坐标为(3,﹣18)或(﹣4,﹣4).
点评:
此题属于二次函数的综合题目,第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用,求解第二问需要我们会根据函数解析式求两函数图象的交点坐标,此类综合题目,难度较大,注意逐步分析.
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