2021年中考数学专题复习 专题49 中考数式图规律型试题解法（教师版含解析） 33页

专题 49 中考数式图规律型试题解法 给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的 问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．这类问题成 为探索规律性问题。主要采用归纳法解决。 1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通 过适当的计算回答问题． 2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式 即函数关系式为主要内容． 3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应 的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合． 4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以 数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决 相关问题． 5.解题方法 规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等) 中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论 去检验特殊情况，以肯定结论的正确． 【例题 1】(2019 安徽合肥)观察下列各组式子： ① 2 6 1 1 51 3 1 3 3     ； ② 1 2 6 2 1 11 3 5 3 5 15     ； ③ 1 2 6 3 1 17···5 7 5 7 35     (1)请根据上面的规律写出第 4 个式子； (2)请写出第 n 个式子，并证明你发现的规律． 【答案】(1) 1 2 6 4 1 23 7 9 7 9 63     ；(2)     1 2 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n        ， 证明见解析． 【解析】(1) 1 2 6 4 1 23 7 9 7 9 63     (2)     1 2 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n        证明：等式左边 1 2 2 1 2 1n n    ，         2 2 12 1 2 1 · 2 1 2 1 · 2 1 nn n n n n           2 1 2 2 1 2 1 · 2 1 n n n n         6 1 2 1 · 2 1 n n n     ∵等式右边为     6 1 2 1 2 1 n n n      ，与等式左边计算出的结果相等， ∴     1 2 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n        成立. 【点拨】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键. 【对点练习】(2019 湖南益阳)观察下列等式： ①3﹣2 ＝( ﹣1)2， ②5﹣2 ＝( ﹣ )2， ③7﹣2 ＝( ﹣ )2， … 请你根据以上规律，写出第 6 个等式 ． 【答案】13﹣2 ＝( ﹣ )2． 【解析】第 n 个等式左边的第 1 个数为 2n+1，根号下的数为 n(n+1)，利用完全平方公式得到第 n 个等式右 边的式子为( ﹣ )2(n≥1 的整数)． 写出第 6 个等式为 13﹣2 ＝( ﹣ )2． 【例题 2】(2019 湖北咸宁)有一列数，按一定规律排列成 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相 邻数的积是 412，则这三个数的和是 ． 【答案】﹣384． 【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是 412，可以求得这 三个数，从而可以求得这三个数的和． ∵一列数为 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…， ∴这列数的第 n 个数可以表示为(﹣2)n﹣1， ∵其中某三个相邻数的积是 412， ∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1、(﹣2)n、(﹣2)n+1， 则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412， 即(﹣2)3n＝(22)12， ∴(﹣2)3n＝224， ∴3n＝24， 解得，n＝8， ∴这三个数的和是：(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4) ＝(﹣128)×3＝﹣384 【对点练习】(2019 湖南常德)观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…， 根据其中的规律可得 70+71+72+…+72019 的结果的个位数字是( ) A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】A 【解析】首先得出尾数变化规律，进而得出 70+71+72+…+72019 的结果的个位数字． ∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…， ∴个位数 4 个数一循环， ∴(2019+1)÷4＝505， ∴1+7+9+3＝20， ∴70+71+72+…+72019 的结果的个位数字是：0． 【点拨】本题属于数字规律探究的问题。 【例题 3】(2020 贵州黔西南)如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中 一共有 3 个菱形，第②个图形中一共有 7 个菱形，第③个图形中一共有 13 个菱形，…，按此规律排列下去， 第⑦个图形中菱形的个数为________． 【答案】57 【解析】根据题意得出第 n 个图形中菱形的个数为 2 1n n  ；由此代入求得第⑦个图形中菱形的个数． 【详解】解：第①个图形中一共有 3 个菱形， 23 1 2  ； 第②个图形中共有 7 个菱形， 27 2 3  ； 第③个图形中共有 13 个菱形， 213 3 4  ； …， 第 n 个图形中菱形的个数为： 2 1n n  ； 则第⑦个图形中菱形的个数为 27 7 1 57   ． 【点拨】本题考查了整式加减的探究规律—图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律． 【对点练习】如图，将△ABC 沿着过 BC 的中点 D 的直线折叠，使点 B 落在 AC 边上的 B1 处，称为第一次操作， 折痕 DE 到 AC 的距离为 h1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过 BD 的中点 D1 的直线折叠，使点 B 落在 DE 边上的 B2 处，称为第二次操作，折痕 D1E1 到 AC 的距离记为 h2；按上述方法不断操作下去……经过第 n 次操作后得 到折痕 Dn﹣1En﹣1，到 AC 的距离记为 hn．若 h1＝1，则 hn 的值为( ) A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣ 【答案】C． 【解析】∵D 是 BC 的中点，折痕 DE 到 AC 的距离为 h1 ∴点 B 到 DE 的距离＝h1＝1， ∵D1 是 BD 的中点，折痕 D1E1 到 AC 的距离记为 h2， ∴点 B 到 D1E1 的距离＝h2＝1+ h1＝1+ ， 同理：h3＝h2+ h1＝1+ + ， h4＝h3+ h1＝1+ + + …… hn＝1+ + + +…+ ＝2﹣ 一、选择题 1．(2019 湖南张家界)如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45°后得 到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019 的坐标是( ) A．( ，﹣ ) B．(1，0) C．(﹣ ，﹣ ) D．(0，﹣1) 【答案】A． 【解析】∵四边形 OABC 是正方形，且 OA＝1， ∴A(0，1)， ∵将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1， ∴A1( ， )，A2(1，0)，A3( ，﹣ )，…， 发现是 8 次一循环，所以 2019÷8＝252…余 3， ∴点 A2019 的坐标为( ，﹣ ) 2．如图所示，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第 8 个图形中小正方形的个数是( ) A．71 B．78 C．85 D．89 【答案】D 【解析】第 1 个图形共有小正方形的个数为 2×2+1； 第 2 个图形共有小正方形的个数为 3×3+2； 第 3 个图形共有小正方形的个数为 4×4+3； …； 则第 n 个图形共有小正方形的个数为(n+1)2+n， 所以第 8 个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=89． 3.(2019•湖北武汉)观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一 组数：250、251.252.…、299.2100．若 250＝a，用含 a 的式子表示这组数的和是( ) A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a 【答案】C． 【解析】∵2+22＝23﹣2； 2+22+23＝24﹣2； 2+22+23+24＝25﹣2； … ∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2， ∴250+251+252+…+299+2100 ＝(2+22+23+…+2100)﹣(2+22+23+…+249) ＝(2101﹣2)﹣(250﹣2) ＝2101﹣250， ∵250＝a， ∴2101＝(250)2•2＝2a2， ∴原式＝2a2﹣a． 【点拨】本题属于数字和式子综合规律探究的问题。 4.(2019•四川省达州市)a 是不为 1 的有理数，我们把 称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数为 ＝﹣1， ﹣1 的差倒数 ＝ ，已知 a1＝5，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数…，依此类 推，a2019 的值是( ) A．5 B．﹣ C． D． 【答案】D． 【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每 3 个数为一个循环组依次循环，用 2019 除以 3，根据余数的情况确定出与 a2019 相同的数即可得解． ∵a1＝5， a2＝ ＝ ＝﹣ ， a3＝ ＝ ＝ ， a4＝ ＝ ＝5， … ∴数列以 5，﹣ ， 三个数依次不断循环， ∵2019÷3＝673， ∴a2019＝a3＝ 5.(2019 成都)如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有 n 盆花，每个图案花盆总数是 S，按此推断 S 与 n 的关系式为( ) A．S=3n B．S=3(n﹣1) C．S=3n﹣1 D．S=3n+1 【答案】B． 【解析】根据实际问题列一次函数关系式；规律型：图形的变化类． 由图可知： 第一图：有花盆 3 个，每条边有 2 盆花，那么 3=3×(2﹣1)； 第二图：有花盆 6 个，每条边有 3 盆花，那么 6=3×(3﹣1)； 第三图：有花盆 9 个，每条边有 4 盆花，那么 9=3×(4﹣1)； … 由此可知 S 与 n 的关系式为 S=3(n﹣1)． 根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的 3 倍，但由于每个顶点重复了一次． 所以 S=3n﹣3，即 S=3(n﹣1)． 6.(2019 云南)按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第 n 个单项式是( ) A.(－1)n－1x2n－1B.(－1)nx2n－1 C.(－1)n－1x2n＋1D.(－1)nx2n＋1 【答案】C 【解析】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用 1)1(  n 或 1)1(  n ，( n 为大于等于 1 的 整数)来控制正负，指数为从第 3 开始的奇数，所以指数部分规律为 12 n 。 7．(2019 河南)如图，小聪用一张面积为 1 的正方形纸片，按如下方式操作： ①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉； ②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为( ) A．22019 B． C． D． 【答案】C． 【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开， 第一次：余下面积 ， 第二次：余下面积 ， 第三次：余下面积 ， 当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为 8．(2019 湖北宜昌)如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45°后得到 正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019 的坐标是( ) A．( ，﹣ ) B．(1，0) C．(﹣ ，﹣ ) D．(0，﹣1) 【答案】A． 【解析】∵四边形 OABC 是正方形，且 OA＝1， ∴A(0，1)， ∵将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1， ∴A1( ， )，A2(1，0)，A3( ，﹣ )，…， 发现是 8 次一循环，所以 2019÷8＝252…余 3， ∴点 A2019 的坐标为( ，﹣ ) 9.(2019•湖北鄂州)如图，在平面直角坐标系中，点 A1、A2、A3…An 在 x 轴上，B1、B2、B3…Bn 在直线 y＝ x 上，若 A1(1，0)，且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1 都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积 分别记为 S1、S2、S3…Sn．则 Sn 可表示为( ) A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3 【答案】D． 【解析】直线 y＝ x 与 x 轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∠OB1A2＝90°，…， ∠OBnAn+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知 A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1；根据勾股定 理可得 B1B2＝ ，B2B3＝2 ，…，BnBn+1＝2n ，再由面积公式即可求解； 解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1 都是等边三角形， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1 都是等边三角形， ∵直线 y＝ x 与 x 轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°， ∴∠OB1A1＝30°， ∴OA1＝A1B1， ∵A1(1，0)， ∴A1B1＝1， 同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°， ∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1， 易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°， ∴B1B2＝ ，B2B3＝2 ，…，BnBn+1＝2n ， ∴S1＝ ×1× ＝ ，S2＝ ×2×2 ＝2 ，…，Sn＝ ×2n﹣1×2n ＝ 。 二、填空题 10．(2019 湖北咸宁)有一列数，按一定规律排列成 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的 积是 412，则这三个数的和是 ． 【答案】﹣384． 【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是 412，可以求得这 三个数，从而可以求得这三个数的和． ∵一列数为 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…， ∴这列数的第 n 个数可以表示为(﹣2)n﹣1， ∵其中某三个相邻数的积是 412， ∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1、(﹣2)n、(﹣2)n+1， 则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412， 即(﹣2)3n＝(22)12， ∴(﹣2)3n＝224， ∴3n＝24， 解得，n＝8， ∴这三个数的和是：(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4) ＝(﹣128)×3＝﹣384 11．(2019 海南)有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第 一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 ，这 2019 个数的和是 ． 【答案】0，2． 【解析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决． 解：由题意可得， 这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…， ∴前 6 个数的和是：0+1+1+0+(﹣1)+(﹣1)＝0， ∵2019÷6＝336…3， ∴这 2019 个数的和是：0×336+(0+1+1)＝2 12.(2019•湖北省咸宁市)有一列数，按一定规律排列成 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻 数的积是 412，则这三个数的和是 ． 【答案】﹣384． 【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律． 根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是 412，可以求得这三个数， 从而可以求得这三个数的和． ∵一列数为 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…， ∴这列数的第 n 个数可以表示为(﹣2)n﹣1， ∵其中某三个相邻数的积是 412， ∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1.(﹣2)n、(﹣2)n+1， 则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412， 即(﹣2)3n＝(22)12， ∴(﹣2)3n＝224， ∴3n＝24， 解得，n＝8， ∴这三个数的和是： (﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4)＝(﹣128)×3＝﹣384 13.(2019•四川省广安市)如图，在平面直角坐标系中，点 A1 的坐标为(1，0)，以 OA1 为直角边作 Rt△OA1A2， 并使∠A1OA2＝60°，再以 OA2 为直角边作 Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以 OA3 为直角边作 Rt△OA3A4，并 使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点 A2019 的坐标为 ． 【答案】(﹣22017，22017 )． 【解析】通过解直角三角形，依次求 A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论． 由题意得， A1 的坐标为(1，0)， A2 的坐标为(1， )， A3 的坐标为(﹣2，2 )， A4 的坐标为(﹣8，0)， A5 的坐标为(﹣8，﹣8 )， A6 的坐标为(16，﹣16 )， A7 的坐标为(64，0)， … 由上可知，A 点的方位是每 6 个循环， 与第一点方位相同的点在 x 正半轴上，其横坐标为 2n﹣1，其纵坐标为 0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为 2n﹣2，纵坐标为 2n﹣2 ， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为 2n﹣2 ， 与第四点方位相同的点在 x 负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为 0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2 ， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为 2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2 ， ∵2019÷6＝336…3， ∴点 A2019 的方位与点 A23 的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017， 纵坐标为 22017 14.(2019•甘肃庆阳)已知一列数 a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第 9 个数 是 ． 【答案】13a+21b． 【解析】由题意得出从第 3 个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案． 由题意知第 7 个数是 5a+8b，第 8 个数是 8a+13b，第 9 个数是 13a+21b 15.(2020 云南模拟)观察下列各式： ， ， ， 设 n 表示 正整数，用关于 n 的等式表示这个规律是 ． 【答案】： ． 【解析】题考查数字的变化规律，找出式子之间的联系，由特殊找出一般规律解决问题．通过观察可以看 出两个数的和等于两个数的积，分数的分母比分子小一，而相乘的整数和相加的整数也比分母大一，由此 规律得出答案即可． 由所给的各式可知，不妨设分母为 n，则分子为 n+1，另一个因数和加数也为 n+1，因此可知律为 ． 故答案为： ． 16.(2019 湖南怀化)探索与发现：下面是用分数(数字表示面积)砌成的“分 数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ． 【答案】n﹣1． 【解析】由题意“分数墙”的总面积＝2× +3× +4× +…+n× ＝n﹣1， 故答案为 n﹣1． 17.(2019·贵州安顺)如图，将从 1 开始的自然数按下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是 12，则位 于第 45 行、第 7 列的数是 ． 【答案】2019 【解析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2， ∴第 45 行第一个数是 2025， ∴第 45 行、第 7 列的数是 2025﹣6＝2019， 故答案为 2019 18.(2019•海南省)有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果 第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 ，这 2019 个数的和是 ． 【答案】0，2． 【解析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决． 由题意可得， 这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…， ∴前 6 个数的和是：0+1+1+0+(﹣1)+(﹣1)＝0， ∵2019÷6＝336…3， ∴这 2019 个数的和是：0×336+(0+1+1)＝2 19.(2019•贵州铜仁)按一定规律排列的一列数依次为：﹣ ， ，﹣ ， ，…(a≠0)，按此规律排 列下去，这列数中的第 n 个数是________．(n 为正整数) A．(﹣1)n• ．B．(﹣1)n+1• ．C．(﹣1)n-1• ．D． ． 【答案】A 【解析】第 1 个数为(﹣1)1• ， 第 2 个数为(﹣1)2• ， 第 3 个数为(﹣1)3• ， 第 4 个数为(﹣1)4• ， …， 所以这列数中的第 n 个数是(﹣1)n• ．故选 A。 20.如图，点 B1 在直线 l：y＝ x 上，点 B1 的横坐标为 2，过 B1 作 B1A1⊥1，交 x 轴于点 A1，以 A1B1 为边，向 右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1 交 x 轴于点 A2；以 A2B2 为边，向右作正方形 A2B2B3C2，延长 B3C2 交 x 轴于点 A3； 以 A3B3 为边，向右作正方形 A3B3B4C3 延长 B4C3 交 x 轴于点 A4；…；按照这个规律进行下去，点∁ n 的横坐标为 (结果用含正整数 n 的代数式表示) 【答案】 【解析】过点 B1、C1、C2、C3、C4 分别作 B1D⊥x 轴，C1D1⊥x 轴，C2D2⊥x 轴，C3D3⊥x 轴，C4D4⊥x 轴，……垂 足分别为 D、D1、D2、D3、D4…… ∵点 B1 在直线 l：y＝ x 上，点 B1 的横坐标为 2， ∴点 B1 的纵坐标为 1， 即：OD＝2，B1D＝1， 图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是 1：2， ∴点 C1 的横坐标为：2+ +( )0， 点 C2 的横坐标为：2+ +( )0+( )0× +( )1＝ +( )0× +( )1 点 C3 的横坐标为：2+ +( )0+( )0× +( )1+( )1× +( )2＝ +( )0× +( )1× ++( )2 点 C4 的横坐标为：＝ +( )0× +( )1× +( )2× +( )3 …… 点∁ n 的横坐标为：＝ +( )0× +( )1× +( )2× +( )3× +( )4× ……+( )n﹣1 ＝ + [( )0+( )1×+( )2+( )3+( )4……]+( )n﹣1 ＝ 故答案为： 21．(2019 齐齐哈尔)如图，直线 l：y＝ x+1 分别交 x 轴、y 轴于点 A 和点 A1，过点 A1 作 A1B1⊥l，交 x 轴于点 B1，过点 B1 作 B1A2⊥x 轴，交直线 l 于点 A2；过点 A2 作 A2B2⊥l，交 x 轴于点 B2，过点 B2 作 B2A3⊥x 轴， 交直线 l 于点 A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1 的面积为 S1，阴影△A2B1B2 的面积为 S2，阴影△A3B2B3 的面 积为 S3…，则 Sn＝ ． 【答案】 ． 【解析】直线 l：y＝ x+1，当 x＝0 时，y＝1；当 y＝0 时，x＝﹣ ∴A(﹣ ，0)A1(0，1) ∴∠OAA1＝30° 又∵A1B1⊥l， ∴∠OA1B1＝30°， 在 Rt△OA1B1 中，OB1＝ •OA1＝ ， ∴S1＝ ； 同理可求出：A2B1＝ ，B1B2＝ ， ∴S2＝ ＝ ＝ ； 依次可求出：S3＝ ；S4＝ ；S5＝ …… 因此：Sn＝ 22．已知 a＞0，S1= ，S2=﹣S1﹣1，S3= ，S4=﹣S3﹣1，S5= ，…(即当 n 为大于 1 的奇数时，Sn= ； 当 n 为大于 1 的偶数时，Sn=﹣Sn﹣1﹣1)，按此规律，S2018= ． 【答案】﹣ ． 【解析】根据 Sn 数的变化找出 Sn 的值每 6 个一循环，结合 2018=336×6+2，即可得出 S2018=S2，此题得解． 【解答】解：S1= ，S2=﹣S1﹣1=﹣ ﹣1=﹣ ，S3= =﹣ ，S4=﹣S3﹣1= ﹣1=﹣ ，S5= = ﹣(a+1)，S6=﹣S5﹣1=(a+1)﹣1=a，S7= = ，…， ∴Sn 的值每 6 个一循环． ∵2018=336×6+2， ∴S2018=S2=﹣ ． 【点拨】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出 Sn 的值每 6 个一循环是解题的关键． 23．如图，把 Rt△OAB 置于平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0，4)，点 B 的坐标为(3，0)，点 P 是 Rt△ OAB 内切圆的圆心．将 Rt△OAB 沿 x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与 x 轴重合，第一次滚动后 圆心为 P1，第二次滚动后圆心为 P2，…，依此规律，第 2019 次滚动后，Rt△OAB 内切圆的圆心 P2019 的坐标 是 ． 【答案】(8077，1)． 【解析】∵点 A 的坐标为(0，4)，点 B 的坐标为(3，0)， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝ ＝5， ∴Rt△OAB 内切圆的半径＝ ＝1， ∴P 的坐标为(1，1)， ∵将 Rt△OAB 沿 x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与 x 轴重合，第一次滚动后圆心为 P1，第二 次滚动后圆心为 P2，…， ∴P3(3+5+4+1，1)，即(13，1)， 每滚动 3 次一个循环， ∵2019÷3＝673， ∴第 2019 次滚动后，Rt△OAB 内切圆的圆心 P2019 的横坐标是 673×(3+5+4)+1， 即 P2019 的横坐标是 8077， ∴P2019 的坐标是(8077，1)； 故答案为：(8077，1)． 24．如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOCB 的两边 OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴上，且 OA=2，OC=1．在第二 象限内，将矩形 AOCB 以原点 O 为位似中心放大为原来的 倍，得到矩形 A1OC1B1，再将矩形 A1OC1B1 以原点 O 为位似中心放大 倍，得到矩形 A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形 AnOCnBn 的对角线交点的坐标为 ． 【答案】(﹣ ， )． 【解析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点 的坐标的比等于 k 或﹣k，即可求得 Bn 的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标． ∵在第二象限内，将矩形 AOCB 以原点 O 为位似中心放大为原来的 倍， ∴矩形 A1OC1B1 与矩形 AOCB 是位似图形，点 B 与点 B1 是对应点， ∵OA=2，OC=1． ∵点 B 的坐标为(﹣2，1)， ∴点 B1 的坐标为(﹣2× ，1× )， ∵将矩形 A1OC1B1 以原点 O 为位似中心放大 倍，得到矩形 A2OC2B2…， ∴B2(﹣2× × ，1× × )， ∴Bn(﹣2× ，1× )， ∵矩形 AnOCnBn 的对角线交点(﹣2× × ，1× × )，即(﹣ ， )， 故答案为：(﹣ ， )． 25．(2020 通辽模拟)一列数 x1，x2，x3，…，其中 x1= ，xn= (n 为不小于 2 的整数)，则 x2015= ． 【答案】2． 【解析】规律型：数字的变化类．根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环， 用 2015 除以 3，根据商和余数的情况确定 a2015 的值即可． 根据题意得，a2= =2， a3= =﹣1， a4= = ， …， 依此类推，每三个数为一个循环组依次循环， ∵2015÷3=671…2， ∴a2015 是第 671 个循环组的第 2 个数，与 a2 相同， 即 a2015=2． 【点拨】本题考查数字的变化规律，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键． 26．(2020 随州模拟)观察下列图形规律：当 n= 时，图形“●”的个数和“△”的个数相等． 【答案】5 【解析】∵n=1 时，“●”的个数是 3=3×1； n=2 时，“●”的个数是 6=3×2； n=3 时，“●”的个数是 9=3×3； n=4 时，“●”的个数是 12=3×4； ∴第 n 个图形中“●”的个数是 3n； 又∵n=1 时，“△”的个数是 1= ； n=2 时，“△”的个数是 3= ； n=3 时，“△”的个数是 6= ； n=4 时，“△”的个数是 10= ； ∴第 n 个“△”的个数是 ； 由 3n= ， 可得 n2﹣5n=0， 解得 n=5 或 n=0(舍去)， ∴当 n=5 时，图形“●”的个数和“△”的个数相等． 【点拨】此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出 图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求 解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题 27.(2019•山东泰安)在平面直角坐标系中，直线 l：y＝x+1 与 y 轴交于点 A1，如图所示，依次作正方形 OA1B1C1， 正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，……，点 A1，A2，A3，A4，……在直线 l 上，点 C1，C2，C3， C4，……在 x 轴正半轴上，则前 n 个正方形对角线长的和是 ． 【答案】 (2n﹣1) 【解析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用 数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象可以求得点 A1，A2，A3，A4 的坐标，从而可以得到前 n 个正方形对角线长的和，本题得 以解决． 由题意可得， 点 A1 的坐标为(0，1)，点 A2 的坐标为(1，2)，点 A3 的坐标为(3，4)，点 A4 的坐标为(7，8)，……， ∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……， ∴前 n 个正方形对角线长的和是： (OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An)＝ (1+2+4+8+…+2n﹣1)， 设 S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则 2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n， 则 2S﹣S＝2n﹣1， ∴S＝2n﹣1， ∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1， ∴前 n 个正方形对角线长的和是： ×(2n﹣1)。 28．(2019•山东潍坊)如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点 O，它们的半径 分别为 1，2，3，…，按照“加 1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与 x 轴垂直，相邻两直线 的间距为 l，其中 l0 与 y 轴重合若半径为 2 的圆与 l1 在第一象限内交于点 P1，半径为 3 的圆与 l2 在第一象 限内交于点 P2，…，半径为 n+1 的圆与 ln 在第一象限内交于点 Pn，则点 Pn 的坐标为 ．(n 为正整 数) 【答案】(n， )． 【解析】连 OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3 与 x 轴分别交于 A1、A2、A3，在 Rt△OA1P1 中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股 定理得出 A1P1＝ ＝ ，同理：A2P2＝ ，A3P3＝ ，……，得出 P1 的坐标为( 1， )，P2 的坐标为( 2， )，P3 的坐标为(3， )，……，得出规律，即可得出结果． 连接 OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3 与 x 轴分别交于 A1、A2、A3，如图所示： 在 Rt△OA1P1 中，OA1＝1，OP1＝2， ∴A1P1＝ ＝ ＝ ， 同理：A2P2＝ ＝ ，A3P3＝ ＝ ，……， ∴P1 的坐标为( 1， )，P2 的坐标为( 2， )，P3 的坐标为(3， )，……， …按照此规律可得点 Pn 的坐标是(n， )，即(n， ) 故答案为：(n， )． 三、解答题 29.(2019•四川自贡)阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+…+22017+22018 的值，采用以下方法： 设 S＝1+2+22+…+22017+22018① 则 2S＝2+22+…+22018+22019② ②﹣①得 2S﹣S＝S＝22019﹣1 ∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)1+2+22+…+29＝________； (2)3+32+…+310＝________； (3)求 1+a+a2+…+an 的和(a＞0，n 是正整数，请写出计算过程)． 【答案】见解析。 【解析】(1)设 S＝1+2+22+…+29① 则 2S＝2+22+…+210② ②﹣①得 2S﹣S＝S＝210﹣1 ∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1； 故答案为：210﹣1 (2)设 S＝1+3+32+33+34+…+310 ①， 则 3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②， ②﹣①得 2S＝311﹣1， 所以 S＝ ， 即 1+3+32+33+34+…+310＝ ； 故答案为： ； (3)设 S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①， 则 aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②， ②﹣①得：(a﹣1)S＝an+1﹣1， 所以 S＝ ， 即 1+a+a2+a3+a4+..+an＝ ， 30．(2019 湖南张家界)阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一 项，记为 a1，排在第二位的数称为第二项，记为 a2，依此类推，排在第 n 位的数称为第 n 项，记为 an．所 以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示．如：数列 1，3，5，7，…为等差数列，其中 a1＝1，a2 ＝3，公差为 d＝2． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列 5，10，15，…的公差 d 为 ，第 5 项是 ． (2)如果一个数列 a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为 d，那么根据定义可得到 a2﹣a1＝d，a3﹣a2 ＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…． 所以 a2＝a1+d a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d， a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d， …… 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+( )d． （3）﹣4041 是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？ 【答案】(1)5，25；(2)n﹣1；(3)﹣4041 是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项， 它是此数列的第 2019 项． 【解析】(1)根据题意得，d＝10﹣5＝5； ∵a3＝15， a4＝a3+d＝15+5＝20， a5＝a4+d＝20+5＝25， 故答案为：5；25． (2)∵a2＝a1+d a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d， a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d， …… ∴an＝a1+(n﹣1)d 故答案为：n﹣1． (3)根据题意得， 等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：an＝﹣5﹣2(n﹣1)， 则﹣5﹣2(n﹣1)＝﹣4041， 解之得：n＝2019 ∴﹣4041 是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第 2019 项． 31. (2019•四川自贡)阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+…+22017+22018 的值，采用以下方法： 设 S＝1+2+22+…+22017+22018① 则 2S＝2+22+…+22018+22019② ②﹣①得 2S﹣S＝S＝22019﹣1 ∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)1+2+22+…+29＝ ； (2)3+32+…+310＝ ； (3)求 1+a+a2+…+an 的和(a＞0，n 是正整数，请写出计算过程)． 【答案】见解析。 【解析】(1)设 S＝1+2+22+…+29① 则 2S＝2+22+…+210② ②﹣①得 2S﹣S＝S＝210﹣1 ∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1； 故答案为：210﹣1 (2)设 S＝1+3+32+33+34+…+310 ①， 则 3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②， ②﹣①得 2S＝311﹣1， 所以 S＝ ， 即 1+3+32+33+34+…+310＝ ； 故答案为： ； (3)设 S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①， 则 aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②， ②﹣①得：(a﹣1)S＝an+1﹣1， 所以 S＝ ， 即 1+a+a2+a3+a4+……+an＝ 。