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- 2021-11-10 发布
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湖南省长沙市宁乡县 2018 届九年级上期末模拟数学试卷
一.单选题(共 10 题;共 30 分)
1.在直角坐标系中,⊙O的圆心在原点,半径为 3,⊙A的圆心 A的坐标为( ),半
径为 1,那么⊙O与⊙A的位置关系是( )
A.外离 B.外切 C.内切 D.相交
2.如图,平面直角坐标系中,⊙O1过原点 O,且⊙O1与⊙O2相外切,圆心 O1与 O2在 x轴
正半轴上,⊙O1的半径 O1P1、⊙O2的半径 O2P2都与 x 轴垂直,且点 P1(x1 , y1)、P2
(x2 , y2)在反比例函数 y= (x>0)的图象上,则 y1+y2=( )
A. 1 B. -1 C. D. +1
3.Rt△ABC的三个顶点 A,B,C均在抛物线 y=x2上,并且斜边 AB平行于 x轴.若斜边上
的高为 h,则( )
A. h<1 B. h=1 C. 1<h<2 D. h>2
4.边长为 的菱形 OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示,将该菱形绕其对角线的交
点顺时针旋转 90°后,再向右平移 3个单位,则两次变换后点 C对应点 C′的坐标为( )
A.(2,4) B.(2,5) C.(5,2) D.(6,
2)
5.计算: 得( )
A. 3 B. 9 C. 1 D.
6.一个正方形的边长增加 2cm,它的面积就增加了 24cm2 ,这个正方形原来的边长是( )
[来源:学科网 ZXXK]
A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
7.圆锥的母线长为 4,底面半径为 2,则此圆锥的侧面积是( )
A. 6π B. 8π C. 12π D. 16π
8.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%,第三季度的产值又比第二季度的产
值增长了 x%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了( )
A. 2x% B. 1+2x% C.(1+x%)x% D.(2+x%)x%
9.如图,在半径为 2,圆心角为 90°的扇形内,以 BC为直径作半圆交 AB于点 D,连接 CD,
则阴影部分的面积是( )
A. π﹣1 B. π﹣2 C. π﹣2 D. π﹣1
10.小敏在作⊙O的内接正五边形时,先做了如下几个步骤:
(i)作⊙O的两条互相垂直的直径,再作 OA的垂直平分线交 OA于点M,如图 1;
(ii)以M为圆心,BM长为半径作圆弧,交 CA于点 D,连结 BD,如图 2.若⊙O的半径
为 1,则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD的等式是( )
A. BD2= OD B. BD2= OD C. BD2= OD D. BD2= OD
二.填空题(共 8 题;共 24 分)
11.计算:( + )× =________. [来源:学科网 ZXXK]
12.小立存入银行人民币 500元,年利率为 x%,两年到期,本息和为 y元(不含利息税),
y与 x之间的函数关系是________,若年利率为 6%,两年到期的本利共________元.
13.(2016•达州)设 m,n 分别为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0 的两个实数根,则
m2+3m+n=________.
14.将抛物线 y=(x+1)2向下平移 2个单位,得到新抛物线的函数解析式是________
15.已知关于 x的方程(1﹣2k)x2﹣2 x﹣1=0 有两个不相等实数根,则 k 的取值范围为
________.
16.已知 x=﹣1是一元二次方程 ax2+bx﹣2=0的一个根,那么 b﹣a的值等于________.
17.有 30张牌,牌面朝下,每次抽出一张记下花色再放回,洗牌后再抽,经历多次试验后,
记录抽到红桃的频率为 20%,则红桃大约有________张.
18.设 x1、x2是方程 2x2﹣x﹣1=0的两个根,则 x1+x2=________,x1•x2=________.
三.解答题(共 6 题;共 36 分)
19.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利 10元,每天可售出 500千克.经市
场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1元,日销售量将减少 20千克.现该
商场要保证每天盈利 6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
20.如图,已知一次函数 y=0.5x+2的图象与 x轴交于点 A,与二次函数 y=ax2+bx+c的图象交
于 y轴上的一点 B,二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴只有唯一的交点 C,且 OC=2.
(1)求二次函数 y=ax2+bx+c的解析式;
(2)设一次函数 y=0.5x+2 的图象与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的另一交点为 D,已知 P
为 x轴上的一个动点,且△PBD为直角三角形,求点 P的坐标.
21.甲、乙两个仓库向 A、B两地运送水泥,已知甲库可调出 100吨水泥,乙库可调出 80吨
水泥,A地需 70吨,B地需 110吨水泥,两库到 A,B两地的路程和费用如下表:(表中
运费“元/吨·千米”表示每吨水泥运送 1千米所需要人民币).
路程(千米)运费(元/吨·千米)
甲库 乙库 甲库 乙库
A地20 15 12 12
B地 25 20 10 8
设甲库运往 A地水泥 x吨,总运费W元.
(1)写出 w关于 x的函数关系式,并求 x为何值时总运费最小?
(2)如果要求运送的水泥数是 10吨的整数倍,且运费不能超过 38000元,则总共有几种运送
方案?
22.中考报名前各校初三学生都要进行体检,某次中考体验设有 A、B两处检测点,甲、乙、
丙三名学生各自随机选择其中的一处进行中考体检,请用表格或树状图分析:
(1)求甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的概率;
(2)求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在 B处检测视力的概率.
23.某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏,主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏,
主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏,A、B、C分别表示三位家长,他们的孩子分
别对应的是 a、b、c.
(1)若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏,恰好是 A、a的概率是多
少(直接写出答案)
(2)若主持人先从三位家长中任选两人为一组,再从孩子中任选两人为一组,四人共同参
加游戏,恰好是两对家庭成员的概率是多少.(画出树状图或列表)
24.(1)解方程: x(x﹣1)﹣(x﹣1)=0.
(2)已知抛物线 y=﹣2x2+8x﹣6,请用配方法把它化成 y=a(x﹣h)2+k的形式,并指出此
抛物线的顶点坐标和对称轴.
四.综合题(共 10 分)
25.如图,D是⊙O直径 CA延长线上一点,点 B在⊙O上,且 AB=AD=AO.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若 E是劣弧 上一点,AE与 BC相交于点 F,△BEF的面积为 9,且 cos∠BFA= ,
求△ACF的面积.
湖南省长沙市宁乡县 2018 届九年级上期末模拟数学试卷
答案与解析
一.单选题
1.【答案】C
【考点】圆与圆的位置关系
【解析】析:首先求得点 A到点 O的距离是 ,再根据圆心距与半径之间的数量关
系判断⊙O1与⊙O2的位置关系.
【解答】根据题意得点 A到点 O的距离是 ,即两圆的圆心距是 2,
所以半径与圆心距的关系是 3-1=2,
根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切.
故选 C.
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法.设两圆的半径分别为 R和 r,
且 R≥r,圆心距为 P,则:外离 P>R+r;外切 P=R+r;相交 R-r<P<R+r;内切 P=R-r;
内含 P<R-r.
2.【答案】C
【考点】反比例函数的应用,相切两圆的性质
【解析】 【解答】∵⊙O1过原点 O,⊙O1的半径 O1P1 ,
∴O1O=O1P1 ,
∵⊙O1的半径 O1P1与 x轴垂直,点 P1(x1 , y1)在反比例函数 y= (x>0)的图象上,
∴x1=y1 , x1y1=1,
∴x1=y1=1.
∵⊙O1与⊙O2相外切,⊙O2的半径 O2P2与 x轴垂直,
∴EO2=O2P2=y2 ,
OO2=2+y2 ,
∴P2点的坐标为:(2+y2 , y2),
∵点 P2在反比例函数 y= (x>0)的图象上,
∴(2+y2)•y2=1,
解得:y2=-1+ 或-1- (不合题意舍去),
∴y1+y2=1+(-1+ )= ,
故选 C.
【分析】根据⊙O1与⊙O2相外切,⊙O1的半径 O1P1、⊙O2的半径 O2P2都与 x 轴垂直,分
别得出 x1=y1 , EO2=O2P2=y2 , 再利用反比例函数 y= 1 x 得出 P1点坐标,即可表示出
P2点的坐标,再利用反比例函数的性质得出 y2的值,即可得出 y1+y2的值.此题主要考查了
反比例函数的综合应用和相切两圆的性质,根据已知得出 O1O=O1P1以及 OO2=2+y2是解题
关键.
3.【答案】B
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解:由题 A,B,C均在抛物线 y=x2上,并且斜边 AB平行于 x轴,
知 A、B两点关于 y轴对称,记斜边 AB交 y轴于点 D,
可设 A(﹣ , b),B( , b),C(a,a2),D(0,b)
则因斜边上的高为 h,
故:h=b﹣a2 ,
∵△ABC是直角三角形,由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半,
∴得 CD=
∴ = 方程两边平方得:(b﹣a2)=(a2﹣b)2
即 h=(﹣h)2
因 h>0,得 h=1,是个定值.
故选 B.
【分析】由抛物线表达式和三角形性质求出 A、B、C各点坐标,就可以求出 h或 h的范围.
4.【答案】C
【考点】坐标与图形变化-旋转
【解析】【解答】解:∵菱形的边长为 ,
∴点 B的纵坐标为 =2,
∴菱形的中心的坐标为(0,2),
∴该菱形绕其对角线的交点顺时针旋转 90°后,再向右平移 3个单位的点 C的对应点 C′的坐
标为(5,2).
故选 C.
【分析】根据勾股定理列式求出点 B 的纵坐标,从而得到菱形的中心,再根据旋转的性质
以及平移变换求出点 C′的坐标即可.
5.【答案】B
【考点】二次根式的乘除法
【解析】解答:
=9.
故选:B.
分析:根据二次根式的乘除运算法则直接求出即可.
6.【答案】A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】
【分析】设原来正方形的边长为 xcm,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果.
【解答】设原来正方形的边长为 xcm,增加后边长为(x+2)cm,
根据题意得:(x+2)2-x2=24,
解得:x=5,
则这个正方形原来的边长为 5cm.
故选 A
【点评】此题考查了平方差公式,以及一元一次方程的应用,弄清题意是解本题的关键[来源:学,科,网]
7.【答案】B
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解:此圆锥的侧面积= •4•2π•2=8π. 故选:B.
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半
径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.
8.【答案】D
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】第三季度的产值比第一季度的增长了(1+x%)×(1+x%)-1=(2+x%)x%.
故选 D.
【分析】设第一季度产值为 1,第二季度比第一季度增长了 x%,则第二季度的产值为 1×
(1+x%),那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了 x%来确定,则其产值为 1×(1+x%)×
(1+x%),化简即可.本题考查一元二次方程的应用,关键在于理清第一季度和第二季度的
产值增长关系.
9.【答案】D
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】在 Rt△ACB中,AB= ,∵BC是半圆的直径,∴∠CDB=90°,
在等腰 Rt△ACB中,CD垂直平分 AB,CD=BD= ,
∴D为半圆的中点,∴S 阴影部分=S 扇形ACB﹣S△ADC= π×22﹣ ×( )2=π﹣1.故选 D.
【分析】已知 BC为直径,则∠CDB=90°,在等腰直角三角形 ABC中,CD垂直平分 AB,
CD=DB,D为半圆的中点,阴影部分的面积可以看做是扇形 ACB 的面积与△ADC 的面积
之差.
10.【答案】C
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解:如图 2,连接 BM,
根据题意得:OB=OA=1,AD⊥OB,BM=DM,
∵OA的垂直平分线交 OA于点M,
∴OM=AM= OA= ,
∴BM= = ,
∴DM= ,
∴OD=DM﹣OM= ﹣ = ,
∴BD2=OD2+OB2= = = OD.
故选 C.
【分析】首先连接 BM,根据题意得:OB=OA=1,AD⊥OB,BM=DM,然后由勾股定理可
求得 BM与 OD的长,继而求得 BD2的值.
二.填空题
11.【答案】13
【考点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解:原式=(2 + )× = ×
=13.
故答案为 13.
【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式,然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运
算即可.
12.【答案】y=500+1000x%;560
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解:∵本息和=本金×(1+利率), ∴一年后的本息和为:500+500x%,
两年后本息和 y=500+500x%×2=500+1000x%,
当 x=6%时,y=560元.
故填空答案:y=500+1000x%,560.
【分析】确定一年后的本息和和第 2年后本息和,然后代入 x=6%即可取出对应的函数值.
13.【答案】2016
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵m为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0的实数根,
∴m2+2m﹣2018=0,即 m2=﹣2m+2018,
∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n,
∵m,n分别为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0的两个实数根,
∴m+n=﹣2,
∴m2+3m+n=2018﹣2=2016.
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到 m2=﹣2m+2018,则 m2+3m+n 可化简为
2018+m+n,再根据根与系数的关系得到 m+n=﹣2,然后利用整体代入的方法计算.本题考
查了根与系数的关系:若 x1 , x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=
﹣ ba ,x1x2= ca .也考查了一元二次方程根的定义.
14.【答案】y=(x+1)2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解:抛物线 y=(x+1)2的顶点坐标为(﹣1,0),把(﹣1,0)向下平
移 2个单位所得对应点的坐标为(﹣1,﹣2),所以平移后的抛物线的解析式是 y=(x+1)
2﹣2.
故答案为 y=(x+1)2﹣2.
【分析】先由二次函数的性质得到抛物线 y=(x+1)2的顶点坐标为(﹣1,0),再根据点
平移的规律,点(﹣1,0)平移后所得对应点的坐标为(﹣1,﹣2),然后根据顶点式写出
平移后的抛物线的解析式.
15.【答案】0≤k<1且 k≠
【考点】一元二次方程的定义,根的判别式
【解析】【解答】解:∵关于 x的方程(1﹣2k)x2﹣2 x﹣1=0有两个不相等实数根, ∴
△=(2 )2﹣4×(1﹣2k)×(﹣1)
=4k﹣8k+4>0,
解得:0<k<1且 1﹣2k≠0,k≥0,
∴k的取值范围为 0<k<1且 k≠ .
故答案为:0≤k<1且 k≠ .
【分析】由 x的方程(1﹣2k)x2﹣2 x﹣1=0 有两个不相等实数根,可得△>0,且 1﹣
2k≠0,k≥0,三者联立求得答案即可.
16.【答案】b-a=-2
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解:把 x=﹣1代入 ax2+bx﹣2=0,得
a﹣b﹣2=0,
则 a﹣b=2.
所以 b﹣a=﹣2.
故答案是:﹣2.
【分析】把 x=﹣1代入已知方程来求 b﹣a的值.
17.【答案】6
【考点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解:由题意可得,红桃大约有:30×20%=6张.
【分析】根据概率的频率定义可知,由于抽到红桃的频率为 20%,即红桃的概率为 20%,
根据概率公式即可求出红桃的张数.
18.【答案】12;﹣ 12
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解:∵x1、x2是方程 2x2﹣x﹣1=0的两个根,
∴x1+x2= 12 ,x1•x2=﹣ 12 ,
故答案为: 12 ,﹣ 12 .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可.
三.解答题
19.【答案】解:设每千克水果应涨价 x元,
依题意得方程:(500﹣20x)(10+x)=6000,
整理,得 x2﹣15x+50=0,
解这个方程,得 x1=5,x2=10.
要使顾客得到实惠,应取 x=5.
答:每千克水果应涨价 5元
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设每千克水果应涨价 x元,得出日销售量将减少 20x千克,再由盈利额=
每千克盈利×日销售量,依题意得方程求解即可.
20.【答案】解:(1)∵y=0.5x+2 交 x轴于点 A,
∴0=0.5x+2,
∴x=﹣4,
与 y轴交于点 B,
∵x=0,
∴y=2
∴B点坐标为:(0,2),
∴A(﹣4,0),B(0,2),
∵二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴只有唯一的交点 C,且 OC=2
∴可设二次函数 y=a(x﹣2)2或 y=a(x+2)2
把 B(0,2)代入得:a=0.5
∴二次函数的解析式:y=0.5x2﹣2x+2或 y=0.5x2+2x+2(对称轴在 y轴左侧,舍去);
(2)(Ⅰ)当 B为直角顶点时,过 B作 BP1⊥AD交 x轴于 P1点
由 Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴ = ,
∴ = ,
得:OP1=1,
∴P1(1,0),
(Ⅱ)作 P2D⊥BD,连接 BP2 ,
将 y=0.5x+2与 y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标:
D点坐标为:(5,4.5),
则 AD= ,
当 D为直角顶点时
∵∠DAP2=∠BAO,∠BOA=∠ADP2 ,
∴△ABO∽△AP2D,
∴ = ,
= ,
解得:AP2=11.25,
则 OP2=11.25﹣4=7.25,
故 P2点坐标为(7.25,0);
(Ⅲ)当 P为直角顶点时,过点 D作 DE⊥x轴于点 E,设 P3(a,0)
则由 Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得: ,
∴ ,
∵方程无解,
∴点 P3不存在,
∴点 P的坐标为:P1(1,0)和 P2(7.25,0)
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】(1)根据 y=0.5x+2交 x轴于点 A,与 y轴交于点 B,即可得出 A,B两
点坐标,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x轴只有唯一的交点 C,且 OC=2.得出可设二次函
数 y=ax2+bx+c=a(x﹣2)2 , 进而求出即可;
(2)根据当 B为直角顶点,当 D为直角顶点,以及当 P为直角顶点时,分别利用三角形相
似对应边成比例求出即可.
21.【答案】(1)解:设甲库运往 A地粮食 x吨,则甲库运到 B地(100-x)吨,乙库运往
A地(70-x)吨,乙库运到 B地 [80-(70-x)]=(10+x)吨.
根据题意得:w=12×20x+10×25(100-x)+12×15(70-x)+8×20(10+x)
=-30x+39200(0≤x≤70).
∴总运费 w(元)关于 x(吨)的函数关系式为 w=-30x+39200(0≤x≤70).
∵一次函数中 w=-30x+39200中,k=-30<0
∴w的值随 x的增大而减小
∴当 x=70吨时,总运费 w最省,
最省的总运费为:-30×70+39200=37100(元)
答:从甲库运往 A 地 70 吨粮食,往 B 地运送 30 吨粮食,从乙库运往 B 地 80吨粮食时,
总运费最省为 37100元.
(2)解: 因为运费不能超过 38000元,
所以 w=-30x+39200≤38000,
所以 x≥40.
又因为 40≤x≤70,
所以满足题意的 x值为 40,50,60,70,
所以总共有 4种方案.
【考点】二次函数的性质,二次函数的应用
【解析】【分析】(1)设甲库运往 A地粮食 x吨,则甲库剩下(100-x)要送到 B地,所
以 A地还需要(70-x)吨要从乙库运过来,所以从乙库运送[80-(70-x)]=(10+x)吨到 B
地,根据数量关系:总运费=某库到某地的路程×运的吨数×每吨每千米的运费;(2)由题
可得 w= -30x+39200≤38000,解出 x的取值范围,再取其中 x为 10的整数倍的数.
22.【答案】解:(1)画树状图为:
共有 8种等可能的结果数,其中甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的结果数为 2,
所以甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的概率=28=14;
(2)甲、乙、丙三名学生中至少有两人在 B处检测视力的结果数为 4,
所以甲、乙、丙三名学生中至少有两人在 B处检测视力的概率=48=12.
【考点】列表法与树状图法,概率公式
【解析】【分析】(1)画树状图展示所有 8种等可能的结果数,再找出甲、乙、丙三名学
生在同一处中考体验的结果数,然后根据概率公式求解;
(2)找出甲、乙、丙三名学生中至少有两人在 B处检测视力的结果数,然后根据概率公式
求解.
23.【答案】解:(1)答:P(恰好是A,a)的概率是=19;
(2)依题意画树状图如下:
孩子
家长
ab ac bc
AB AB,ab AB,ac AB,bc
AC AC,ab AC,ac AC,bc
BC BC,ab BC,ac BC,bc
共有 9 种情形,每种发生可能性相等,其中恰好是两对家庭成员有(AB,ab),( AC,
ac),( BC,bc)3种,故恰好是两对家庭成员的概率是 P=39=13.
【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】(1)主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏,恰好是 A、
a的概率则为 13×13=19 .
(2)画出树形图,找到恰好是两对家庭成员的情况即可求出其概率.
24.【答案】解:(1) x(x﹣1)﹣(x﹣1)=0,
分解因式得:(x﹣1)( x﹣1)=0,
可化为:x﹣1=0或 x﹣1=0,
解得:x1=1,x2=2;
(2)∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2(x2﹣4x+4)+8﹣6=﹣2(x﹣2)2+2,
∴此抛物线的顶点坐标是(2,2),对称轴为直线 x=2.
【考点】二次函数的性质
【解析】【分析】(1)先将把方程左边化为两个一次因式积的形式,然后根据两数相乘积
为 0,两因式至少有一个为 0转化为两个一元一次方程,求出方程的解即可得到原方程的解;
(2)先利用配方法提出二次项系数,加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一
般式转化为顶点式,再根据二次函数的性质即可写出抛物线的对称轴和顶点坐标.
四.综合题
25.【答案】(1)证明:连接 BO,
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB,
又∵在△OBD中,∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°,即 BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线;
(2)解:∵∠C=∠E,∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
在 Rt△BFA中,cos∠BFA= = ,
∴ =( )2= ,
又∵S△BEF=9
∴S△ACF=16.
【考点】切线的判定
【解析】【分析】(1)根据等边对等角得到∠D=∠ABD,∠ABO=∠AOB,再根据三角形
内角和定理得到∠OBD=90°,即 BD是⊙O的切线;(2)由两角相等∠C=∠E,∠CAF=∠
EBF,得到△ACF∽△BEF,再由 AC是⊙O的直径,得到∠ABC=90°,在 Rt△BFA 中,由
三角函数值 cos∠BFA 得到 S△ACF的面积.
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