北师版九年级数学下册-单元清-期中检测试卷 7页

检测内容：期中检测 得分________卷后分________评价________ 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．在下列二次函数中，其图象对称轴为直线 x＝2 的是(D) A．y＝(x＋2)2－3B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2D．y＝2(x－2)2 2．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，若 cosA＝ 5 13 ，则 BC 的长为(B) A．8B．12C．13D．18 第 2 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 7 题图 3．某抛物线的顶点坐标是(－3，1)，形状、开口方向与 y＝－2x2－1 相同，则这条抛物 线的表达式是(C) A．y＝2(x－3)2＋1B．y＝－2(x－3)2＋1C．y＝－2(x＋3)2＋1D．y＝2(x＋3)2＋1 4．△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长都为 1)，AD⊥BC 于点 D，下 列选项中错误的是(C) A．sinα＝cosαB．tanC＝2C．sinβ＝cosβD．tanα＝1 5．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的部分图象如图所示，若 y＞0，则 x 的取值范围是(B) A．－4＜x＜1B．－3＜x＜1C．－2＜x＜1D．x＜1 6．(泸州中考)已知二次函数 y＝x2－2bx＋2b2－4c(其中 x 是自变量)的图象经过不同的两 点 A(1－b，m)，B(2b＋c，m)，且该二次函数的图象与 x 轴有公共点，则 b＋c 的值为(C) A．－1B．2C．3D．4 7．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，AD＝6，以点 A 为圆心，AB 的长为半径作圆弧 交 CD 于点 E，连接 EA，EB，则 tan∠AEB 的值为(B) A．2B．3C．4D．5 8．如图是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O 为原点，水平直 线 OB 为 x 轴建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似地看成抛物线 y＝－ 1 400(x－80)2＋16， 桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好在水面，AC⊥x 轴，若 OA＝10m，则桥面离水面的高度 AC 为(B) A．16 9 40mB．17 4 mC．16 7 40mD．15 4 m 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9．如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物 DEFC 的高度．他们从点 A 出发 沿着坡度为 i＝1∶2.4 的斜坡 AB 步行 26m 到达点 B 处，此时测得建筑物顶端 C 的仰角α＝ 35°，建筑物底端 D 的俯角β＝30°.若 AD 为水平的地面，则此建筑物的高度 CD 约为(参考 数据： 3≈1.7，tan35°≈0.7)(B) A．23.1mB．21.9mC．27.5mD．30m 10．如图，抛物线 y＝1 2x2－7x＋45 2 与 x 轴交于点 A，B，把抛物线在 x 轴及其下方的部 分记作 C1，将 C1 向左平移得到 C2，C2 与 x 轴交于点 B，D，若直线 y＝1 2x＋m 与 C1，C2 共 有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是(C) A．－45 8 ＜m＜－5 2B．－29 8 ＜m＜－1 2C．－29 8 ＜m＜－5 2D．－45 8 ＜m＜－1 2 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．在 Rt△ABC 中，若∠C＝90°，AB＝10，sinA＝2 5 ，则 BC＝__4__． 12．在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝－1 2x2＋2 先向左平移 4 个单位长度，再向下平 移 3 个单位长度后所得的抛物线的表达式是 y＝－1 2(x＋4)2－1． 13．已知点 P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数 y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图 象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是__y1＝y2＜y3__． 14．一人乘雪橇沿坡度为 1∶ 3的斜坡滑下，滑下的距离 s(m)与时间 t(s)的关系为 s＝ 10t＋2t2，若滑到坡底的时间为 4s，则此人下降的高度为__36__m. 15．如图，菱形 ABCD 的三个顶点在二次函数 y＝ax2－3ax＋3 2(a＜0)的图象上，点 A， B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与 y 轴的交点，则点 D 的坐标为(3，3 2)． 第 15 题图 第 16 题图 第 17 题图 第 18 题图 16．如图，一轮船在 M 处观测灯塔 P 位于南偏西 30°方向，该轮船沿正南方向以 15 海 里/小时的速度匀速航行 2 小时后到达 N 处，再观测灯塔 P 位于南偏西 60°方向，若该轮船 继续向南航行至距灯塔 P 最近的位置 T 处，此时轮船与灯塔之间的距离 PT 为__15 3__海里 (结果保留根号)． 17．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为 直线 x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②4a＋c＞2b；③5a＋3c＞0；④方程 a(x－1)2＋b(x－1) ＋c＝0 的两根是 x1＝0，x2＝6.其中正确的结论有__①③④__(填序号)． 18．二次函数 y＝2 3x2 的图象如图，点 A0 位于坐标原点，点 A1，A2，A3，…，An，…在 y 轴的正半轴上，点 B1，B2，B3，…，Bn，…在二次函数位于第一象限的图象上，点 C1， C2，C3，…，Cn，…在二次函数位于第二象限的图象上，且四边形 A0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2， 四边形 A2B3A3C3…四边形 An－1BnAnCn 都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠An －1BnAn＝60°，菱形 An－1BnAnCn 的周长为 4n． 三、解答题(共 66 分) 19．(8 分)如图，抛物线 y1＝x2＋bx－c 经过直线 y2＝x－3 与坐标轴的两个交点 A，B， 此抛物线与 x 轴的另一个交点为点 C. (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当 y1＜y2 时，求 x 的取值范围． 解：(1)当 y2＝x－3＝0 时，解得 x＝3，∴点 A 的坐标为(3，0)；当 x＝0 时，y2＝x－3 ＝－3，∴点 B 的坐标为(0，－3).将 A，B 两点的坐标代入 y＝x2＋bx－c，得 －c＝－3， 9＋3b－c＝0， 解得 b＝－2， c＝3， ∴该抛物线的表达式是 y＝x2－2x－3 (2)x 的取值范围为 0＜x＜3 20．(8 分)如图，在△ABC 中，sinB＝1 3 ，tanC＝ 2 2 ，AB＝3，求 AC 的长． 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，在 Rt△ABD 中，∵sinB＝AD AB＝1 3 ，AB＝3，∴AD＝ AB·sinB＝1.在 Rt△ACD 中，∵tanC＝AD CD＝ 2 2 ，∴CD＝ AD 2 2 ＝ 2，∴AC＝ AD2＋CD2＝ （ 2）2＋12＝ 3 21．(8 分)如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 78m，从甲的顶部 A 处测得乙的 顶部 D 处的俯角为 48°，测得底部 C 处的俯角为 58°，求甲、乙建筑物的高度 AB 和 DC(结 果取整数，参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60)． 解：过点 A 作 AE⊥CD 交 CD 的延长线于点 E，则四边形 ABCE 是矩形，∴AE＝BC ＝78m，AB＝CE，∴在 Rt△ACE 中，EC＝AE·tan58°≈125(m)，在 Rt△AED 中，DE＝ AE·tan48°，∴CD＝EC－DE＝AE·tan58°－AE·tan48°≈78×1.6－78×1.11≈38(m)，∴ 甲、乙建筑物的高度 AB 约为 125m，DC 约为 38m 22．(10 分)某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地 面的高度为 20 9 m，与篮圈中心的水平距离为 7m，当球出手后水平距离为 4m 时达到最大高 度 4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面 3m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前 1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1m，那么 他能否获得成功？ 解： (1)根据题意可知球出手点、最高点、篮圈中心的坐标分别为(0，20 9 )，(4，4)，(7，3)， ∴可设这条抛物线的表达式为 y＝a(x－4)2＋4.把点(0，20 9 )的坐标代入函数关系式求出抛物 线的表达式为 y＝－1 9(x－4)2＋4，当 x＝7 时，y＝－1 9 ×(7－4)2＋4＝3，∴能准确投中 (2)当 x＝1 时，y＝－1 9(1－4)2＋4＝3，∵3＜3.1，∴乙能获得成功 23．(10 分)如图，在一笔直的海岸线 l 上有 A，B 两个观测站，A 在 B 的正东方向，且 AB＝2km.有一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60°的方向，从 B 测得小船在北偏 东 45°的方向． (1)求点 P 到海岸线 l 的距离； (2)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后到点 C 处，此时，从 B 测得小船在 北偏西 15°的方向．求点 C 与点 B 之间的距离． 解： (1)过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，设 PD＝xkm，在 Rt△PBD 中，∠BDP＝90°，∠PBD ＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝xkm.在 Rt△PAD 中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－ 60°＝30°，∴AD＝ 3PD＝ 3xkm.∵BD＋AD＝AB，∴x＋ 3x＝2，∴x＝ 3－1，∴点 P 到海岸线 l 的距离为( 3－1)km (2)过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，在 Rt△ABF 中，∵∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴ BF＝1 2AB＝1km.又∵在△ABC 中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°，∴在 Rt△BCF 中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝ 2BF＝ 2km，∴点 C 与点 B 之间的距离为 2km 24．(10 分)随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了 10000kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养 10 天 的总成本为 166000 元，放养 30 天的总成本为 178000 元．设这批小龙虾放养 t 天后的质量 为 akg，销售单价为 y 元/kg，根据往年的行情预测，a 与 t 之间的函数关系式为 a＝ 10000（0≤t≤20）， 100t＋8000（20＜t≤50），y 与 t 之间的函数关系如图所示． (1)设每天的养殖成本为 m 元，收购成本为 n 元，求 m 与 n 的值； (2)求 y 与 t 之间的函数关系式； (3)如果将这批小龙虾放养 t 天后一次性出售所得利润为 W 元，问该龙虾养殖大户将这 批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？(总成本＝放养总费用 ＋收购成本；利润＝销售总额－总成本) 解：(1)依题意，得 10m＋n＝166000， 30m＋n＝178000，解得 m＝600， n＝160000 (2)当 0≤t≤20 时，设 y＝k1t＋b1，由图象，得 b1＝16， 20k1＋b1＝28，解得 k1＝3 5 ， b1＝16， ∴y＝3 5t＋ 16；当 20＜t≤50 时，设 y＝k2t＋b2，由图象得 20k2＋b2＝28， 50k2＋b2＝22，解得 k2＝－1 5 ， b2＝32， ∴y＝－1 5t＋ 32.综上可得，y＝ 3 5t＋16（0≤t≤20）， －1 5t＋32（20＜t≤50） (3)根据题意，得 W＝ya－mt－n，∴当 0≤t≤20 时，W＝10000(3 5t＋16)－600t－160000 ＝5400t，∵5400＞0，∴当 t＝20 时，W 最大值＝5400×20＝108000；当 20＜t≤50 时，W＝(－ 1 5t＋32)(100t＋8000)－600t－160000＝－20t2＋1000t＋96000＝－20(t－25)2＋108500，∵－20 ＜0，∴当 t＝25，W 最大值＝108500.∵108500＞108000，∴放养 25 天后一次性出售所得利润 最大，最大利润为 108500 元 25．(12 分)(达州中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y＝1 2x－2 与 x 轴交于 点 A，与 y 轴交于点 B，过 A，B 两点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于另一点 C(－1，0). (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在一点 P，使 S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点 P 的坐标，若不存 在，请说明理由； (3)点 M 为直线 AB 下方抛物线上的一点，点 N 为 y 轴上的一点，当△MAB 的面积最大 时，求 MN＋1 2ON 的最小值． 题图 答图 解：(1)易得点 A(4，0)，点 B(0，－2)，∴可设抛物线的表达式为 y＝a(x＋1)(x－4)，∴ －2＝－4a，∴a＝1 2 ，∴抛物线的表达式为 y＝1 2(x＋1)(x－4)＝1 2x2－3 2x－2 (2)存在，理由如下：如图①，当点 P 在直线 AB 上方时，过点 O 作 OP1∥AB，交抛物 线于点 P1，P2，则直线 PO 的表达式为 y＝1 2x，S△P1AB＝S△P2AB＝S△ABO.联立方程组 y＝1 2x， y＝1 2x2－3 2x－2， 解得 x＝2＋2 2， y＝1＋ 2 或 x＝2－2 2， y＝1－ 2， ∴点 P1(2＋2 2，1＋ 2)，P2(2－2 2， 1－ 2)；当点 P 在直线 AB 下方时，在 OB 的延长线上截取 BE＝OB＝2，过点 E 作 EP3∥AB， 交抛物线于点 P3 ，则 S△ABP3 ＝S △ ABO ，直线 EP3 的表达式为 y＝1 2x－4.联立方程组 y＝1 2x－4， y＝1 2x2－3 2x－2， 解得 x＝2， y＝－3， ∴点 P3(2，－3).综上所述，点 P 的坐标为(2＋2 2，1＋ 2) 或(2－2 2，1－ 2)或(2，－3) (3)如图②，过点 M 作 MF⊥AC，交 AB 于点 F，设点 M(m，1 2m2－3 2m－2)，且 0＜m＜4， 则点 F(m，1 2m－2)，∴MF＝1 2m－2－(1 2m2－3 2m－2)＝－1 2m2＋2m＝－1 2(m－2)2＋2，∴S△MAB ＝1 2 ×4[－1 2(m－2)2＋2]＝－(m－2)2＋4，∴当 m＝2 时，△MAB 的面积有最大值，此时点 M(2，－3).过点 O 作∠KOB＝30°，过点 N 作 KN⊥OK 于点 K，过点 M 作 MP⊥OK 于点 P， 延长 MF 交直线 KO 于点 Q，∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KN＝1 2ON，∴MN＋1 2ON＝MN ＋KN，∴当 M，N，K 三点共线，且垂直于 OK 时，MN＋1 2ON 有最小值，且最小值为 MP.∵∠KOB＝30°，∴直线 OK 的表达式为 y＝ 3x.当 x＝2 时，y＝ 3x＝2 3，∴点 Q(2， 2 3)，∴QM＝2 3＋3.∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠PON＝30°，∴PM＝1 2QM＝ 3＋3 2 ，∴ MN＋1 2ON 的最小值为 3＋3 2