寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第八讲 二次函数与存在性问题（学生版） 17页

C OA B x y 第八讲 二次函数与存在性问题 明确目标﹒定位考点 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较 广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要 求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设 存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就 做出不存在的判断。 热点聚焦﹒考点突破 二次函数 1、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① 2axy  ；② kaxy  2 ；③  2hxay  ；④   khxay  2 ；⑤ cbxaxy  2 . 2、二次函数的顶点坐标是 ），（ a bac a b 4 4 2 2  ，对称轴是直线 a bx 2  . 3、抛物线 cbxaxy  2 中， cba ,, 的作用 （1） a决定开口方向及开口大小，这与 2axy  中的 a完全一样. （2）b和 a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 cbxaxy  2 的对称轴是直线 a bx 2  ，（由图象可知，“左同右异”） 故：① 0b 时，对称轴为 y 轴； ② 0 a b （即 a、b同号）时，对称轴在 y轴左侧； ③ 0 a b （即 a、b异号）时，对称轴在 y轴右侧. （3） c的大小决定抛物线 cbxaxy  2 与 y 轴交点的位置. 当 0x 时， cy  ，∴抛物线 cbxaxy  2 与 y 轴有且只有一个交点（0，c）： ① 0c ，抛物线经过原点; ② 0c ,与 y 轴交于正半轴；③ 0c ,与 y 轴交于负 半轴. 4、一次函数  0 knkxy 的图像 l与二次函数  02  acbxaxy 的图像G的交点， 由方程组 cbxaxy nkxy   2 的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时 l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时 l与G只有一个交点； ③方程组无解时 l与G没有交点. 5、抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 cbxaxy  2 与 x 轴两交点为    00 21 ，，， xBxA ，由 于 1x 、 2x 是方程 02  cbxax 的两个根，故 a cxx a bxx  2121 ,     aa acb a c a bxxxxxxxxAB          444 22 21 2 21 2 2121 6、特殊值记忆： 二次函数 cbxaxy  2 ， 当 x =1 时， y = 当 x =-1 时， y = 当 x =0 时， y = 7、存在性问题的处理思路： 1 研究背景图形． 2 分析不变特征（点、线、角），结合形成因素（判定），考虑需要满足的条件． 3 画图求解：往往先从一种情形入手．先画出大致图形，再结合特征不断精确． 在图形上求解一种情况后，结合运动范围，考虑其他情形． 4 结果验证：画图或推理，验证已求结果． 考点 1： 四边形之存在性问题 例 1.如图，抛物线 4 1 y x 2 cbx 与 x 轴交于 A（5,0）、B（-1,0）两点，过点 A 作直线 AC⊥x 轴，交直线 x2y  于点 C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点 A 关于直线 x2y  的对称点 A`的坐标，判定点 A`是否在抛物线上，并说明理 由； （3）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交线段 CA`于点 M，是否存在这 样的点 P，使四边形 PACM 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由. 【规律方法】 1. 存在性问题的处理思路 1 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判 定等）考虑分类． ②画图求解：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 2. 菱形、矩形、正方形的存在性问题，通常借助转化探究思想来分析，将复杂、陌生问题 转化为简单、熟悉问题解决．如： ①菱形存在性问题通常转化为等腰三角形存在性处理，亦可借助菱形性质解决． 3 矩形存在性问题通常转化为直角三角形存在性处理． ③正方形存在性问题通常转化为等腰直角三角形存在性处理． 考点 2： 相似三角形的存在性 例 2.如图，已知抛物线 23 4 y x bx c   与坐标轴交于 A，B，C三点，点 A 的坐标为(-1， 0)，过点 C 的直线 3 3 4 y x t   与 x轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PH⊥OB 于点 H．若 PB=5t，且 0 1t  ． （1）点 C 的坐标是____________，b _______，c ______． （2）求线段 QH 的长（用含 t 的代数式表示）． （3）依点 P的变化，是否存在 t 的值，使以 P，H，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若 存在，求出所有符合条件的 t值；若不存在，说明理由． 【规律方法】相似三角形存在性的处理思路 1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考 虑分类． 注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类． 2. 画图求解： 往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变 特征后列方程求解． 注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例； 3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 考点 3： 全等三角形的存在性 例 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 4y ax bx   与 x 轴的一个交点为 A(-2，0)， 与 y 轴的交点为 C，对称轴是直线 x=3，对称轴与 x 轴交于点 B． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点 D 在 x轴上，在抛物线上是否存在点 P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写 出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【规律方法】全等三角形存在性的处理思路 1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考 虑分类． 注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类． 2. 画图求解： 往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和 不变特征后列方程求解． 3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 考点 4：角度的存在性 例 4.如图，抛物线 2y x bx c    与直线 1 2 2 y x  交于 C，D两点，其中点 C 在 y 轴上， 点 D 的坐标为(3， 7 2 )．点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点 P作 PE⊥x 轴于点 E，交 CD 于点 F． （1）求抛物线的解析式． （2）若点 P 的横坐标为 m，当 m 为何值时，以 O，C，P，F 为顶点的四边形是平行四边 形？请说明理由． （3）若存在点 P，使∠PCF=45°，请直接写出．．．．相应的点 P 的坐标． 【规律方法】角度存在性的处理思路 1. 和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理，通过三角函数将角的特征转化 为边的比例特征来列方程求解． 2. 一般过定点构造直角三角形． 3. 当两个角相等时，常转化为两个直角三角形相似的问题来处理． 【变式训练 1】 【难度分级】 A 题（1）抛物线 y=ax2 +bx+c 与 y 轴交于点 C(0，-2)，与直线 y=x 交于点 A(-2，-2)，B(2， 2)． （1）求抛物线的解析式． （2）线段 MN 在线段 AB 上移动（点 M 不与点 A 重合，点 N 不与点 B 重合），且 2MN  ．若 点 M 的横坐标为 m，过点 M作 x轴的垂线与 x 轴交于点 P，过点 N 作 x 轴的垂线与抛物线交 于点 Q，则以 P，M，Q，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出 m 的值；若不能， 请说明理由． 【难度分级】 B 题（2）已知：抛物线 C1：y＝x2。如图（1），平移抛物线 C1得到抛物线 C2，C2经过 C1的顶 点 O 和 A（2，0），C2的对称轴分别交 C1、C2于点 B、D。 （1）求抛物线 C2的解析式； （2）探究四边形 ODAB 的形状并证明你的结论； （3）如图（2），将抛物线 C2向下平移 m 个单位（m＞0）得抛物线 C3，C3的顶点为 G，与 y 轴交于 M。点 N 是 M 关于 x 轴的对称点，点 P（ m 3 4- ， m 3 1 ）在直线 MG 上。问：当 m 为何 值时，在抛物线 C3上存在点 Q，使得以 M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【变式训练 2】 【难度分级】 A 题（1）如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A(-3，0)，B(-1，0)，与 y 轴相交于 点 C．⊙O1为△ABC 的外接圆，交抛物线于另一点 D． （1）求抛物线的解析式． （2）求 cos∠CAB 的值和⊙O1的半径． （3）如图 2，抛物线的顶点为 P，连接 BP，CP，BD，M 为弦 BD 的中点．若点 N 在坐标 平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标． 【难度分级】 B 题（2）若关于 x的二次函数 2 ( 0, 0, )y ax bx c a c a b c     、 、 是常数 与 x轴交于两个 不同的点 1 2 1 2( ,0),B( ,0)(0 )A x x x x  ，与 y 轴交于点 P，其图像顶点为点 M，点 O 为坐标 原点。 (1)当 1 2 12, b 3 x c a x   时，求 与 的值； (2)当 1 2x c 时，试问△ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论； (3)当 1 ( 0)x mc m  时，记△MAB，△PAB 的面积分别为 S1，S2，若△BPO∽△PAO，且 S1=S2, 求 m 的值。 x y 【变式训练 3】 【难度分级】 A 题（1）如图，抛物线 y=ax2-5ax+4 经过△ABC 的三个顶点，已知 BC∥x 轴，点 A 在 x 轴上， 点 C 在 y 轴上，且 AC=BC． （1）求抛物线的对称轴； （2）写出 A，B，C 三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，是否存在△PAB 是等腰三角形？ 若存在，求出所有符合条件的点 P坐标；不存在，请说明理由． 【难度分级】 B 题（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2y ax bx c   与 y 轴交于点 C(0，4)， 对称轴直线 2x  与 x 轴交于点 D，顶点为 M，且 DM=OC+OD． （1）求该抛物线的解析式． （2）设点 P(x，y)是第一象限内该抛物线上的一动点，△PCD 的面积为 S，求 S 与 x 之 间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． （3）设点 Q 是 y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点 Q 的直线 QE 与 y 轴交于点 E， 是否存在以 O，Q，E 为顶点的三角形与△OQD 全等？若存在，求出直线 QE 的解析式； 若不存在，请说明理由． 【变式训练 4】 【难度分级】 A 题（1）如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，连接 AC，抛物线 y=x2-4x-2 经过 A，B 两点． （1）求 A 点坐标及线段 AB 的长； （2）若点 P 由点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 边向点 B 移动，1 秒后点 Q 也由点 A出 发以每秒 7 个单位的速度沿 AO，OC，CB 边向点 B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点 也停止移动，点 P 的移动时间为 t秒． ①当 PQ⊥AC 时，求 t 的值； ②当 PQ∥AC 时，对于抛物线对称轴上一点 H，∠HOQ＞∠POQ，求点 H 的纵坐标的取值范围． 专题训练﹒对接中考 1. 如图 1，以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，已知 OA=OB=3，过点 A，B的抛物线对称轴为直线 x=1，抛物线与 x轴的另一交点为 D． （1）求该抛物线的解析式． （2）如图 2，如果将三角板的直角顶点 C 在 x 轴上滑动，一直角边所在直线过点 B，另 一条直角边所在直线与抛物线的交点为 E，其横坐标为 4，试求点 C 的坐标． （3）如图 3，点 P 为抛物线对称轴上一动点，M 为 x 轴上方抛物线上一点，N 为平面内 一动点，是否存在点 M，使得以 A，P，M，N 为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由． 2. 如图，已知直线 y=kx-6 与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于 A，B 两点，与 y轴交于点 D， 且点 A(1，-4)为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上． （1）求抛物线的解析式． （2）设抛物线对称轴与 x 轴交于点 E，F是 y轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 P， 使△POE 与△POF 全等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 作业： 1. 如图，抛物线 y=-x2 +2x+3 与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C，顶点为 D，抛物线 的对称轴 DF 与 BC 相交于点 E，与 x 轴相交于点 F． （1）连接 DA，DO，求∠DOF 的正切值； （2）设 P 为 x 轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当 tan∠α=4 时，求点 P 的坐标． 2. 在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为 C(4， 3 )，且与 x轴的两个交点 间的距离为 6． （1）求二次函数的解析式； （2）在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点 Q，使得以 Q，A，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，请求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由．