人教版中考数学二轮复习专题练习下因动点产生的将军饮马问题 30页

‎4.因动点产生的将军饮马问题 ‎1.如图，一次函数的图象与二次函数的图象都经过点和点，且图象过点．‎ ‎（1）求二次函数的最大值；‎ ‎（2）设使成立的取值的所有整数和为，若是关于的方程 的根，求的值；‎ ‎（3）若点在图象上，长度为的线段在线段上移动，与都始终平行于轴．当四边形的面积最大时，在轴上求一点，使最小，求出点的坐标．‎ 解析：（1）把代入 解得 ‎∴二次函数的解析式为 ‎∴二次函数的最大值为 ‎（2）‎ 由与联立，求得 使成立的取值范围是 所有整数和，代入方程 得，解得 ‎（3）‎ 作于 设其中 则，‎ 在中，‎ 即 ‎，‎ 由题意，四边形为梯形，要使面积最大，则最大 而 ‎∴当时，四边形的面积最大 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点为所求 ‎，易求直线的解析式为 令，解得 ‎2.已知：直线，抛物线的对称轴是轴，且经过点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图①，点是抛物线上任意一点，过点作直线的垂线，垂足为．求证：．‎ ‎（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：‎ ‎①如图②，过原点作任意直线，交抛物线于点．分别过两点作直线的垂线，垂足分别为，连接求证：；‎ ‎②如图③，点，试探究在抛物线上是否存在点，使得取得最小值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）∵抛物线的对称轴是轴 ‎，把代入，得：‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎（2）设，则 ‎（3）‎ 由（2）知，‎ ‎②‎ 作，则 当三点在同一条直线上时，取得最小值 把代入，得 ‎∴满足条件的点的坐标为 ‎3.已知平面直角坐标系中两定点，抛物线过点，顶点为，点为抛物线上一点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标；‎ ‎（2）当为钝角时，求的取值范围；‎ ‎（3）若，当为直角时，将该抛物线向左或向右平移个单位，点平移后对应的点分别记为是否存在，使得首尾依次连接所构成的多边形的周长最短？若存在，求的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）∵抛物线过点 解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎∴顶点的坐标为 ‎（2）若点在轴上方，显然或为钝角，则必为锐角，不合题意 若点在轴下方，当点与抛物线和轴交点时 ‎，‎ 由抛物线的对称性可知，点关于抛物线对称轴的对称点也满足 以为直径作圆，则均在圆上，抛物线上点到及到之间的部分在圆内 当点在这两个范围内运动时，满足为钝角 或 ‎（3）‎ ‎，为直角 ‎∴由（2）知点坐标为 由平移的性质知 与均为定值，要使所构成的 多边形的周长最短，只最短 过点作且连接 则四边形为平行四边形 连接作点关于直线的对称点，连接 则 当落在线段上时，最短 ‎∴抛物线应该向左平移 ‎，‎ ‎，‎ 设直线的解析式为 解得 ‎，把代入 解得 ‎，抛物线应该向左平移个单位 ‎4.如图，在平面直角坐标系中，过原点，与轴交于，与轴交于，点为劣弧的中点，连接并延长到，使，连接．‎ ‎（1）求的半径；‎ ‎（2）证明：为的切线；‎ ‎（3）在直线上找一点，使最大，求出这个最大值及此时点坐标．‎ 解析：（1）为的直径 的半径为 ‎（2）‎ 过作轴于，交直线于 ‎∵点为劣弧的中点，垂直平分 ‎，‎ 由，得 又 为的切线 ‎（3）点在直线上，两点关于直线对称 当三点在同一直线上时，最大，即等于线段的长 由（2）知，‎ 即的最大值为 设直线的解析式为，把点坐标代入，得：‎ ‎，，‎ 当时，‎ ‎∴此时点坐标为 ‎5.如图，在直角坐标系中，抛物线经过两点．‎ ‎（1）填空：________，________；抛物线的对称轴是直线________；‎ ‎（2）若点的坐标是，点是抛物线对称轴上的一个动点，请探究解决以下问题：‎ Ⅰ.当点运动到何处时，的周长最小？求此最小值和点的坐标；‎ Ⅱ.当的周长最小时，抛物线上是否存在点，使得由点围成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ Ⅲ.若点是轴上的一个动点，是否存在点使得由点围成的四边形的周长最小？若存在，求此最小值和点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）-1,3,-1‎ ‎（2）①‎ 过作轴交抛物线于 连接交抛物线的对称轴于，‎ 连接 则的周长最小 ‎，抛物线的对称轴是直线 ‎，‎ ‎，‎ 的周长 是中点，‎ ‎②存在，‎ ‎③作点关于轴的对称点，连接交抛物线的对称轴于，交轴于，连接，则四边形的周长最小 ‎ ， , ‎ 四边形的周长 ‎6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，顶点为．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）点为点关于轴的对称点，过点作直线交于点，过点作直线交直线于点．问：在四边形的内部是否存在点，使得它到四边形四边的距离都相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请 说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若分别为直线和直线上的两个动点，连结，求和的最小值．‎ 解析：（1）把代入 得解得 ‎∴二次函数的解析式为 ‎（2）存在 顶点的坐标为 ‎∵点为点关于轴的对称点，点的坐标为 设直线的解析式为 得解得 ‎∴直线的解析式为 设直线的解析式为 则，‎ ‎∴直线的解析式为 由解得 ‎∴点的坐标为，‎ 又四边形是平行四边形 过作轴于 则，‎ 又 ‎∴四边形是菱形 ‎∵菱形的中心到四边的距离相等 ‎∴当点与菱形的中心重合时，即是满足题意的点 ‎（3）∵四边形是菱形 ‎∴点关于直线对称 的最小值是 过作直线的对称点，连接交直线于点 则 是的角平分线，‎ 的最小值是 即的长是的最小值 在中，‎ 的最小值为 ‎7.如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点和点两点均在抛物线上，点在轴上，过点作直线与轴平行．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和直线的解析式．‎ ‎（2）设点是线段上的一个动点（点不与重合），过点作轴的垂线，与抛物线交于点．设线段的长度为，求与之间的函数关系式，并求出当为何值时，的值最大，最大值是多少？‎ ‎（3）若点是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接并延长，交抛物线于另一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，试判断的形状，并说明理由；‎ ‎（4）若点在线段上，点为抛物线上的一个动点，连接，当点在何位置时，的值最小，请直接写出此时点的坐标与的最小值．‎ 解析：（1）关于轴对称，它的顶点在坐标原点 ‎∴抛物线的解析式为 ‎∵点在抛物线上，‎ ‎∴抛物线的解析式为 设直线的解析式为，把、代入，得：‎ 解得 ‎∴直线的解析式为 ‎（2）∵点是线段上的一个动点 即 ‎∴当时，的值最大，最大值是 ‎（3）‎ 是直角三角形 理由如下：‎ ‎∵点是抛物线上位于第三象限的一个动点 ‎，‎ ‎，‎ 同理，‎ ‎，即 是直角三角形 ‎（4），的最小值为 提示：过点作于 由（3）知，‎ 当三点共线（即）时，‎ ‎（即）最小，等于线段的长 当时，‎ 的最小值 ‎8.在平面直角坐标系中（为坐标原点），抛物线过点．‎ ‎（1）求的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；‎ ‎（2）设该抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上在第一象限的点，点与点关于直线对称，点与点关于轴对称．若四边形的面积为，求点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设是直线上任意一点，试判断是否存在最小值．若存在，求出这个最小值及相应的点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）∵抛物线过点 解得 ‎∴抛物线的对称轴为，顶点为 ‎（2）‎ 点与点关于直线对称 ‎∴点的坐标为 ‎∵点与点关于轴对称 ‎∴点的坐标为 ‎，∴四边形是平行四边形 由，解得 ‎∵点是抛物线上在第一象限的点，‎ ‎∴点的坐标为 ‎（3）存在最小值 ‎∵点与点关于直线对称 ‎∴连接交直线于点，则点为所求 的最小值即等于线段的长 ‎，‎ 即的最小值为 易得直线的解析式为 当时，‎ ‎∴点的坐标为 ‎9.如图1，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，连接，点的坐标为．以线段为直径作交于点．过点作直线，与抛物线和的另一个交点分别是．‎ ‎（1）求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求点的坐标和线段的长；‎ ‎（3）如图2，连接并延长，交直线于点．点为射线上的两个动点（点在点的右侧，且不与重合），线段与的长度相等，连接，四边形的周长是否有最小值？若有，请求出此时点的坐标并直接写出四边形周长的最小值；若没有，请说明理由．‎ 解析：（1）∵点的坐标为 ‎，∴点的坐标为 ‎∵抛物线过点 解得 ‎∴该抛物线的解析式为 ‎（2）令，解得 ‎∴点坐标为 令，解得 ‎∴点的坐标为 连接 为直径，‎ ‎，直线，‎ ‎，‎ ‎∴四边形为矩形 ‎（3）四边形的周长有最小值 ‎，‎ 是的直径，‎ 为中点，∴点 的长为定值 ‎∴要使四边形的周长最小，只需的值最小 作点关于直线的对称点，作且，‎ 连接则四边形是平行四边形，‎ ‎，∴当三点共线时的值最小，即为线段的长 易得 设直线的函数表达式为 则解得 令，得，‎ ‎∴点的坐标为 四边形周长的最小值为 ‎10.在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，直线交轴于点且过点 ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在轴上找一点使的值最小，求出点的坐标；‎ ‎（3）将抛物线左右平移，记平移后点的对应点为点的对应点为当四边形的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形周长的最小值．‎ 解析：（1）由于抛物线经过则有：‎ ‎（2）易知 作关于轴的对称点连接点即为直线与轴的交点；‎ 设直线的解析式为：则有：‎ 直线的解析式为则点坐标为：‎ ‎（3）当抛物线向右平移时，显然不存在符合条件的抛物线；‎ 当抛物线向左平移时，设平移后 若平移后四边形的周长最小，那么就应该最小；‎ 将向左平移2个单位，得：‎ 若四边形的周长最小，那么′就应该在同一直线上，‎ 设直线的解析式为：则有：‎ 直线的解析式为 则 此时抛物线的解析式为：‎ 此时四边形的周长为：‎